1、-1 -4、用分組分解法進(jìn)行因式分解【知識精讀】分組分解法的原則是分組后可以直接提公因式，或者可以直接運(yùn)用公式。使用這種方法 的關(guān)鍵在于分組適當(dāng)， 而在分組時(shí)， 必須有預(yù)見性。 能預(yù)見到下一步能繼續(xù)分解。 而“預(yù)見” 源于細(xì)致的“觀察”，分析多項(xiàng)式的特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)姆纸M是分組分解法的關(guān)鍵。應(yīng)用分組分解法因式分解，不僅可以考察提公因式法，公式法，同時(shí)它在代數(shù)式的化簡，求值及一元二次方程，函數(shù)等學(xué)習(xí)中也有重要作用。下面我們就來學(xué)習(xí)用分組分解法進(jìn)行因式分解。【分類解析】1.在數(shù)學(xué)計(jì)算、化簡、證明題中的應(yīng)用例 1.把多項(xiàng)式 2a(a2a 1) a4a21 分解因式，所得的結(jié)果為()2222A.(a2a -

2、1)2B.(a-a1)22222C.(a2a 1)2D.(a2- a -1)2分析：先去括號，合并同類項(xiàng)，然后分組搭配，繼續(xù)用公式法分解徹底。解：原式=2a(a2a 1) a4a21=a42a33 a22a 1= (a42a3a2)(2a22a)1= (a2a)22(a2a) 1= (a2a 1)2故選擇 C例 2.分解因式 x5-x4 x3-x2 x -1分析：這是一個(gè)六項(xiàng)式，很顯然要先進(jìn)行分組，此題可把xx4x3和- x2，x-1 分別看成一組，此時(shí)六項(xiàng)式變成二項(xiàng)式，提取公因式后，再進(jìn)一步分解；此題也可把x5x4，x3-x2和 x -1 分別看作一組，此時(shí)的六項(xiàng)式變成三項(xiàng)式，提取公因式后再

3、進(jìn)行分解。解法 1：原式=(x5-x4x3) -(x2- x 1)= (x3-1)(x2-x 1)=(x -1)(x2x 1)(x2- x 1)解法 2：-2 -原式=(X5_x4) (x3_x2)(X -1)=x4(x -1) x2(x -1) (X -1)42=(x -1)(x x 1)二(x -1)(x42x21) -x2=(x -1)(x2x 1)(x2-x 1)2. 在幾何學(xué)中的應(yīng)用例：已知三條線段長分別為a、b、c,且滿足 a b, a2c2: b22ac證明：以 a、b、c 為三邊能構(gòu)成三角形分析：構(gòu)成三角形的條件，即三邊關(guān)系定理，是“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于 第三邊”證

4、明：；a2- c2: b2- 2ac2 2 2.a c - b - 2ac : 0.a22ac c2b2: 0，即(ac)2b2: 0.(a -c b)(a -c - b)：0又 - a - c b、a-c-b.a -cb - 0， a c b：0.a b c，a -b：c即 a b : c : a b.以 a、b、c 為三邊能構(gòu)成三角形3. 在方程中的應(yīng)用例：求方程xy二xy的整數(shù)解分析：這是一道求不定方程的整數(shù)解問題, 故可考慮借助因式分解求解解：；x _y =xy.xy _x 亠 y =0 xy -x y _ 1 = _1即 x(y -1) (y -1) - -1.(y -1)(x1)

5、= -1 x, y 是整數(shù)直接求解有困難，因等式兩邊都含有 x 與 y，x 1或y -1-3 -4、中考點(diǎn)撥例 1.分解因式： 1 _m?_n2+2mn=_。2 2解: 1 m n 2mn=1 _(m22m n n2)=1 -(m - n)2=(1 mn)(1 _m 亠 n)說明：觀察此題是四項(xiàng)式， 應(yīng)采用分組分解法，中間兩項(xiàng)雖符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，應(yīng)把后三項(xiàng)結(jié)合在一起，再應(yīng)用完全平方公式和平方差公式。例 2.分解因式： x2y2x - y 二_解: x2-y2_x y 二(x2_y2) _(x _y)=(x y)(x - y) - (x - y)=(x -y)(x y -

6、1)說明：前兩項(xiàng)符合平方差公式，把后兩項(xiàng)結(jié)合，看成整體提取公因式。例 3.分解因式：x3+3x24x12=_解: x33x2-4x -12 =x3-4x 3x2-122 2=x(x -4)3(x -4)=(x 3)(x 2)(x -2)說明：分組的目的是能夠繼續(xù)分解。5、題型展示：例 1.分解因式： m2(n2-1) 4mn -n212 2 2解：m (n -1) 4mn - n 1=m2n2- m24mn _ n21= (m2n22mn 1) _(m2-2mn _n2)22=(mn 1)-(m _n)=(mn _ m n 1)(mn m _ n 1)說明：觀察此題，直接分解比較困難，不妨先去

7、括號，再分組，把 4mn 分成 2mn 和 2mn, 配成完全平方和平方差公式。2 2 22例 2.已知：a b =1, c d =1,且 ac，bd=O，求 ab+cd 的值。解：ab+cd=ab 1 cd 1-4 -=ab(c2d2) cd(a2b2)= abc2abd2cda2cdb2=(abc2cdb2) (abd2cda2)=bc(ac bd) ad(bd - ac)= (ac bd)( bc ad)ac：bd =0.原式=0說明：首先要充分利用已知條件 a2b2=1, c2d2=1 中的 1 (任何數(shù)乘以 1,其值 不變)，其次利用分解因式將式子變形成含有 ac+bd 因式乘積的形

8、式，由 ac+bd=0 可算出結(jié) 果。例 3.分解因式：x32x -3分析：此題無法用常規(guī)思路分解，需拆添項(xiàng)。觀察多項(xiàng)式發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=1 時(shí)，它的值為 0,這就意味著 x 一 1 是 x32x -3 的一個(gè)因式，因此變形的目的是湊 x_1 這個(gè)因式。解一(拆項(xiàng))：333x 2x3=3x 3 2x2x2 2=3(x _1)(xx 1) -2x(x 1)=(x 1)(x2x 3)解二(添項(xiàng))：x32x _3=X3_x2x22x -3 = x2(x -1) (x -1)(x3)=(x -1)(x2x 3)說明：拆添項(xiàng)法也是分解因式的一種常見方法，請同學(xué)們試拆一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，看看是否可解？-5 -【實(shí)戰(zhàn)模

9、擬】1. 填空題：(1)分解因式 a： -3a -b23b =(2)分解因式 x2-2x-4xy4y24 4y =(3)分解因式 1:_mn(1 mn) m3n3口2. 已知：a b c = 0,求 a3- a2c - abc - b2c - b3的值。53.分解因式：a a 14. 已知：x2-y2-z2=0, A 是一個(gè)關(guān)于 x,y,z 的一次多項(xiàng)式，且 x3-y3-z3=(x -y)(x -z)A，試求 A 的表達(dá)式。2 2 25.證明：(a b -2ab)(a b -2)(1 -ab) =(a -1) (b -1)-6 -【試題答案】1.(1)解：原式=(a2 b2) 3(a b)=(

10、a b)(a - b) - 3(a - b)=(a -b)(a b - 3)(2) 解:原式=(x24xy 4y2) _2(x 2y)2=(X _2y)2-2(x -2y)=(x2y)(x2y2)(3)解： 原式 =1 mn m2n2m3n32 2=(1mn)亠 m n (1mn)2 2=(1 - mn)(1 m n )2. 解：原式=(a b)(a2-ab b2) c(a2-ab b2)=(a2-ab b2)(a b c)a b c = 0.原式=0說明：因式分解是一種重要的恒等變形，在代數(shù)式求值中有很大作用。3解：a5a 1=a5-a2a2a 1=a2(a3T) (a2a 1)=a2(a1)(a2a 1)(a2a 1)= (a2a 1)(a3- a21)4.解：一 222cxyz022 2 2 22y=xz ，z 二 X-y333.x-yz=(X3_y3) _z z2=(X -y)(x2xy y2)-/ 2 2 z(x -y )=(x -y)x2xyy2-z(x y)=(x y)x(x -z) y(x z) (x2z2)=(xy)(x z)(x y x z)=(x y)(x z)(2x y z).A = 2x y - z5.證明：(a b 2ab)(a b -2)(1 -ab)2-7 -2 2 2 2 2 2=aab 2a ab b 2b 2a b 2ab 4ab 1