1、第5講,平面向量概念和線性運(yùn)算教師 第五講 平面向量的概念和線性運(yùn)算 玩前必備 1向量的有關(guān)概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模 (2)零向量：長度為 0 的向量，其方向是任意的 (3)單位向量：長度等于 1 個(gè)單位的向量 (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0 與任一向量平行 (5)相等向量：長度相等且方向相同的向量 (6)相反向量：長度相等且方向相反的向量 2向量的線性運(yùn)算 向量運(yùn)算 定義 法則(或幾何意義) 運(yùn)算律 加法 求兩個(gè)向量和的運(yùn)算 交換律：abba； 結(jié)合律： (ab)ca(bc) 減法 求 a 與 b 的相反向量b

2、的和的運(yùn)算 aba(b) 數(shù)乘 求實(shí)數(shù) 與向量 a 的積的運(yùn)算 | a|a|，當(dāng) 0 時(shí)，a與 a 的方向相同；當(dāng) 0時(shí)，a 與 a 的方向相反；當(dāng) 0 時(shí)，a0 ( a)()a；()aaa； (ab)ab 3.向量共線定理 向量 b 與非零向量 a 共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù) ，使得 ba. 4向量的夾角 已知兩個(gè)非零向量 a 和 b，作oaa，obb，則aob 就是向量 a 與 b 的夾角，向量夾角的范圍是0， 5平面向量的數(shù)量積 定義 設(shè)兩個(gè)非零向量 a，b 的夾角為 ，則數(shù)量|a|b|cos 叫做 a 與b 的數(shù)量積，記作 ab 投影 |a|cos 叫做向量 a 在 b 方向上的

3、投影，|b|cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影 幾何意義 數(shù)量積 ab 等于 a 的長度|a|與 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘積 6.向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)abba.(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc. 7向量數(shù)量積的性質(zhì) 設(shè) a、b 為兩個(gè)非零向量，e 是與 b 同向的單位向量 (1)aeea|a|cosa，b；(2)abab0 且 ab0ab； (3)aa|a| 2 或|a| a 2 ；(4)cosa，bab|a|b| ；(5)|ab|a|b|. 玩轉(zhuǎn)典例 題型一 向量概念的理解 例 1 判斷下列命題是否正確，并說明理由 若 ab，則 a 一

4、定不與 b 共線； 若ab dc ，則 a、b、c、d 四點(diǎn)是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)； 在平行四邊形 abcd 中，一定有ab dc ； 若向量 a 與任一向量 b 平行，則 a0； 若 ab，bc，則 ac； 若 ab，bc，則 ac. 解 兩個(gè)向量不相等，可能是長度不同，方向可以相同或相反，所以 a 與 b 有共線的可能，故不正確abdc，a、b、c、d 四點(diǎn)可能在同一條直線上，故不正確在平行四邊形 abcd 中，|ab |dc |，ab 與dc平行且方向相同，故ab dc ，正確零向量的方向是任意的，與任一向量平行，正確ab，則|a|b|且 a 與 b 方向相同；bc，則|b|c|且 b

5、與 c 方向相同，則 a 與 c 方向相同且模相等，故 ac，正確若 b0，由于 a 的方向與 c 的方向都是任意的，ac 可能不成立；b0 時(shí)，ac 成立，故不正確 例 2 如圖所示，abc 的三邊均不相等，e、f、d 分別是 ac、ab、bc 的中點(diǎn) (1)寫出與ef 共線的向量； (2)寫出與ef 的模大小相等的向量； (3)寫出與ef 相等的向量 解 (1)因?yàn)?e、f 分別是 ac、ab 的中點(diǎn)，所以 ef 綊 12 bc.又因?yàn)?d 是 bc 的中點(diǎn)， 所以與ef 共線的向量有：fe ，bd ，db，dc，cd，bc ，cb . (2)與ef 模相等的向量有：fe ，bd ，db，

6、dc，cd. (3)與ef 相等的向量有：db 與cd. 題型練透 1.判斷下列命題是否正確，并說明理由 若向量 a 與 b 同向，且|a|b|，則 ab； 若向量|a|b|，則 a 與 b 的長度相等且方向相同或相反； 對(duì)于任意|a|b|，且 a 與 b 的方向相同，則 ab； 向量 a 與向量 b 平行，則向量 a 與 b 方向相同或相反 解 不正確因?yàn)橄蛄渴遣煌跀?shù)量的一種量它由兩個(gè)因素來確定，即大小與方向，所以兩個(gè)向量不能比較大小，故不正確 【來源：】 不正確由|a|b|只能判斷兩向量長度相等，并不能判斷方向 正確因?yàn)閨a|b|，且 a 與 b 同向由兩向量相等的條件可得 ab. 不正

7、確因?yàn)橄蛄?a 與向量 b 若有一個(gè)是零向量，則其方向不確定 2.下列說法正確的是( ) a向量 ab 與 cd 是共線向量，則 a，b，c，d 必在同一直線上 b向量 a 與 b 平行，則 a 與 b 的方向相同或相反 c向量 ab 與向量 ba 是兩平行向量 d單位向量都相等 解析 a 項(xiàng)考查的是有向線段共線與向量共線的區(qū)別事實(shí)上，有向線段共線要求線段必須在同一直線上而向量共線時(shí)，表示向量的有向線段可以在兩條平行直線上，不一定在同一直線上故 a 項(xiàng)錯(cuò)誤由于零向量與任一向量平行，因此，若 a，b 中有一個(gè)為零向量時(shí)，其方向是不確定的故 b 項(xiàng)錯(cuò)誤由于向量 ab 與 ba 方向相反，所以二者是

8、平行向量故 c 項(xiàng)正確單位向量的長度都相等，方向任意，而向量相等不僅需要長度相等，還要求方向相同故 d 項(xiàng)錯(cuò)誤 3.給出下列四個(gè)命題：若|a|0，則 a0；若|a|b|，則 ab 或 ab；若 ab，則|a|b|；若 ab，bc，則 ac.其中，正確的命題有( ) a0 個(gè) b1 個(gè) c2 個(gè) d3 個(gè) 解析 忽略了 0 與 0 的區(qū)別，a0；混淆了兩個(gè)向量的模相等和兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，兩個(gè)向量的模相等，只能說明它們的長度相等，它們的方向并不確定；兩個(gè)向量平行，可以得出它們的方向相同或相反，未必得到它們的模相等；當(dāng) b0 時(shí)，a、c 可以為任意向量，故 a 不一定平行于 c. 4.如圖，abc 和a

9、bc是在各邊的 13 處相交的兩個(gè)全等的等邊三角形，設(shè)abc 的邊長為 a，圖中列出了長度均為 a3 的若干個(gè)向量，則 (1)與向量 gh 相等的向量有_； (2)與向量 gh 共線，且模相等的向量有_； (3)與向量 ea 共線，且模相等的向量有_ 解析：向量相等向量方向相同且模相等 向量共線表示有向線段所在的直線平行或重合 答案：(1) lb¢ ¢ ， hc (2) ec¢ ¢ ， le ， lb¢ ¢ ， gb ， hc (3) ef ， fb ， ha¢ ¢ ， hk ， kb¢ ¢ 題

10、型二 二 向量的加減法運(yùn)算 例 例 3 3 如圖，在abc 中，o 為重心，d、e、f 分別是 bc、 ac、ab 的中點(diǎn)，化簡下列三式： (1) bc ce ea ； (2) oe ab ea ； (3) ab fe dc . 解：(1) bc ce ea be ea ba . (2) oe ab ea ( oe ea ) ab oa ab ob . (3) ab fe dc ab bd dc ad dc ac . 例 例 4 化簡：(1)( ab cd )( ac bd )； (2)( ac bo oa )( dc do ob ) 解 (1)( ab cd )( ac bd )( ab b

11、d )( ac cd ) ad ad 0. (2)( ac bo oa )( dc do ob ) ( ac ba )( oc ob ) bc bc 0 題型練透 1.如圖，在平行四邊形 abcd 中， (1) ab ad _； (2) ac cd do _； (3) ab ad cd _； (4) ac ba da _. 解析：(1)由平行四邊形法則可知為 ac ； (2) ac cd do ad do ao ； (3) ab ad cd ac cd ad ； (4) ac ba da ba ac da bc da 0. 答案：(1) ac (2) ao (3) ad (4)0 2化簡以下各

12、式： (1) ab bc ca ； (2) ab ac bd cd ； (3) oa od ad ； (4) nq qp mn mp . 結(jié)果為零向量的式子個(gè)數(shù)是( ) a1 b2 c3 d4 解析：選 d (1)首尾相接的向量的和為零向量； (2) ab ac bd cd ( ab bd )( ac cd ) ad ad 0； (3) oa od ad ( oa od ) ad da ad 0； (4) nq qp mn mp ( nq qp )( mn mp ) np pn0. 題型三 三 向量加減法的幾何意義 例 例 5 5 設(shè)點(diǎn) m 是線段 bc 的中點(diǎn)，點(diǎn) a 在線段 bc 外，|

13、bc | 2 16，| ab ac | ab ac |，則| am |( ) a8 b4 c2 d1 解析 以 ab ， ac 為鄰邊作平行四邊形 acdb，則由向量加、減法的幾何意義可知 ad ab ac ，cb ab ac ，因?yàn)閨 ab ac | ab ac |，所以| ad | cb |. 又四邊形 acdb 為平行四邊形，所以四邊形 acdb 為矩形，故 acab. 則 am 為 rtabc 斜邊 bc 上的中線，因此，| am | 12 |bc |2. 題型練透 1. (2021全國)設(shè)非零向量 a，b 滿足|ab|ab|，則( ) aab b|a|b| cab d|a|b| 解析

14、 利用向量加法的平行四邊形法則在abcd 中，設(shè)ab a，ad b， 由|ab|ab|知，|ac |db |，從而四邊形 abcd 為矩形，即 abad，故 ab.故選 a. 題型四 四 向量的數(shù)乘及線性運(yùn)算 例 例 6 6 (1)在平行四邊形 abcd 中，點(diǎn) e 為 cd 的中點(diǎn)，be 與 ac 的交點(diǎn)為 f，設(shè)ab a，ad b，則向量bf等于( ) a. 13 a23 b b 13 a23 b c 13 a23 b d. 13 a23 b 答案 c 解析 bf 23 be 23 (bc ce ) 23 èæøöb 12 a 13 a23 b，故選

15、 c. (2)(2021全國)在abc 中，ad 為 bc 邊上的中線，e 為 ad 的中點(diǎn)，則eb 等于( ) a. 34 ab 14 ac b. 14 ab 34 ac c. 34 ab 14 ac d. 14 ab 34 ac 答案 a 解析 作出示意圖如圖所示 eb ed db 12 ad 12 cb 12 12 (ab ac ) 12 (ab ac ) 34 ab 14 ac .故選 a. 題型練透 1.在abc 中，點(diǎn) d，e 分別在邊 bc，ac 上，且bd2dc，ce 3ea ，若ab a，ac b，則de 等于( ) a. 13 a512 b b. 13 a1312 b c

16、13 a512 b d 13 a1312 b 解析 dedcce 13 bc 34 ca 13 (ac ab ) 34 ac 13 ab 512 ac 13 a512 b，故選 c. 2.(2021威海模擬)在平行四邊形 abcd 中，e，f 分別為邊 bc，cd 的中點(diǎn)，若ab xae yaf (x，yr)，則 xy_. 解析 由題意得ae ab be ab 12 ad，af ad dfad 12 ab ， 因?yàn)閍b xae yaf ，所以ab èæøöx y2ab èæøöx2 y ad，所以î

17、37;ì x y2 1，x2 y0，解得îíì x 43 ，y 23 ， 所以 xy2. 題型五 五 共線向量定理的應(yīng)用 例 例 7 7 (1)已知 e 1 ，e 2 是兩個(gè)不共線的向量，若 ab 2e 1 8e 2 ， cb e 1 3e 2 ， cd 2e 1 e 2 ，求證：a，b，d 三點(diǎn)共線 (2)已知 a，b，p 三點(diǎn)共線，o 為直線外任意一點(diǎn)，若 op x oa y ob ，求 xy 的值 解 (1)證明： cb e 1 3e 2 ， cd 2e 1 e 2 ， bd cd cb e 1 4e 2 . 又 ab 2e 1 8e 2 2(e

18、1 4e 2 )， ab 2 bd ， ab bd . ab 與 bd 有交點(diǎn) b，a，b，d 三點(diǎn)共線 (2)由于 a，b，p 三點(diǎn)共線，所以向量 ab ， ap 在同一直線上，由向量共線定理可知，必定存在實(shí)數(shù) 使ap ab ，即 op oa ( ob oa )，所以 op (1) oa ob ，故 x1，y，即 xy1. 題型練透 1.如圖所示，已知 d，e 分別為abc 的邊 ab，ac 的中點(diǎn)，延長 cd 到 m 使 dmcd，延長 be 至 n 使been，求證：m，a，n 三點(diǎn)共線 證明：d 為 mc 的中點(diǎn)，且 d 為 ab 的中點(diǎn)， ab am ac ， am ab ac cb

19、 .同理可證明 an ac ab bc . am an . am ， an 共線且有公共點(diǎn) a，m，a，n 三點(diǎn)共線 2.已知向量 a，b 是兩個(gè)不共線的向量，且向量 ma3b 與 a(2m)b 共線，則實(shí)數(shù) m 的值為_ 解析：因?yàn)橄蛄?ma3b 與 a(2m)b 共線且向量 a，b 是兩個(gè)不共線的向量，所以 m32m ，解得 m1 或 m3. 3.（2021湖南高三期末（理）如圖所示，已知點(diǎn) g 是 abc d 的重心，過點(diǎn) g 作直線分別交 , ab ac 兩邊于 , m n 兩點(diǎn)，且 amxab =uuur uuur， anyac =uuur uuur，則 3x y + 的最小值為_

20、【答案】4 2 33+ 【解析】根據(jù)條件：1ac any=，1ab amx= ； 又1 13 3ag ab ac = + ；1 13 3ag am anx y= +； 又 m，g，n 三點(diǎn)共線；1 13 3 y x+ = 1；x0，y0； 3x+y（3x+y）（1 13 3 x y+）4 43 3 3x yy x= + + ³ + 24 2 33 3x yy x+× = ； 3x+y 的最小值為4 2 33+當(dāng)且僅當(dāng)3x yy x=時(shí)"='成立故答案為：4 2 33+ 題型六 六 共線向量定理的應(yīng)用 例 例 8 （2021湖南高二期末）已知 , a b 是

21、單位向量，且滿足 (2 ) 0 b a b × + = ，則 a 與 b 的夾角為（ ） a.6p b.3p c.56p d.23p 【答案】d 【解析】設(shè)單位向量 a ， b 的夾角為 q ， (2 ) 0 b a b × + = ，22 ? 0ab b + = 即22 1 1 cos 1 0 q ´ ´ ´ + = ，解得1cos2q = - ，23pq = a 與 b 夾角為23p故選： d 例 例 9 （2021江西高一期末）已知 1 a = ， 2 b = ，且 ( ) a a b + ，則 a 在 b 方向上的投影為( ) a. 1

22、- b. 1 c.12- d.12 （2）（2021山西省靜樂縣第一中學(xué)）在 abc d 中 | | | ab ac ab ac + = -uuur uuur uuur uuur, 3, 4, ab ac = = 則 bc 在 ca 方向上的投影為（ ） a4 b3 c-4 d5 【答案】（1）c （2）c 【解析】（1） ( ) a a b + ， ( ) 0 a a b × + = ，即20 a a b + × =， 1 a b × = - ， a 在 b 方向上的投影為12a bb×= -，故選 c. （2）對(duì)等式 ab ac ab ac + = - 兩邊平方得， 2 2 2 22 2 ab ac ab ac ab ac ab ac + + × = + - ×uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur，整理得，0 ab ac × =，則 abac ， (