1、 必過數材美 1. 事件的相關概念 2. 頻數、頻率和概率 (1)頻數、頻率：在相同的條件 S 下重復 n 次試驗，觀察某一事件 A 是否出現，稱 n 次 試驗中事件 A 出現的次數“企為事件 A 出現的頻數，稱事件 A 出現的比例 fn(A) = 為事件 A 出現的頻率. 概率：對于給定的隨機事件 A,如果隨著試驗次數的增加，事件 A 發生的頻率 fn(A) 穩定在某個常數上，把這個常數記作 P(A),稱為事件 A 的概率. 3. 概率的幾個基本性質 (1) 概率的取值范圍： 00,y0,4 + y = 1.則 x + y= (x + y) + y = 5+ 爭+: 5 + 2 =9,當且僅

2、當 x = 2y時等號成立，故 x+ y 的最小值為 9. 答案：9 8. 只袋子中裝有 7 個紅玻璃球，3 個綠玻璃球，從中無放回地任意抽取兩次，每次 7 1 只取一個，取得兩個紅球的概率為 7 7，取得兩個綠球的概率為 三，則取得兩個同顏色的球 15 15 的概率為 _ ;至少取得一個紅球的概率為 _. 解析：由于“取得兩個紅球”與“取得兩個綠球”是互斥事件，取得兩個同色球，只 需兩互斥事件有一個發生即可，因而取得兩個同色球的概率為 P=f + 2= . 15 15 15 由于事件 A “至少取得一個紅球”與事件 B “取得兩個綠球”是對立事件，則至少取得 1 14 一個紅球的概率為 P(

3、A)= 1 P(B)= 1 1 1 = 14. 15 15 b+ c a+ b+ c =0.6 b a+ b+ c =1 0.65= 0.35, (1) 若獲獎人數不超過 2 人的概率為 0.56，求 x 的值； (2) 若獲獎人數最多 4 人的概率為 0.96，最少 3 人的概率為 0.44，求y y z 的值. 解：記事件在數學競賽中，有 k 人獲獎”為 Ak(k N, kw 5)，則事件 Ak彼此互斥. (1)因為獲獎人數不超過 2 人的概率為 0.56, 所以 P(A) + P(Ai) + P(A2) )= 0.1 + 0.16+ x= 0.56, 解得 x = 0.3. (2)由獲獎

4、人數最多 4 人的概率為 0.96, 得 P(A5) = 1-0.96 = 0.04,即即 z= 0.04. 由獲獎人數最少 3 人的概率為 0.44, 得 P(Aa) + P(A4) )+ P(A5)= 0.44, 即 y+ 0.2+ 0.04 = 0.44, 解得 y= 0.2. 10.如圖，A 地到火車站共有兩條路徑 L1和 L2，現隨機抽取 位從 A 地到火車站的人進行調查，調查結果如下： 所用時間( (分鐘) ) 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 選擇 L1的人數 6 12 18 12 12 選擇 L2的人數 0 4 16 16 4 (1)試估計 40 分鐘

5、內不能趕到火車站的概率； 分別求通過路徑 L1和 L2所用時間落在上表中各時間段內的頻率； 現甲、乙兩人分別有 40 分鐘和 50 分鐘時間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允 許的時間內趕到火車站，試通過計算說明，他們應如何選擇各自的路徑. 解：( (1)共調查了 100 人，其中 40 分鐘內不能趕到火車站的有 12 + 12+ 16+ 4 = 44(人), 用頻率估計概率，可得所求概率為 0.44. 選擇 L1的有 60 人，選擇 L2的有 40 人，故由調查結果得所求各頻率為 所用時間( (分鐘) ) 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 L1的頻率 0.1 0.2

6、 0.3 0.2 0.2 L2的頻率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 記事件 A1, A2分別表示甲選擇 L1和 L2時，在 40 分鐘內趕到火車站; 記事件 B1, B2分別表示乙選擇 L1和 L2時，在 50 分鐘內趕到火車站. 由(2)知 P(A1)= 0.1 + 0.2+ 0.3= 0.6, P(A2)= 0.1 + 0.4= 0.5, P(A1) P(A2), 故甲應選擇 L1； P(B1)= 0.1 + 0.2+ 0.3+ 0.2= 0.8,100 P(B2) )= 0.1 + 0.4+ 0.4= 0.9, P(B2) ) P(Bi),故乙應選擇 L2. 三上臺階，自主選做志在

7、沖刺名校 1.拋擲一枚骰子，當它每次落地時，向上一面的點數稱為該次拋擲的點數，可隨機出 現 1 到 6 點中任一結果，連續拋擲兩次，第一次出現點數記為 a,第二次出現點數記為 b, 則直線 ax+ by= 0 與直線 x+ 2y+ 1 = 0 有公共點的概率為 _ . 解析：設直線 ax+ by= 0 與直線 x+ 2y+ 1= 0 有公共點”為事件 A,則A 為它們 無公共點”，因為直線 x+ 2y+ 1 = 0 的斜率 k =- 所以 a =1所以 a = 1, b= 2 或 a= 2, 2 b 2 3 1 1 11 b= 4 或 a= 3, b= 6,所以 P( A )=五=，所以 P(

8、A)= 1-=五 2. 若隨機事件 A, B 互斥，A, B 發生的概率均不等于 0，且分別為 P(A)= 2 a, P(B) =3a 4,則實數 a 的取值范圍為 _ . 解析：因為隨機事件 A, B 互斥，A, B 發生的概率均不等于 0,且分別為 P(A) = 2 a, P(B) = 3a 4, 0v PA v 1, 所以 0v P B v 1, P A + P B w 1, 0 v 2 av 1, 4 3 即 0v 3a 4v 1, 解得 aw3. 2a 2w 1. 答案：3 2 3. (2018 梁豐中學測試) )已知 f(x)= x2+ 2x, x 2,1，給出事件 A: f(x)a. (1) 當 A 為必然事件時，求 a 的取值范圍； (2) 當 A 為不可能事件時，求 a 的取值范圍. 解：因為 f(x)= x2+ 2x = (x+ 1)2 1, x 2,1, 所以 f(X) )min= 1,此時 x= 1. 又 f( 2) = 0 v f(1)= 3,所以 f(x)max= 3. 所以 f(x) 1,3 (1)當 A 為必然事件時，即 f(x) a 恒成立， 故有 a W f(x)min= 1 , 答案: 11 12 即 a 的取值范圍是( (一8, 1. 當 A