1、第五節合情推理與演繹推理1. 了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，了解合情推理在數學發 現中的作用.2 .了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單的推 理.3 .了解合情推理和演繹推理之間的聯系和差異.主干曲說整合07_課前拍身橙固棍基知識點一合情推理i.歸納推理：(1) 定義：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的 _都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理.(2) 特點：是由 _ 到_，由_ 到_ 的推理.2 .類比推理(1)定義：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有_的推理.

2、特點：類比推理是由到的推理答案1. (1)全部對象部分整體個別一般2. (1)這些特征特殊特殊對點快練1.判斷正誤(1) 由平面三角形的性質推測空間四面體的性質，這是一種合情推理.()(2) 在類比時，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適.()(3) 一個數列的前三項是 1,2,3，那么這個數列的通項公式是an=n(n N*).()答案：V(2)X(3)X-2 -2.(選修 1 1P32 練習第 1 題改編)已知數列an中，a1= 1,n2時，an=an1+ 2n- 1,-3 -依次計算a2,a3,a4后，猜想an的表達式是（）A.an= 3n 1B.an= 4n 32n1C

3、. an=nD. an= 3解析：ai= 1,a2= 4,a3= 9,a4= 16,猜想an=n.答案：C3.（選修1 1P32 練習第 3 題改編）在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1 2，則它們的面積比為 1 4.類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長的比為1 2，則它們的體積比為_.解析：由平面圖形的面積類比立體圖形的體積得出：在空間內，若兩個正四面體的棱長的比為 12,則它們的底面積之比為14,對應高之比為 12,所以體積比為 18.答案：18知識點二演繹推理1.模式：三段論（1）_大前提已知的;（2）_ 小前提一一所研究的;（3）_結論根據一般原理，對做出的判斷.2 .特點：演繹推

4、理是由 _ 到_ 的推理.答案1 . （1） 一般原理（2）特殊情況（3）特殊情況2 .一般特殊對點快練4.“因為指數函數y=ax是增函數（大前提），而y= 3x是增函數（結論），上面推理的錯誤在于（2 丿A.大前提錯誤導致結論錯B.小前提錯誤導致結論錯C.推理形式錯誤導致結論錯D.大前提和小前提錯誤導致結論錯解析：當a1 時，y=ax為增函數；當 0a1 時，3x是指數函數（小前提），所以函數y=ax為減函數.故大前提錯誤.-4 -答案：A-5 -熱點一歸納推理考向 i 與數、式有關的歸納推理【例 1】(2016 山東卷)觀察下列等式:照此規律,2nn2(sin - )=2n+ 1-【解析】

5、 分析各等式的形式特點:4第 1 個等式右邊為：3X1x2；4第 2 個等式右邊為：3X2X3;4第 3 個等式右邊為：3X444依次類推第n個等式的右邊為nx(n+ 1)即n(n+1).【答案】 為耐 1)考向 2 與圖形有關的歸納推理【例 2】 如圖所示，用全等的小正方體木塊疊放立體圖形，按照這樣的規律繼續逐個疊放下去，那么在第 7 個疊放的立體圖形中小正方體木塊數應是()酬點命題冥破02(sinn2n93n94n245-)+(sin5)+(sin5)2=X2X3;3(sin2+ (sin2n2n+1)2+ (sin3n2n+1)2+ (sin2n)-2=4X1X2；n-2(sin )+(

6、sin一2+ (sin(sin 7)-2+ (sin-6 -7 -(2)(2017 湖南桃江檢測)地震后需搭建簡易帳篷，搭建如圖的單頂帳篷需要17 根鋼A. 25C. 91UzB. 66D. 120【解析】圖中前三個立體圖形中，用到的小正方體木塊數依次為1,2+1X4,3+(1+2)X4,按照前三個立體圖形所反映出來的規律，歸納推理可知，第7 個疊放的立體圖形中用到的小正方體木塊數應是7+ (1 + 2+ 3 + 6)X4= 91.【答案】 C【總結反思】(1) 歸納是依據特殊現象推斷出一般現象的推理，因而由歸納所得的結論超越了前提所包含的范圍.(2) 歸納的前提是特殊的情況，所以歸納是立足于

7、觀察、經驗或試驗的基礎之上的.(3) 歸納推理所得結論未必正確，有待進一步證明，但對數學結論和科學的發現很有用(1)(2017 廣州模擬)以下數表的構造思路源于我國南宋數學家楊輝所著的詳解九章算 法一書中的“楊輝三角形”.12345 20132 014 20152 0164 0274 0294 0318 12 168 0568 06020 2816 116該表由若干行數字組成，從第二行起，每一行中的數字均等于其“肩上”兩數之和，表中最后一行僅有一個數，則這個數為()C. 2 016X22 015D.2 016X22 014旨)-8 -管，這樣的帳篷按圖、圖的方式串起來搭建，則串7 頂這樣的帳篷

8、需要 _ 根鋼管.-9 -解析： 當第一行為 2 個數時，最后一行僅一個數，為3 = 3X1 = 3X2;當第一行為 3 個數時，最后一行僅一個數，為8 = 4X2 = 4X21;2當第一行為 4 個數時，最后一行僅一個數，為20= 5X4= 5X2;當第一行為 5 個數時，最后一行僅一個數，為48 = 6X8=6X2.歸納推理得，當第一行為 2 016 個數時，最后一行僅一個數，為2 017X 22 014，故選 B.(2)由題意可知，圖的單頂帳篷要 (17 + 0X11)根鋼管，圖的帳篷要 (17 + 1X11)根鋼 管，圖的帳篷要(17 + 2X11)根鋼管，所以串 7 頂這樣的帳篷需要

9、 17 + 6X11= 83(根) 鋼管.答案：(1)B(2)83熱點二類比推理【例 3】已知點A(x1,axj,B(x2,ax?)是函數y=ax的圖象上任意不同的兩點，依據圖ax1亠ax2X1亠X2象可知，線段AB總是位于A,B兩點之間函數圖象的上方，因此有: a成立運用類比思想方法可知，若點A(X1, sin X ,E(X2, sinX2)是函數y= sinx(x (0 ,n)圖象上任意不同的兩點，則類似地有 _成立.【解析】 由題意知，點A,B是函數y=ax的圖象上任意不同的兩點，該函數是一個變成立；而函數y= sinx(x (0 ,n)，其變化率逐漸變小，線段AB總是位于A B兩點之間

10、函【總結反思】類比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步驟為：找出兩類事物之間的相似性或一致性;用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題(猜想).圖圖圖化率逐漸變大的函數，線段AB總是位于A,B兩點之間函數圖象的上方,因此有ax1+ax2X1+X2數圖象的下方，故可類比得到結論sinX1+ sinX22 sinX1+X22【答sinX1+ sinX22sinX1+X222-10 -平面幾何中有如下結論：如圖(1)，設0是等腰直角ABC底邊BC的中點，AB=1,過點-11 -11Q, R則有時AR=2.類比此結論，將其拓展到空間，如圖（2），設0是正三棱錐A BCD底面BCD的中心

11、，AB AC AD兩兩垂直，AB=1，過點0的動平面與三棱錐的三條側棱或其延長線的交點分別為111AQAP* AR又TV三棱錐R-AQP=V三棱錐CAQ+V三棱錐O-ARP+V三棱錐CAQF=AQP*d+廳S ARP d+云SAAQR d333=1(AQ- AP+ AR- AP+ AQ- ARd,AQ AP- AF=*AQAP+ AR- AP+ AQ- ARd,即A+AR11 1 1+AP=d，而V三棱錐ABDC=產BDC，A0=3X，41 1 1_ 耐AFAP=3. 1 1 1 答案：AQ+AF+AP=3熱點三演繹推理an+1=n+-2Si(n N).證明:n(2) Si+1= 4an.n+

12、2an+1= nS，二(n+ 2)S=n(S+1S)，即nS+1= 2(n+1)sn,故n+=2-?,(小前提)是以 2 為公比，1 為首項的等比數列.（結論）（大前提是等比數列的定義，這里省略了）Sn+1S-1（2）由（1）可知刁 =4 n（n2）,O的動直線與兩腰或其延長線的交點分別為解析：設0到各個側面的距離為d,而V1111三棱錐RAQF=-SAQPAR=二二AQ AP AR=；Q R P,則有-3x2-3=436111.V三棱錐CABD=：V三棱錐ABD=，即二31831-ABD d=-31 1d=押d= 3,【例 4】數列an的前n項和記為S,已知31= 1 ,（1）數列弓是等比數

13、列;【證明】(1)Tan+1=S+1S,-12 -n十 1n1Si-1n 1 + 2S+1= 4（n+1） n1 = 4 -n1 Si1= 4an（n2）.（小前提）又Ta2= 3S1= 3,S2=a1+a2= 1 + 3 = 4 = 4a1,（小前提）對于任意正整數n,都有S+1= 4an.（結論）【總結反思】演繹推理是從一般到特殊的推理，其一般形式是三段論，應用三段論解決問題時，應當首先明確什么是大前提和小前提，如果前提是顯然的，則可以省略（1）有 6 名選手參加演講比賽，觀眾甲猜測：4號或 5 號選手得第一名；觀眾乙猜測：3號選手不可能得第一名； 觀眾丙猜測：1,2,6 號選手中的一位獲得第一名；觀眾丁猜測：4,5,6號選手都不可能獲得第一名.比賽后發現沒有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1 人猜對比賽結果，此人是（）A.甲 B .乙C.丙 D .丁（2）已知在ABC中，/A= 30，/B= 60，求證：ab.證明：/A= 30，/B= 60，./A/BaACD+VABD S BCDAE+DFBGCHVA-BCD=嬴=