1、第七章初等模型如果研究的問題或對象的機理比較簡單，通常用靜態、線性、確定性模型描述就能達到建模目的時，基本上就可以用初等數學的方法構造和求解模型。本章通過椅子放穩、學生會代表名額分配、汽車的安全剎車距離、生豬體重的估計、 核軍備競賽、 使用新材料與新方法的房屋節能效果等問題，介紹用初等數學構造和求解模型的方法與技巧。需要說明的是，一個數學模型的好差在于其應用效果，不在于其使用了多么高深的數學方法與技巧。也就是說，一個問題可用初等數學構造和求解模型，也可用高等數學構造和求解模型，如果應用效果差不多，那么前者是好的。§7.1椅子能在不平的地面上放穩嗎一、問題的提出這個問題來自日常生活中一

2、件普通的事實：把椅子往不平的地面一放，通常只有三只腳著地，放不穩，然而只要稍微挪動幾次，就可以使四只腳同時著地，放穩了。請用數學模型證明為什么能放穩。二、問題分析此問題與數學有關嗎？由常識我們知道，椅子是不能在臺階上放穩的。同樣地，如果地面某處凹凸太厲害，以至于凹凸的幅度超過椅腿的長度，椅子也不能放穩。所以椅子能在地面上放穩是指在相對平坦的連續地面上放穩。通常椅子有四條一樣長的腿， 四腳共圓； 椅腳一般加工成較小的 “面 ”，椅子在地面上放穩是四腳同時著地，而椅腳著地只要椅腳面上有一點與地面上一點接觸就可以了。移動椅子有三種方法：旋轉；平移；平移加旋轉。其中旋轉要設 1 個變量；平移要 2 個

3、；平移加旋轉要 3 個。為了簡單起見采用旋轉法。如何旋轉？由于四腳共圓，繞這個圓心旋轉。三、假設1、四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳共圓；2、地面高度連續變化，可視為數學上的連續曲面；3、地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。四、建立模型以椅子移動前四腳所在的平面建立平面直角坐標系（見圖7.1.1），使得四腳 A 、 B、 C、D 共圓的圓心與坐標原點重合。用 表示旋轉，則四腳與地面的距離隨的變化而變化，即四腳與地面的距離都是關于的一元函數，分別用hA ( ) 、 hB ( ) 、 hC ( ) 、 hD ( ) 表示旋轉后腳 A 、腳 B、腳 C、腳 D 與地面的距離。 由假

4、設 2 可知， hA ( ) 、hB ( ) 、 hC ( ) 、 hD ( ) 均為 的連續函數。這時問題轉化為：求0 ，使hA ( 0 )hB ( 0 )hC ( 0 )hD ( 0 )0 。這是一個數學問題，如何解決？很容易讓我們想到用連續函數的基本性質解決，但面對4 個函數不好直接證明，只能尋求轉化。把4 個函數變成 2 個函數，可以通過兩對角線分別組合；對邊分別組合；也可以一腳成一個函數，另三腳組合成一個函數。因此一般模型這樣建立：對于四腳與地面距離有4 個函數，旋轉前不著地的幾腳與地面距離之和記為f ( ) ， 其它腳與地面距離之和記為g ( ) 。顯然f ( ),g( ) 是連續

5、函數；對任意， f ( )g( )0 ，且 g (0)0 ，f (0)0 。證明：存在0 ，使 f ( 0 )g ( 0 )0。yB 'BA 'COAxC 'DD '圖 7.1.1 椅子四腳坐標圖五、模型求解將椅子旋轉，使 f ( )0 。令 h()f ( ) g() ，由 f () , g( ) 的連續性知 h() 連續，而且 h(0)0 和 h()0。如果 h()0 ，那么 f ( )g()0，即椅子旋轉后四腳同時著地。如果 h()0 ，那么 h(0)h( )0。據連續函數的基本性質, 必存在0 0, 使使 h( 0 ) 0 , 即使 f ( 0 )g(0

6、) 。因為 f ( ) g( )0, 所以f ( 0 )g( 0 )0 ，即椅子從初始位置旋轉0 后四腳同時著地。六、評注如果四腳呈正方形，通過兩對角線分別組合構造f ( ) ,g ( ) ；將椅子旋轉/ 2 而證明。如果四腳呈矩形， 通過兩對邊分別組合構造g( ) ；將椅子旋轉而證明。f ( ),§7.2學生會代表名額分配一、問題的提出某高校一學院有 3 個系共 1000 名學生， 其中甲系有 500 名，乙系 300 名，丙系 200 名。若學生代表會議設 20 個席位， 公平而又簡單的是按學生人數的比例分配，顯然甲乙丙三系分別應占有10， 6， 4 個席位。丙系 30 名學生提

7、出轉系， 經批準各有 15名學生分別轉到甲系和乙系。按學生人數的比例分配，三系分別應占有10.3， 6.3， 3.4 個席位。但席位數只能是自然數！于是有比例加慣例的分配法：將取得整數的19 席以 10，6，3 分配完畢后，三系同意剩下的一席分給比例中小數最大的丙系，于是三系分別占有 10， 6， 4 席。因為有 20席的代表會議在表決提案時可能出現 10：10 的局面， 會議決定下一屆增加1 席。他們按照比例加慣例的分配法重新分配席位， 三系分別占有11，7，3 席。顯然這個對丙系太不公平了，總席位增加 1 席，而丙系卻由4 席減為3 席。上述例子說明我們要找到衡量公平分配席位的指標，并由此

8、建立新的分配方法 。二、問題分析我們先討論 A ，B 兩方公平席位的情況。設兩方人數分別為 p1 和 p2 ，占有席位分別是n1 和 n2，則兩方每個席位代表的人數分別為p1 / n1 和p2 / n 2 ，而且我們知道顯然僅當p1 / n1p 2 / n2 時席位的分配才是公平的，但是因為人數和席位都是整數，所以通常是 p1 / n1 和 p 2/ n 2 并不相等， 這時的席位分配不公平，并且pi / ni (i 1 , 2)數值較大的一方吃虧，或者說對這方不公平。三、建立公平分配席位的指標不妨假設 p1/ n1 p2/ n2 ，則不公平程度可用數值p1 / n1p2 / n2 描述不公平

9、，它衡量是不公平的絕對程度，常常無法區分兩種程度明顯不同的不公平情況。為了改進上述絕對標準，自然想到用相對標準，即把p1 / n1p2 / n2定義為對 A 的相對不公平度rA (n1 , n 2 ) 。同樣可定義為對 Bp2/ n2的相對不公平度rB (n1 , n2 )p2 / n 2p1 / n1。p1/ n1建立了衡量不公平程度的數量指標后，制定席位分配的方案的原則是使它們盡可能小。四、公平分配席位的方法假設 A ，B 兩方已占有 n1 和 n 2席，利用相對不公平度 rA 和 rB 討論，當總席位增加一席時，應該分配給A還是B。不失一般性可設p1/ n1p2/ n2，當再分配一席時，

10、 關于 pi / ni (i1, 2)的不等式可能有以下3 種情況：（ 1） p1 /( n11)p2/ n2 ，這說明即使 A 方增加一席， 仍然對 A 不公平，所以這一席顯然應該分給A 方。（ 2） p1/( n11)p2 / n2 ，說明當 A 方增加一席時將變得對B 不公平，這時我們可計算出對B 的相對不公平度為rB (n11 , n 2 )p 2/ n2p1/(n1 1)p 2 ( n11)p1 /(n11)p1 n21（ 3） p1/ n1p2/(n21) ，即當 B 方增加一席時對 A 不公平，這時我們可以計算出對A 的相對不公平度為rA (n1 , n21)p1 / n1p2

11、/( n2 1)p1 (n 21) 1p2/( n21)p 2 n1由于公平席位的原則是使得相對不公平度盡量地小，如果r A ( n1 , n2 1)rB (n11, n2 ) ，即p12p 22，那么這1席分給 An1 ( n11)n2 (n21)22方；如果rA (,n2 1)，即p2p1，那么這 11B12nr( n 1, n1)n1 (n1 1)n2 ( n2席分給 B 方。pi2記 Qi(i1 , 2) ，則增加的 1席應分給 Q 值較大的一方。ni ( ni1)此方法可以推廣到有m 方分配席位的情況：設第i 方人數為 pi ，已占pi2有個席位 ni ， i1,2, m 。當總席位

12、增加1 席時，計算 Qi，ni (ni1)i 1 , 2 , , m ，應將這一席分給 Q 值最大的一方。如果算到兩個或兩個以上的 Q 值同時達到最大值時該怎么辦呢？這時只能用抽簽的方法解決了。五、問題的解決回到某高校一學院學生代表會議21 個席位的分配問題，前19 個席位應是 10，6，3 的分配方案，接下來的工作就是用Q 值法分配第20、21 席了。對于第 20 席，由 Q1 96.4 、 Q294.5 、 Q396.3 知這一席應該分給甲系。對于第 21 席，由 Q180.4 、 Q2 94.5 、 Q396.3 知這一席應該分給丙系。注：用 Q 值法從第 1 個席位一直算到第21 個席

13、位后，分配結果仍是甲、乙、丙三系的席位分別為11， 6， 4。這樣， 21 個席位的分配結果是三系分別占有11， 6， 4 席，丙系保住了險些喪失的一席。六、評注Q 值方法比 “比例加慣例 ”方法更公平嗎？m 方人數分別為 p1 , p 2, p m ,記總人數為Pmpi, 待分配的i 1總席位為 N 。設理想情況下m 方分配的席位分別為n1 , n2 , nm ( 自然應有 Nmni， 并 且 nin( p, p , p, N) ， 記q pN / P，i 1i12miii 1 , 2 , , m ，則席位分配的理想化準則（ 1） q i ni qi 1 ， i1 , 2 , , m ；（

14、2）ni ( p1 , p2 , p m , N )ni ( p1 , p2 , , p m , N 1) ，i 1 , 2 , , m 。“比例加慣例 ”滿足原則 （ 1）而不滿足原則 （ 2）；Q 值法滿足原則 （2），不滿足原則（ 1）。那么到底有沒有一種方法能同時滿足兩個原則呢？令人遺憾的是，沒有找到能同時滿足這兩個法則的分配方法。七、問題設席位數分別為1 , 2 ,，計算各方一名代表代表的人數，從每一方一名代表代表的人數盡可能接近來分配代表席位。請用這種方法(DHondt)對本節開始的某高校一學院學生代表會議的席位進行分配，并說明這種方法滿足原則（2）而不滿足原則（1）。如果你學習了

15、概率論，能否從數學期望和方差的角度提出一種分配方法？§7. 3汽車的安全剎車距離一、問題的提出美國某些汽車司機培訓課程中的駕駛規則：在正常駕駛條件下, 車速每增加 10 英里 /小時，后車與前車的距離應增加一個車身長度。 我們稱為 “車身規則 ”。實現這個規則的簡便方法是 “2秒法則 ” ：后車司機從前車經過某一標志開始默數 2 秒鐘后到達同一標志，而不管車速如何。需要解決的問題： “2秒法則 ”與 “車身規則 ”是否一樣；通過建立數學模型，尋求更好的駕駛規則。二、問題分析常識：剎車距離與車速有關。“10 英里 /小時 ( 16 公里 /小時 )車速下 2 秒鐘行駛 29 英尺 (

16、9 米 )”大于“車身的平均長度 15 英尺 (4.6 米 )”。由此可見， “2秒準則 ”與 “ 10英里 / 小時加一車身 ”規則不同。剎車距離由反應距離和制動距離構成。而反應距離受司機的反應時間及汽車速度影響。每個司機的大腦反應狀況不同，不同汽車的制動系統靈活性有差異，為了確定反應距離，需要在汽車制動系統靈活的條件下假定司機的反應時間為常數（可以通過若干司機反應時間的平均值表示）。制動距離由汽車制動器作用力、車重、車速、道路、氣候等確定，最大制動力與車質量成正比，使汽車作勻減速運動。由于各汽車的車重、車速不盡相同，汽車行駛的道路以及氣候也有差異，為了確定制動距離，需要假定道路、氣候對制動

17、距離沒有影響。三、假設1、剎車距離d 等于反應距離d1 與制動距離d 2 之和；2、道路、氣候對制動距離沒有影響，汽車制動系統靈活，汽車最大制動力 F 與汽車質量 m 成正比（比例系數為正常數 c ），使汽車作勻減速運動；3、司機的反應時間t1 為常數，反應距離與汽車速度成正比。四、建立模型用 v 表示剎車前的汽車速度（大小） 。由假設 3，有d1vt1（7.3.1）剎車時使用最大制動力F ， F 作功等于汽車動能的改變，即Fd 2 mv2 / 2（ 7.3.2）由假設 2有Fcm（7.3.3）把式（ 7.3.3）代入式（ 7.3.2），并記 (2c) 1k ，有d 2kv 2（ 7.3.4）

18、結合式（）與式（），有d vt1 kv2（ 7.3.5）式（）即是所建立的模型，反映了剎車距離與汽車速度的關系。五、參數的估計反應時間 t1 的經驗估計值為0.75 秒，利用交通部門提供的一組實際數據（表 7.3.1 前三列，第三列括號內的數字為最大實際剎車距離）擬合k 。表 7.3.1 實際數據與擬合后的計算數據車速實際剎車距離 計算剎車距離 剎車時間(英里 /小時 )( 英尺 /秒)（英尺）（英尺）（秒）2029.342（ 44）39.01.53044.073.5（ 78）76.61.84058.7116（ 124）126.22.15073.3173（ 186）187.82.56088.0

19、248（ 268）261.43.070102.7343（ 372）347.13.680117.3464（ 506）444.84.3使用最小二乘法,編寫 Mathematica 程序：fp=ListPlotb, PlotStyle->PointSize0.2, RGBColor0,1,0ft=Fitb,1,x,xgp=Plotft,x,20,120,PlotStyle->RGBColor1,0,0Showfp,gp運行程序后 ,有 k0.0256 。把 k0.0256 代入式（），計算剎車距離 （表7.3.1 第四列）。依據最大實際剎車距離可得剎車時間（表 7.3.1 最后一列）。六

20、、問題的解決“2秒準則 ”應作修正 ,修正的準則稱為“t 秒準則 ”（見表 7.3.2 ）。表 7.3.2t秒準則車速（英里 /小時）010104040606080t （秒）1234七、評注修正的 “t 秒準則 ”能在實際中應用嗎?實際上應考慮車輛型號與載重量，還要考慮路況與天氣。請有興趣的同學組成小組與汽車生產企業或交通安全部門合作研究。§7. 4生豬體重的估計一、問題的提出豬肉是我國人民的主要副食品，因此生豬的生產、收購和屠宰對豬肉的市場供應起著重要的作用。自然產生問題：生豬養殖者、生豬收購者乃至屠宰者需要對生豬體重作出估計。二、問題分析對生豬體重估計通常通過體形來估計，但生豬體

21、形與多個幾何指標、生理指標和物理指標有關。注意到建模目的是用簡單的方法對生豬體重作出估計，那么考慮動物的復雜生理結構而用復雜的生物模型就沒有實際使用價值。對于每個生豬，很容易看到體長與肥瘦，這樣問題轉化為：在區分肥瘦的情況下，能否通過生豬體長來估計生豬體重。三、假設與符號1、生豬的軀干是圓柱體，長為 l 、直徑為 d 。這樣我們把生豬體長規定為軀干的長度，不考慮頭和尾巴的長度。2、將軀干類比為彈性梁，彈性梁的斷面面積、下垂度分別為3、生豬的體重f 與軀干的體積成正比，比例常數為c1 。4、軀干的相對下垂度 b/ l 是與生豬的尺寸、肥瘦無關的常數以看為生豬長期進化的結果。四、建立模型彈性梁的彈

22、性規律k fl3b2sd這里 k 為下垂度系數，為常數。由假設 2，有fc1 sl由式（ 7.4.1）和式（ 7.4.2）有bc1 k l32ld但由假設4 知 b / lc2 ，把它代入式（7.4.3）有d 2c1k l 3c2注意到 sd 2 / 4 ，把式（ 7.4.4 ）代入式（ 7.4.2）有2fkc1l 4cl 44c2kc12其中 c。于是所建立的模型為s 、 b 。c2 ，這可（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）4c2f cl 4（7.4.6）五、模型求解模型 fcl 4 中的比例系數c 可依據不同年齡、不同類型的生豬的實際測量數據利用最小二乘法確定。六、評注類比法是數學建模中常用的

23、一種方法。把動物的軀體類比為彈性梁一個是大膽的假設，其可信程度需要實際檢驗。但這種充分發揮想象力，把動物軀干長度與體重的關系類比為彈性梁的擾曲問題是值得借鑒的。七、問題某地區有n2 ）個商品糧生產基地， 各基地的糧食數量分別為 m1、（ nm2 、 、 mn(單位：噸），每噸糧食一距離單位運費為c ，為使各基地到倉庫的總運費最小，問倉庫如何選址?作如下假設1、各商品糧生產基地的糧食集中于一處；2、各商品糧生產基地及倉庫看作點；3、各商品糧生產基地與倉庫之間道路按直線段考慮。建立平面直角坐標系xOy ，各商品糧生產基地的坐標分別為(xi , yi ) ，i 1, 2, n ；倉庫的坐標為( x,

24、 y) ，則各商品糧生產基地到倉庫的總運費為 f ( x, y)nxi ) 2yi )2 ，于是模型為cmi( x( yi 1nxi ) 2(y yi )2min f ( x, y)cmi ( xx, yi 1由 f ( x, y)0,f (x, y)0 ，即xyni 1 ni1mi (xxi)0( x xi )2( yyi )2mi (yyi)( x xi )20( yyi )2難以求解模型。請用類比法建立數學模型來解決倉庫選址問題。§7.5核軍備競賽一、問題的提出冷戰時期美蘇聲稱為了保衛自己的安全，實行 “核威懾戰略 ”，核軍備競賽不斷升級。隨著前蘇聯的解體和冷戰的結束，雙方通過

25、了一系列的核裁軍協議。在什么情況下雙方的核軍備競賽不會無限擴張，而存在暫時的平衡狀態。估計平衡狀態下雙方擁有的最少的核武器數量，這個數量受哪些因素影響。當一方采取加強防御、提高武器精度、發展多彈頭導彈等措施時，平衡狀態會發生什么變化。二、假設以雙方 (戰略 )核導彈數量描述核軍備的大小。1、假定雙方采取如下同樣的核威懾戰略：認為對方可能發起所謂第一次核打擊，即傾其全部核導彈攻擊己方的核導彈基地；己方在經受第一次核打擊后，應保存足夠的核導彈，給對方重要目標以毀滅性的打擊。2、在任一方實施第一次核打擊時， 假定一枚核導彈只能攻擊對方的一個核導彈基地。3、摧毀這個基地的可能性是常數， 它由一方的攻擊

26、精度和另一方的防御能力決定。三、問題分析甲方有 x 枚導彈，乙方所需的最少導彈數為y ，則 yf (x) 。下證曲線 y f ( x) 是一條上凸的曲線。當 x 0 時 y y0 。 y0 為乙方的威懾值，表示甲方實行第一次打擊后已經沒有導彈，乙方為毀滅甲方工業、交通中心等目標所需導彈數。用 s 表示乙方導彈的殘存率（甲方一枚導彈攻擊乙方一個基地，基地未被摧毀的概率。 ）。x y 時，甲方以 x 枚導彈攻擊乙方 y 個基地中的 x 個基地， sx 個基地未摧毀， yx個基地未攻擊。于是 y0 sxyx 或 y y0(1s)x 。而 xy 時， y0 sx sy 或 y y0 / s 。yx2

27、y 時，甲方以 x 枚導彈攻擊乙方y 個基地，其中 xy 個基地被攻擊兩次，s2 ( xy) 個基地未摧毀；另外y (xy)2 yx 個基地被攻擊一 次 ， s(2 yx) 個 基 地 未 摧 毀 。 于 是 y0s2 ( xy )s(2 y x) 或y01sys)2x 。s(2s而 x2y 時， y0 s2 x s2 y 或 y y0 / s2 。類似討論kyx(k1) y 、x(k1) y k2,3,。甲乙導彈數量比稱為交換比，用a 表示。當xay 時，yy0/ sa 。綜合以上分析，曲線yf (x) 是一條上凸的曲線。顯然， y0 變大，曲線上移、變陡；s 變大， y 減小，曲線變平；a

28、 變大， y 增加，曲線變陡。圖乙方安全線曲線的導彈數yyf (x) 稱為乙方安全線，這是因為甲方有 f (x) 。x 枚導彈時乙方所需乙方有y 枚導彈， 甲方所需的最少導彈數為x ，則xg ( y) 。同理可證曲線xg( y) 是一條上凹的曲線，是甲方安全線。四、建立模型在同一坐標系中分別作甲方安全線、乙方安全線，見圖。曲線yf (x) 和曲線 xg ( y) 把第一象限分成四個區域：曲線yf (x) 上方并在曲線 xg( y) 左邊的為乙方安全區；曲線yf ( x) 上方并在曲線xg( y) 右邊的為雙方安全區；曲線 xg( y) 右邊并在曲線yf ( x) 下方的為甲方安全區。對于乙方的

29、威懾值的威懾值由y0 提高到y0 ，甲方擁有x0 枚導彈。如果f ( x0 )f (x0 )y1 ；甲方為了安全，被動地增加y0 ，則乙方導彈到g( y1 )x1 。顯然x1x0 ，f ( x1 )y1 ，則乙方的威懾值由y1 提高到f (x1 )y2 ；甲方為了安全，被動地增加導彈到少擁有 x * 枚導彈、乙方至少擁有g( y2 )x2 。如此競爭下去，直到甲方至y * 枚導彈時甲乙雙方都達到安全，也才停止核競爭。( x*, y*) 是曲線 y枚導彈、 乙方至少擁有f (x) 和 xg ( y) 交點 P 的坐標，當甲方至少擁有x*y* 枚導彈時甲乙雙方都達到安全，所以點 P 稱為平衡點。圖

30、甲乙雙方的平衡點五、模型解釋1、甲方增加經費保護及疏散工業、交通中心等目標時，導致乙方威懾值 y0 變大（其它因素不變），乙方安全線yf ( x) 上移，相應平衡點P (x*, y*) 向右上方移動到點P (x , y ) 。由于 xx*, yy* ，所以甲方的被動防御也會使雙方軍備競賽升級。2、甲方將固定核導彈基地改進為可移動發射架。此時乙方安全線yf (x) 不變，但甲方殘存率變大。當威懾值x0 和交換比不變時，x 減小，甲安全線xg ( y) 向 y 軸靠近，相應平衡點P (x*, y*) 向左下方移動到點P (x , y ) 。由于 xx*, yy * ，所以甲方這種單獨行為，會使雙方

31、的核導彈減少。3、雙方發展多彈頭導彈，每個彈頭可以獨立地摧毀目標。此時雙方威懾值減小，殘存率不變，交換比增加。對于乙方安全線，y0 減小使曲線yf (x) 下移且變平；a 變大使y f (x) 增加且變陡。 而對于甲方安全線， x0 減小使曲線 x g( y) 左移且變豎； a 變大使 x g( y) 增加且變陡。平衡點 P (x*, y*) 可能向右上方移動到點 P (x , y ) ，也可能向左下方移動到點P (x , y ) 。雙方導彈增加還是減少，需要更多信息及更詳細的分析。六、評注以上所建立的模型是幾何圖模型，也稱為蛛網模型。蛛網模型在經濟學中有重要的應用，我們在第十章第三節介紹市場

32、經濟中的蛛網模型。七、問題如果假設一個國家或地區的總供給 (生產 )、總需求（消費）只與就業人數有關，請利用幾何圖模型解釋擴大出口、增加內需能提高就業。§7.6使用新材料與新方法的房屋節能效果一、背景和問題的提出2005 年 11 月 10 日，建設部頒布了民用建筑節能管理規定，要求新建民用建筑嚴格執行建筑節能50%的標準。就住宅節能而言，包括水、電、氣、熱等能耗的節約以及各類建材、制品的節約，進一步分析還有新技術、新工藝、新材料、新能源的應用。因此，住宅節能涉及許多領域，是一個復雜的系統工程。為了討論問題方便 , 這里只研究住宅建設中使用新材料、新方法 ( 技術、工藝 )的節能效果

33、。二、問題分析住宅建設中使用新材料、新方法(技術、工藝 )使住房節能大致從以下幾個方面進行：一是朝向。節能型住宅坐北朝南，偏東或偏西不能超過30度。二是通風。 在廚房、 衛生間等相對封閉的環境中要安裝機械排放裝置。三是窗戶。節能住宅窗戶采用隔熱的雙層中空玻璃，窗戶不宜太大，大窗戶外要有遮陽設施。四是墻面。墻面一般采用外墻外保溫。五是頂樓。頂樓應有隔熱保溫層或進行綠化節能。在硬件上主要是屋面保溫隔熱和節能門窗等節能技術，對外墻進行外保溫，墻體使用新型保溫材料，窗戶多采用塑鋼真空玻璃和塑鋼雙層玻璃，屋頂進行保溫隔熱處理， “平改坡 ”和加隔熱層， 如采用綠色植物種植屋面、蓄水屋面、平層面與坡層面相

34、結合等方式。住房的朝向和通風影響能源消耗，但需要一段時間才能顯現。因此研究住宅建設中使用新材料、新方法 (技術、工藝 )的節能效果這一問題只從屋面、門、窗、外墻四個住宅建筑結構部件研究，也就是比較節能門窗與非節能門窗、墻體使用新型保溫材料與墻體不使用新型保溫材料、屋面保溫隔熱與屋面不保溫隔熱的差異。這種差異通過單位時間、單位面積的屋面（門、窗、外墻）的熱量流失的比較來描述。三、假設1、住房外形成長方體，不考慮房內結構部件，屋面面積為S1 、外墻面積為 S2 、（朝外）門面積為S3 、（朝外）窗面積為S4 。2、設室內熱量的流失是熱傳導引起的，不存在戶內外的空氣對流。3、室內溫度 T 1 與戶外

35、溫度 T 2 均為常數。4、住宅建設中使用的材料乃至構件（例如玻璃、木板、保溫材料、墻體）是均勻的，熱傳導系數為常數。5、使用新材料、新方法 (技術、工藝 )的屋面、門、窗、外墻四個住宅建筑結構部件由內層建筑材料、干燥空氣夾層或保溫材料夾層、外層建筑材料三層構成，未使用新材料、新方法 (技術、工藝 ) 的屋面、門、窗、外墻四個住宅建筑結構部件僅由一層建筑材料構成。四、建立模型為了建模的需要，有必要介紹熱傳導定律。設材料均勻，材料厚度為d ，熱傳導系數為常數 k ，材料內側和外側的溫差為T （見圖 7.6.1 ），單位時間單位面積傳導的熱量Q 為T（ 7.6.1）Q kd圖 7.6.1熱傳導定律

36、圖 7.6.2三層建筑結構部件的熱傳導設使用新材料、新方法( 技術、工藝 )的某一住宅建筑結構部件的內層建筑材料厚度、熱傳導系數分別為d1、 k1，干燥空氣夾層或保溫材料夾層厚度、熱傳導系數分別為l 、k0 ，外層建筑材料厚度、 熱傳導系數分別為d 2 、k2 。設內層建筑材料的外側溫度為Ta，外層建筑材料的內側溫度為Tb （見圖 7.6.2），則單位時間單位面積傳導的熱量Q1 為Q1k1T1 Tak0Ta Tbk2TbT2（ 7.6.2）d1ld2在式（ 7.6.2）中消去 Ta 、 Tb，有Q1(T1 T2 ) /( d1/ k1d 2 / k2l / k0 )（ 7.6.3）設未使用新材

37、料、新方法( 技術、工藝 )的某一住宅建筑結構部件的建筑材料厚度、 熱傳導系數分別為 d 、k ，則單位時間單位面積傳導的熱量Q2為Q2k T1 T2（ 7.6.4）d由于 k0k1 、 k0k2 ，在使用新材料、新方法(技術、工藝 )的某一住宅建筑結構部件的內層建筑材料和未使用新材料、新方法(技術、工藝 )的某一住宅建筑結構部件的建筑材料一致并且厚度相同時，即dd1 、 kk1時，由式（ 7.6.3）和式（ 7.6.4），有Q1Q2（ 7.6.5）這表明住宅建設中使用新材料、新方法(技術、工藝 )使住房明顯節能。五、模型應用1、屋面傳導的熱量設屋面低層建筑材料厚度、熱傳導系數分別為d11 、 k11 ，干燥空氣夾層厚度、熱傳導系數分別為l 1 、 k0 ，上層建筑材料厚度、熱傳導系數分別為 d21 、 k21 ，由式（ 7.6.3）知單位時間單位面積傳導的熱量Q11 為Q11 (T1T2 ) /(d11 / k11d21 / k21l 1 /