1、第2課時復數代數形式的加減運算及其幾何意義1.理解復數代數形式的加減運算規律.2.復數的加減與向量的加減的關系.重點:正確理解復數的加減運算,復數加減運算的幾何意義.難點:對比復數加減法與向量加減法的異同,從而理解復數的幾何意義.實數可以進行加減運算,并且具有豐富的運算律,其運算結果仍是實數;多項式也有相應的加減運算和運算律;對于引入的復數,其代數形式類似于一個多項式,當然它也應有加減運算,并且也有相應的運算律.問題1:依據多項式的加法法則,得到復數加法的運算法則.設z1=a+bi,z2=c+di是任意兩個復數,那么(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i, 很明顯,兩個

2、復數的和仍然是一個確定的復數.問題2: 復數的加法滿足交換律、結合律.即z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 問題3:利用向量加法討論復數加法的幾何意義向量加法遵循平行四邊形法則,在直角坐標系中從橫縱坐標上分析就是橫縱坐標分別相加.故復數相加就是實部與虛部分別相加得到一個新的復數.問題4:如何理解復數的減法?復數減法是復數加法的逆運算.向量減法遵循三角形法則,在直角坐標系中從橫縱坐標上分析就是橫縱坐標分別相減.故復數相減就是實部與虛部分別相減得到一個新的復數.十八世紀末十九世紀初,著名的德國數學家高斯在證明代數基本定理“任何一元n次方程在復數集內有且僅

3、有n個根”時,就應用并論述了卡爾丹所設想的新數,并首次引進了“復數”這個名詞,把復數與平面內的點一一對應起來,創立了復平面,依賴于平面內的點或有向線段(向量)建立了復數的幾何基礎.這樣歷經300年的努力,數系從實數系到復數系的擴張才基本完成,復數才被人們廣泛承認和使用.1.設z1=3-4i,z2=-2+3i,則z1-z2在復平面內對應的點位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】(3-4i)-(-2+3i)=5-7i.【答案】D2.(2-i)+(3+i)+(4+i)+(5+i)-i(其中i為虛數單位)等于().A.10B.10+2iC.14D.14+2i【解析】(2-i

4、)+(3+i)+(4+i)+(5+i)-i=2+3+4+5+(-+1+-)i=14.【答案】C3.復數z1=9+3i,z2=-5+2i,則z1-z2=. 【解析】z1-z2=(9+3i)-(-5+2i)=14+i.【答案】14+i4.已知復數z1=7-6i,z1+z2=-4+3i.(1)求z2;(2)求z1-2z2.【解析】(1)z2=(z1+z2)-z1=(-4+3i)-(7-6i)=-11+9i.(2)z1-2z2=(7-6i)-2(-11+9i)=7-6i+22-18i=29-24i.復數代數形式的加減法運算(1)z1=2+3i,z2=-1+2i,求z1+z2,z1-z2;(2

5、)計算:(+i)+(2-i)-(-i);(3)計算:(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+(-2012+2013i)+(2013-2014i).【方法指導】依據復數代數形式的加減運算法則以及運算律求解.【解析】(1)z1+z2=2+3i+(-1+2i)=1+5i,z1-z2=2+3i-(-1+2i)=3+i.(2)+i+(2-i)-(-i)=(+2-)+(-1+)i=1+i.(3)(法一)原式=(1-2)+(3-4)+(2011-2012) +2013+(-2+3)+(-4+5)+(-2012+2013)-2014i=(-1006+2013)+(1006-2014)i=1

6、007-1008i.(法二)(1-2i)+(-2+3i)=-1+i,(3-4i)+(-4+5i)=-1+i,(2011-2012i)+(-2012+2013i)=-1+i,將以上各式(共1006個)相加可知:原式=1006(-1+i)+(2013-2014i)=1007-1008i.【小結】幾個復數相加減,運算法則為這些復數的所有實部相加減,所有虛部相加減.第(3)小題的解法一是從整體上把握,將計算分實部和虛部進行,有機構造特殊數列的和進而求得結果.解法二是從局部入手,抓住了式中相鄰兩項和的特點,恰當地分組使計算得以簡化.復數代數形式加減運算的幾何意義在復平面內,A、B、C分別對應復數z1=1

7、+i,z2=5+i,z3=3+3i,以AB、AC為鄰邊作一個平行四邊形ABDC,求D點對應的復數z4及AD的長.【方法指導】根據復數加減運算的幾何意義可以把復數的加減運算轉化為向量的坐標運算.【解析】如圖所示:對應復數z3-z1,對應復數z2-z1,對應復數z4-z1.由復數加減運算的幾何意義得=+,z4-z1=(z2-z1)+(z3-z1),z4=z2+z3-z1=(5+i)+(3+3i)-(1+i)=7+3i,AD的長為|=|z4-z1|=|(7+3i)-(1+i)|=|6+2i|=2.【小結】利用向量進行復數的加減運算時,同樣滿足平行四邊形法則和三角形法則.復數加減法運算的幾何意義為應用

8、數形結合思想解決復數問題提供了可能.復數加減運算的綜合應用已知實數a>0,b>0,復數z1=a+5i,z2=3-bi,|z1|=13,|z2|=5,求z1+z2.【方法指導】利用兩復數的模,可求得a,b的值,再求z1+z2.【解析】由題意得z1=12+5i,z2=3-4i,z1+z2=15+i.【小結】本題結合了復數的模與復數的加法,表面看著難,其實難度不大.復數z1=2+3i,z2=4-5i,z3=-6i,求z1+z2-z3,并說明z1+z2-z3在復平面內對應的點所在的象限.【解析】z1+z2-z3=(2+3i)+(4-5i)-(-6i)=6+4i,z1+z2-z3在復平面內對

9、應的點為(6,4),在第一象限.如圖所示,平行四邊形OABC的頂點O、A、C分別表示0、3+2i、-2+4i.求:(1)表示的復數;(2)表示的復數;(3)表示的復數.【解析】(1)因為=-,所以表示的復數為-3-2i.(2)因為=-,所以表示的復數為(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3)因為=+,所以表示的復數為(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.已知實數aR,復數z1=a+2-3ai,z2=6-7i,若z1+z2為純虛數,求a的值.【解析】z1+z2=(a+2-3ai)+(6-7i)=a+8-(3a+7)i,z1+z2為純虛數,a=-8.1.復數z1=-3+4i,z2=6-7i

10、,則z1+z2等于().A.3-3iB.3+3iC.-9+11iD.-9-3i【答案】A2.復數(3+i)m-(2+i)對應的點在第三象限內,則實數m的取值范圍是().A.m<B.m<1C.<m<1D.m>1【解析】(3+i)m-(2+i)=(3m-2)+(m-1)i,點(3m-2,m-1)在第三象限,即m<.【答案】A3.復數z1=-2+3i,z2=4+3i,則z1-z2=. 【解析】z1-z2=(-2+3i)-(4+3i)=-6.【答案】-64.已知aR,復數z1=2+(a+2)i,z2=a2+2a-1+3i,若z1+z2為實數,求z1-z2.

11、【解析】z1+z2=a2+2a+1+(a+5)i,aR,z1+z2為實數,a+5=0,a=-5,z1=2-3i,z2=14+3i,z1-z2=-12-6i.在復平面內,A,B,C三點對應的復數分別為1,2+i,-1+2i.(1)求向量,對應的復數;(2)判斷ABC的形狀.【解析】(1)=-=(2+i)-1=1+i,=-=(-1+2i)-1=-2+2i,=-=(-1+2i)-(2+i)=-3+i,所以,對應的復數分別為1+i,-2+2i,-3+i.(2)因為|2=10,|2=8,|2=2,所以有|2=|2+|2,所以ABC為直角三角形.    1.向量對應

12、的復數是5-4i,向量對應的復數是-5+4i,則+對應的復數是().A.-10+8iB.10-8iC.0D.10+8i【解析】+對應的復數為5-4i+(-5+4i)=0.【答案】C2.復數z1=1-5i,z2=-2+i,則z1-z2在復平面內對應的點在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】z1-z2=(1-5i)-(-2+i)=3-6i,對應的點為(3,-6),該點位于第四象限.【答案】D3.復數z1=5-12i,z2=4+7i,則z1-z2=. 【解析】z1-z2=(5-12i)-(4+7i)=1-19i.【答案】1-19i4.已知z1=(3x+y)+(y-

13、4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,yR).設z=z1-z2且z=13-2i,求z1,z2.【解析】z=z1-z2=(3x+y)+(y-4x)i-(4y-2x)-(5x+3y)i=(3x+y)-(4y-2x)+(y-4x)+(5x+3y)i=(5x-3y)+(x+4y)i,又z=13-2i,且x,yR,則解得故z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i,z2=4×(-1)-2×2-5×2+3×(-1)i=-8-7i.5.復平面內點A,B,C對應的復數分別為i,1,4+2i,由ABCD按逆時針順序作平行四邊形A

14、BCD,則|等于().A.5B.C.D.【解析】如圖所示,ABCD四個頂點對應復數分別為z1=i,z2=1,z3=4+2i,z4,則有=+,=(z1-z2)+(z3-z2)=2+3i,故|=.【答案】B6.已知復數z1,z2,有|z1|=5,|z2|=12,|z1+z2|=13,則|z1-z2|為().A.8B.10C.12D.13【解析】利用向量結合復數分析可知構成的平行四邊形為矩形,故對角線相等.【答案】D7.已知實數a>0,復數z1=a+2i,z2=3+5i,|z1-z2|=5,則a的值為. 【解析】z1-z2=a-3-3i(aR),|z1-z2|=5,=25,a-3=&

15、#177;4,又a>0,a=7.【答案】78.已知f(z)=2z+2-i,z0=1+2i,f(z0-z1)=6-3i,zC,求復數z1,f(|z0+z1|).【解析】由已知得2z0-2z1+2-i=6-3i,z0=1+2i,2+4i-2z1+2-i=6-3i,即4+3i-2z1=6-3i,2z1=(4+3i)-(6-3i)=(4-6)+(3+3)i=-2+6i,z1=-1+3i,|z0+z1|=|(1+2i)+(-1+3i)|=|5i|=5,f(|z0+z1|)=f(5)=2×5+2-i=12-i.9.已知復數z的模為2,則|z-i|的最大值為. 【解析】(法一)|z|=2,