1、§4.2同角三角函數(shù)基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2cos21.(2)商數(shù)關(guān)系：tan .2下列各角的終邊與角的終邊的關(guān)系角2k(kZ)圖示與角終邊的關(guān)系相同關(guān)于原點對稱關(guān)于x軸對稱角圖示與角終邊的關(guān)系關(guān)于y軸對稱關(guān)于直線yx對稱3.六組誘導(dǎo)公式組數(shù)一二三四五六角2k(kZ)正弦sin_sin_sin_sin_cos_cos_余弦cos_cos_cos_cos_sin_sin_正切tan_tan_tan_tan_口訣函數(shù)名不變符號看象限函數(shù)名改變符號看象限1判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)sin()sin 成立的條件是

2、為銳角(×)(2)六組誘導(dǎo)公式中的角可以是任意角(×)(3)若cos(n)(nZ)，則cos .(×)(4)已知sin ，cos ，其中，則m<5或m3.(×)(5)已知(0，)，sin cos ，則tan 的值為或.(×)(6)已知tan ，則的值是.()2已知sin()log8，且(，0)，則tan(2)的值為()A B. C± D.答案B解析sin()sin log8，又(，0)，得cos ，tan(2)tan()tan .3若tan 2，則的值為_答案解析原式.4已知cos，則sin_.答案解析sinsinsincos.

3、5已知函數(shù)f(x)則ff(2 015)_.答案1解析ff(2 015)f(2 01515)f(2 000)，f(2 000)2cos2cos 1.題型一同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用例1(1)已知cos(x)，x(，2)，則tan x_.(2)已知tan 2，則sin2sin cos 2cos2等于()A B. C D.思維啟迪(1)應(yīng)用平方關(guān)系求出sin x，可得tan x；(2)把所求的代數(shù)式中的弦轉(zhuǎn)化為正切，代入可求答案(1)(2)D解析(1)cos(x)cos x，cos x.又x(，2)，sin x，tan x.(2)sin2sin cos 2cos2.思維升華(1)利用sin2cos21

4、可以實現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用tan 可以實現(xiàn)角的弦切互化(2)應(yīng)用公式時注意方程思想的應(yīng)用：對于sin cos ，sin cos ，sin cos 這三個式子，利用(sin ±cos )21±2sin cos ，可以知一求二(3)注意公式逆用及變形應(yīng)用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.(1)已知，那么的值是()A. B C2 D2(2)已知tan 2，則sin cos _.答案(1)A(2)解析(1)由于·1，故.(2)sin cos .題型二誘導(dǎo)公式的應(yīng)用例2(1)已知cos，求cos的值；(2)已知<<2，cos(

5、7)，求sin(3)·tan的值思維啟迪(1)將看作一個整體，觀察與的關(guān)系(2)先化簡已知，求出cos 的值，然后化簡結(jié)論并代入求值解(1)，.coscoscos，即cos.(2)cos(7)cos(7)cos()cos ，cos .sin(3)·tansin()·sin ·tansin ·sin ·cos .思維升華熟練運用誘導(dǎo)公式和基本關(guān)系式，并確定相應(yīng)三角函數(shù)值的符號是解題的關(guān)鍵另外，切化弦是常用的規(guī)律技巧(1)已知sin，則cos的值為_(2)已知sin 是方程5x27x60的根，是第三象限角，則·tan2()_.答

6、案(1)(2)解析(1)coscossin.(2)方程5x27x60的根為或2，又是第三象限角，sin ，cos ，tan ，原式·tan2tan2.題型三三角函數(shù)式的求值與化簡例3(1)已知tan ，求的值；(2)化簡：.思維啟迪三角函數(shù)式的化簡與求值，都是按照從繁到簡的形式進行轉(zhuǎn)化，要認(rèn)真觀察式子的規(guī)律，使用恰當(dāng)?shù)墓浇?1)因為tan ，所以.(2)原式1.思維升華在三角函數(shù)式的求值與化簡中，要注意尋找式子中的角，函數(shù)式子的特點和聯(lián)系，可以切化弦，約分或抵消，減少函數(shù)種類，對式子進行化簡(1)若為三角形的一個內(nèi)角，且sin cos ，則這個三角形是()A正三角形 B直角三角形C

7、銳角三角形 D鈍角三角形(2)已知tan 2，sin cos <0，則_.答案(1)D(2)解析(1)(sin cos )212sin cos ，sin cos <0，為鈍角故選D.(2)原式sin ，tan 2>0，為第一象限角或第三象限角又sin cos <0，為第三象限角，由tan 2，得sin 2cos 代入sin2cos21，解得sin .方程思想在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用典例：(5分)已知sin cos ，(0，)，則tan _.思維啟迪利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系，尋求sin cos ，sin cos 和sin cos 的關(guān)系規(guī)范解答解析方法一因為sin cos

8、，(0，)，所以(sin cos )212sin cos ，所以sin cos .由根與系數(shù)的關(guān)系，知sin ，cos 是方程x2x0的兩根，所以x1，x2.因為(0，)，所以sin >0，cos <0.所以sin ，cos .所以tan .方法二同法一，得sin cos ，所以.弦化切，得，即60tan2169tan 600，解得tan 或tan .又(0，)，sin cos >0，sin cos <0.所以(，)，所以tan .方法三解方程組得，或(舍)故tan .答案溫馨提醒三種解法均體現(xiàn)了方程思想在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用利用已知條件sin cos 和公式sin2c

9、os21可列方程組解得sin cos ，sin cos ，也可以利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求sin 、cos .各解法中均要注意條件(0，)的運用，謹(jǐn)防產(chǎn)生增解.方法與技巧同角三角恒等變形是三角恒等變形的基礎(chǔ)，主要是變名、變式1同角關(guān)系及誘導(dǎo)公式要注意象限角對三角函數(shù)符號的影響，尤其是利用平方關(guān)系在求三角函數(shù)值時，進行開方時要根據(jù)角的象限或范圍，判斷符號后，正確取舍2三角求值、化簡是三角函數(shù)的基礎(chǔ)，在求值與化簡時，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x化成正弦、余弦函數(shù)；(2)和積轉(zhuǎn)換法：如利用(sin ±cos )21±2sin cos 的關(guān)系進行變形、

10、轉(zhuǎn)化；(3)巧用“1”的變換：1sin2cos2cos2(1tan2)sin2tan.失誤與防范1利用誘導(dǎo)公式進行化簡求值時，先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其步驟：去負(fù)脫周化銳特別注意函數(shù)名稱和符號的確定2在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時，若開方，要特別注意判斷符號3注意求值與化簡后的結(jié)果一般要盡可能有理化、整式化.A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題1是第四象限角，tan ，則sin 等于()A. B C. D答案D解析tan ，cos sin ，又sin2cos21，sin2sin2sin21.又sin <0，sin .2已知和的終邊關(guān)于直線yx對稱

11、，且，則sin 等于()A B. C D.答案D解析因為和的終邊關(guān)于直線yx對稱，所以2k(kZ)又，所以2k(kZ)，即得sin .3已知sin()2sin()，則sin ·cos 等于()A. B C.或 D答案B解析由sin()2sin()得sin 2cos ，所以tan 2，sin ·cos ，故選B.4已知f()，則f的值為()A. B C. D答案A解析f()cos ，fcoscoscos .5已知A(kZ)，則A的值構(gòu)成的集合是()A1，1,2，2 B1,1C2，2 D1，1,0,2，2答案C解析當(dāng)k2n(nZ)時，A2；當(dāng)k2n1(nZ)時，A2.故A的值構(gòu)

12、成的集合為2,2二、填空題6化簡：_.答案1解析原式1.7如果cos ，且是第一象限的角，那么cos()_.答案解析cos ，為第一象限角，sin ，cos()sin .8化簡：_.答案1解析原式1.三、解答題9已知sin ，<<.(1)求tan 的值；(2)求的值解(1)sin2cos21，cos2.又<<，cos .tan .(2)由(1)知，.10已知sin ，cos 是關(guān)于x的方程x2axa0(aR)的兩個根，求cos3()sin3()的值解由已知原方程的判別式0，即(a)24a0，a4或a0.又，(sin cos )212sin cos ，則a22a10，從而

13、a1或a1(舍去)，因此sin cos sin cos 1.cos3()sin3()sin3cos3(sin cos )(sin2sin cos cos2)(1)1(1)2.B組專項能力提升(時間：25分鐘，滿分：43分)1已知sin ，(，)，則sin(5)sin()的值是()A. B C D.答案B解析sin ，(，)，cos .原式sin()·(cos )sin cos ×.2當(dāng)0<x<時，函數(shù)f(x)的最小值是()A. B. C2 D4答案D解析當(dāng)0<x<時，0<tan x<1，f(x)，設(shè)ttan x，則0<t<1，y4.當(dāng)且僅當(dāng)t1t，即t時等號成立3已知cosa (|a|1)，則cossin的值是_答案0解析coscoscosa.sinsincosa，cossin0.4已知f(x)(nZ)(1)化簡f(x)的表達式；(2)求f()f()的值解(1)當(dāng)n為偶數(shù)，即n2k(kZ)時，f(x)sin2x；當(dāng)n為奇數(shù)，即n2k1(kZ)時，f(x)sin2x，綜上得f(x)sin2x.(2)由(1)得f()f()sin2sin2sin2sin2()sin2cos21.5已知在ABC中，sin Acos A.(1)求sin Acos A的值；(2)判斷ABC是銳角三角形還是鈍角