1、經(jīng)典驅(qū)動(dòng)J-C模型中的糾纏演化和轉(zhuǎn)移特性的研究*國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目資助課題(批準(zhǔn)號(hào)61178012, 11247240), 山東省自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào)ZR2012FQ024),教育部博士點(diǎn)專項(xiàng)科研基金（批準(zhǔn)號(hào)20123705120002）作者簡介：封玲娟（1990-），浙江嘉興人，本科，研究領(lǐng)域：量子力學(xué)與量子光學(xué)。封玲娟1 張英杰1,2 夏云杰1,2通信作者：夏云杰（1963-），山東泗水，教授，博士，從事量子光學(xué)與量子信息學(xué)研究，E-mail：yjxia(1. 曲阜師范大學(xué)物理工程學(xué)院，山東 曲阜，273165)(2. 山東省激光偏光與信息技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，曲阜師范大學(xué)物理系，山東 曲阜，

2、273165)摘要：研究了受經(jīng)典場驅(qū)動(dòng)的兩個(gè)二能級(jí)原子分別與兩個(gè)單模腔場相互作用模型中兩原子的糾纏動(dòng)力學(xué)行為。該工作主要是對(duì)經(jīng)典場驅(qū)動(dòng)存在的J-C模型進(jìn)行了研究，采用數(shù)值計(jì)算的方法，詳細(xì)分析了糾纏初始狀態(tài)以及經(jīng)典場的驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度對(duì)原子糾纏和轉(zhuǎn)移特性的影響。結(jié)果表明，適當(dāng)調(diào)節(jié)經(jīng)典場驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度，可以使原子的糾纏突然死亡現(xiàn)象得到抑制，同時(shí)實(shí)現(xiàn)原子與腔場間的最大轉(zhuǎn)移。關(guān)鍵詞：量子光學(xué)；量子糾纏；部分轉(zhuǎn)置矩陣負(fù)本征值；經(jīng)典場驅(qū)動(dòng)中國分類號(hào)：O431.2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：AEntanglement Evolution and Transfer in Classical Driven Jaynes-Cummings

3、ModelFeng Lingjuan1 Zhang Yingjie1,2 Xia Yunjie1,2(1.Department of Physics，Qufu Normal University，Qufu，Shandong 273165，China；2.Shandong Provinical Key Laboratory of Laser Polarization and Information Technology ，Department of Physics Qufu Normal University，Qufu，Shandong 273165，China)Abstract：The ent

4、anglement dynamical behaviors of two two-level atoms，which respectively interact with two single-mode cavity field are inestigated. The Jaynes-Cummings model in which the classical driven strength exists is studied，by means of numerical calculation，we analyze the effect of the initial entanglement a

5、nd the classical field driven strength on the entanglement evolution and transfer of two atoms. The result shows that when we choose the appropriate condition，the phenomenon of entanglement sudden death can be inhibited，and realizes the biggest entanglement transfer between the atoms and cavity fiel

6、ds.Key words：quantum optics；quantum entanglement；negative eigenvalues of the partial transposed matrix；the classical field driven1 引言量子態(tài)的糾纏性和非局域性是量子效應(yīng)中最顯著的特征之一。在量子信息領(lǐng)域中，量子糾纏是核心的物理資源，已被廣泛地應(yīng)用于量子計(jì)算、量子通訊、量子隱形傳態(tài)和量子密集編碼等方面1,2。近年來，人們對(duì)實(shí)現(xiàn)糾纏的最大轉(zhuǎn)移和保持糾纏等方面進(jìn)行深入的研究3-5。Zhang等人6-8研究發(fā)現(xiàn)在經(jīng)典驅(qū)動(dòng)場的作用下，可以有效控制兩原子的糾纏突然死亡和產(chǎn)生的

7、現(xiàn)象。Lu等人9-11對(duì)J-C模型、原子與耦合腔場相互作用進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)耦合腔場中兩原子糾纏隨腔場間耦合系數(shù)增加而增加，同時(shí)腔場間耦合系數(shù)對(duì)糾纏轉(zhuǎn)移有一定的影響。文獻(xiàn)12研究了兩對(duì)二能級(jí)原子分別處于兩個(gè)腔場中用光纖模連接的模型，發(fā)現(xiàn)處于不同的腔場中兩原子間的糾纏可以轉(zhuǎn)化成另外兩原子間的糾纏。但是，人們大多數(shù)研究工作中沒有考慮經(jīng)典場驅(qū)動(dòng)存在的J-C模型來進(jìn)行研究。因此，本文將主要研究經(jīng)典驅(qū)動(dòng)J-C模型中兩個(gè)二能級(jí)原子分別與兩個(gè)單模光腔場相互作用的糾纏演化和轉(zhuǎn)移特性，采用部分轉(zhuǎn)置負(fù)本征值的方法13度量兩原子的糾纏。結(jié)果表明，適當(dāng)調(diào)節(jié)經(jīng)典場的驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度和初態(tài)糾纏，可以很好的提升糾纏和抑制腔中原子的糾纏

8、死亡現(xiàn)象，同時(shí)實(shí)現(xiàn)原子與腔場間的最大轉(zhuǎn)移。2 理論模型考慮受經(jīng)典驅(qū)動(dòng)的兩個(gè)二能級(jí)原子分別與兩個(gè)單模光腔場發(fā)生共振相互作用，在旋波近似下，系統(tǒng)的哈密頓量可以表示為 (1)式中兩原子本征躍遷頻率分別為，兩光腔場頻率分別為，經(jīng)典驅(qū)動(dòng)場頻率為，兩原子與各自腔場的耦合系數(shù)分別為，經(jīng)典場的驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度為。和分別為兩光腔場的產(chǎn)生和湮滅算符，和為原子的贗自旋算符。為了簡單起見，考慮，的情況。利用幺正變換將系統(tǒng)的哈密頓量轉(zhuǎn)換到旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中，得到的有效哈密頓量為 (2)即 (3) (4) (5)式中，利用文獻(xiàn)14,15中的方法將對(duì)角化 (6)式中，此處和是綴飾態(tài)，具體表示為和。式中。為了計(jì)算的簡便，考慮原子共振驅(qū)動(dòng)的

9、情況即取且。在利用旋波近似去掉能量不守恒的項(xiàng)，得到(7)再次進(jìn)行旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換，得到的有效哈密頓量為 (8)由于在幺正變換下不會(huì)影響系統(tǒng)的糾纏，因此此處進(jìn)行的和變換不會(huì)影響對(duì)兩原子糾纏特性的研究。3 數(shù)值計(jì)算與分析為了度量兩個(gè)子系統(tǒng)間的糾纏度，采用Negativity熵來度量，即對(duì)密度矩陣表示的兩個(gè)子系統(tǒng)，其糾纏可以用部分轉(zhuǎn)置矩陣的負(fù)本征值定義 (9)其中是部分轉(zhuǎn)置矩陣的最小負(fù)本征值，若，表示兩個(gè)子系統(tǒng)是分離；若，表示兩個(gè)子系統(tǒng)處于最大糾纏；若，表示兩個(gè)子系統(tǒng)是糾纏的。初始兩原子處于Bell型糾纏態(tài)，兩光腔場處于真空態(tài)，即 (10)令，轉(zhuǎn)化到綴飾態(tài)表象。當(dāng)時(shí)刻的系統(tǒng)的整體態(tài)矢可以表示為 (11)

10、將(8)式和(11)式代入薛定諤方程，并利用正交性關(guān)系和初始條件，通過計(jì)算機(jī)編程計(jì)算出微分方程組的系數(shù)數(shù)值解，進(jìn)而得到任意時(shí)刻原子與光腔場共同態(tài)矢量。3.1 原子間初態(tài)糾纏對(duì)腔場間糾纏的影響利用(11)式，對(duì)兩腔場的自由度求跡，得到兩原子的約化密度矩陣，再對(duì)原子做轉(zhuǎn)置，可求出部分轉(zhuǎn)置矩陣為 (12)通過(9)式和(12)式，可數(shù)值計(jì)算出兩原子間的糾纏隨時(shí)間的演化。同理，可以求出兩腔場的部分轉(zhuǎn)置矩陣為 (13) 并數(shù)值計(jì)算出兩腔場間的糾纏隨時(shí)間的演化。圖1在原子與腔場之間失諧量、原子與腔場的耦合系數(shù)和經(jīng)典驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度一定時(shí)，初態(tài)糾纏對(duì)原子和腔場間糾纏演化特性的影響。考慮原子與腔場發(fā)生共振相互作用和的

11、情況下，原子間糾纏和腔場間糾纏演化特性與標(biāo)準(zhǔn)雙J-C模型一樣。當(dāng)原子與腔場的耦合系數(shù)遠(yuǎn)大于經(jīng)典驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度時(shí)，原子糾纏和腔場糾纏隨時(shí)間均呈現(xiàn)出明顯的周期性變化。隨著原子間初始糾纏增加，腔場間糾纏圖形的平均峰值相應(yīng)由0.0802增加到0.3133，同時(shí)出現(xiàn)初始時(shí)刻腔場間不存在糾纏的現(xiàn)象，隨著原子糾纏先減小后增加，腔場間糾纏相應(yīng)出現(xiàn)先增加后減小，這是由于原子和腔場相互作用，原子腔場之間進(jìn)行信息和能量不斷轉(zhuǎn)移，從而實(shí)現(xiàn)原子間的糾纏完全轉(zhuǎn)移到腔場中。當(dāng)時(shí)，原子間初始糾纏為1，但腔場間糾纏圖形峰值無法達(dá)到最大，這是因?yàn)榇嬖谌踅?jīng)典驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度作用，原子與腔場的相互作用增強(qiáng)，使得激發(fā)子被腔場和原子分享的概率增加，從

12、而降低腔場間糾纏。當(dāng)或時(shí)，原子初態(tài)為分離狀態(tài)，則原子和腔場將永遠(yuǎn)也不會(huì)產(chǎn)生糾纏。由此可見，選擇合適的初始糾纏狀態(tài)是實(shí)現(xiàn)原子與腔腸最大轉(zhuǎn)移的一種有效方法。圖1 當(dāng)不同時(shí) ，原子和腔場的糾纏情況。(a) ；(b) ；(c) ；(d) Fig1 When ，the entanglement between atoms and cavity field with different。(a) ；(b) ；(c) ；(d) 3.2經(jīng)典場的驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度對(duì)原子間糾纏和腔場間糾纏的影響圖2通過改變經(jīng)典場的驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度給出原子與腔場之間失諧量、原子與腔場的耦合系數(shù)和初始糾纏狀態(tài)一定時(shí)，兩原子糾纏和兩腔場糾纏演化和轉(zhuǎn)移特性

13、的影響。從圖2(a)和(c)可以看出，在原子與腔場共振的情況下，原子間糾纏隨時(shí)間演化一段時(shí)間內(nèi)先減小，使得兩原子處于長時(shí)間退糾纏狀態(tài)，隨著經(jīng)典驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度的繼續(xù)增加，兩原子的糾纏逐漸提高升至初始狀態(tài)糾纏最大情況附近，這說明經(jīng)典驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度具有縮短原子糾纏死亡時(shí)間和避免原子間發(fā)生糾纏死亡現(xiàn)象的作用。從圖2(b)和(d)可以看出，在原子間初始為最大糾纏時(shí)，隨經(jīng)典驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度增加，腔場間糾纏最大峰值對(duì)應(yīng)的時(shí)刻相應(yīng)往左移，這說明經(jīng)典驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度可以縮短原子間糾纏轉(zhuǎn)移時(shí)間，但其產(chǎn)生的糾纏卻逐漸減小，甚至處于長時(shí)間退糾纏狀態(tài)，這說明經(jīng)典驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度增強(qiáng)有阻礙原子間糾纏轉(zhuǎn)移到腔場間糾纏。當(dāng)強(qiáng)經(jīng)典驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度時(shí)，兩原子糾纏一直保持在

14、最大糾纏狀態(tài)附近，而兩腔場糾纏卻一直保持為0，這說明兩原子間的糾纏在某些時(shí)刻不能完全轉(zhuǎn)移為兩腔場的糾纏，那必然在轉(zhuǎn)移的過程中還有其他的糾纏情況存在，并且起到了中間橋梁作用。圖2 當(dāng)時(shí) ，原子和腔場的糾纏情況。 Fig2 When ，the entanglement between atoms and cavity field。3.3經(jīng)典場的驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度對(duì)原子與腔場間糾纏的影響利用(11)式可以求出體系中其他任意兩個(gè)子系統(tǒng)之間的部分轉(zhuǎn)置矩陣 ，。圖3給出了當(dāng)失諧量為零，原子初始為最大糾纏時(shí)，系統(tǒng)中任意原子與腔場間糾纏演化和轉(zhuǎn)移特性的影響。存在強(qiáng)經(jīng)典驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度作用下，體系中其他任意兩個(gè)子系統(tǒng)之間糾纏度都

15、小于無經(jīng)典驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度的情況。在弱經(jīng)典驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度時(shí)，體系中其他任意兩個(gè)子系統(tǒng)之間糾纏周期都比無經(jīng)典驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度長；在強(qiáng)經(jīng)典驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度時(shí)，體系中其他任意兩個(gè)子系統(tǒng)之間糾纏周期都比無經(jīng)典驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度短。由圖3(c)和(d)可以發(fā)現(xiàn)糾纏隨時(shí)間演化是完全相同的情況，這是由于系數(shù)的微分方程組以及和計(jì)算發(fā)現(xiàn)部分系數(shù)是滿足對(duì)稱相等的關(guān)系。從圖2和圖3可以知道，系統(tǒng)中任意原子與腔場和腔場間糾纏的最大峰值相干疊加就是原子間糾纏最大峰值，同時(shí)系統(tǒng)中任意原子與腔場糾纏的峰值周期都比腔場間糾纏的峰值周期短，這說明原子間的初始糾纏先在系統(tǒng)各兩子體系之間發(fā)生轉(zhuǎn)移，并且可以在某些時(shí)候完全轉(zhuǎn)移到兩腔場上，而其他兩子體系之間的糾纏在糾纏轉(zhuǎn)移過

16、程只起到了橋梁的作用。圖3 當(dāng)時(shí) ，兩子體系間的糾纏情況。 Fig3 When ，the entanglement which is between any two subsystems。4 結(jié)論本文研究了受經(jīng)典場驅(qū)動(dòng)的兩二能級(jí)原子分別與兩個(gè)單模光腔場相互作用系統(tǒng)中兩原子的糾纏動(dòng)力學(xué)行為，通過系統(tǒng)狀態(tài)波函數(shù)的計(jì)算和兩原子糾纏演化特性的分析，對(duì)糾纏初始狀態(tài)、經(jīng)典場的驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度進(jìn)行研究，通過適當(dāng)?shù)恼{(diào)節(jié)這幾個(gè)參量可抑制原子糾纏死亡現(xiàn)象的發(fā)生，提升原子的整體糾纏，并實(shí)現(xiàn)較好的原子與腔場間糾纏轉(zhuǎn)移。在該模型中隨著經(jīng)典場的驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度的增大，兩原子糾纏整體逐漸增大直至提升到糾纏最大附近，并維持最大糾纏。在糾纏轉(zhuǎn)

17、移的過程中，兩原子間的糾纏可以轉(zhuǎn)移到兩腔場間的糾纏，其他任意兩子體系間的糾纏起到了橋梁的作用，實(shí)現(xiàn)信息和能量不斷轉(zhuǎn)移和交流的功能。研究發(fā)現(xiàn)在較小的經(jīng)典驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度下，既可以實(shí)現(xiàn)較好的糾纏轉(zhuǎn)移，又可以保持較大的糾纏狀態(tài)。參考文獻(xiàn)1 Zhang Y，Cao W C，Long G L. Creation of entanglement with nonlocal operationsJ. Commun. Theor. Phys，2005，44(4): 6256302 Zhang Y J，Zhou Y，Xia Y J. The entanglement character of two entangled

18、 atoms in multiphoton Tavis-Cummings modelJ. Acta Phys. Sin，2008，57(01): 2126張英杰，周原，夏云杰 多光子Tavis-Cummings模型中兩糾纏原子的糾纏演化特性J. 物理學(xué)報(bào)，2008，57(01): 21263 Du M D，F(xiàn)ang M F，Liu X. Sudden birth of entanglement between two atoms in a double J-C modelJ. Chin. Opt. Lett，2009，7(5): 4434454 Li G X，Allaart K，Lenstra

19、 D. Entanglement between two atoms in an over-damped cavity injected with squeezed vacuumJ. Phys. Rev. A，2004，69 (2): 0558025 Federico C，Alfredo L，Matteo G A. Tripartite entanglement transfer from ying modes to localized qubitsJ. Phys. Rev. A，2009，79(2): 0223076 Zhang J S，Xu J B. Control of the enta

20、nglement sudden death in a strongly driven cavity QED systemJ. Opt. Commun，2009，282(13): 254325467 Zhang J S，Xu J B. Controlling entanglement sudden death and birth in cavity QEDJ. Opt. Commun，2009，282(17): 365236558 Yu T，Eberly J H. Finite-time disentanglement via spontaneous emissionJ. Phys. Rev.

21、Lett，2004，97(14): 1404039 Wang Z C，Shen F H，Liu C L. Sudden death and sudden birth of atomic entanglement in double Jaynes-Cummings Model composed of two coupled cavitiesJ. Chinese Journal Of Quantum Electronics，2011，28 (8): 6572王忠純，沈法華，劉成林 腔耦合雙J-C模型中原子糾纏的猝滅和猝生J. 量子電子學(xué)報(bào)，2011，28 (8): 657210 Lu D M. E

22、ntanglement properties in the system of atoms interacting with coupled cavitiesJ. Acta Phys. Sin，2011，60(9): 090302 盧道明 原子與耦合腔相互作用系統(tǒng)中的糾纏特性J. 物理學(xué)報(bào)，2011，60(9): 09030211 Cui C C，Xie S Y，Yang Y P. The dynamic effect of a field with a time-varying frequency on the atom entanglement in a double J-C modelJ. Acta. Phys. Sin，2012，61(12): 124206崔叢叢，謝雙媛，羊亞平 頻率變化的光場對(duì)雙J-C模型中原子-原子糾纏的調(diào)控