1、概率論概率論 集合論集合論樣本空間（必然事件）樣本空間（必然事件） 全集全集不可能事件不可能事件 空集空集子事件子事件 ABB 子集子集ABB和事件和事件 ABB 并集并集ABB積事件積事件 ABB 交集交集ABB 差事件差事件 A-B-B 差集差集A-B-B 對立事件對立事件 補集補集 AAVenn圖演示集合的關系與運算事件之間的運算律事件之間的運算律u 交換律交換律 ABBAABBAu 結合律結合律 ()()A BC AB Cu 分配律分配律 ()()()A BCABAC)CA)(BA()BC(Au 摩根律摩根律 BAABBABA 設試驗結果共有設試驗結果共有n個基本事件個基本事件1，2，

2、.，n ，而且這些事件的發生而且這些事件的發生具有相同的可能性具有相同的可能性( )AmP An事件 包含的基本事件數試驗的基本事件總數古典概型的概率計算古典概型的概率計算u 確定試驗的基本事件總數確定試驗的基本事件總數事件由其中的事件由其中的m個基本事件組成個基本事件組成u 確定事件確定事件A包含的基本事件數包含的基本事件數幾何概型幾何概型 Geometric Probabilityu 將古典概型中的有限性推廣到無限性，而保留等可將古典概型中的有限性推廣到無限性，而保留等可能性，就得到幾何概型。能性，就得到幾何概型。n事件事件A就是所投擲的點落在就是所投擲的點落在S中的可度量圖形中的可度量圖

3、形A中中 ()()()ALAPASLS的 幾 何 度 量的 幾 何 度 量u 幾何度量幾何度量-指長度、面積或體積指長度、面積或體積 u 特點特點n 有一個可度量的幾何圖形有一個可度量的幾何圖形Sn試驗試驗E看成在看成在S中隨機地投擲一點中隨機地投擲一點 給定一個隨機試驗，給定一個隨機試驗，是它的樣本空間，對于是它的樣本空間，對于任意一個事件，賦予一個實數任意一個事件，賦予一個實數( )P A，如果如果)(P滿足下列三條公理滿足下列三條公理，u非負性非負性：u 規范性規范性： ()=1 u 可列可加性可列可加性：,21AA那么，稱 為事件的概率( )P A概率的公理化定義概率的公理化定義()0

4、 兩兩互不相容時（1 2 ）=（1）+（2）+ ()0P ij11()(),AAnniiiiPAP A各，互不相容若 A B，則 P (B A) = P(B) P(A)()()()(ABPBPAPBAP()( )( )( ) ()()()()P ABCP AP BP CP ABP BCP ACP ABC)(1)(APAP 設，為同一個隨機試驗中的兩個隨機事件設，為同一個隨機試驗中的兩個隨機事件 , 且（），且（）， 則稱則稱()()()PA BPA BPB為在事件發生的條件下，事件發生的為在事件發生的條件下，事件發生的條件概率條件概率 n 定義定義條件概率條件概率 Conditional Pr

5、obability乘法法則乘法法則()( ) ()( ) ()P ABP A P B AP B P A B 12121312121()()()()()nnnP A AAP A P AA P AA AP AA AA()()( )P ABP A BP B()()( )P ABP B AP A()( ) ()(|)P ABCP A P B A P C ABn 推廣 設設1 ，2 ，.，n 構成一個完備事件組，且構成一個完備事件組，且(i )0 ，i1，2，.，n，則對任一隨機事件，則對任一隨機事件，有有 1()()(|)niiiP BP A P BA全概率公式全概率公式1A2A3A11()(|)P

6、AP B A22()(|)P AP B A33()(|)P AP B A( )P B 設設A1，A2，, An構成完備事件組，且諸構成完備事件組，且諸P（Ai）0)B為樣本空間的任意事件，為樣本空間的任意事件，P（ B） 0 , 則有則有1()(|)(|)()(|)kkkniiiP AP BAP ABP AP BA( k =1 , 2 , , n)證明證明 ()()()kkPA BPABPB()()kkP AP B A1()()niiiP AP B A貝葉斯公式貝葉斯公式 Bayes Theorem 設、為任意兩個隨機事件，如果設、為任意兩個隨機事件，如果（）（）（）（）即事件發生的可能性不受

7、事件的影響，則稱事件即事件發生的可能性不受事件的影響，則稱事件對于事件獨立對于事件獨立 顯然，對于獨立，則對于也獨立顯然，對于獨立，則對于也獨立，故稱故稱與相互獨立與相互獨立 ()()( )P ABP ABPB( )P A()( | )P ABPB A()()/ ( )P ABP AB P A事件的獨立性事件的獨立性 independencen 定義定義事件的獨立性事件的獨立性 判別判別()( ) ( )P ABP A P Bn 事件與事件獨立的充分必要條件是事件與事件獨立的充分必要條件是證明證明()( ) (|)(|)( )P ABP A P B AP B AP B 由乘法公式和獨立性定義可

8、得n 實際問題中，事件的獨立性可根據問題的實實際問題中，事件的獨立性可根據問題的實際意義來判斷際意義來判斷 如甲乙兩人射擊，如甲乙兩人射擊，“甲擊中甲擊中”與與“乙擊中乙擊中”可以可以認為相互之間沒有影響，即可以認為相互獨立認為相互之間沒有影響，即可以認為相互獨立 將試驗將試驗E E重復進行重復進行n n次次, ,若各次試驗的若各次試驗的結果互不影響結果互不影響, ,則稱這則稱這n n次試驗是相互獨次試驗是相互獨立的立的. 設隨機試驗設隨機試驗E E只有兩種可能的結果只有兩種可能的結果:A:A及及 , ,且且P(A)=p,P(A)=p,在相同的條件下將在相同的條件下將E E重復進行重復進行n n次獨次獨立試驗立試驗, ,則稱這一串試驗為則稱這一串試驗為n n重貝努利試驗重貝努利試驗，簡簡稱貝努利試驗稱貝努利試驗( (Bernoulli trialsBernoulli trials).).貝努利試驗貝努利試驗Bernoulli trialsBernoulli trialsn 相互獨立的試驗相互獨立的試驗n 貝努利試驗貝努利試驗A