1、1 （一）、分數乘法的計算法則: 1分數與整數相乘：分子與整數相乘的積做分子，分母不變。 2、 分數與分數相乘：用分子相乘的積做分子，分母相乘的積做分母。 3、 為了計算簡便，能約分的要先約分，再計算。 注意：當帶分數進行乘法計算時，要先把帶分數化成假分數再進行計算。 （二）、規律：（乘法中比較大小時） 一個數（0除外）乘大于1的數， 積大于這個數。 一個數（0除外）乘小于1的數（0除外），積小于這個數。 一個數（0除外）乘1， 積等于這個數。 （三） 、分數混合運算的運算順序和整數的運算順序相同。 第一單元分數乘法 含加法交換律與結合律 含乘法交換律與結合律 數字換減法式 數字換加法式 2

2、1 1 29 16 7 5 9 0.875+ 一 + 0.375 x x 一 x 35 x 1x- 3 8 3 7 3 29 36 10 7 2 11 3 29 16 7 5 9 =一 + + + 8 3 8 3 8 x 7 x 3 x 29 (36-1) x 一 = 36 (100 +1) x一 10 7 1 2 1 3 16 29 7 5 5 9 9 一 + + + = x 3 x x = 36 x 1 x = 100 x + 1 x 8 8 3 3 8 7 29 36 36 10 10 7 1 2 1 3 16 29 7 5 9 8 8 3 3丿 =( x ) 口 29丿 =5- 36

3、=90+ i 10 8 （整數和分母約分） 乘法交換律： a b = b x a 乘法結合律： (a x b ) x c = a x ( b x c ) 乘法分配律： (a b ) x c = a c b c a c b c 常見乘法計算 （敏感數字） :25 x 4= 100 125 x 8= 1000 乘法結合律簡算例子 2 1 0.875+ 3 +8 7 2 1 = + + 8 3 8 7 1 2 =一 + + 8 8 3 2 =1+_ 3 2 1 + +0.8 0.4 3 5 2 1 4 + +- = 3 5 5 2 1 4 3( 5 5) 2 + 1 =1 5 x 33 x - 23

4、 2 5 x 33 x- =23 5 2 2 2 x x 33 =23 5 5 X 0.375 x 16 3 16 x - x 8 3 3 16 x(8 T） （四） 、整數乘法的交換律、結合律和分配律，對于分數乘法也同樣適用。 2 =1 + 1 =2 X 1 3 101 X 0.9- 10 X 1 95.5 - 1.6-15.5 - 1. 6 101X 0.f 52 X +29 X -0.625 8 89 9 =101 X - 10 10 X 1 =(95.5-15.5) -1.6 9 =101 X - 10 9 =52 5 “ 5 5 X +29 X - 8 8 8 9 9 9 9 5 5

5、 5 =101 X -1 X =80 -1.6 = 101 X - 1 X =52 X- +29 X - -1 X- 10 10 10 10 8 8 8 9 9 5 =(101-1) X 而 =800 -16 = (101-1) X = 10 (52 +29-1) X 8 9 9 5 =100X 10 =100 X 10 =80 X 8 減法的性質簡算例子 減法的性質簡算例子 減法的性質簡算例子 數子換乘法式 5 3 7 2 7 18違-0.375 8 1 4 丘-0.75 12 5 -(+0 4 ) (16 0.56 X 125 5 3 3 7 3 2 7 2 =18- _ - _ =1 一

6、 - - =12 -(- 5 16 5 7 =0.7 X 0.8 X 125 8 8 4 16 4 5 3 3 3 7 2 2 7 =18 (： +。) =1 - - =12 - - =0.7 X (0.8 X 8 8 4 4 16 5 5 16 7 7 =18-1 =1- =12 16 - 16 =0.7 X 100 除法的性質簡算例子 除法的性質簡算例子 除法的性質簡算例子 數子換乘法式 3200 - 2.5 - 0.4 2700 - 2.5 - 2.7 5900 - (2.5 X 5.9 ) 33333X 33333 =3200- (2.5 X 0.4 ) =2700- 2.7 - 2.

7、5 =5900 - 5.9 - 2.5 =11111 X 3 X 33333 乘法分配律提取式 乘法分配律提取式 乘法分配律（添項） 乘法分配律（添項） 9 9 5 5 =3200 - 1 =1000 -2.5 =1000 -2.5 =11111 X 99999 X (100000-1 ) 27 2 1- + . 250 - 0.8 X 0.4 316 3 22 7 =1 - + 3 16 =250 X 0.4 -0.8 7 =116 =100 - 0.8 =2 _ _ 、 分數乘法的解決問題 2 7 1 1 3 -16 + _ 3 29 X 0.25 - 0.29 2 1 7 =1 + =2

8、9 -0.29 X 0.25 3 3 16 16 1、 找單位“1”： 在分率句中分率的前面； 或 “占” 2、 求一個數的幾倍： 一個數X幾倍； 求一個數的幾分之幾是多少： 一個數X幾分之幾 。 、“是”、“比”的后面 3、寫數量關系式技巧: （1） “的”相當于 “X” 占”、“是”、“比”相當于 同級運算中，第一個數不能動，后面的數可以帶著符號搬家 （如果單位1是已知的，要求它的幾分之幾，就用乘法） =11111 7 =100 X 0.25 4 （2 ）分率前是“的” （3）分率前是“多或少”的意思： 單位“ 1 ”的量X（ 1 分率）=分率對應量 第二單元位置與方向 1. 位置是相對的

9、，要指出一個物體的位置，必須以另一個物體為參照物。以誰為參照物，就 以誰為觀測點。 2. 東偏北30。也可說成北偏東60。，但在生活中一般先說與物體所在方向離得較近 （夾角較 小）的方位。 3. 確定一個物體的準確位置，只知道方向或距離是不可以的，要同時知道這兩個條件才行。 4. 根據方向和距離確定物體位置的方法： （1 ）確定好方向并用量角器測量出被測物體所在的方向（角度） ； （2）用直尺測量出被測物體和觀測點之間的圖上距離，結合單位長度計算出實際距離； （3 ）根據方向（角度）和距離準確判斷或描述被測物體的位置。 5. 要標出物體的位置必須先確定方向，再確定在這一方向上的距離。 6. 繪

10、制平面圖時，要根據實際距離確定好單位長度，即 II 代表多長距離。 7. 在平面圖上標出物體位置的方法：先確定方向，再以選定的單位長度為基準來確定距離， 最后找出物體的具體位置，標上名稱。 8. 描述物體的位置與觀測點有關， 觀測點不同，物體位置的描述就不同。兩地的位置具有相 對性，方向相反（其夾角度數不變），距離相同。 9. 兩地的位置關系具有相對性， 以這兩個不同地點為觀測點描述對方所在的方向時， 方向正 好相反（甲在乙東偏南 30 100米，則乙在甲西偏北 30 100米） 10. 在平面圖上確定物體的位置與方向關鍵要做到三點： （1）確定好觀測點及單位長度；（2） 找準方向；（3）線段

11、上每一段的長度要與單位長度統一。 11. 以誰為觀測點就以誰為中心畫出方向標，然后判斷出另一點所在的方向和距離 12. 繪制路線圖的步驟 畫出f北，確定方向標和單位長度比例尺 （I一I ） 確定起點的位置。 根據描述，從起點出發，找好方向和距離， 一段一段地畫。畫每一段都要以每一段新的起 點為觀測點 以誰為觀測點，就以誰為中心畫出“十字”方向標，然后判斷下一點的方向和距離。 標出數據、名稱、角度。（繪制的路線圖只有一條線，所作的線是首尾相連的 ） 第三單元分數除法 單位“ 1”的量X分率=分率對應量 5 1倒數的意義： 乘積是1的兩個數互為倒數。 強調：互為倒數，即倒數是兩個數的關系，它們互相

12、依存，倒數不能單獨存在。 （要說清誰是誰的倒數）。 2、 求倒數的方法： （1 ）、求分數的倒數：交換分子分母的位置。 （2）、求整數的倒數：把整數看做分母是 1的 分數，再交換分子分母的位置。 （3）、求帶分數的倒數：把帶分數化為假分數，再求倒數。 （4）、求小數的倒數： 把小數化為分數，再求倒數。 3、 1的倒數是1; 0沒有倒數。 因為1 X仁1; 0乘任何數都得0,（分母不能為0） 1 1b a 4、 對于任意數a（a豐0），它的倒數為-。非零整數a的倒數為-。分數-的倒數是二 a a a b 5、 真分數的倒數大于 1 ;假分數的倒數小于或等于 1 ;帶分數的倒數小于 1。 一、 分

13、數除法 1、 分數除法的意義： 分數除法與整數除法的意義相同， 表示已知兩個因數的積和其中一個因數， 求另一個因數 的運算。 2、 分數除法的計算法則： 除以一個不為0的數，等于乘這個數的倒數。 3、 規律（分數除法比較大小時）：當除數大于 1 , 商小于被除數； 當除數小于1 （不等于 0）,商大于被除數； 當除數等于1 , 商等于被除數。 4、 “ ”叫做中括號。一個算式里，如果既有小括號，又有中括號，要先算小括號里面 的，再算中括號里面的。 二、 分數除法解決問題 （已知單位“1”的幾分之幾是多少，單位“ 1”的量是要求的問題。就用除法） 1、 數量關系式和分數除法解決問題中的關系式：

14、（1 ）分率前是“的”： 分率對應量 十分率=單位“ 1 ”的量 （2 ）分率前是“多或少”的意思： 分率對應量X（ 1 土分率）=單位“ 1 ”的量 2、 解法：（建議：最好用方程解答） （1） 方程： 根據數量關系式設未知量為 ，用方程解答。 （2） 算術（用除法）： 分率對應量十對應分率 =單位“ 1”的量6 3、求一個數是另一個數的幾分之幾：就一個數十另一個數 4、求一個數比另一個數多（少）幾分之幾： 求多幾分之幾：大數十小數 -1 求少幾分之幾：1 - 小數十大數 或求多幾分之幾（大數-小數）十比后面的數 求少幾分之幾（大數-小數）十比后面的數 求的不是單位“ 1 ” 單位“ 1”的

15、量X對應分率 單位“ 1”的量X對應分率 200 1 X 4 200 X 25% 200 1 X( 1+ 4 ) 200 X ( 1+ 25%) 200 1 X ( 1- 4 ) 200 X ( 1-25%) 求的是單位“ 1” 分率對應量 十對應分率 分率對應量 十對應分率 200 1 十 4 200 -25% 200 1 r 1+ A) 4 200 -(1+ 25%) 200 1 r 1- A) 4 200 -(1-25%) 7 第四單元 比和比的應用 （一）、比的意義 1、比的意義：兩個數相除又叫做兩個數的比。 2、在兩個數的比中，比號前面的數叫做比的前項，比號后面的數叫做比的后項。比的

16、前項 除以后項所得的商，叫做比值。 例如15 : 10 = 15十10=（比值通常用分數表示，也可以用小數或整數表示） 前項 比號 后項 比值 3、 比可以表示兩個相同量的關系，即倍數關系。也可以表示兩個不同量的比，得到一個新 量。例： 路程十速度=時間。 4、 區分比和比值 比：表示兩個數的關系，可以寫成比的形式，也可以用分數表示。 比值：相當于商，是一個數，可以是整數，分數，也可以是小數。 5、 根據分數與除法的關系，兩個數的比也可以寫成分數形式。 6、 比和除法、分數的聯系： 比 前 項 比 號 “：” 后項 比值 除法 被除數除號 除數 商 分數 分 子 分數線“” 分母 分數值 7、

17、 比和除法、分數的區別：除法是一種運算，分數是一個數，比表示兩個數的關系。 8、 根據比與除法、分數的關系，可以理解比的后項不能為 0。 體育比賽中出現兩隊的分是 2： 0 等，這只是一種記分的形式，不表示兩個數相除的關系。 （二）、比的基本性質 1 、根據比、除法、分數的關系： 商不變的性質：被除數和除數同時乘或除以相同的數（ 0 除外），商不變。 分數的基本性質：分數的分子和分母同時乘或除以相同的數時（ 0 除外），分數值不變。 比的基本性質：比的前項和后項同時乘或除以相同的數 （0 除外 ），比值不變。 2、 最簡整數比：比的前項和后項都是整數，并且是互質數，這樣的比就是最簡整數比。 3

18、、 根據比的基本性質，可以把比化成最簡單的整數比。 4、 化簡比： 用比的前項和后項同時除以它們的最大公因數。 8 兩個分數的比：用前項后項同時乘分母的最小公倍數，再按化簡整數比的方法來化簡。 兩個小數的比：向右移動小數點的位置，先化成整數比再化簡。 用求比值的方法。注意：最后結果要寫成比的形式。 女口： 15 : 10 = 15 - 10 = 3 : 2 5按比例分配：把一個數量按照一定的比來進行分配。這種方法通常叫做按比例分配。 如：已知兩個量之比為 a : b ,則設這兩個量分別為 a b 6、路程一定，速度比和時間比成反比。（如：路程相同，速度比是4： 5,時間比則為5: 4） 工作總

19、量一定，工作效率和工作時間成反比。 （如: 工作總量相同，工作時間比是 3： 2,工作效率比則是 2： 3）9 第五單元 圓 1圓的定義：圓是由曲線圍成的一種平面圖形。 2、 圓心：將一張圓形紙片對折兩次，折痕相交于圓中心的一點，這一點叫做圓心。 一般用字母0表示。它到圓上任意一點的距離都相等. 3、 半徑：連接圓心到圓上任意一點的線段叫做半徑。一般用字母 r表示。 把圓規兩腳分開，兩腳之間的距離就是圓的半徑。 4、 直徑：通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般用字母 d表示。 直徑是一個圓內最長的線段。 5、 圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。 6、 在同圓或等圓內，有無數條半徑，有

20、無數條直徑。所有的半徑都相等，所有的直徑都相 等。 1 7、 在同圓或等圓內，直徑的長度是半徑的 2倍，半徑的長度是直徑的 2 1 用字母表示為：d = 2r或r = ? d 8、 軸對稱圖形： 如果一個圖形沿著一條直線對折， 兩側的圖形能夠完全重合， 這個圖形是軸對稱圖形。 折痕所在的這條直線叫做對稱軸。 （經過圓心的任意一條直線或直徑所在的直線） 9、 長方形、正方形和圓都是對稱圖形，都有對稱軸。這些圖形都是軸對稱圖形。 10、 只有1 一條對稱軸的圖形有： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圓。 只有2條對稱軸的圖形是： 長方形 只有3條對稱軸的圖形是： 等邊三角形 只有4條對稱軸的圖形

21、是： 正方形； 有無數條對稱軸的圖形是： 圓、圓環。 二、圓的周長 1、 圓的周長：圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長。用字母 C表示。 2、 圓周率實驗： 在圓形紙片上做個記號，與直尺 0刻度對齊，在直尺上滾動一周，求出圓的周長。 發現一般規律，就是圓周長與它直徑的比值是一個固定數（ n）。 3、 圓周率：任意一個圓的周長與它的直徑的比值是一個固定的數，我們把它叫做圓周率。 用字母n （pai ） 表示。10 圓的面積公式： 1）、一個圓的周長總是它直徑的 3 倍多一些，這個比值是一個固定的數。 圓周率n是一個無限不循環小數。在計算時，一般取 n - 3.14 。 （2） 、在判斷時，圓周長與它

22、直徑的比值是 n倍，而不是3.14倍。 （3） 、世界上第一個把圓周率算出來的人是我國的數學家祖沖之。 4、圓的周長公式： C= n d d = C - n 或 C=2 n r r = C 2*n 5、在一個正方形里畫一個最大的圓，圓的直徑等于正方形的邊長。 在一個長方形里畫一個最大的圓，圓的直徑等于長方形的寬。 6、區分周長的一半和半圓的周長： （1 ）周長的一半：等于圓的周長十 2 （2）半圓的周長：等于圓的周長的一半加直徑。 三、圓的面積 1、圓的面積：圓所占平面的大小叫做圓的面積。 計算方法：2 n r* 2 即 n r 計算方法：n r + 2r 用字母 S 表示。 2、一條弧和經過

23、這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。頂點在圓心的角叫做圓心 角。 3、圓面積公式的推導： （1） 、用逐漸逼近的轉化思想： 體現化圓為方，化曲為直；化新為舊，化未知為已知，化 2）、把一個圓等分（偶數份）成的扇形份數越多，拼成的圖像越接近長方形。 3）、拼出的圖形與圓的周長和半徑的關系。 圓的半徑 長方形的寬 圓的周長的一半 長方形的長 因為： 長方形面積 所以： 圓的面積 圓周長的一半X 圓的半徑 復雜為簡單，化抽象為具體。 11 4、環形的面積： 5、一個圓，半徑擴大或縮小多少倍，直徑和周長也擴大或縮小相同的倍數。 而面積擴大或縮小的倍數是這倍數的平方倍。 例如： 在同一個圓里，半徑

24、擴大 3倍，那么直徑和周長就都擴大 3倍，而面積擴大9倍。 6、 兩個圓： 半徑比=直徑比=周長比；而面積比等于這比的平方。 例如： 兩個圓的半徑比是 2： 3，那么這兩個圓的直徑比和周長比都是 2 : 3,而面積比是4 : 9 7、 任意一個正方形與它內切圓的面積之比都是一個固定值，即： 4： n 8、 當長方形，正方形，圓的周長相等時，圓面積最大，正方形居中，長方形面積最小。反 之，面積相同時，長方形的周長最長，正方形居中，圓周長最短。 9、 確定起跑線： (1 )、每條跑道的長度 =兩個半圓形跑道合成的圓的周長 +兩個直道的長度。 (2) 、每條跑道直道的長度都相等， 而各圓周長決定每條

25、跑道的總長度。 (因此起跑線不同) (3) 、每相鄰兩個跑道相隔的距離是： 2 X n X跑道的寬度 (4) 、當一個圓的半徑增加a厘米時， 它的周長就增加2 n a厘米；當一個圓的直徑增加a 厘米時，它的周長就增加 n a厘米。 C 長=(a+b) X 2 a=C * 2 b b=C * 2-a C 正=a X 4 a=C * 4 S長=aX b a=S * b b=S * a S 正=a X a S 圓=n r2 C 圓=n d C 圓=2 n r r=d * 2 r=C * 2 * n d=C * n r2 一個環形，外圓的半徑是 R， 內圓的半徑是r。（ R= r +環的寬度.） S

26、環=n R2 n r 或 S 環=n ( R2 r 2) 12 圓周長的一半=n r r= 圓周長的 半* n 半圓周長= =(n +2)r r=半圓周長* ( n +2) S 環=n ( R2 r 2) n L 弧=n r X 180 C 扇=n r X 著+2r S 扇= 360 n r2 11、常用各n值結果: n =3.14 2 n =6.28 3 =9.42 4 n = 12.56 5 n =15.7 6 n = 18.84 12、 常用平方數結果 11 2 = 121 12 2 = 144 13 2 = =169 14 2 = 196 15 2 = 225 16 2 = 256 1

27、7 2 = 289 18 2 = =324 19 2 = 361 20 2=400 13 第六單元百分數（一） 一、 百分數的意義和寫法 1百分數的意義：表示一個數是另一個數的百分之幾。 百分數是指兩個數的比，因此也叫百分率或百分比。 2、 千分數：表示一個數是另一個數的千分之幾。 3、 百分數和分數的主要聯系與區別： （1） 聯系：都可以表示兩個量的倍比關系。 （2） 區別： 、意義不同：百分數只表示兩個數的倍比關系，不能表示具體的數量，所以不能帶單位; 分數既可以表示具體的數，又可以表示兩個數的關系，表示具本數時可以帶單位。 、百分數的分子可以是整數，也可以是小數； 分數的分子不能是小數，

28、只能是除 0以外的自然數。 4、 百分數的寫法：通常不寫成分數形式，而在原來分子后面加上“”來表示。 二、 百分數和分數、小數的互化 （一） 百分數與小數的互化： 1、 小數化成百分數：把小數點向右移動兩位，同時在后面添上百分號。 2. 百分數化成小數：把小數點向左移動兩位，同時去掉百分號。 （二） 百分數的和分數的互化 1、 百分數化成分數： 先把百分數化成分數，先把百分數改寫成分母是否 100的分數，能約分要約成最簡分數。 2、 分數化成百分數： （三）常見的分數與小數、百分數之間的互化 1 1 3 2 =0.5 = 50% 4 =0.25 =25% 4=0.75 =75% 1 2 3 4

29、 5 =0.2 = 20% 5 :0.4 = 40% 5 =0.6 = 60% =0.8 = =80% 1 3 5 7 8 =0.125 = 12.5% 8 0.375 =37.5% 8 =0.625 = :62.5% 8 ： =0.875 : =87.5% 1 1 1 1 - =0.0625 = 6.25% =0.05= 5 % =0.04= 4 % =0.02=2 % 1 2 2 50 用分數的基本性質，把分數分母擴大或縮小成分母是 100的分數，再寫成百分數形式。 先把分數化成小數（除不盡時，通常保留三位小數） ，再把小數化成百分數。 14 一般來講，出勤率、成活率、合格率、正確率能達到

30、 100%出米率、出油率達不到 100% 完成率、增長了百分之幾等可以超過 100% （一般出粉率在70、80%出油率在30、40%） 2、 已知單位“ 1”的量，求單位“ 1”的百分之幾是多少的問題（用乘法） ： 數量關系式和分數乘法解決問題中的關系式相同： （1 ）分率前是“的”： 單位“ 1”的量X分率=分率對應量 （2）分率前是“多或少”的意思： 單位“ 1 ”的量X（ 1+-分率）=分率對應量 3、 未知單位“ 1”的量（用除法），已知單位“ 1”的百分之幾是多少，求單位“ 1 ”。 解法：（建議：最好用方程解答） （1） 方程： 根據數量關系式設未知量為. ,用方程解答。 （2）

31、算術（用除法）： 分率對應量十對應分率 =單位“ 1”的量 4、 求一個數比另一個數多（少）百分之幾的問題： 兩個數的相差量十單位“ 1 ”的量 X 100% 求多幾分之幾（大數-小數）十比后面的數 求少幾分之幾（大數-小數）十比后面的數三、用百分數解決問題 （一）一般應用題 1常見的百分率的計算方法： 合格率=合格產品數/產品總數X 100% 出勤率=出勤人數/總人數X 100% 成活率=成活數量/總數量X 100% 出米率=米的數量/出米物的重量 烘干率=烘干后的重量/烘干前的重量X 重量” 烘干前的重量X 100% 發芽率=發芽種子數/種子總數X 100% 達標率=達標人數/總人數X 100% 出粉率=粉的重量/出粉物的重量X 100% 出油率=油的重量/出油物的重量數X 100% 100% 含水率=（烘干前的重量-烘干后