1、第七章第七章 有限長數(shù)字濾波器的設(shè)計有限長數(shù)字濾波器的設(shè)計 7.1 線性相位線性相位FIR DF的條件和特點的條件和特點 7.2 窗函數(shù)設(shè)計法窗函數(shù)設(shè)計法7.3 頻率取樣設(shè)計法頻率取樣設(shè)計法7.4 IIR與與FIR數(shù)字濾器的比較數(shù)字濾器的比較IIR數(shù)字濾波器：數(shù)字濾波器：可以利用模擬濾波器設(shè)計可以利用模擬濾波器設(shè)計但相位非線性若須線性相位，則要采用全但相位非線性若須線性相位，則要采用全 通網(wǎng)絡(luò)進行相位校正通網(wǎng)絡(luò)進行相位校正,FIR數(shù)字濾波器：數(shù)字濾波器： 可以嚴格線性相位，又可任意幅度特性可以嚴格線性相位，又可任意幅度特性因果穩(wěn)定系統(tǒng)因果穩(wěn)定系統(tǒng)可用可用FFT計算計算但階次比但階次比IIR濾波

2、器要高得多濾波器要高得多 7.1 線性相位線性相位FIR DF的條件和特點的條件和特點 一、線性相位的條件一、線性相位的條件對于長度為對于長度為N N的的( )h n)(10)()()(wjNnjwnjwewHenheH幅頻特性注意幅度特性式中，式中，H()稱為幅度特性，稱為幅度特性，()稱為相位特性稱為相位特性注意：這里注意：這里H()不同于不同于 ，H() 稱為幅度函數(shù)，稱為幅度函數(shù)，可以取負值，而可以取負值，而 總是正值。總是正值。)(jeH)(jeH)e (H)(Hj 線性相位是指線性相位是指()是是的線性函數(shù)，即的線性函數(shù)，即)(jeH第一類第一類線性相位線性相位（2）若）若() 0

3、， 0為起始相位為起始相位第二類第二類線性相位線性相位以上兩種情況都滿足群時延是一個常數(shù)，即以上兩種情況都滿足群時延是一個常數(shù)，即dd)( （1 1） ()()，為常數(shù)為常數(shù)( )h n(1)2N 是實序列且對是實序列且對 奇對稱奇對稱即即 (2)滿足第一類線性相位的條件是：滿足第一類線性相位的條件是：即即 (1)( )h n(1)2N 是實序列且對是實序列且對 偶對稱偶對稱滿足滿足第二類線性相位的條件是：第二類線性相位的條件是：)1()(nNhnh)1()(nNhnh（1）第一類線性相位條件證明）第一類線性相位條件證明 )()(1)1(zHzzHN: )1()()(nNhnhnh為偶對稱情況

4、，即1010)1()()(NnnNnnznNhznhzHmnN1令10)1(101()()(NmmNNmmNzmhzzmh）)(1zH)()(21)(1)1(zHzzHzHN:)(表示為則可將zH代入上式，得到：將jwez )()(21)(1)1(zHzzHzHN10)1(10)()(21NnnNNnnznhzznh10)1()(21NnnNnzzznh102)1(21212)(NnNnNnNzznhz10)21()21()21(2)()()(NnwNnjwNnjwNjjweenheeH10)21()21(cos)(NnwNjwNnnhe10)21(cos)()(:NnwNnnhwH幅度函數(shù)為

5、wNw)21()(:相位函數(shù)為)21()(Nw其群時延為可以看出可以看出：只要：只要h(n)是是實序列，且實序列，且h(n)為偶對為偶對稱，那么該濾波器就一稱，那么該濾波器就一定具有第一類線性相位定具有第一類線性相位)21N() 1N(0)(2wNw)21()(:相位函數(shù)為 （2）第二類線性相位條件證明）第二類線性相位條件證明 )()(1)1(zHzzHN: )1()()(nNhnhnh為奇對稱情況，即1010)1()()(NnnNnnznNhznhzHmnN1令10)1(101()()(NmmNNmmNzmhzzmh）)(1zH代入上式，得到：將jwez :)(可表示為同樣zH)()(21)

6、(1)1(zHzzHzHN10)1(10)()(21NnnNNnnznhzznh10)1()(21NnnNnzzznh102)1(21212)(NnNnNnNzznhz10)21()21()21(2)()()(NnwNnjwNnjwNjjweenheeH10)21()21(sin)(NnwNjwNnnhje10)21(sin)()(:NnwNnnhwH幅度函數(shù)為2)21()(:wNw相位函數(shù)為)21()(Nw其群時延為可以看出可以看出：只要：只要h(n)是是實序列，且實序列，且h(n)為奇對為奇對稱，那么該濾波器就一稱，那么該濾波器就一定具有第二類線性相位定具有第二類線性相位 可見，其相位特性

7、是線性相位，而且還產(chǎn)生一個可見，其相位特性是線性相位，而且還產(chǎn)生一個900相移相移)23( N) 12(N)(2022)21()(:wNw相位函數(shù)為二、二、線性相位線性相位FIR濾波器幅度特性濾波器幅度特性H()的特點的特點 由于由于N取奇數(shù)還是偶數(shù)，對取奇數(shù)還是偶數(shù)，對H()的特性有影響，的特性有影響，因此，對于兩類線性相位，下面我們分四種情況討因此，對于兩類線性相位，下面我們分四種情況討論其幅度特性的特點：論其幅度特性的特點：（1）h(n)=h(N-1-n)，即，即h(n)為為偶對稱偶對稱,N=奇數(shù)奇數(shù)（2）h(n)=h(N-1-n),即即h(n)為為偶對稱偶對稱，N=偶數(shù)偶數(shù)（3）h(n

8、)=-h(N-1-n)，即，即h(n)為為奇對稱奇對稱,N=奇數(shù)奇數(shù)（4）h(n)=-h(N-1-n),即即h(n)為為奇對稱奇對稱，N=偶數(shù)偶數(shù)1）N為奇數(shù)，為奇數(shù)， h(n)=h(N-1-n)呈偶對稱，也對2/ ) 1()21cos(NnN)21cos()()(10NnnNnhH)21(cos)21cos(NnnN)1(21cos(nNN 因此，因此，內(nèi)的第內(nèi)的第n項與第項與第(N-1-n)項相等；可把第項相等；可把第n=0項與第項與第n=N-1項合并；把第項合并；把第n=1項與第項與第n=N-2項項合并等等；共合并為合并等等；共合并為(N-1)/2項。由于項。由于N是奇數(shù)，故是奇數(shù)，故留

9、下中間一項留下中間一項n=(N-1)/2，因此，因此，H()可表示為可表示為2/ ) 1(1)cos()21(2)21(NmmmNhNh12Nnm令)21cos()(2)21()(2/ )3(0nNnhNhHNn可以表示成可以表示成2/ )1(0)cos()()(NnnnaH21, 2 , 1),21(2)( NnnNhna)21()0(Nha2/ )1(0)cos()()(NnnnaH( )0, , 2 H對呈偶對稱cos()0, 2 n對，呈偶對稱2）N為偶數(shù)，為偶數(shù)， h(n)=h(N-1-n)10)21(cos)()(NnwnNnhwH以以(N-1)/2為中心，把兩兩相等的項合并，由于

10、為中心，把兩兩相等的項合并，由于N是偶是偶數(shù)，故數(shù)，故H(w)無單獨項。無單獨項。120)21(cos)(2)(NnwnNnhwH合并后，可得：21)21cos()()(NnwnnbwH120)21cos)(2)(NnwnNnhwH（由：,2mnN令21)21cos()2(2)(NmwmmNhwH式中：式中：2, 2 , 1),2(2)(NnnNhnb 2/1)21cos()()(NnnnbH，（時，）當（0)21(cos1nww0)(H即此種情況不能此種情況不能設(shè)計高通和帶阻濾波器設(shè)計高通和帶阻濾波器。是奇對稱，對由于wnw)21(cos)2(呈奇對稱；對所以)(wH特點：特點：3）N為奇數(shù)

11、，為奇數(shù)，h(n)=-h(N-1-n)10)21(sin)()(NnwnNnhwH)1()(nNhnh)21()211()21(NhNNhNh0)21(Nh零。呈奇對稱，且中間項為對即2/ ) 1()(Nnh)1(21sin(wnNN呈奇對稱）正弦項也對（2/1N)21sin()21sinwNnwnN（H()中各項之間滿足：第中各項之間滿足：第n項第項第N-1-n項，兩兩相等的項，兩兩相等的項合并項合并，合并后為，合并后為(N-1)/2(N-1)/2項項230)21(sin)(2)(NnwnNnhwHnNm21令211)sin()21(2NmmwmNh21, 2 , 1),21(2)( Nnn

12、Nhnc211)sin()()(NnnwnCwH其中：其中：(1) sin(n)對于對于w=0, ,2 處皆為處皆為0， 即即H()在在 =0, ,2 處必為零。處必為零。此種情況此種情況不能設(shè)不能設(shè)計低通、高通和帶阻濾波器。計低通、高通和帶阻濾波器。特點：特點：(2) 點呈奇點呈奇對稱，所以對稱，所以 對這些點也對這些點也奇對稱。奇對稱。2 , 0sin對n H4）N為偶數(shù)，為偶數(shù)， h(n)=-h(N-1-n)種情況：類似第310)21(sin)()(NnwnNnhwH12/0)21(sin)(2NnwnNnhmNn2令2/1)21(sin)2(2NmwmmNh2/1)21(sin)()(

13、NnwnndwH2, 3 , 2 , 1)2(2)(NnnNhnd其中： (1)由于由于 在在=0,處為零，所以處為零，所以H()在在=0, 2處為零處為零wn)21(sin(2)(2)由于由于 在在 處呈奇對稱，處呈奇對稱， 在處呈偶在處呈偶對稱，對稱，故故H()在在 處呈奇對稱，在處呈奇對稱，在 處呈偶對處呈偶對稱。稱。 0,2ww0,2wwwn)21(sin這四種線性相位這四種線性相位FIR filter的特性歸納在下表中的特性歸納在下表中 了解了線性相位了解了線性相位FIR濾波器的各種特性，便可根濾波器的各種特性，便可根據(jù)據(jù)實際需要選擇合適的實際需要選擇合適的FIR濾波器濾波器，同時設(shè)

14、計時要遵，同時設(shè)計時要遵循有關(guān)約束條件。循有關(guān)約束條件。如：如：第第3、4種情況種情況，對于任何頻率都有一固定的，對于任何頻率都有一固定的 相移，一般相移，一般微分器及微分器及 相移器相移器采用這兩種情況，采用這兩種情況，而而選頻性濾波器選頻性濾波器則用則用第第1、2種情況種情況。注意第。注意第2種不適種不適合做高通和帶阻濾波器合做高通和帶阻濾波器2/90偶對稱單位沖激響應(yīng)h(n) h(N1 n)相位響應(yīng)21)(N情況1()o( N1)情況2N為奇數(shù)h(n)0N1nna(n)21NN為偶數(shù)h(n)0nN1b(n)01 22Nn2/ )1(0cos)()(NnnnaHH()o2/1 21 cos

15、)()(NnnnbHH()2o0N為奇數(shù)h(n)0nN1C(n)0121NnN為偶數(shù)h(n)0N1nd(n)012Nn221)(N相位響應(yīng)情況3()2o 23 N情況42/ )1(1)sin()()(NnnncHH()o22/121sin)()(NnnndHH()o2奇對稱單位沖擊響應(yīng) h(n)=-h(N-1-n)三、線性相位三、線性相位FIR濾波器零點分布特點濾波器零點分布特點 )()(1)1(zHzzHN( )0iH z*, 1/iizz即 也是零點1）若）若 z = zi 是是H(z)的零點，則的零點，則 z = zi-1 也是零點也是零點2）h(n)為實數(shù)，則零點共軛成對為實數(shù)，則零點

16、共軛成對線性相位濾波器的零點是互為倒數(shù)的共軛對線性相位濾波器的零點是互為倒數(shù)的共軛對(1)1()( )0NiiiH zzH z 這樣這樣H(z)的零點有的零點有4種情況種情況(1) 既不在實軸上，也不既不在實軸上，也不在單位圓上在單位圓上,則零點是互為倒則零點是互為倒數(shù)的兩組數(shù)的兩組共軛對共軛對,如圖如圖z1iz(2) 不在實軸上不在實軸上,但在單位但在單位圓上圓上,共軛對的倒數(shù)就是它們共軛對的倒數(shù)就是它們本身本身,如圖如圖z3iz1z*1z11z1*)(1z2z12z3z*3z4z)Re( z)Im( zj (3) 在實軸上在實軸上,不在單位圓上不在單位圓上,只有倒數(shù)。如圖只有倒數(shù)。如圖z2

17、iz(4) 既在實軸上也在單位圓上。此時，只有一個零既在實軸上也在單位圓上。此時，只有一個零點，且有兩種可能，或位于點，且有兩種可能，或位于z=1，或位于，或位于z=-1。如圖。如圖z4iz四、線性相位四、線性相位FIR濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 1）N為偶數(shù)為偶數(shù)1112002( )( )( )( )NNNnnnNnnnH zh n zh n zh n z1mNn1122(1)00( )( )(1)NNnN mnmH zh n zh N mz ( )(1)h nh Nn 12(1)0( )( )NnN nnH zh n zz 12(1)0( )( )NnNnnH zh nzz 個延遲單元第

18、12N個延遲單元第2N)0(h) 1 (h)2(h) 12(Nh1z1z1z1z1z1z11111z)(nx)(ny2)N為奇數(shù)，則將中間項單獨列出為奇數(shù)，則將中間項單獨列出 1112(1)201( )( )()2NNnN nnNH zh n zzhz 個延遲單元第21N)0(h) 1 (h)2(h)23(Nh)21(Nh1z1z1z1z1z1z1111)(nx)(ny 先給定理想先給定理想filter的頻響的頻響 ,設(shè)計一個設(shè)計一個FIR filter的頻響為的頻響為 ,使使 逼近逼近 設(shè)計是在時域進行的設(shè)計是在時域進行的,先用傅氏反變換求出理先用傅氏反變換求出理想想filter的單位抽樣響

19、應(yīng)的單位抽樣響應(yīng) ,然后加時間窗然后加時間窗對對 截斷截斷,以求得以求得FIR filter的單位抽樣響應(yīng)的單位抽樣響應(yīng)h(n)。7.2 窗函數(shù)設(shè)計法窗函數(shù)設(shè)計法)e (Hjd)e (Hj)e (Hj)e (Hjd)n(hd)(nw)n(hd)()()()(21)(nhnwnhdeeHnhdnjjdd2、設(shè)計過程、設(shè)計過程 1、設(shè)計思想、設(shè)計思想一、設(shè)計方法一、設(shè)計方法因而窗的因而窗的形形狀和長度狀和長度的的選擇很關(guān)鍵。選擇很關(guān)鍵。 10)(jdeHcc0以低通濾波器為例討論：以低通濾波器為例討論：ccjjdeeH, 0,)()(deeHnhnjjdd21)()()(sin(21nndeecn

20、jjcc這是一個以為這是一個以為 中心的偶對稱的無限長非因果序列，中心的偶對稱的無限長非因果序列， 如果截取一段如果截取一段n=0N-1的的hd(n)作為作為h(n)，則為，則為 保證所得到的是保證所得到的是線性相位線性相位FIR濾波器，必須使濾波器，必須使 ，即使關(guān)于，即使關(guān)于 對稱，故必須使對稱，故必須使)1()(nNhnh21N 21N為其它值nNnonhnwnhnhdRd01)()()()(即：即：其中其中)()(nRnwNR)21N( ,e )(We2/sin2/Nsine)e (WjR1N0n)21N(jnjjR 現(xiàn)在考慮，對理想的現(xiàn)在考慮，對理想的 用矩形窗簡單地截斷后，用矩形窗

21、簡單地截斷后，對其頻響的影響，即對其頻響的影響，即 去逼近去逼近 的質(zhì)量如何？的質(zhì)量如何？)n(hd)e (Hj )e (Hjd 矩形窗矩形窗N1,0nN1R (n)0n ，其其它它其頻譜其頻譜具有線性相位具有線性相位N2N2)(RW2/sin2/Nsin)(WR 其中：其中：其在其在 內(nèi)有一主瓣內(nèi)有一主瓣N2 理想濾波器頻率響應(yīng)：理想濾波器頻率響應(yīng)：cc)(dH jdjde )(H)e (H ccd, 0, 1)(H其中：其中：)(*)()(jRjdjeWeHeHdeWeHjRjd)()()(21)()()(nwnhnhNddeWeHjRjd)(21)(dWHeRdj)()(21dWHHRd

22、)()(21)(實際實際FIR濾波器的幅度函數(shù)濾波器的幅度函數(shù)H()為為N2N2)(RWcc)(dH(1)=0時時, H(0)等于等于 在在-c, c內(nèi)的積分面積內(nèi)的積分面積,因一般因一般 ,故故H(0)近似為近似為 在在-, 內(nèi)的積內(nèi)的積分面積分面積)(RWNc2)(RW(2)=c時，一半重疊，時，一半重疊，H(c)=0.5 H(0);(3) =c 2/N時，第一旁瓣時，第一旁瓣(負數(shù)負數(shù))在通帶外，出現(xiàn)正在通帶外，出現(xiàn)正肩峰；肩峰；( )(0)HH隨，繞波動2cNn (4) =c +2/N 時時,第一旁瓣第一旁瓣(負數(shù)負數(shù))在通帶內(nèi)在通帶內(nèi),出現(xiàn)負肩出現(xiàn)負肩峰。峰。( )H隨，繞零值波動2

23、cNn 加矩形窗處理后，對理想頻率響應(yīng)產(chǎn)生了兩點加矩形窗處理后，對理想頻率響應(yīng)產(chǎn)生了兩點影響：影響：1 1）使理想頻率特性不連續(xù)點）使理想頻率特性不連續(xù)點=cc 處，形成一個處，形成一個過渡帶過渡帶, , 過渡帶寬等于矩形窗的過渡帶寬等于矩形窗的W WR R()()的主瓣寬的主瓣寬度度=4=4/N/N ；2) 2) 在截止頻率在截止頻率cc的兩邊的兩邊=cc 2 2/N/N 處，處，H()H()出現(xiàn)最大的出現(xiàn)最大的肩峰值肩峰值，肩峰的兩側(cè)形成起伏，肩峰的兩側(cè)形成起伏振蕩，其振蕩，其振蕩幅度振蕩幅度取決于旁瓣的相對幅度，而取決于旁瓣的相對幅度，而振振蕩快慢蕩快慢則取決于則取決于W WR R()(

24、)波動的快慢。波動的快慢。在主瓣附近在主瓣附近xxNNNNNWRsin2/)2/sin()2/sin()2/sin()(該函數(shù)的性質(zhì)：隨著該函數(shù)的性質(zhì)：隨著x x加大（即加大（即N N加大時），函數(shù)曲加大時），函數(shù)曲線波動的頻率加快，主瓣幅度加高，旁瓣線波動的頻率加快，主瓣幅度加高，旁瓣幅度也同樣加高，主瓣與旁瓣的相對比例幅度也同樣加高，主瓣與旁瓣的相對比例保持不變。保持不變。2Nx 其中：其中： 在在矩形窗矩形窗情況下情況下, ,最大相對肩峰值為最大相對肩峰值為8.95%8.95%，N N增加增加時時, ,過渡帶寬過渡帶寬4 4/N/N減小減小, ,起伏振蕩變密起伏振蕩變密, ,但最大肩峰則

25、但最大肩峰則總是總是8.95%,8.95%,這就是這就是吉布斯吉布斯(Gibbs)(Gibbs)效應(yīng)效應(yīng)。 由于肩峰的存在，影響到由于肩峰的存在，影響到H()H()通帶的平坦和阻通帶的平坦和阻帶的衰減，使阻帶最小衰減只有帶的衰減，使阻帶最小衰減只有21dB21dB左右，因此在左右，因此在實際中，矩形窗很少采用。實際中，矩形窗很少采用。 怎樣才能改善阻帶的衰減特性呢？只能從改善怎樣才能改善阻帶的衰減特性呢？只能從改善窗函數(shù)的形狀窗函數(shù)的形狀上找出路。上找出路。要求：要求：主瓣寬度要窄主瓣寬度要窄，以獲得較陡的過渡帶；，以獲得較陡的過渡帶；相對于主瓣幅度，旁瓣要盡可能小相對于主瓣幅度，旁瓣要盡可能

26、小，使能量盡，使能量盡量集中在主瓣中，這樣就量集中在主瓣中，這樣就 可以減小肩峰和余振可以減小肩峰和余振，以提高阻帶衰減和通帶平穩(wěn)性。，以提高阻帶衰減和通帶平穩(wěn)性。但實際上這兩點不能兼得，一般總是通過增加主但實際上這兩點不能兼得，一般總是通過增加主瓣寬度來換取對旁瓣的抑制。瓣寬度來換取對旁瓣的抑制。 二、幾種常用的窗函數(shù)：二、幾種常用的窗函數(shù)：1. 矩形窗矩形窗時域表達式：時域表達式：)()()(nwnRnwRN頻域表達式（頻譜）：頻域表達式（頻譜）：)21N( jRjRe )(W)e (W幅度函數(shù)：幅度函數(shù)：)2sin(/ )2Nsin()(WR4N主瓣寬度最窄：主瓣寬度最窄：旁瓣幅度大旁瓣

27、幅度大2.2.三角窗（三角窗（BartlettBartlett）窗）窗時域表達式：時域表達式：)(nw21Nn0 ,1Nn21Nn21N,1Nn22頻譜：頻譜：)21()()(NjjeWeW1,)2sin()4sin(2)(2NNNW幅度函數(shù)：幅度函數(shù)：主瓣寬度主瓣寬度 ,比矩形寬一倍。旁瓣幅度較小比矩形寬一倍。旁瓣幅度較小N/83、漢寧、漢寧(Hanning)窗窗(又稱升余弦窗又稱升余弦窗)()12cos(1 21)(nRnNnwN)12()12(25. 0)(5 . 0)(NWNWWWRRR頻譜：頻譜：)21()()(NjjeWeW時域：時域：幅度函數(shù)：幅度函數(shù)： 由于漢寧窗的頻譜是這三部

28、分矩形窗頻譜的組由于漢寧窗的頻譜是這三部分矩形窗頻譜的組合，故使旁瓣大大抵消，使能量相當有效地集中合，故使旁瓣大大抵消，使能量相當有效地集中在主瓣內(nèi)，代價是主瓣加寬了一倍，即為在主瓣內(nèi)，代價是主瓣加寬了一倍，即為 。N84、哈明（、哈明（Hamming）窗）窗(又稱改進升余弦窗又稱改進升余弦窗)()12cos(46. 054. 0)(nRNnnWN22( )0.54( )0.23RRRWWWWNN幅度函數(shù)幅度函數(shù)： 1N 它是對漢寧窗的改進，在主瓣寬度相同的情況下，它是對漢寧窗的改進，在主瓣寬度相同的情況下，旁瓣進一步減小，可使旁瓣進一步減小，可使99.96%的能量集中在窗譜的的能量集中在窗譜

29、的主瓣內(nèi)。主瓣內(nèi)。5、布拉克曼（、布拉克曼（Blackman）窗）窗(又稱二階余弦窗又稱二階余弦窗)()14cos(08. 0)12cos(5 . 042. 0)(nRNnNnnwN)12()12(25. 0)(42. 0)(NWNWWWRRR)14()14(04. 0NWNWRR幅度函數(shù)為幅度函數(shù)為為進一步抑制旁瓣，對海寧窗再加一個二次諧波為進一步抑制旁瓣，對海寧窗再加一個二次諧波的余弦分量，得到上述的余弦分量，得到上述BlackmanBlackman窗，但其主瓣寬窗，但其主瓣寬度加到矩形窗的三倍度加到矩形窗的三倍,即為即為 。N12下圖是下圖是N=31時矩形窗、三角窗、漢寧窗、漢明窗時矩形

30、窗、三角窗、漢寧窗、漢明窗及布萊克曼這及布萊克曼這5種窗口函數(shù)的包絡(luò)曲線種窗口函數(shù)的包絡(luò)曲線下圖是下圖是N=51時矩形窗、漢寧窗、漢明窗及布萊克時矩形窗、漢寧窗、漢明窗及布萊克曼曼4種窗口函數(shù)的幅度響應(yīng)種窗口函數(shù)的幅度響應(yīng)下圖是用矩形窗、漢寧窗、漢明窗及布萊克曼設(shè)計下圖是用矩形窗、漢寧窗、漢明窗及布萊克曼設(shè)計的低通濾波器的幅度響應(yīng)的低通濾波器的幅度響應(yīng)6.凱塞（凱塞（Kaiser）窗）窗 以上五種窗函數(shù)，都是以增加主瓣寬度為代價來以上五種窗函數(shù)，都是以增加主瓣寬度為代價來降低旁瓣。凱塞窗則可自由選擇主瓣寬度和旁瓣衰減。降低旁瓣。凱塞窗則可自由選擇主瓣寬度和旁瓣衰減。10 ,)()()(00Nn

31、IInWk2)1121Nn（式中式中2/ )1(1202!11)NnkxkxI（I0(x)是零階修正貝塞爾函數(shù)，參數(shù)是零階修正貝塞爾函數(shù)，參數(shù)可控制窗的形狀。一般可控制窗的形狀。一般 加大，主瓣加寬，旁瓣幅度減小。一般取加大，主瓣加寬，旁瓣幅度減小。一般取 4 9。(1)/21( )(0)2( )cosNkkknWnn凱塞窗的幅度譜函數(shù)為：凱塞窗的幅度譜函數(shù)為：凱塞窗參數(shù)對濾波器的性能影響凱塞窗參數(shù)對濾波器的性能影響 六種窗函數(shù)的基本參數(shù)六種窗函數(shù)的基本參數(shù) 三、窗函數(shù)法的設(shè)計步驟三、窗函數(shù)法的設(shè)計步驟n給定理想的頻率響應(yīng)函數(shù)給定理想的頻率響應(yīng)函數(shù) 及技術(shù)指標及技術(shù)指標()jdHe2,n求出理

32、想的單位抽樣響應(yīng)求出理想的單位抽樣響應(yīng)( )dh nn根據(jù)阻帶衰減選擇窗函數(shù)根據(jù)阻帶衰減選擇窗函數(shù)( )w nn計算頻率響應(yīng)計算頻率響應(yīng) ，驗算指標是否滿足要求，驗算指標是否滿足要求()jH en根據(jù)過渡帶寬度確定根據(jù)過渡帶寬度確定N值值( )( )( )dh nh nw nn求所設(shè)計的求所設(shè)計的FIR濾波器的單位抽樣響應(yīng)濾波器的單位抽樣響應(yīng)1( )2jj nddh nHeed可選擇漢寧窗可選擇漢寧窗例：設(shè)計一線性相位例：設(shè)計一線性相位FIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器,截止頻率截止頻率 ，過渡帶寬度，過渡帶寬度 ，阻帶衰減，阻帶衰減 dB2 . 0c4 . 0402解：解：1)()(sin2

33、1)(nndeenhcjnjdcc)(nw4022)選擇窗函數(shù)選擇窗函數(shù)，計算階數(shù)，計算階數(shù)N4 .08N20N也可取也可取N=21N=211021N)(nwh)()()(nwnhnhhd)12cos(1 21Nn)()(sinnnc)(nRN)10(2)10(2 . 0sin)1 . 0cos(1 nnn)(21nRjnNnjenheH)()(103 3）確定延時值）確定延時值 4 4）采用漢寧窗）采用漢寧窗，求得，求得 5）求頻率響應(yīng)）求頻率響應(yīng) 其幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)見下圖其幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)見下圖 可見在通帶范圍內(nèi)其相位是線性相位的。可見在通帶范圍內(nèi)其相位是線性相位的。 在阻帶，濾波器滿

34、足了所要求的衰減特性。在阻帶，濾波器滿足了所要求的衰減特性。 通帶截止頻率為通帶截止頻率為 ，/2/0.2ppspsf /2/0.4ststsstsf 250dB解解：1）求數(shù)字頻率）求數(shù)字頻率例例2：設(shè)計一個線性相位：設(shè)計一個線性相位FIR低通濾波器，低通濾波器，給定抽樣頻率為給定抽樣頻率為 ，421.5 10 (/sec)srad 321.5 10 (/sec)prad 323 10 (/sec)strad 阻帶起始頻率為阻帶起始頻率為 ，阻帶衰減不小于阻帶衰減不小于-50dB，幅度特性如圖所示，幅度特性如圖所示2）求）求hd(n)()0,jjccdcceHe ccsf1/220.3pst

35、s )()(sin21)(nndeenhcjnjdcc21N3）選擇窗函數(shù)：由）選擇窗函數(shù)：由 確定哈明窗（確定哈明窗（-53dB）2( )0.540.46cos( )1Nnw nRnN20.2stps 4）確定）確定N 值值250dBN8哈明窗帶寬：402 . 088N23921N5）確定）確定FIR濾波器的濾波器的h(n)( )( ) ( )dh nh n w n6）求）求 ，驗證，驗證()jH e若不滿足，則改變?nèi)舨粷M足，則改變N或窗形狀重新設(shè)計或窗形狀重新設(shè)計)()(sinnnc)(nRN)12cos(46. 054. 0Nn7.3 頻率取樣設(shè)計法頻率取樣設(shè)計法一、設(shè)計思想一、設(shè)計思想

36、 窗函數(shù)設(shè)計法是從時域出發(fā)，把理想的窗函數(shù)設(shè)計法是從時域出發(fā)，把理想的 用用一定形狀的窗函數(shù)截取成有限長的一定形狀的窗函數(shù)截取成有限長的 ，以，以 來近來近似似 ,從而使頻響從而使頻響 近似理想頻響近似理想頻響 。)(nhd)(nhd)(nh)(nh)(jdeH)(jeH 頻率取樣法是從頻率取樣法是從頻域頻域出發(fā)，對理想的頻響出發(fā)，對理想的頻響 進行等間隔取樣，以有限個頻響采樣去近似理想頻進行等間隔取樣，以有限個頻響采樣去近似理想頻響響 ，即：，即：)(jdeH)(jdeH)()(2kHeHdkNjd1,.,1 , 0),()(NkkHkHd將將 代入代入 表達式可得表達式可得對對 H(k)進

37、行進行IDFT,得到得到h(n)1,.,1 , 0,)(1)(10/2NnekHNnhNkNnkj1101011)(1)()(ZWZkHNZnhZHkNNNkNnn其系統(tǒng)函數(shù)其系統(tǒng)函數(shù)插值公式插值公式頻率響應(yīng)：頻率響應(yīng)：jeZ )(ZH)(jeH二、線性相位的約束條件二、線性相位的約束條件1）h(n)偶對稱，偶對稱，N為奇數(shù)為奇數(shù))21()()(NjjeHeH幅度函數(shù)幅度函數(shù)H()應(yīng)具有偶對稱性：應(yīng)具有偶對稱性：)2()( HH令令kjkeHkH)()11 (22121NkkNNNk1, 1 , 0Nk其中：其中：2）h(n)偶對稱，偶對稱，N為偶數(shù)為偶數(shù))21()()(NjjeHeH幅度特性

38、奇對稱幅度特性奇對稱 2HH因此，因此，Hk 也必須滿足奇對稱性：也必須滿足奇對稱性：kNkHH1, 1 , 0Nk則則 必須滿足偶對稱性：必須滿足偶對稱性：kNkHHkH1, 1 , 0Nk相位關(guān)系同上相位關(guān)系同上)11 (221NkkNNk 其它兩種線性相位其它兩種線性相位FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計，同樣數(shù)字濾波器的設(shè)計，同樣也要滿足幅度與相位的約束條件。也要滿足幅度與相位的約束條件。三、逼近誤差三、逼近誤差 頻率采樣法是比較簡單的，但是我們還應(yīng)該進一頻率采樣法是比較簡單的，但是我們還應(yīng)該進一步考察，步考察， 用這種頻率采樣所得到的系統(tǒng)函數(shù)究竟逼近用這種頻率采樣所得到的系統(tǒng)函數(shù)究竟逼近效果如何

39、？如此設(shè)計所得到的頻響效果如何？如此設(shè)計所得到的頻響H(ej)與要求的理與要求的理想頻響想頻響Hd(ej)會有怎樣的差別？會有怎樣的差別？)2()()()(10kNkHzHeHNkezjj21)2/sin()2/sin(1)(NjeNN其中其中12101)(1)(zekHNzzHNkjNkN(1)(1)各頻率采樣點各頻率采樣點=2=2k k/ /N N，k k=0,1,2, =0,1,2, N N-1-1上上, , ( (-2-2k k/ /N N)=1)=1，因此，因此，采樣點上采樣點上濾波器的實際頻濾波器的實際頻率響應(yīng)是嚴格地和理想頻率響應(yīng)數(shù)值相等的。率響應(yīng)是嚴格地和理想頻率響應(yīng)數(shù)值相等的。說明：說明：在在采樣點之間采樣點之間，頻響由各采樣點的內(nèi)插函數(shù)延伸，頻響由各采樣點的內(nèi)插函數(shù)延伸迭加而形成，因而迭加而形成，因而有一定的逼近誤差有一定的逼近誤差，誤差大小與，誤差大小與理想頻率響應(yīng)的曲線形狀有關(guān)，理想特性平滑，則理想頻率響應(yīng)的曲線形狀有關(guān)，理想特性平滑，則誤差小；反之，誤差大。誤差小；反之，誤差大。 N增大，則采樣點變密，逼近誤差減小。增大，則采樣點變密，逼近誤差減小。)(ejHN2H(k)(a)(b)oo)(ejdH)(ejH)(ejH為提高阻帶衰減