1、中學數(shù)學教材分析（三）中學數(shù)學教材分析（三） （一）數(shù)學教學重點的含義（一）數(shù)學教學重點的含義 數(shù)學教學重點數(shù)學教學重點指數(shù)學教材中貫穿全局，帶動全指數(shù)學教材中貫穿全局，帶動全面，起核心作用的內(nèi)容。面，起核心作用的內(nèi)容。 “突出重點突出重點”是數(shù)學教學的基本要求。課堂教學應把主要時是數(shù)學教學的基本要求。課堂教學應把主要時間和精力放在重點內(nèi)容的教學上，而不是放在多題組、大題間和精力放在重點內(nèi)容的教學上，而不是放在多題組、大題量的強化訓練上。題型教學和題海戰(zhàn)術不能取代新授課重點量的強化訓練上。題型教學和題海戰(zhàn)術不能取代新授課重點和難點的教學。更有甚者，和難點的教學。更有甚者，“眉毛胡子一把抓眉毛胡

2、子一把抓”，根本看不，根本看不出其重點所在，這些做法，無論是對知識的領會，思維的訓出其重點所在，這些做法，無論是對知識的領會，思維的訓練，還是能力的培養(yǎng)，都是非常不利的。練，還是能力的培養(yǎng)，都是非常不利的。 (2)“(2)“換元法換元法”因其特殊的轉(zhuǎn)化功能和廣泛的應用而因其特殊的轉(zhuǎn)化功能和廣泛的應用而成為重要的數(shù)學方法之一；成為重要的數(shù)學方法之一；“數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合”的思想方的思想方法由于其工具作用和直觀化、形象化的轉(zhuǎn)化功能而法由于其工具作用和直觀化、形象化的轉(zhuǎn)化功能而成為重要的數(shù)學思想。成為重要的數(shù)學思想。 (3)“(3)“集合集合”這一節(jié)包括以下內(nèi)容：集合與元素的概這一節(jié)包括以下內(nèi)容：集合

3、與元素的概念；常用數(shù)集及其符號；元素與集合的從屬關系；念；常用數(shù)集及其符號；元素與集合的從屬關系；元素的三個基本特征；集合的分類與表示方法。本元素的三個基本特征；集合的分類與表示方法。本節(jié)的教學重點之一是集合的表示方法節(jié)的教學重點之一是集合的表示方法. .因為學習本節(jié)因為學習本節(jié)的重要原因就是要利用集合語言表示不等式解集，的重要原因就是要利用集合語言表示不等式解集，函數(shù)的定義域和值域等。函數(shù)的定義域和值域等。 （4 4）“函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性”這一節(jié)包括以下內(nèi)容：這一節(jié)包括以下內(nèi)容：增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)性的概念；單調(diào)性的增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)性的概念；單調(diào)性的判定。本講的教學重點是單調(diào)性的概

4、念。因判定。本講的教學重點是單調(diào)性的概念。因為單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，是對數(shù)函數(shù)、為單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，是對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)研究的重要內(nèi)容。同時指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)研究的重要內(nèi)容。同時單調(diào)性在比較數(shù)的大小、證明不等式、作圖、單調(diào)性在比較數(shù)的大小、證明不等式、作圖、求函數(shù)值域、判定方程根的情況等方面都有求函數(shù)值域、判定方程根的情況等方面都有廣泛的作用。廣泛的作用。2.地位的獨特性地位的獨特性 在教材中貫穿全局，起紐帶作用。如三角函數(shù)的定義在教材中貫穿全局，起紐帶作用。如三角函數(shù)的定義 （ ）是整個三角函數(shù)一章的根基，同角三角函）是整個三角函數(shù)一章的根基，同角三角函數(shù)的關系，余弦和角公

5、式的推導等都以它為基礎，甚至圓的數(shù)的關系，余弦和角公式的推導等都以它為基礎，甚至圓的參數(shù)方程，極坐標與指教坐標系的互化都以它為依據(jù)。參數(shù)方程，極坐標與指教坐標系的互化都以它為依據(jù)。 3.3.蘊涵重要的數(shù)學思想方法蘊涵重要的數(shù)學思想方法 本節(jié)內(nèi)容包含重要的數(shù)學思想方法，后續(xù)內(nèi)容應用廣泛。例本節(jié)內(nèi)容包含重要的數(shù)學思想方法，后續(xù)內(nèi)容應用廣泛。例如三角函數(shù)誘導公式的推導，蘊含有數(shù)形結(jié)合、化歸，轉(zhuǎn)化如三角函數(shù)誘導公式的推導，蘊含有數(shù)形結(jié)合、化歸，轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法。等數(shù)學思想方法。 4.4.培養(yǎng)學生能力方面能起到獨特作用培養(yǎng)學生能力方面能起到獨特作用 如空間圖形畫法是學生樹立空間想象能力的重要技能如空間

6、圖形畫法是學生樹立空間想象能力的重要技能,sinry （三）突出重點的基本方法（三）突出重點的基本方法 現(xiàn)代教學理論認為現(xiàn)代教學理論認為, ,為了使學生掌握數(shù)學學科的基本為了使學生掌握數(shù)學學科的基本結(jié)構(gòu)和發(fā)展數(shù)學能力結(jié)構(gòu)和發(fā)展數(shù)學能力, ,培養(yǎng)良好的個性品質(zhì)培養(yǎng)良好的個性品質(zhì), ,數(shù)學課數(shù)學課堂必須遵循展現(xiàn)思維過程的原則堂必須遵循展現(xiàn)思維過程的原則, ,其中包括概念的發(fā)其中包括概念的發(fā)生、發(fā)展過程，命題的形成過程，解題思路的探索生、發(fā)展過程，命題的形成過程，解題思路的探索過程和解題方法的概括過程。因此數(shù)學教學要突出過程和解題方法的概括過程。因此數(shù)學教學要突出的重點就必須通過思維過程的充分暴露加

7、以實現(xiàn)。的重點就必須通過思維過程的充分暴露加以實現(xiàn)。即實施過程教學，追求過程與結(jié)果統(tǒng)一。即實施過程教學，追求過程與結(jié)果統(tǒng)一。 1.1.讓學生充分的參與讓學生充分的參與 設計合理的產(chǎn)生形成過程，讓學生參與歸納與概括，設計合理的產(chǎn)生形成過程，讓學生參與歸納與概括，參與發(fā)現(xiàn)與探索，做知識的研究者和發(fā)現(xiàn)者，通過再參與發(fā)現(xiàn)與探索，做知識的研究者和發(fā)現(xiàn)者，通過再創(chuàng)造，讓學生獲得知識和能力。正如荷蘭數(shù)學教育家創(chuàng)造，讓學生獲得知識和能力。正如荷蘭數(shù)學教育家弗賴登塔爾所說弗賴登塔爾所說:“:“科學的頂峰總是創(chuàng)造性的發(fā)現(xiàn)科學的頂峰總是創(chuàng)造性的發(fā)現(xiàn). .學學習的過程也必須含有直接創(chuàng)造的側(cè)面習的過程也必須含有直接創(chuàng)造

8、的側(cè)面, ,即從學生的觀即從學生的觀點看是創(chuàng)造點看是創(chuàng)造, ,通過再創(chuàng)造獲得的知識與能力通過再創(chuàng)造獲得的知識與能力, ,要比以被要比以被動方式獲得的動方式獲得的, ,理解得更好理解得更好, ,也更容易保持也更容易保持.”.” 案例：案例：“虛數(shù)虛數(shù)i i開方運算開方運算”教學課例教學課例 師：我們對師：我們對-1-1進行開平方運算時，引入了新數(shù)進行開平方運算時，引入了新數(shù)i i，從而將實，從而將實數(shù)集擴充到復數(shù)集。現(xiàn)在要對虛數(shù)數(shù)集擴充到復數(shù)集。現(xiàn)在要對虛數(shù)i i開平方，開平方，是否又會出是否又會出現(xiàn)別的新數(shù)呢？現(xiàn)別的新數(shù)呢？如何對如何對i i開方呢？開方呢？ 我們先解決問題我們先解決問題，如何

9、對，如何對i i開方？回到定義去，求開方？回到定義去，求i i的的平方根的意義是什么？平方根的意義是什么？ 生：在復數(shù)范圍內(nèi)求平方為生：在復數(shù)范圍內(nèi)求平方為i i的數(shù)的數(shù) 師：請把這個問題用一個數(shù)學式表達出來（數(shù)學化）師：請把這個問題用一個數(shù)學式表達出來（數(shù)學化） 生：設生：設z=x+iyz=x+iy為為i i的平方根，其中的平方根，其中x+iyx+iyC，那么有，那么有iiyx2 師：這就回到我們熟悉的問題了，這是用代數(shù)形式的表述，如果用復數(shù)的三角形式又該如何表達這個問題呢？ 注意：讓學生充分參與，就不應是老師包辦，教師要通過精心設計的問題鏈來實現(xiàn)。2.有步驟的引入有步驟的引入 在體現(xiàn)必要性

10、的前提下，逐步引入新知識，揭示引入的合理性，使之在體現(xiàn)必要性的前提下，逐步引入新知識，揭示引入的合理性，使之與學生的認知水平同步進行。即與學生的認知水平同步進行。即“知其然，知其所以然知其然，知其所以然”。注入式教。注入式教學正是忽視了這一環(huán)節(jié)，縮減了由感性到理性的過程學正是忽視了這一環(huán)節(jié)，縮減了由感性到理性的過程如：如：“反正弦函數(shù)的引入反正弦函數(shù)的引入” 若上課一開始就講反函數(shù)的定義，并引入若上課一開始就講反函數(shù)的定義，并引入“arcsin”，學生會毫無心，學生會毫無心理準備，感覺太突然，理解也不會透徹。理準備，感覺太突然，理解也不會透徹。參考設計：參考設計：1、函數(shù)、函數(shù) 有反函數(shù)嗎？能

11、否縮小其定義域使其具有反有反函數(shù)嗎？能否縮小其定義域使其具有反函數(shù)？函數(shù)？ 2、函數(shù)、函數(shù) 在其定義域內(nèi)有反函數(shù)嗎？在怎樣的區(qū)在其定義域內(nèi)有反函數(shù)嗎？在怎樣的區(qū)間上可使其有反函數(shù)？間上可使其有反函數(shù)？ 3、正弦函數(shù)、正弦函數(shù) 在在 的反函數(shù)叫反正弦函數(shù)的反函數(shù)叫反正弦函數(shù) 2xyxysinxysin2,2若記反正弦函數(shù)為若記反正弦函數(shù)為 ，則，則 問：它們存在嗎？等于多少，在此基礎上自然引出問：它們存在嗎？等于多少，在此基礎上自然引出記號記號“ ”3.全方位的審視全方位的審視要使學生深刻理解，掌握重點知識，就必須引導學要使學生深刻理解，掌握重點知識，就必須引導學生從各個側(cè)面對其進行深入認識。生

12、從各個側(cè)面對其進行深入認識。 xf1_211f_231f_311f _01f_211farcsin案例：案例：“反函數(shù)反函數(shù)”審視審視1：反函數(shù)是函數(shù)，應滿足函數(shù)的定義與特征要素：反函數(shù)是函數(shù)，應滿足函數(shù)的定義與特征要素審視審視2：反函數(shù)中的：反函數(shù)中的“反反”如何體現(xiàn)：表達式；定義域；如何體現(xiàn)：表達式；定義域；值域值域?qū)徱晫徱?：如何求一個函數(shù)的反函數(shù)？：如何求一個函數(shù)的反函數(shù)？審視審視4：兩個都是函數(shù)，函數(shù)有圖象，圖象有什么關系？：兩個都是函數(shù)，函數(shù)有圖象，圖象有什么關系？審視審視5：兩個都是函數(shù)，函數(shù)有性質(zhì)，性質(zhì)有什么關系？：兩個都是函數(shù)，函數(shù)有性質(zhì)，性質(zhì)有什么關系？案例案例2 2：函數(shù)

13、的單調(diào)性：函數(shù)的單調(diào)性審視審視1：增函數(shù)與減函數(shù)的定義差別？：增函數(shù)與減函數(shù)的定義差別？審視審視2：增函數(shù)與減函數(shù)的定義中關鍵字：任意、區(qū)：增函數(shù)與減函數(shù)的定義中關鍵字：任意、區(qū)間間審視審視3：增函數(shù)與減函數(shù)的圖象特點？：增函數(shù)與減函數(shù)的圖象特點？審視審視4：如何判斷一個函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)？：如何判斷一個函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)？審視審視5：如何證明一個函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)？：如何證明一個函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)？（4 4）多層次的練習）多層次的練習 對既是重點又是難點的概念、定理等教學內(nèi)容，對既是重點又是難點的概念、定理等教學內(nèi)容，不僅要重視其形成、發(fā)現(xiàn)過程的教學，也要通過循環(huán)不僅要重視其

14、形成、發(fā)現(xiàn)過程的教學，也要通過循環(huán)反復的螺旋遞進的方式進行練習，使學生充分地領會，反復的螺旋遞進的方式進行練習，使學生充分地領會，并學會應用。并學會應用。 案例：案例：“反函數(shù)反函數(shù)” 當看似孤立的問題運用當看似孤立的問題運用“知識的重點知識的重點”加以串聯(lián)以后，就加以串聯(lián)以后，就形成了具有密切聯(lián)系的問題鏈，隨著逐層深入的思考，對重點形成了具有密切聯(lián)系的問題鏈，隨著逐層深入的思考，對重點知識的認識就越加透徹，對知識的運用就更加靈活。知識的認識就越加透徹，對知識的運用就更加靈活。（5 5）變式運用）變式運用 重要公式的教學，可以通過公式的正用、逆用、重要公式的教學，可以通過公式的正用、逆用、變用

15、、連用等方式，在加強記憶同時增強思維的變用、連用等方式，在加強記憶同時增強思維的靈活性。靈活性。案例：案例：“兩角和與差的正切公式兩角和與差的正切公式” 重要例題的講授，可以通過對例題條件增減、或重要例題的講授，可以通過對例題條件增減、或條件與結(jié)論的交換、或特殊到一般的推廣、或幾條件與結(jié)論的交換、或特殊到一般的推廣、或幾個例題的共性分析，促進思維的深刻性。個例題的共性分析，促進思維的深刻性。 （6 6）多角度的聯(lián)系）多角度的聯(lián)系 通過知識內(nèi)在聯(lián)系的揭示，在拓展思維空間的同時進通過知識內(nèi)在聯(lián)系的揭示，在拓展思維空間的同時進一步強化對新知識的認識。一步強化對新知識的認識。 如：數(shù)列通項的理解如：數(shù)

16、列通項的理解函數(shù)理解函數(shù)理解 對概率古典概型的理解對概率古典概型的理解集合理解集合理解 指數(shù)與對數(shù)關系的理解指數(shù)與對數(shù)關系的理解加與減、乘與除加與減、乘與除 直線與圓的關系理解直線與圓的關系理解幾何（距離）、代數(shù)（方程組的解）幾何（距離）、代數(shù)（方程組的解） 數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系廣泛存在于數(shù)學知識結(jié)構(gòu)之中，數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系廣泛存在于數(shù)學知識結(jié)構(gòu)之中，重視其挖掘，在促進數(shù)學理解的同時，有利于培養(yǎng)思重視其挖掘，在促進數(shù)學理解的同時，有利于培養(yǎng)思維的廣闊性。維的廣闊性。 （7 7）適度的引申）適度的引申 引申作為一種教學手段，能有效促進對重點知識的理引申作為一種教學手段，能有效促進對重點知識的理解。

17、解。 例如正弦、余弦函數(shù)的奇偶性是該界教學的重點，如例如正弦、余弦函數(shù)的奇偶性是該界教學的重點，如果蜻蜓點水般的得到結(jié)果，難以對三角函數(shù)圖象形成果蜻蜓點水般的得到結(jié)果，難以對三角函數(shù)圖象形成充分的認識，應更深入揭示其一般規(guī)律：充分的認識，應更深入揭示其一般規(guī)律： 函數(shù)奇偶性的實質(zhì)是反映函數(shù)圖象的對稱性。函數(shù)奇偶性的實質(zhì)是反映函數(shù)圖象的對稱性。 正弦、余弦函數(shù)的奇偶性分別說明它們是中心對稱正弦、余弦函數(shù)的奇偶性分別說明它們是中心對稱圖形和軸對稱圖形。圖形和軸對稱圖形。 可設置以下問題：可設置以下問題： 正弦還有別的對稱中心嗎？正弦還有別的對稱中心嗎？ 余弦函數(shù)還有別的對稱軸嗎？余弦函數(shù)還有別的對

18、稱軸嗎？ 正弦函數(shù)的圖形是軸對稱圖形嗎？正弦函數(shù)的圖形是軸對稱圖形嗎？ 余弦函數(shù)的圖形中心對稱圖形嗎？余弦函數(shù)的圖形中心對稱圖形嗎？ 需要指出的是：重點內(nèi)容的挖掘不是越深越好，需要指出的是：重點內(nèi)容的挖掘不是越深越好，要弄清教學要求的層次，有時挖掘得過深學生難要弄清教學要求的層次，有時挖掘得過深學生難以理解，反而削弱或淡化了重點。以理解，反而削弱或淡化了重點。 （8 8）分階段鞏固）分階段鞏固 對于重點的教學內(nèi)容，不能對于重點的教學內(nèi)容，不能“畢其功于一役畢其功于一役”，應該，應該分階段完成。如立體幾何公理分階段完成。如立體幾何公理2 2（如果兩個面有一個（如果兩個面有一個公共點公共點）就可以

19、分成）就可以分成4 4個階段完成：個階段完成： 首先用它指導作面面的交線和證明點共線首先用它指導作面面的交線和證明點共線 在講空間直線位置關系時指導畫線面的交點問題在講空間直線位置關系時指導畫線面的交點問題 在講面面位置關系時介紹證明線共點問題在講面面位置關系時介紹證明線共點問題 在講多面體時用它指導作多面體的截面在講多面體時用它指導作多面體的截面 分階段鞏固還表現(xiàn)為對重點內(nèi)容的一種定期檢測、訓分階段鞏固還表現(xiàn)為對重點內(nèi)容的一種定期檢測、訓練。練。二、關于教學難點二、關于教學難點 (一一)對教學難點的認識對教學難點的認識 1.教學難點的含義教學難點的含義 難點是指學生接受起來比較困難的知識和方

20、法難點是指學生接受起來比較困難的知識和方法,它是它是造成學生學習成績差距的分化點造成學生學習成績差距的分化點. 難點具有相對性，相對于不同層次的學生而言。難點具有相對性，相對于不同層次的學生而言。 2.突破難點的雙重意義突破難點的雙重意義 消極意義：學生對教師講授的內(nèi)容體會不深，理解消極意義：學生對教師講授的內(nèi)容體會不深，理解不透，思維受阻，隨著時間的推移，會使學生逐漸不透，思維受阻，隨著時間的推移，會使學生逐漸失去信心，造成學習困難。失去信心，造成學習困難。 積極意義：教學難點常出現(xiàn)在數(shù)學思想迅速豐富、積極意義：教學難點常出現(xiàn)在數(shù)學思想迅速豐富、大步跳躍或較為深刻的地方，出現(xiàn)在數(shù)學方法較為大

21、步跳躍或較為深刻的地方，出現(xiàn)在數(shù)學方法較為抽象更為綜合的地方。教學難點的積極意義是發(fā)展抽象更為綜合的地方。教學難點的積極意義是發(fā)展學生思維能力和提高學生數(shù)學素質(zhì)的契機。現(xiàn)代教學生思維能力和提高學生數(shù)學素質(zhì)的契機。現(xiàn)代教學理論認為，數(shù)學教學的根本任務是發(fā)展學生的思學理論認為，數(shù)學教學的根本任務是發(fā)展學生的思維能力。新課標強調(diào)：要培養(yǎng)學生克服困難的信心維能力。新課標強調(diào)：要培養(yǎng)學生克服困難的信心和意志力；要向?qū)W生提供挑戰(zhàn)性的問題，使他們經(jīng)和意志力；要向?qū)W生提供挑戰(zhàn)性的問題，使他們經(jīng)歷克服困難的活動，要讓他們從這些活動中獲取成歷克服困難的活動，要讓他們從這些活動中獲取成功體驗。因此，正確有效的利用與

22、化解難點，是數(shù)功體驗。因此，正確有效的利用與化解難點，是數(shù)學教學的必然結(jié)果。學教學的必然結(jié)果。（二）正確的估計難點（二）正確的估計難點 教學難點因人而異，教師必須在研究教學對象的基教學難點因人而異，教師必須在研究教學對象的基礎上正確估計難點。一般可以從以下幾個方面去認識礎上正確估計難點。一般可以從以下幾個方面去認識與估計難點：與估計難點：1.1.教學內(nèi)容的抽象性與學生思維形象性之間的矛盾產(chǎn)生教學內(nèi)容的抽象性與學生思維形象性之間的矛盾產(chǎn)生難點難點案例案例1 1：初二代數(shù)：初二代數(shù)“無理數(shù)無理數(shù)”一節(jié)一節(jié) 無理數(shù)的概念是本節(jié)教學難點。主要原因是：無無理數(shù)的概念是本節(jié)教學難點。主要原因是：無理數(shù)的概

23、念十分抽象，需要有一定的抽象思維能力和理數(shù)的概念十分抽象，需要有一定的抽象思維能力和初步的極限思想。而初中學生的抽象思維能力弱，主初步的極限思想。而初中學生的抽象思維能力弱，主 要還是以經(jīng)驗型的形象思維為主。要還是以經(jīng)驗型的形象思維為主。 案例案例2 2：高中：高中“函數(shù)函數(shù)”一節(jié)。一節(jié)。 本節(jié)的教學難點是函數(shù)的概念。主要原因是：由于函本節(jié)的教學難點是函數(shù)的概念。主要原因是：由于函數(shù)的概念涉及集合語言，其實質(zhì)是集合之間元素的對數(shù)的概念涉及集合語言，其實質(zhì)是集合之間元素的對應。教材采用了映射語言進行敘述，但在本節(jié)之前卻應。教材采用了映射語言進行敘述，但在本節(jié)之前卻沒有先講映射作為鋪墊。因此需要學

24、生具備一定的抽沒有先講映射作為鋪墊。因此需要學生具備一定的抽象思維與辨證思維能力。同時學生還要注意初高中函象思維與辨證思維能力。同時學生還要注意初高中函數(shù)概念的整合，這些特點對抽象思維能力較弱的高一數(shù)概念的整合，這些特點對抽象思維能力較弱的高一學生而言確實較難理解。學生而言確實較難理解。 案例案例3 3：高中：高中“雙曲線的幾何性質(zhì)雙曲線的幾何性質(zhì)”一節(jié)。一節(jié)。 本節(jié)教學難點是雙曲線的漸進線。主要原因：雙曲線本節(jié)教學難點是雙曲線的漸進線。主要原因：雙曲線的漸進線看似形，卻難以用形來描述，同時漸進線概的漸進線看似形，卻難以用形來描述，同時漸進線概念包含著極限思想。念包含著極限思想。 案例案例4

25、4：高中：高中“極限的定義極限的定義”一節(jié)。一節(jié)。 本節(jié)教學難點是極限的定義。主要原因：極限概念中本節(jié)教學難點是極限的定義。主要原因：極限概念中N的辨證關系難以讓人理解，其次有限與無限的的辨證關系難以讓人理解，其次有限與無限的關系讓人難以捉摸。關系讓人難以捉摸。 2.教學內(nèi)容的深化和學生思維定勢之間的矛盾教學內(nèi)容的深化和學生思維定勢之間的矛盾 案例案例1 1：初中：初中“一元一次方程的應用一元一次方程的應用”一節(jié)。一節(jié)。 受小學受小學定勢思維定勢思維算術法解方程的影響，因而常想算術法解方程的影響，因而常想到列算式而忽視建立等量關系，從而成為教學難點。到列算式而忽視建立等量關系，從而成為教學難點

26、。 案例案例2 2：初中：初中“不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)”一節(jié)。一節(jié)。 受方程解法的影響，忽視不等號的變向而成為教學難受方程解法的影響，忽視不等號的變向而成為教學難點。點。 案例案例3 3：高中：高中“邏輯連接詞邏輯連接詞”一節(jié)。一節(jié)。 難點為：對難點為：對“或或”的含義的理解。主要是容易與日常的含義的理解。主要是容易與日常用語中用語中“或或”的含義混淆。的含義混淆。 3.3.教學內(nèi)容之間的關系復雜教學內(nèi)容之間的關系復雜 案例案例1 1：“交集并集交集并集”一節(jié)。一節(jié)。 本節(jié)教學難點是交集并集的概念及它們之間的區(qū)別本節(jié)教學難點是交集并集的概念及它們之間的區(qū)別與聯(lián)系。因為邏輯中的與聯(lián)系。因為邏輯

27、中的“且且”與與“或或”只是一字之只是一字之差，關系卻很復雜。而且這種理解與日常理解有別。差，關系卻很復雜。而且這種理解與日常理解有別。 案例案例2 2：“一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法”一節(jié)。一節(jié)。 本節(jié)教學難點是三個二次之間的關系。三個二次緊本節(jié)教學難點是三個二次之間的關系。三個二次緊密聯(lián)系，相輔相成，而且運用中又需要靈活處理密聯(lián)系，相輔相成，而且運用中又需要靈活處理 4.4.問題的解決途徑難以探索問題的解決途徑難以探索 案例案例1:“1:“函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性”. . 本節(jié)的教學難點是利用單調(diào)性的概念證明或判斷函本節(jié)的教學難點是利用單調(diào)性的概念證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性數(shù)的單調(diào)

28、性. .因為證明中需要通分、提取公因式等因為證明中需要通分、提取公因式等變形技巧，還需要分類討論等思想方法，靈活性強。變形技巧，還需要分類討論等思想方法，靈活性強。 案例案例2:“2:“四種命題四種命題”. . 本節(jié)的教學難點是反證法的理解與應用。因為反證本節(jié)的教學難點是反證法的理解與應用。因為反證法的理解雖說與逆否命題有密切聯(lián)系，但也僅僅是法的理解雖說與逆否命題有密切聯(lián)系，但也僅僅是淺層理解，而且推導矛盾的方式、方法多種多樣，淺層理解，而且推導矛盾的方式、方法多種多樣，靈活性強。靈活性強。 案例案例3:“3:“兩角和與差的余弦兩角和與差的余弦”. . 本節(jié)教學難點有本節(jié)教學難點有2 2：其一

29、是余弦和角公式的推導：其一是余弦和角公式的推導證明思路難以探索；其二是和與差余弦公式的證明思路難以探索；其二是和與差余弦公式的靈活應用靈活應用應用的方法、技巧很多。應用的方法、技巧很多。 案例案例4:“4:“正弦定理正弦定理”. . 本節(jié)教學難點有本節(jié)教學難點有2 2：其一是正弦定理的推導：其一是正弦定理的推導證證明思路難以探索；其二是正弦定理公式的靈活應明思路難以探索；其二是正弦定理公式的靈活應用。用。（三）突破難點的策略（三）突破難點的策略 1.1.發(fā)現(xiàn)性策略發(fā)現(xiàn)性策略 即將克服難點的過程組織成教師引導下的學生即將克服難點的過程組織成教師引導下的學生獨立發(fā)現(xiàn)的過程獨立發(fā)現(xiàn)的過程, ,這樣能

30、較好發(fā)揮難點促進學生思這樣能較好發(fā)揮難點促進學生思維發(fā)展的作用。使用這一策略的條件是學生具備較維發(fā)展的作用。使用這一策略的條件是學生具備較好的基礎知識、能力準備和較充裕的時間。好的基礎知識、能力準備和較充裕的時間。 案例案例1:“1:“圓的切線的作法圓的切線的作法”. .教學難點：切點的確教學難點：切點的確定定 解決該問題可以設置以下啟發(fā)問題：解決該問題可以設置以下啟發(fā)問題： 問題問題1 1：過：過P P點的直線無數(shù)條，任作一條可以嗎？點的直線無數(shù)條，任作一條可以嗎？ 問題問題2 2：設：設PAPA為切線，為切線，A A為切點，則為切點，則OAOA與與APAP有何關系？有何關系？ 問題問題3：

31、本題轉(zhuǎn)化為在圓上找一點：本題轉(zhuǎn)化為在圓上找一點A，使，使OA PA，怎，怎樣確定樣確定A點？點？ 問題問題4：在：在OOAP中，中，OP是已知的，要使是已知的，要使OAP為直為直角，怎么辦？角，怎么辦？ 評注：上述問題設置：學生不但掌握了切線的作法，評注：上述問題設置：學生不但掌握了切線的作法，而且培養(yǎng)了分析、歸納、綜合等邏輯思維能力。從技而且培養(yǎng)了分析、歸納、綜合等邏輯思維能力。從技術層面而言，可歸結(jié)為遞推假設發(fā)現(xiàn)突破難點。術層面而言，可歸結(jié)為遞推假設發(fā)現(xiàn)突破難點。 O A P 案例案例2：“等差數(shù)列前等差數(shù)列前n項和項和” 教學難點：求和公式的推導；教學難點：求和公式的推導； 解決方法：高

32、斯故事，鋼管堆放解決方法：高斯故事，鋼管堆放 從技術層面可歸結(jié)為特殊到一般的歸納突破從技術層面可歸結(jié)為特殊到一般的歸納突破 案例案例3：“圓周角定理圓周角定理” 教學難點：定理的發(fā)現(xiàn)；教學難點：定理的發(fā)現(xiàn)； 解決方法：教師設置問題：解決方法：教師設置問題： 一個圓周角所對應的弧有幾條？一個圓周角所對應的弧有幾條？ 一段弧所對應的圓周角有幾個？圓心角有幾個？一段弧所對應的圓周角有幾個？圓心角有幾個？ （啟發(fā)學生認識二者有某種關系）（啟發(fā)學生認識二者有某種關系） 學生操作：自己畫圖，自己測量學生操作：自己畫圖，自己測量 教師利用幾何畫板拖動教師利用幾何畫板拖動A點，讓學生觀察圓心角點，讓學生觀察圓

33、心角和圓周角的變化情況和圓周角的變化情況 （得到結(jié)論：同弧所對的圓周角等于對應圓心角（得到結(jié)論：同弧所對的圓周角等于對應圓心角的一半）的一半） A O B C 教師啟發(fā)：由于有限次的實驗得到的結(jié)論不一定可教師啟發(fā)：由于有限次的實驗得到的結(jié)論不一定可靠，更不能作為定理。我們不能逐一驗證，有無辦靠，更不能作為定理。我們不能逐一驗證，有無辦法證明？請大家觀察演示，注意圓周角與圓心角有法證明？請大家觀察演示，注意圓周角與圓心角有幾種位置關系。幾種位置關系。 從技術層面可歸結(jié)為實驗操作演示的觀察突破從技術層面可歸結(jié)為實驗操作演示的觀察突破 A A A A A A O O O B B B C C C 案例

34、案例4 4：“一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法” 教學難點：三個二次之間的關系教學難點：三個二次之間的關系 解決方法：與三個一次關系類比，借助于圖形解決方法：與三個一次關系類比，借助于圖形 從技術層面可歸結(jié)為類比突破、圖形直觀突破、特殊從技術層面可歸結(jié)為類比突破、圖形直觀突破、特殊到一般歸納突破。到一般歸納突破。 2.2.層層鋪墊策略層層鋪墊策略 層層鋪墊策略并不是等難點充分暴露時才設法破解，層層鋪墊策略并不是等難點充分暴露時才設法破解，而是采取有目的、有計劃地進行分化、鋪墊、分解等而是采取有目的、有計劃地進行分化、鋪墊、分解等措施緩解問題的難度，使學生有序地度過思維障礙。措施緩解問題

35、的難度，使學生有序地度過思維障礙。 采用這種方式，有時需要有意設計遞進式教學環(huán)采用這種方式，有時需要有意設計遞進式教學環(huán)節(jié)；有時需要因勢利導，旁敲側(cè)擊。節(jié)；有時需要因勢利導，旁敲側(cè)擊。 案例案例1 1： 再將上述推廣到一般再將上述推廣到一般 從技術層面可歸結(jié)特殊到一般歸納突破。從技術層面可歸結(jié)特殊到一般歸納突破。 從本質(zhì)上將單調(diào)性的定義、等差數(shù)列、等比數(shù)列從本質(zhì)上將單調(diào)性的定義、等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義也是一種鋪墊的定義也是一種鋪墊教學教學)sin(cossin22xbaxbxa的的求解求解 鋪墊鋪墊 1：求證求證：)sin(2cossin36xxx 鋪墊鋪墊 2：求證求證：xxcossin2

36、222化化為為)sin(xA形式形式 案例案例2： 鋪墊鋪墊1：問題：已知：問題：已知A（1，1）和）和B（2，3），試），試在在X軸上求一點軸上求一點P，使，使|PA|+|PB|最小最小. 幾何意義幾何意義 從技術層面可歸結(jié)為圖形直觀突破從技術層面可歸結(jié)為圖形直觀突破 3.提示性策略提示性策略 即在解決問題的過程，教師適當提示解決問題的即在解決問題的過程，教師適當提示解決問題的思考原則，逐步縮小學生的探索范圍，求得問題思考原則，逐步縮小學生的探索范圍，求得問題求求函數(shù)函數(shù)1342222xxxxy的的最小值最小值 鋪墊鋪墊 2：變形：變形：2222302101）（）（）（）（xxy 的解決。這

37、種策略多用于例題與習題的教學之中。的解決。這種策略多用于例題與習題的教學之中。提示的范圍包括相關數(shù)學知識、常見數(shù)學思想（數(shù)提示的范圍包括相關數(shù)學知識、常見數(shù)學思想（數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化思想、構(gòu)造思想、整體思想形結(jié)合、轉(zhuǎn)化思想、構(gòu)造思想、整體思想 ）、）、常用的數(shù)學方法（如配方法、換元法、待定系數(shù)法、常用的數(shù)學方法（如配方法、換元法、待定系數(shù)法、間接法間接法 ）等。提示的類型一般有三種：）等。提示的類型一般有三種： 一般性提示一般性提示即方法論水平上的提示，提升學生即方法論水平上的提示，提升學生一般性的思考方法與原則。一般性的思考方法與原則。 功能性提示功能性提示間于一般性與特殊性之間，他提醒間于一般

38、性與特殊性之間，他提醒學生應用針對某一類問題的解決方法與策略學生應用針對某一類問題的解決方法與策略 特殊性提示特殊性提示即具體的提示，針對解決的問題，即具體的提示，針對解決的問題，提醒學生解決問題的具體方法與步驟提醒學生解決問題的具體方法與步驟 案例：證明案例：證明“三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理 提示問題提示問題1：要證明線段成比例有哪些方法？：要證明線段成比例有哪些方法？ 提示問題提示問題2：要使用平行線分線段：要使用平行線分線段 線段成比例？該怎樣作？線段成比例？該怎樣作？ 提示問題提示問題3：如何使：如何使AB、BD、AC、 DC在兩條直線上？在兩條直線上？ 提示問題

39、提示問題4：現(xiàn)在：現(xiàn)在BD、DC在同一在同一 直直線上，如何將線上，如何將AB、AC轉(zhuǎn)化到同一轉(zhuǎn)化到同一 直線上？直線上？ E A B C 4.分散性策略分散性策略 實際情況不允許采用發(fā)現(xiàn)性策略或提示性策略，實際情況不允許采用發(fā)現(xiàn)性策略或提示性策略，如學生的知識水平達不到或時間有限，教師可以如學生的知識水平達不到或時間有限，教師可以對難點問題直接講授或通過學生閱讀課本，繞過對難點問題直接講授或通過學生閱讀課本，繞過知識被探索發(fā)現(xiàn)的過程。由于這種做法越過了重知識被探索發(fā)現(xiàn)的過程。由于這種做法越過了重要的思維環(huán)節(jié)，應該在上述環(huán)節(jié)之后，加強反思要的思維環(huán)節(jié)，應該在上述環(huán)節(jié)之后，加強反思環(huán)節(jié)。環(huán)節(jié)。

40、反思性策略一般有兩種：反思性策略一般有兩種： 一是具體性反思，即對某一數(shù)學方法或解題過程一是具體性反思，即對某一數(shù)學方法或解題過程回頭看，對具體解決問題的過程加深理解和認識。回頭看，對具體解決問題的過程加深理解和認識。 如等比數(shù)列前如等比數(shù)列前n項的和的公式推導，教師可以回頭再項的和的公式推導，教師可以回頭再討論錯位相減法。討論錯位相減法。 二是整體性反思，即在某一章節(jié)之后，對解決問題二是整體性反思，即在某一章節(jié)之后，對解決問題的思想方法進行歸納總結(jié)。例如學生在學習了一次的思想方法進行歸納總結(jié)。例如學生在學習了一次方程組之后對消元的思想方法這個教學難點進行進方程組之后對消元的思想方法這個教學難

41、點進行進行整體回顧。行整體回顧。 5.躲避性策略躲避性策略 即學生即使在教師的指導下也不具備解決難點所即學生即使在教師的指導下也不具備解決難點所需要的知識和能力時，或著對于非重點的難點內(nèi)容，需要的知識和能力時，或著對于非重點的難點內(nèi)容， 學生在掌握過程中受阻而影響重點內(nèi)容的學習 時，可以采用這種策略。如教學雙曲線的幾何性質(zhì)時，可以采用這種策略。如教學雙曲線的幾何性質(zhì)時，直線的不同位置與其相交交點的個數(shù)就可以采時，直線的不同位置與其相交交點的個數(shù)就可以采用這一策略，側(cè)重與基本性質(zhì)掌握；在教學幾何入用這一策略，側(cè)重與基本性質(zhì)掌握；在教學幾何入門公理時也可以依據(jù)實際情況，只稍帶一提，不作門公理時也可

42、以依據(jù)實際情況，只稍帶一提，不作過多講解，不投入過多精力。過多講解，不投入過多精力。 躲避性策略是一種消極策略，但運用較好，仍可躲避性策略是一種消極策略，但運用較好，仍可以取得積極效果，即放棄非重點內(nèi)容，力圖取得全以取得積極效果，即放棄非重點內(nèi)容，力圖取得全局勝利。局勝利。三、數(shù)學教學的關鍵點三、數(shù)學教學的關鍵點 教材分析還需找準教材中對教學質(zhì)量和教學效果起著教材分析還需找準教材中對教學質(zhì)量和教學效果起著重要作用的關鍵點重要作用的關鍵點 1.從教學體系中找準教學的銜接點從教學體系中找準教學的銜接點 教材中的知識總是前后聯(lián)系又相互獨立的教材中的知識總是前后聯(lián)系又相互獨立的.在分析在分析教材時不能把著眼點只放在教材的局部、具體問題的教材時不能把著眼點只放在教材的局部、具體問題的分析上，而忽視對教材整體的把握，應該從整體和局分析上，而忽視對教材整體的把握，應該從整體和局部兩個方面入手，找準教材的銜接點，從而明確教材部兩個方面入手，找準教材的銜接點，從而明確教材編寫的來龍去脈以及各知識點在教材中的地位和作用。編寫的來龍去脈以及各知識點在教材中的地位和作用。 案例案例1：如初一：如初一“負數(shù)負數(shù)”應放在整個初中去分析，應放在整個初中去分析，既是小學既是小學“非負數(shù)非負數(shù)”的銜接，也把數(shù)系擴充到整的銜接，也把數(shù)系擴