1、2021-12-16振動力學12021-12-16振動力學2任何實際的機械系統都不可避免的存在著阻尼因素任何實際的機械系統都不可避免的存在著阻尼因素材料的結構阻尼，介質的粘性阻尼等材料的結構阻尼，介質的粘性阻尼等 由于各種阻尼力機理復雜，難以給出恰當的數學表達。由于各種阻尼力機理復雜，難以給出恰當的數學表達。 在阻尼力較小時，或激勵遠離系統的固有頻率時，可以忽略在阻尼力較小時，或激勵遠離系統的固有頻率時，可以忽略阻尼力的存在，近似地當作無阻尼系統。阻尼力的存在，近似地當作無阻尼系統。 當激勵的頻率接近系統的固有頻率，激勵時間又不是很短暫當激勵的頻率接近系統的固有頻率，激勵時間又不是很短暫的情況

2、下，阻尼的影響是不能忽略的。的情況下，阻尼的影響是不能忽略的。 一般情況下，可將各種類型的阻尼化作等效粘性阻尼。一般情況下，可將各種類型的阻尼化作等效粘性阻尼。 2021-12-16振動力學3有阻尼的有阻尼的 n 自由度系統的強迫振動方程為：自由度系統的強迫振動方程為： nRq阻尼矩陣阻尼矩陣元素元素 cij 阻尼影響系數阻尼影響系數物理意義：是使系統僅在第物理意義：是使系統僅在第 j 個廣義坐標上產生單位速度而個廣義坐標上產生單位速度而相應于第相應于第 i 個坐標上所需施加的力個坐標上所需施加的力 阻尼力為廣義速度的線性函數阻尼力為廣義速度的線性函數 表示為：表示為： jnjijdiqcQ1

3、阻尼矩陣一般是正定或半正定的對稱矩陣阻尼矩陣一般是正定或半正定的對稱矩陣 )(tFqKqCqM 2021-12-16振動力學4有阻尼的有阻尼的 n 自由度系統的強迫振動方程為：自由度系統的強迫振動方程為： )(tFqKqCqM nRq假定無阻尼系統下的正則模態矩陣假定無阻尼系統下的正則模態矩陣u及其模態剛度矩陣及其模態剛度矩陣作坐標變換：作坐標變換：uq )(tTTTTFuuKuuCuuMu有：有：即：即：)(tpNC uCuCTp其中：其中：模態阻尼矩陣模態阻尼矩陣雖然模態質量矩陣與模態剛度矩陣是對角陣，但雖然模態質量矩陣與模態剛度矩陣是對角陣，但模態模態阻尼矩阻尼矩陣一般非對角陣，因而正則

4、坐標陣一般非對角陣，因而正則坐標 下的強迫振動方程仍然存下的強迫振動方程仍然存在耦合。在耦合。 2021-12-16振動力學5111102111u 00000000cCcccccccccTPuCuCmmm000000MmmmT300020006uMukkkkkkk30203KkkkT1200060006uKu 非對角矩陣非對角矩陣 例如：三自由度系統例如：三自由度系統c2kmmmk2kkx1x2x32021-12-16振動力學6若若 非對角，則前面在無阻尼系統中介紹的主坐標方法或非對角，則前面在無阻尼系統中介紹的主坐標方法或正則坐標方法都不再適用，振動分析將變得十分復雜。正則坐標方法都不再適用

5、，振動分析將變得十分復雜。PC為了能沿用無阻尼系統中的分析方法，工程中常采用下列為了能沿用無阻尼系統中的分析方法，工程中常采用下列近似處理方法近似處理方法 。（1） 將矩陣將矩陣 C 假設為比例阻尼假設為比例阻尼 假定假定 C 有下列形式：有下列形式： KMCbaa, b：為常數：為常數 代入代入uCuCTp中中IuKMuCbabaTp)(對角陣對角陣 nitNciiPi1),(2 或運動方程變為：運動方程變為： )(tpNC 2iPibac2021-12-16振動力學7iiipiibac222得：得：令：令：iipic2稱稱 i 為為振型比例阻尼振型比例阻尼。若若a=0, 有：有：iib2意

6、味著各個意味著各個振型振動中，阻尼正比于該振型對應的固有頻率振型振動中，阻尼正比于該振型對應的固有頻率。若若b=0, 有：有：iia2意味著各個意味著各個振型振動中，阻尼反比于該振型對應的固有頻率振型振動中，阻尼反比于該振型對應的固有頻率。nitNciiPi1),(2 2iPibac2021-12-16振動力學8pnpPcc1C則n 自由度系統運動方程變為：自由度系統運動方程變為： iiPic2并令：這一方法有很大的實用價值 ，一般適用于振型比例阻尼 i 不大于0.2的弱阻尼系統。若系統阻尼較大，不能用振型矩陣使方程解耦，即阻尼矩陣不能對角化，有其它方法解決，但超出本課程范圍。(2) 當阻尼比

7、較小的時候，忽略當阻尼比較小的時候，忽略 矩陣中的全部非對角元素矩陣中的全部非對角元素 PCnitNiiiiiii1),(22 2021-12-16振動力學9假設粘性阻尼系統的微分方程中的阻尼矩陣C可以對角化， 5.11 有阻尼系統對任意激勵的響應有阻尼系統對任意激勵的響應 振型疊加法振型疊加法pnpPcc1C則n 自由度系統運動方程變為：自由度系統運動方程變為： iiPic2并令：), 2 , 1(2)()(niiiTiiCuu其中，), 2 , 1()()()(nittNTiiFunitNiiiiiii1),(22 下面對幾種激勵分別討論 2021-12-16振動力學10假設激勵為 )1(

8、,202nieNtiiiiiiii 1. 有阻尼系統對簡諧激勵的響應有阻尼系統對簡諧激勵的響應ttsin)(0FF將運動方程寫成復數形式：運動方程寫成復數形式： ), 2 , 1()(0niNTii0Fu式中，則正則坐標的穩態響應： )1(,)()()(20nieHNtitiiiii,)2()1 (1)(222iiiiH式中，,12arctan2iiii,ii正則坐標的放大因子 相位角 頻率比 2021-12-16振動力學11正弦激勵下正則坐標的穩態響應： )(20)(Im)(itiiiiieHNt)sin()2()1 (22220iiiiiitN原廣義坐標的穩態響應： niiitt1)()(

9、)(uqniiiiiiTiit122220)()()sin()2()1 (Fuu的振幅會很大。時接近當激勵頻率可以看出iii, 1,尼系統類似。共振現象與單自由度阻個共振頻率，但有n個共振現象。共有n2021-12-16振動力學12假設各坐標上作用的激勵周期相同，則 )1(, )sincos(2)(10nitjbtjaatNjijijii2. 有阻尼系統對周期激勵的響應有阻尼系統對周期激勵的響應節公式計算。可由第式中，7 . 3,0ijijibaa把激勵各簡諧分量所引起的系統穩態響應分別求出，再疊加： 102)sin()cos( )(21)(jijijijijijiiitjbtjajHat,)

10、2()1 (1)(2222iiiijjjjH式中，,12arctan22iiiijjj,ii的周期也相同。)(tiN進行傅里葉級數展開：將)(tiN2021-12-16振動力學13原坐標的系統穩態響應： )()(1)(ttiiinuqnijijijijijijiiitjbtjajHa1102)()sin()cos( )(2u從i表達式可以看出，任意階正則坐標的響應是由各個不同 頻率激勵引起的響應疊加而成，因而就一般周期性激勵函數 而言，產生共振的可能性要比簡諧激勵大得多，很難預料各 階振型中哪階振型將受到激勵的強烈影響而共振。 但當激勵函數展開成傅里葉級數后，可以將每個激勵頻率 j和每個固有頻

11、率 i 相比較，從而預先推測出強烈振動所在。2021-12-16振動力學14對于外力是一般隨時間變化的激勵，解耦的微分方程為： 3. 有阻尼系統對任意激勵的響應有阻尼系統對任意激勵的響應ttetdidiiiiidiitiiisincos)(000,12iidi式中，,0)(0MquTiinitNtttiiiiiii1),()()(2)(2 得正則坐標的響應為： tditididteNii0)()(sin)(1對初始條件的響應 杜哈梅積分 .0)(0qMuTii原坐標的響應為： )()(1)(ttniiiuq2021-12-16振動力學15tFFqqkqqcqqmsin2112211210012

12、1212121 ,1mk111121mucq1q2mkmkkcctFsin1tFsin2,32mk2021-12-16振動力學16tFFFFmmkmcsin21300130012121212121 cq1q2mkmkkcctFsin1tFsin2)()(ttuq令111121mu3001002221mkpK30011111211211112mcmcCuuCTp)()(ttFuNTitFFmsin11112121tFFFFmsin2121212021-12-16振動力學17tFFFFmmkmcsin21300130012121212121 )(sin)/()(12)(122221211tmcmFFt21tanmkc其中，)(sin)/3()(12)(222222212tmcmFFt2233tanmkc2021-12-16振