1、 振動力學機械科學與工程學院第一章第一章 單自由度系統的振動單自由度系統的振動單自由度系統振動方程單自由度系統振動方程無阻尼單自由度系統的自由振動無阻尼單自由度系統的自由振動等效單自由度系統等效單自由度系統有阻尼單自由度系統的自由振動有阻尼單自由度系統的自由振動簡諧激勵下的強迫振動簡諧激勵下的強迫振動基礎簡諧激勵下的強迫振動基礎簡諧激勵下的強迫振動振動的隔振振動的隔振等效線粘性阻尼等效線粘性阻尼周期激勵下的振動分析周期激勵下的振動分析瞬時激勵下的振動分析瞬時激勵下的振動分析建立系統振動運動方程：找出力與運動量之間微分關系建立系統振動運動方程：找出力與運動量之間微分關系求解方程，找出系統的響應分

2、析響應的時頻特性分析響應的時頻特性離散化建立有限自由度物理模型離散化建立有限自由度物理模型1.1 1.1 單自由度系統振動方程單自由度系統振動方程 振動分析：振動分析： 建立振動微分方程：是振動分析的基礎。建立振動微分方程：是振動分析的基礎。 動靜法、拉格朗日方程法、能量法等。動靜法、拉格朗日方程法、能量法等。1）質塊質塊-彈簧系統（最簡單的振動模型）彈簧系統（最簡單的振動模型）m)(tf( )u tk ( )mu tku tf t m)(tf( )u t( )u t( )ku t靜平衡位置 建立坐標系；建立坐標系； 取分離體畫受力圖；取分離體畫受力圖； 牛頓第二定率建立力和運動要素牛頓第二定

3、率建立力和運動要素之間的關系式。之間的關系式。1、動靜法：、動靜法：單自由度無阻尼振動單自由度無阻尼振動方程一般形式方程一般形式 +0mu tku t 無阻尼單自由度系統無阻尼單自由度系統的自由振動方程的自由振動方程 mu tku tf t(1.1.1)(1.1.2)若外力為零，則有：若外力為零，則有：情況情況1 1： 以初始位置為基準以初始位置為基準，情況情況2 2：以靜平衡位置為基準：以靜平衡位置為基準( )u tkckckc)(1tyst)()(111111tfmgkyycymtfmgkyycym ( ),ststmucukukmgf tkmg 1ky1yc1y mg)(tfstku c

4、u u mg)(tf2）質塊質塊-彈簧彈簧-阻尼系統阻尼系統 mu tcu tku tf t單自由度系統振動方程一般式單自由度系統振動方程一般式 0mu tcu tku t單自由系統的自單自由系統的自由振動方程由振動方程(1.1.3)(1.1.4)(1.1.5)例例1-1 1-1 （利用動量矩平衡）（利用動量矩平衡） 如圖，抗彎剛度無如圖，抗彎剛度無窮大的直桿，兩端有兩個集中質量。窮大的直桿，兩端有兩個集中質量。ABmm3kEIlll2 ml ml9kl2AY07042803922:022kmklmllmllkllmlmA 拉格朗日方程法：拉格朗日方程法：對單自由度系統，拉格朗日方程為：對單自

5、由度系統，拉格朗日方程為：對于具有定常約束系統，上式進一步簡化為：對于具有定常約束系統，上式進一步簡化為：對于具有定常約束保守系統，進一步簡化為：對于具有定常約束保守系統，進一步簡化為：或對具有定常約束保守系統利用機械能守恒，也可導或對具有定常約束保守系統利用機械能守恒，也可導出運動微分方程出運動微分方程QdydUdydTyTdtdQdydUyTdtd0dydUyTdtd0)( UTdtd（1.1.6）（1.1.7）（1.1.8）（1.1.9）例例1-21-2： 如圖：光滑水平面上質量彈簧系統。如圖：光滑水平面上質量彈簧系統。解：系統的動能和勢能分別為：解：系統的動能和勢能分別為：系統的廣義力

6、為：系統的廣義力為：代入到拉格朗日方程得：代入到拉格朗日方程得： 2221,21kxUxmTm)(txk)(tP tPxxtPxWQ)()(tPkxxmQdxdUxTdtd 例例1-31-3： 如圖所示：圓弧形滑道上，有一均質圓柱體如圖所示：圓弧形滑道上，有一均質圓柱體作純滾動。建立其運動方程。作純滾動。建立其運動方程。解：因為純滾動，所以振動解：因為純滾動，所以振動系統為單自由度系統，以圓柱系統為單自由度系統，以圓柱中心繞軌道中心轉過的中心繞軌道中心轉過的角度角度 為自由度。為自由度。圓柱質心速度：圓柱質心速度：圓柱純滾動角速度：圓柱純滾動角速度：系統動能為：系統動能為：RorW)(rRv)

7、1(rRrv22222222243)1(2121)(212121rRgWrRrgWrRgWImvT系統的勢能為系統的勢能為： 機械能守恒方法機械能守恒方法：因為系統為定常約束保守系：因為系統為定常約束保守系統，機械能守恒，故有：統，機械能守恒，故有：即：即：此方程是非線性的。對圓柱微幅運動此方程是非線性的。對圓柱微幅運動， ，方程可近似線性化為：方程可近似線性化為：)cos1)(rRWU0sin)(243)(2 rRWrRgWUTdtd0sin)(32rRg sin0)(32rRg 拉格朗日方法拉格朗日方法0ddUTdtd 22222324343rRgWrRgWrRgWdtdTdtdsin)(

8、)cos1)(rRWrRWddddU代入拉格朗日方程有：代入拉格朗日方程有：（有勢力場，（有勢力場，Q=0)Q=0)0sin320sin232rRgrRWrRgW 1.2 無阻尼單自由度系統的自由振動無阻尼單自由度系統的自由振動特征解特征解初始擾動引起的自由振動初始擾動引起的自由振動簡諧振動及其特征簡諧振動及其特征彈簧阻尼器的串聯并聯（等效剛度）彈簧阻尼器的串聯并聯（等效剛度）1.2.1 特征解特征解 無阻尼：系統在運動過程中沒有任何阻尼力。無阻尼：系統在運動過程中沒有任何阻尼力。 自由振動：系統振動是由初始擾動激勵的，自由振動：系統振動是由初始擾動激勵的， 沒有任何外力作用于系統。沒有任何外

9、力作用于系統。 任何的單自由度系統都可等價為特定的彈簧質量任何的單自由度系統都可等價為特定的彈簧質量系統：系統： 系統運動的微分方程：系統運動的微分方程：m( )u tk00,uv 0m utk ut令：令： ，則方程變為：，則方程變為：mkn2 20nutut（1.2.1b）(1.2.1a)由方程（由方程（1.2.1）可知：其解具有下列形式：）可知：其解具有下列形式： 代入方程得：代入方程得：振動位移不恒為零，有振動位移不恒為零，有其解為特征根：其解為特征根：式中：式中： （弧度（弧度/秒）秒）( )stu tu e220nsunjs2,1特征方程特征方程220ns（1.2.2）（1.2.3

10、）（1.2.4）nkm系統的系統的固有圓頻率固有圓頻率，簡稱，簡稱固有頻率固有頻率。（1.2.5）一對共軛復根。一對共軛復根。系統的解為：系統的解為：其中，系數其中，系數 由系統的初始條件：由系統的初始條件： 確定。確定。把解改寫為振幅相位形式：把解改寫為振幅相位形式：其中：其中： 分別為振幅和初相位。分別為振幅和初相位。00,uu 12( )co ssinnnu tatat21, aa( )sinnu tat221122,arctanaaaaa（1.2.6）（1.2.7） tataejaaejaatujaauuueueutunntjtjtjtjnnnnsincos2121,21,)(2121

11、212122121那么，有：令：，可以證明：因為解是實數解，因此1.2.2 初始擾動引起的自由振動初始擾動引起的自由振動給定初始條件給定初始條件確定：確定：代入初始條件到位移響應中得：代入初始條件到位移響應中得：則位移通解（系統的響應）為則位移通解（系統的響應）為 nnnttVttUutVutUtusin,cos)(,)(00)(),(tVtU21, aa00(0 ),(0 )uuuu0102,nuaua（1.2.8）（1.2.9）00( )co ssinnnnuu tutt（1.2.10a）（1.2.10b）另一種表達式另一種表達式：分別為單位初位移、單位初速度引起單自由度無阻尼系統的自由振

12、動。分別為單位初位移、單位初速度引起單自由度無阻尼系統的自由振動。此式可表達為振幅相位形式：此式可表達為振幅相位形式：其中，振幅：其中，振幅：初相位：初相位：( )sin ()nu tat2200nuau00arctannuu（1.2.11）（1.2.12a）（1.2.12b）1.2.3 簡諧振動及其特征簡諧振動及其特征單自由度系統無阻尼自由振動是單自由度系統無阻尼自由振動是簡諧振動簡諧振動。是兩種同頻率的簡諧運動的合運動，一種是由初始是兩種同頻率的簡諧運動的合運動，一種是由初始速度產生的，另一種是由初始位移產生的。兩種運速度產生的，另一種是由初始位移產生的。兩種運動的相位差是動的相位差是90

13、度。度。確定簡諧振動的三要素：頻率、振幅和初相位。確定簡諧振動的三要素：頻率、振幅和初相位。振動圓頻率振動圓頻率=系統的固有頻率，與初始條件無關。系統的固有頻率，與初始條件無關。振幅和初相位依賴系統的初始條件。也就是說，取振幅和初相位依賴系統的初始條件。也就是說，取決于初始時刻輸入系統的能量。決于初始時刻輸入系統的能量。tatututunnnnsinsincos)(00簡諧振動的重要特征：簡諧振動的重要特征： 簡諧振動是一種周期振動簡諧振動是一種周期振動周期振動滿足條件：周期振動滿足條件：即每經過固定時間間隔，振動將重復原來的過程。最小正即每經過固定時間間隔，振動將重復原來的過程。最小正常數常

14、數 - -振動周期。振動周期。()( )u tTu tT22nnmTk（1.2.14）（1.2.13） 無阻尼單自由度系統自由振動的固有周期。無阻尼單自由度系統自由振動的固有周期。 由頻率公式由頻率公式 可以看出：可以看出： 1）質量不變下，剛度越大或剛度不變下，質量越小。）質量不變下，剛度越大或剛度不變下，質量越小。其振動的頻率越大，振動的周期越短。振動的恢復力其振動的頻率越大，振動的周期越短。振動的恢復力越大，物體越容易回到靜平衡位置。越大，物體越容易回到靜平衡位置。 2）反之，情況恰好相反。）反之，情況恰好相反。nkm12nnnfT( (赫茲）赫茲）表示表示1 1秒內重復振動的次數。秒內

15、重復振動的次數。（1.2.15- 1.2.16）固有頻率的另一種形式：固有頻率的另一種形式：(a)圖: 簡諧振動時間域內變化特征周期:兩個波峰或波谷間的水平距離T稱為周期. 它也是振動一次需要的時間;頻率:周期的倒數為頻率.表示振動的快慢程度,即在1秒之內振動的次數.振幅:波峰或波谷的高度.初相角:初始時刻OR矢量與x軸之間的夾角.(b)表示長度為A的矢量OR從角初始位置出發,以等角速度在xOy平面內做圓周運動.該矢量在t時刻在y軸上的投影即為位移響應在同一時刻的值.xy(b) 用旋轉矢量表示簡諧運動 旋轉矢量表達的簡諧振動：旋轉矢量表達的簡諧振動：簡諧運動的位移、速度和加速度之間的關系簡諧運

16、動的位移、速度和加速度之間的關系：速度和加速度可分別表達為：速度和加速度可分別表達為：速度和加速度也是簡諧函數，并與位移具有相同頻率；速度和加速度也是簡諧函數，并與位移具有相同頻率；在相位上，速度超前位移在相位上，速度超前位移90 ，加速度超前位移，加速度超前位移180。加速度始終與位移反向：加速度始終與位移反向：速度和加速度的幅值分別是振幅的速度和加速度的幅值分別是振幅的22( )cossin()2( )sinsinnnnnnnnnu tatatu tatat 2( )( )nu tu t （1.2.17）（1.2.18）2nn和倍。靜平衡位置靜平衡位置最大振幅最大振幅A-A0 x初始位置初

17、始位置速度為零，速度為零，位移，加速度位移，加速度絕對值最大，絕對值最大，方向反向。方向反向。速度為零，速度為零，位移，加速度位移，加速度絕對值最大，絕對值最大，方向反向。方向反向。速度減小速度增加速度減小速度增加速度最大位移，加速度為零最大振幅最大速度 簡諧振動過程簡諧振動過程動能最大勢能為零動能為零勢能最大動能為零勢能最大振動方向相同的簡諧振動合成振動方向相同的簡諧振動合成：運用三角函數公式容易證明：運用三角函數公式容易證明： 兩個同頻率簡諧振動的合成結果仍然為簡諧振兩個同頻率簡諧振動的合成結果仍然為簡諧振動，且頻率不變。動，且頻率不變。 兩個不同頻率的簡諧振動合成結果一般為周期運兩個不同

18、頻率的簡諧振動合成結果一般為周期運動，特殊情況下為非周期振動（頻率比為無理動，特殊情況下為非周期振動（頻率比為無理數）。數）。0102030405060708090100-2-1.5-1-0.500.511.52 兩個頻率十分接近的簡諧振動合成后會產生周期性兩個頻率十分接近的簡諧振動合成后會產生周期性的的拍振拍振。(振幅按著兩個振動頻率的差頻簡諧變化振幅按著兩個振動頻率的差頻簡諧變化)202sin21221BTt taatattattaattaattaattttaattttaattaattaatatauutautau2cos2sinsin2cos22sincos22cossin22sin2si

19、n22sin2sin2sinsin2sinsin2sinsinsin,sin21212121212121212121221121222111振動方向相互垂直的簡諧振動合成振動方向相互垂直的簡諧振動合成利用解析幾何知識可以證明：同頻率兩個簡利用解析幾何知識可以證明：同頻率兩個簡諧振動在同一平面內沿相互垂直方向合成后諧振動在同一平面內沿相互垂直方向合成后的運動軌跡一般為的運動軌跡一般為橢圓橢圓。若頻率不同，合成后的運動軌跡則較為復雜。若頻率不同，合成后的運動軌跡則較為復雜。當頻率間存在一定的比例關系時，合成后的當頻率間存在一定的比例關系時，合成后的運動軌跡呈現出穩定有規律的圖像。運動軌跡呈現出穩定

20、有規律的圖像。這些圖形這些圖形- -李沙育圖李沙育圖 22cos,sin,/1x taty tbtx ay b 設兩個簡諧振動為設兩個簡諧振動為 111222sinsinu tatutat-1-0.500.51-2-1012020406080100 動點獨立地動點獨立地 在水平方向作在水平方向作圓頻率為圓頻率為1 1rad/s,rad/s,振幅為振幅為 的振動；的振動； 在垂直方向作在垂直方向作圓頻率為圓頻率為 ，振，振幅為幅為 的振動。的振動。（見（見P11P11圖圖1.2.31.2.3） 李沙育圖形在平面李沙育圖形在平面u1,u2u1,u2上的投影與頻上的投影與頻率，相位有很大關系。率，相

21、位有很大關系。1a2a1u2ut12211,2,1.5,1.5aa-1-0.500.51-2-101202040608010012211,2,0,1aa12211,2,/ 4,1aa12211,2,/ 2,1aa-1-0.500.51-2-101202040608010012211,2,1aa -1-0.500.51-2-1012020406080100-1-0.500.51-2-1012020406080100-1-0.500.51-2-101202040608010012211,2,/4,1.1aa1.2.4 彈簧和阻尼器的串聯與并聯彈簧和阻尼器的串聯與并聯 在較復雜的單自由度結構系統中，

22、有較多的彈在較復雜的單自由度結構系統中，有較多的彈性元件，每個彈性元件相當于一個彈簧，它們性元件，每個彈性元件相當于一個彈簧，它們之間串聯、并聯和混聯關系，可用一個之間串聯、并聯和混聯關系，可用一個等效彈等效彈簧簧來代替。來代替。 利用等效彈簧剛度，使固有頻率計算簡化。利用等效彈簧剛度，使固有頻率計算簡化。彈簧并聯：彈簧并聯： 兩個彈簧并聯：兩個彈簧并聯： 彈性變形相等。彈性變形相等。kxFxkFxkF,222111考慮到：由上兩式求得：（1.2.20）FFFxxx2121,k1k2k21kkk 顯然，彈簧并聯后，等效彈簧剛度加強，即：顯然，彈簧并聯后，等效彈簧剛度加強，即： n個彈簧并聯：個

23、彈簧并聯：彈簧串聯：彈簧串聯： 兩個彈簧串聯：彈性力相等。兩個彈簧串聯：彈性力相等。21,kkkkikk1k2kkk1k2kxxxFFF2121,kFxkFxkFx/,/,/222111聯立得：聯立得： 顯然，彈簧串聯，等效彈簧剛度減弱，即：顯然，彈簧串聯，等效彈簧剛度減弱，即： n個彈簧串聯：個彈簧串聯： 彈簧的串聯、并聯，不能按表面形式劃分，要根據力學彈簧的串聯、并聯，不能按表面形式劃分，要根據力學特性的分析來判斷。特性的分析來判斷。ikk11（1.2.23）1k2kk212121,111kkkkkkkk21,kkkk例例2-4: 2-4: 一一卷揚機通過鋼絲繩卷揚機通過鋼絲繩, ,繞過定

24、滑輪吊起一重物繞過定滑輪吊起一重物. .已知已知: : 重物重重物重 噸噸, , 鋼絲繩的彈簧剛度鋼絲繩的彈簧剛度 下降速度：下降速度：求求: : 卷揚機突然剎車卷揚機突然剎車, ,鋼絲繩上端突然停止時鋼絲繩上端突然停止時, , 鋼絲繩的最大張力鋼絲繩的最大張力. .解解: : 重物勻速下降時重物勻速下降時, , 鋼絲繩中的張力鋼絲繩中的張力: : 當鋼絲繩上端突然停止當鋼絲繩上端突然停止, , 重物重物 由于慣性繼續往下運動由于慣性繼續往下運動, ,開始在開始在 靜平衡位置上下自由振動靜平衡位置上下自由振動. .15Wcmkgk/109.53min/15 mv 11 5TW噸vW)(tyk靜

25、平衡位置靜平衡位置固有頻率為固有頻率為: : 初始條件為初始條件為: :振幅振幅: :由于振動引起鋼絲繩中的最大張力為由于振動引起鋼絲繩中的最大張力為: :鋼絲繩中最大張力為鋼絲繩中最大張力為: :1356 .1910158 .9109 .5/smknvyy00,0cmmyyyann27.10127.06 .1960/1502020kgmkvkaT3321049.727.1109 .5噸49.221049.221049.7105 .133321kgmkvmgTTT 討論：顯然，振動增加了鋼絲繩中的張力。顯然，振動增加了鋼絲繩中的張力。當鋼絲繩的剛度當鋼絲繩的剛度k k和運動速度和運動速度 比較

26、大時，最大動比較大時，最大動張力會很大，可能導致鋼絲繩的損壞；張力會很大，可能導致鋼絲繩的損壞；因此，運行中應避免這種情況發生。由于最大動張力因此，運行中應避免這種情況發生。由于最大動張力與剛度與剛度k k的平方根成正比，故對承受這種突然沖擊載的平方根成正比，故對承受這種突然沖擊載荷的零件，剛度小反而安全。荷的零件，剛度小反而安全。為此，人們在吊鉤與鋼絲繩間加一個圓柱螺旋彈簧，為此，人們在吊鉤與鋼絲繩間加一個圓柱螺旋彈簧，這等于在鋼絲繩上串聯一個剛度較小的彈簧，降低系這等于在鋼絲繩上串聯一個剛度較小的彈簧，降低系統的剛度。這種吊鉤統的剛度。這種吊鉤- -彈簧減振鉤。彈簧減振鉤。0vk 0tkt

27、J 改寫為：改寫為： 02ttn 1.3 等效單自由度系統等效單自由度系統 單自由度扭振系統單自由度扭振系統G-剪切模量I-截面極慣性矩J-圓盤轉動慣量T-扭矩由材料力學可知：由材料力學可知：GITl扭轉剛度為：扭轉剛度為：lGITk產生單位角位移所需的扭矩。由對由對x軸的動平衡可得：軸的動平衡可得：（1.3.2) JkT JkxyGI(1.3.1)（1.3.4a)（1.3.4b)lTk :1系統的響應為：系統的響應為： 0000sincos)(tVtUtttnnn與質量與質量- -彈簧系統的對應關系彈簧系統的對應關系( ),tuJmkk系統的扭振的固有頻率（自振頻率）系統的扭振的固有頻率（自

28、振頻率）Jkn（1.3.5)（1.3.6) 0tlgt 改寫為：改寫為： 02ttn 1.3 等效單自由度系統等效單自由度系統 單擺單擺以角度以角度 為位移為位移, 其運動其運動微分方程為微分方程為: 0sintmgtml 當擺幅很小時當擺幅很小時, 有有 , 線性化為：線性化為：(1.3.7a)（1.3.7b)（1.3.8a)lom 0sintlgt sin（1.3.8b)（1.3.9)lgn系統的固有頻率為系統的固有頻率為: 微幅擺動下，振動周期與擺錘的質量無關。微幅擺動下，振動周期與擺錘的質量無關。 擺動周期和擺長的關系：擺動周期和擺長的關系：2224nngTglsTn1當擺動周期為當擺

29、動周期為時，其擺長為：時，其擺長為：cml82.241.3 等效單自由度系統等效單自由度系統（1.3.10)例例1-5 已知：已知： 直升機槳葉的質量直升機槳葉的質量m， 質心與鉸質心與鉸 之間距離為之間距離為 。微幅擺動，測得擺。微幅擺動，測得擺 動周期動周期 。求：槳葉繞垂直鉸求：槳葉繞垂直鉸O的轉動慣量的轉動慣量解：取圖示坐標系解：取圖示坐標系lnTolmgC根據繞固定鉸的動量矩定理，有根據繞固定鉸的動量矩定理，有： tmgltJosin 微幅擺動有：微幅擺動有：sin于是振動方程線性化為：于是振動方程線性化為： 0tmgltJo 固有頻率和固有周期分別為：固有頻率和固有周期分別為：mg

30、lJTJmglonon2,于是繞固定鉸于是繞固定鉸O的轉動慣量為：的轉動慣量為：2204nTmglJ根據平行移軸公式，可求出繞質心的轉動慣量為根據平行移軸公式，可求出繞質心的轉動慣量為20mlJJc1.3 等效單自由度系統等效單自由度系統 簡支梁橫向振動簡支梁橫向振動A簡化模型簡化模型：梁的質量全部集中在梁的梁的質量全部集中在梁的中部，其等效質量為中部，其等效質量為BEI( )u tem2l2lP梁的中部靜撓度作為系統的靜位移，根據材梁的中部靜撓度作為系統的靜位移，根據材料力學中靜撓度公式，有料力學中靜撓度公式，有EIPl483梁的等效剛度為梁的等效剛度為：EI為梁的抗彎剛度348lEIPke

31、（1.3.11)（1.3.12)em取靜平衡位置為系統的坐標原點取靜平衡位置為系統的坐標原點，系統的系統的振動方程為：振動方程為：( )( )( )eem u tk u tP t自由振動下，外力為零，有：自由振動下，外力為零，有：( )( )0eem u tk u t振動的固有頻率為：振動的固有頻率為：,483lmEImkeeen1.3 等效單自由度系統等效單自由度系統（1.3.13a)（1.3.13b)（1.3.14)例例1-61-6：如圖：一等截面簡支鋼梁質量不計，有一物快：如圖：一等截面簡支鋼梁質量不計，有一物快從梁的中點上方處落下，且物塊與梁接觸后不分開。從梁的中點上方處落下，且物塊與

32、梁接觸后不分開。計算接觸后系統自由振動的固有頻率及振幅計算接觸后系統自由振動的固有頻率及振幅。已知已知: : 解解: :梁中點受單位力作用梁中點受單位力作用的撓度即為柔度系數的撓度即為柔度系數: :因此，系統的固有頻率為：因此，系統的固有頻率為：,58800,10,32NmEImmhmlkgm90ABEI)(tyhlmekEIl14831331.343905880048481smlEImmken1.3 等效單自由度系統等效單自由度系統重物落下與梁接觸時開始振動，初始條件為：重物落下與梁接觸時開始振動，初始條件為：振幅為：振幅為：梁中點的最大位移：梁中點的最大位移：mmmmgyst44.8104

33、4.8588004838.990330ghy20222002221 5 .5stnststyaym ghhm mm ax1 5 .58 .4 42 3 .9styam m 1.3 等效單自由度系統等效單自由度系統0st靜平衡位置初始位置 懸臂梁懸臂梁簡化模型簡化模型：梁的質量全部集中在自由梁的質量全部集中在自由端，其等效質量為端，其等效質量為 。梁自由端的靜撓度作為系統的靜位移，根據梁自由端的靜撓度作為系統的靜位移，根據材料力學中靜撓度公式，有材料力學中靜撓度公式，有EIPl33懸臂梁的等效剛度為懸臂梁的等效剛度為：EI為梁的抗彎剛度33lEIPke（1.3.15)（1.3.16)em1.3

34、等效單自由度系統等效單自由度系統AEI)(tyem2lP 等效質量等效質量在前面的討論中，一般假定彈性元件的質在前面的討論中，一般假定彈性元件的質量可忽略。這樣的簡化有時可以滿足精度量可忽略。這樣的簡化有時可以滿足精度要求。要求。但是，當彈性元件的質量占系統的總質量但是，當彈性元件的質量占系統的總質量的一定比例時，彈性元件的質量不能忽略。的一定比例時，彈性元件的質量不能忽略。否則計算的固有頻率就偏高。否則計算的固有頻率就偏高。這時就需要把彈性元件的質量等效地集中這時就需要把彈性元件的質量等效地集中到系統的質量上。到系統的質量上。等效的原則是系統的總動能不變。等效的原則是系統的總動能不變。1.3

35、 等效單自由度系統等效單自由度系統 以彈簧質量系統為例：以彈簧質量系統為例：假定彈簧單位長度質量：假定彈簧單位長度質量： ，彈簧長：，彈簧長： ，重，重那么，距離固定端那么，距離固定端 處的位移為：處的位移為：整個彈簧的動能為：整個彈簧的動能為：l)()(tultxm)(tukd tumtumtullltudltutuldTeqlls222322022220213213213212121系統的總動能：系統的總動能：lm tumtummTtumTeqeqs222212121彈簧的等效質量31mmmmmeqeq（1.3.17）1.3 等效單自由度系統等效單自由度系統 系統的勢能仍和忽略彈簧質量時相

36、同：系統的勢能仍和忽略彈簧質量時相同： 對于保守系統，機械能守恒，故有：對于保守系統，機械能守恒，故有： 對于簡諧振動，對于簡諧振動， 因此，最大動能和勢能分別為：因此，最大動能和勢能分別為： 能量守恒得：能量守恒得： tkuU221maxmax.UTconstUT平衡位置最大振幅位置 tatunsinauaunmaxmax,（1.3.18）22maxmax22222maxmax212121,2121kakuUamTTamumTeqrefrefneqneq2222121kaamneq 結果說明，只要把彈簧質量的結果說明，只要把彈簧質量的1/3作為一個集中質量加到作為一個集中質量加到質量塊上，就

37、可把彈簧質量對系統固有頻率的影響考慮進質量塊上，就可把彈簧質量對系統固有頻率的影響考慮進去。去。 近似解的精度：近似解的精度： 當當 ， 固有頻率的相對誤差：固有頻率的相對誤差： 當當 ， 固有頻率的相對誤差：固有頻率的相對誤差： 當當 ， 固有頻率的相對誤差：固有頻率的相對誤差： 等效質量的計算：把彈簧分布質量的總動能等效質量的計算：把彈簧分布質量的總動能=以等效質量以等效質量作為集中質量的動能。作為集中質量的動能。mm2 mm21 mm %5.0%75.0%3,212122max2eqeqrefnmkamkaTU3mmkmkeqn（1.3.18）例例1-71-7：設有一均勻等截面簡支梁，中

38、間有一集：設有一均勻等截面簡支梁，中間有一集中質量中質量 ，若將梁本身質量考慮在內，試計，若將梁本身質量考慮在內，試計算梁的等效質量和系統的固有頻率。算梁的等效質量和系統的固有頻率。解：假定自由振動時梁解：假定自由振動時梁 的動撓度曲線形式與梁的動撓度曲線形式與梁 中間作用集中力產生的靜中間作用集中力產生的靜 撓度曲線形式一樣，撓度曲線形式一樣， 任意兩點動位移之比等于任意兩點的靜位移之任意兩點動位移之比等于任意兩點的靜位移之比，因此有：比，因此有： m)()(),(xytutxys)sin(),2()(tatlytunABEI2/lm2/lx),(txy)(tu式中：式中： 是梁左半段單位力

39、作用下靜位移撓度曲線，是梁左半段單位力作用下靜位移撓度曲線，由材料力學可知：由材料力學可知： 是是梁中間點處單位力作用下靜撓度。梁中間點處單位力作用下靜撓度。因此，因此， 動撓度曲線為：動撓度曲線為：設梁單位質量為設梁單位質量為 ，則整個梁的動能為：，則整個梁的動能為：3243481)(xxlEIxys)(xysEIllys48)2(3)(43)()(),(22tuxxltuxytxys1.3 等效單自由度系統等效單自由度系統因此簡支梁的等效質量為：因此簡支梁的等效質量為：簡支梁的彈簧剛度為：簡支梁的彈簧剛度為：考慮梁的質量情況下，系統的固有頻率為：考慮梁的質量情況下，系統的固有頻率為：)(2

40、1)(351721)(351721)(43),(21222222222/022/01tumtumtultudxxxldxtxyTeqll3517mmeq差不多是梁的總質量的一半3481lEIk3517mmkmmkeqn(1.3.19)(1.3.20)1.3 等效單自由度系統等效單自由度系統例例1-8: 1-8: 一支承于無摩擦軸承中一支承于無摩擦軸承中的等截面圓軸，兩端各帶有的等截面圓軸，兩端各帶有轉動慣量分別為轉動慣量分別為 的推的推進器。把兩圓盤按相反方向進器。把兩圓盤按相反方向扭轉，然后放松，求扭轉振扭轉，然后放松，求扭轉振動頻率。動頻率。解：解：21,JJ1J2Jd1l2ll不動面 該

41、例本來是兩個自由系統。但是題中所述兩個該例本來是兩個自由系統。但是題中所述兩個圓盤反向扭轉引起的自由振動，運動位移是相圓盤反向扭轉引起的自由振動，運動位移是相對角位移。對角位移。 因此可判斷在兩個圓盤之間軸上存在一個不動因此可判斷在兩個圓盤之間軸上存在一個不動面（該點相對角位移在振動過程中始終為零）。面（該點相對角位移在振動過程中始終為零）。1.3 等效單自由度系統等效單自由度系統 對這樣的兩個自由度振動系統對這樣的兩個自由度振動系統實際是可看成兩個單自由度以實際是可看成兩個單自由度以相同固有頻率振動。相同固有頻率振動。 固有頻率為：固有頻率為：2211JkJkn1J2Jd1l2ll不動面1l

42、2l1J2JpGIpGIpGI1k2k2211,lGIklGIkpp 扭轉剛度分別為：扭轉剛度分別為：1.3 等效單自由度系統等效單自由度系統則由兩段振動頻率相同得：則由兩段振動頻率相同得：再由再由 ，故可求出：，故可求出：系統的扭轉振動的固有頻率為：系統的扭轉振動的固有頻率為：式中：式中：2211lJlJlll2121122121,JJlJlJJlJleqpppnJkJJJJlGIlJGIlJGIJk212122111121111,JJJlGIkeqp（1.3.21)（1.3.22)1.3 等效單自由度系統等效單自由度系統例例1-91-9：求圖所示的兩個結：求圖所示的兩個結構系統的固有頻率。

43、其中構系統的固有頻率。其中彈簧的剛度彈簧的剛度解：這兩個結構中的懸臂梁解：這兩個結構中的懸臂梁可視為豎直方向的彈簧，可視為豎直方向的彈簧，剛度系數為：剛度系數為： 324lEIk EI2klEI2kl1k2k1k2k（a）（b）313lEIk 因此，對第一個結構系統可看成兩個彈簧串聯結因此，對第一個結構系統可看成兩個彈簧串聯結構，第二個結構系統可看成兩個彈簧并聯結構。構，第二個結構系統可看成兩個彈簧并聯結構。它們的等效彈簧剛度分別為：它們的等效彈簧剛度分別為：,71232121lEIkkkkka3217lEIkkkb固有頻率分別為固有頻率分別為：337,712mlEImkmlEImkbnban

44、a1.3 等效單自由度系統等效單自由度系統1.4 有阻尼單自由度系統的自由振動有阻尼單自由度系統的自由振動阻尼力：阻尼力：從無阻尼自由振動的解我們知道，當系統受到從無阻尼自由振動的解我們知道，當系統受到一個初始擾動之后，質量將永不停止地在其平一個初始擾動之后，質量將永不停止地在其平衡位置附近做等幅振動。但實際情況是，這種衡位置附近做等幅振動。但實際情況是，這種振動不久就會停止。理論分析和實際之間的差振動不久就會停止。理論分析和實際之間的差別的原因在于理論分析沒有考慮系統阻力。別的原因在于理論分析沒有考慮系統阻力。阻力的存在將消耗系統的機械能轉化為聲能和阻力的存在將消耗系統的機械能轉化為聲能和熱

45、能傳出去。熱能傳出去。在自由振動中，系統的機械能來自初始輸入系在自由振動中，系統的機械能來自初始輸入系統的能量（動能和勢能），隨著時間的增加，統的能量（動能和勢能），隨著時間的增加，能量的消耗導致系統的振幅逐漸減小而最后停能量的消耗導致系統的振幅逐漸減小而最后停止。這種振幅衰減振動為有阻尼自由振動。止。這種振幅衰減振動為有阻尼自由振動。1.4 有阻尼單自由度系統的自由振動有阻尼單自由度系統的自由振動 阻力有多種來源，例如兩種物體之間的干摩擦、阻力有多種來源，例如兩種物體之間的干摩擦、有潤滑的兩個面之間的摩擦力、氣體和液體等介有潤滑的兩個面之間的摩擦力、氣體和液體等介質的阻力、電磁阻力或材料內部

46、的摩擦阻力等。質的阻力、電磁阻力或材料內部的摩擦阻力等。 在振動中這些阻力統稱為在振動中這些阻力統稱為阻尼。阻尼。黏性阻尼黏性阻尼：物體沿潤滑表面滑動或在流體中低速：物體沿潤滑表面滑動或在流體中低速運動時，阻力的大小可認為與相對速度成正比，運動時，阻力的大小可認為與相對速度成正比，方向與速度反向方向與速度反向黏性阻尼。黏性阻尼。 數學表達為：數學表達為： 式中：c 為黏性阻尼系數，單位：Ns/m。 tucFd1.4 有阻尼單自由度系統的自由振動有阻尼單自由度系統的自由振動材料阻尼：材料阻尼：結構材料本身的內結構材料本身的內摩擦引起的阻力。摩擦引起的阻力。 完全彈性材料內應力與應完全彈性材料內應

47、力與應變相位相同，在反復加卸變相位相同，在反復加卸載過程中，沒有能量損失。載過程中，沒有能量損失。 而在黏彈性材料中，應變而在黏彈性材料中，應變滯后于應力，有相位差，滯后于應力，有相位差，在加卸載過程中形成滯后在加卸載過程中形成滯后回線，因此要耗散能量，回線，因此要耗散能量，成為振動的阻尼。成為振動的阻尼。 黏性阻尼與速度成正比，因此黏性阻尼與速度成正比，因此又稱又稱線性阻尼線性阻尼。OA加載卸載OA加載卸載BC振動方程及其解振動方程及其解：考慮一個質量考慮一個質量-彈簧彈簧-阻尼系統。阻尼系統。以靜平衡位置為坐標原點，其運動方程為：以靜平衡位置為坐標原點，其運動方程為：由常微分方程理論，設解

48、具有下列形式：由常微分方程理論，設解具有下列形式：代入微分方程后，其特征方程可表示為：代入微分方程后，其特征方程可表示為：1.4 有阻尼單自由度系統的自由振動有阻尼單自由度系統的自由振動 000(0),(0)mu tcu tku tuuuu( )stu tue（1.4.2）m( )u tkckucu u （1.4.1）特征方程為：特征方程為：解出一對特征根：解出一對特征根：02kcsmsmkmcmcs22,122（1.4.3）（1.4.4）（1.4.5）n引入無量剛參數阻尼比：引入無量剛參數阻尼比：cnccmcmkcmkmc222系統的固有頻率，系統的固有頻率，mkmcnc22系統臨界阻尼系數

49、系統臨界阻尼系數1.4 有阻尼單自由度系統的自由振動有阻尼單自由度系統的自由振動運動方程可改寫為：運動方程可改寫為：特征方程的根可改寫為：特征方程的根可改寫為：顯然，對于不同的阻尼比，解的性質取決于根顯然，對于不同的阻尼比，解的性質取決于根式式 是實數還是虛數。是實數還是虛數。（1.4.1b）220nnuuu1.4 有阻尼單自由度系統的自由振動有阻尼單自由度系統的自由振動122,1nns（1.4.6）21臨界阻尼系數取決于系統的剛度和質量特性。臨界阻尼系數取決于系統的剛度和質量特性。阻尼比反映了阻尼系數與臨界阻尼系數之比。阻尼比反映了阻尼系數與臨界阻尼系數之比。1.4 有阻尼單自由度系統的自由

50、振動有阻尼單自由度系統的自由振動 過阻尼情況過阻尼情況 ：特征方程的兩個根為不等的實根：特征方程的兩個根為不等的實根：因此運動微分方程通解為：因此運動微分方程通解為：122,1nns221112( )nnttu ta ea e（1.4.6a）（1.4.7）1響應曲線表明：響應曲線表明： 響應由初始位移先增加響應由初始位移先增加到某一極值，然后逐漸衰到某一極值，然后逐漸衰減為零。減為零。 越過靜平衡位置只有一越過靜平衡位置只有一次，因此大阻尼下系統的次，因此大阻尼下系統的運動不是振動。運動不是振動。000010202211,2211nnnnuuuuauau由初始條件可確定積分常數為由初始條件可確

51、定積分常數為1.4 有阻尼單自由度系統的自由振動有阻尼單自由度系統的自由振動（1.4.8）1.4有阻尼單自由度系統自由振動有阻尼單自由度系統自由振動 臨界阻尼情況臨界阻尼情況：在這種情況下，特征方程的根為兩個相等的在這種情況下，特征方程的根為兩個相等的實根，即：實根，即： 根據微分方程理論，根據微分方程理論，此時有阻尼運動微分方程的通解為：此時有阻尼運動微分方程的通解為：引入初始條件得：引入初始條件得：臨界阻尼狀態下，臨界阻尼狀態下， 系統的運動具有系統的運動具有 衰減性，但不具衰減性，但不具 有振動性。有振動性。1ns2,112( )ntu taa t e00( )1ntnu tutu te

52、（1.4.10）（1.4.11） 欠阻尼情況欠阻尼情況：根式根式 為虛數，為虛數，令令 運動微分方程的通解為：運動微分方程的通解為： 11222, 11nnjs一對共軛復數一對共軛復數。21nd12( )cossinntddu teatat式中式中 由初始條件確定由初始條件確定。21, aa（1.4.13）1.4 有阻尼單自由度系統的自由振動有阻尼單自由度系統的自由振動（1.4.14）（1.4.12）1.4 有阻尼單自由度系統的自由振動有阻尼單自由度系統的自由振動引入初始條件得：引入初始條件得：則：則： 00102,nduuaua（1.4.15） 00000( )cossinntnddduuu

53、 teuttU t uV t u（1.4.16）式中式中: : 2( )cossin1sinnntddtddU tetteV tt（1.4.17）分別為單位初位移和單位初速度引起的自由振動分別為單位初位移和單位初速度引起的自由振動1.4 有阻尼單自由度系統的自由振動有阻尼單自由度系統的自由振動進一步改寫為振幅和相位形式：進一步改寫為振幅和相位形式：式中：式中：( )sinntdu taet22000000arctannddnuuauuuu（1.4.18）（1.4.19）a. 欠阻尼情況下響應特性欠阻尼情況下響應特性:振幅振幅 隨時間逐漸衰減，衰減的程隨時間逐漸衰減，衰減的程度依賴系統的阻尼比；

54、度依賴系統的阻尼比；欠阻尼下自由振動仍有周期性；欠阻尼下自由振動仍有周期性；欠阻尼下振動的圓頻率欠阻尼下振動的圓頻率 比無阻比無阻 尼時圓頻率要小；因此尼時圓頻率要小；因此 振動的周期要比無阻尼振動的周期要比無阻尼 時的大。時的大。nd21 ntAae1.4 有阻尼單自由度系統的自由振動有阻尼單自由度系統的自由振動221122nnddTT(1.4.20)ntaesinntdaetntae u t阻尼對自由振動的影響：阻尼對自由振動的影響：阻尼對固有頻率的影響：阻尼對固有頻率的影響： 工程中通常工程中通常 , 所以阻尼對固有頻率所以阻尼對固有頻率影響較小。有阻尼頻率（周期）可近似等于影響較小。有

55、阻尼頻率（周期）可近似等于無阻尼的頻率（周期）。無阻尼的頻率（周期）。阻尼對振幅的影響：阻尼對振幅的影響很大，阻尼對振幅的影響：阻尼對振幅的影響很大，阻尼使系統的振幅按幾何級數衰減。阻尼使系統的振幅按幾何級數衰減。振幅衰減率振幅衰減率：相鄰兩個振幅之比。：相鄰兩個振幅之比。2.011()21n knkkndnnn ktttTTktkAaeeeeeAaend21 TTdnd,1.4 有阻尼單自由度系統的自由振動有阻尼單自由度系統的自由振動 對數衰減率對數衰減率：為了避免求指數值不便，常常采為了避免求指數值不便，常常采用對數形式，即：用對數形式，即： 為了提高計算精度，往往可用相隔幾個周期的為了提

56、高計算精度，往往可用相隔幾個周期的振幅之比來表示對數衰減率：振幅之比來表示對數衰減率：212lnln21dnkkTAAlnln2n knkdtkn dn ntnTk nAaenTnTnnAae（1.4.21）njnjjjkjknknknkkkkkknkkAAAAAAAAAAAA0111211lnlnln由此可得對數衰減率為：由此可得對數衰減率為：阻尼比為阻尼比為:可用此式測量系統的阻尼比可用此式測量系統的阻尼比.（1.4.21b）（1.4.22）在阻尼比小于0.4時,可用近似式計算阻尼比.2ln11ln11011njjkjknjjnkkAAnnAAn101ln21ln21njjkjknkkAA

57、nAAn1.4 有阻尼單自由度系統的自由振動有阻尼單自由度系統的自由振動例例1-101-10：已知：結構如圖所示。：已知：結構如圖所示。不計擺桿的質量，不計擺桿的質量， 求：結構系統的繞求：結構系統的繞O O點小幅擺點小幅擺動的阻尼振動頻率和臨界阻動的阻尼振動頻率和臨界阻尼系數尼系數. .解：選取剛桿轉角解：選取剛桿轉角 為系統為系統位移。位移。 設順時針方向為正，設順時針方向為正，靜平衡位置為坐標原點。靜平衡位置為坐標原點。mkcOal 222cakaml根據動量矩定理，根據動量矩定理，可得系統的運動方程為：可得系統的運動方程為：進一步簡化成形式為：進一步簡化成形式為：02222mlkaml

58、ca 進一步改寫標準形式為：進一步改寫標準形式為： 022tttnn 系統的固有頻率為：系統的固有頻率為：阻尼比為：阻尼比為：lamkmklamlkan,22kmcmclmcann222222阻尼振動頻率為：阻尼振動頻率為：21nd當阻尼比是當阻尼比是1 1時，可得臨界阻尼系數為：時，可得臨界阻尼系數為：kmcc2例1-11： 如圖單跨排架。橫梁剛度無窮大，橫梁及柱的部分質量集中在橫梁處。在橫梁處加一水平力，柱頂產生側移 。這時，卸除載荷，排架做自由振動。振動一周后柱頂側移為 。求：1）排架阻尼比； 2）振動十周后，柱頂側移。解： 1）由 得阻尼比為：2）由 得EIm,cm6.02ln10yy

59、013.06.065.0ln21102ln100yy247.1013.014.32065.0ln2065.0lnln10ycmey29.0247.110EIEIhcmy65. 001.4 有阻尼單自由度系統的自由振動有阻尼單自由度系統的自由振動例1-12: 試證明:在衰減的自由振動中,振動系統每個周期耗散的機械能 與每個周期開始的機械能 之比為常量,在阻尼比很小時等于證明:設在某一周期開始時的振幅為: 結束時的振幅為:則對應的機械能為:因此,利用級數展開:所以:U1U211tnaeAdnTtaeA1222221121,21kAUkAU2222121211111eeAAUUUUU! 242122

60、e! 24221UU當阻尼比很小時:21UU1.4 有阻尼單自由度系統的自由振動有阻尼單自由度系統的自由振動1.5 單自由度系統簡諧力激勵下強迫振動單自由度系統簡諧力激勵下強迫振動強迫振動：由外界持續激勵引起的振動。強迫振動：由外界持續激勵引起的振動。激勵來源：激勵來源：一類是持續的激勵力，可能直接作用于系統的質塊一類是持續的激勵力，可能直接作用于系統的質塊上或由系統中運動部件的不平衡離心力引起的；上或由系統中運動部件的不平衡離心力引起的；另一類是持續的支座運動。另一類是持續的支座運動。BEIm)(tym1駕駛者m2自行車k1=2k車坐下彈簧k2=k輪胎x2vvltaxs2),sin(l1.5