1、構建概率的知識體系平山縣外國語中學 王麗濤一、教材分析1、本單元在教材中的地位和作用 本章是初中數學統計與概率學習的最后一章，至此，學生已經較為系統的學 習了簡單事件發生的可能性（概率） ，具備了一定的隨機觀念，并能對一些隨機 現象作出合理的解釋， 對一些游戲活動的公平性做出判斷。 本單元復習旨在突出 研究理論概率與試驗頻率之間的關系， 并通過幾個現實生活模型介紹了隨機事件 的概率的試驗估算方法和涉及兩步及兩步以上試驗的隨機事件理論概率計算的 兩種方法：樹狀圖和列表法 . 為進一步學習利用頻率與概率的知識解決實際問題 奠定基礎。2、重點、難點重點： （1）理解事件發生的頻率與概率之間的辯證關系

2、，加深對概率的理解，進一步 體會概率在描述隨機現象中的作用 .（2）利用列表法或樹狀圖法計算簡單事件發生的概率，能用試驗或模擬試驗的 方法估計一些復雜的隨機事件發生的概率 .難點：用試驗或模擬試驗的方法估計一些復雜的隨機事件發生的概率 .成因及策略：有些隨機事件的概率只能通過試驗模擬獲得其估計值， 有些隨機事件雖存在 理論概率，但其理論計算超出了本學段學生的認知水平也只能通過模擬試驗獲得 估計值。缺少試驗研究工具和統計過程的復雜性自然形成學生認識上的難點。 所 以在復習課上先鞏固試驗頻率與理論概率關系，再通過Z+Z設計相應的試驗，通過大量重復試驗用試驗頻率得到概率的估計值。 使學生在能方便試驗

3、、 統計數據 的前提條件下，利用概率理論求一些隨機事件概率的估計值。3、學情分析學生已經學習了樹狀圖和列表法求概率的方法，但對于通過模擬試驗獲得概率估計值的研究方法不夠熟悉。二、復習目標1、 結合具體模擬試驗，進一步體會概率與統計之間的關系2、 能運用樹狀圖和列表法計算涉及兩步或兩步以上試驗的隨機事件發生的概率.3、能用試驗或模擬試驗的方法估計一些復雜的隨機事件發生的概率三、復習思路結合復習的內容和學生的具體學情，按理論一方法一應用的認識方式設計復 習內容與過程。借助z+z智能教育平臺，從三個小環節來設計的：首先是試驗回 顧，通過幾個傳統概率模型的試驗模擬， 帶領學生進一步深刻理解試驗頻率與理

4、 論概率之間的辯證關系；第二個環節是概率計算，選擇幾個有代表性的試題，讓 學生由淺入深、由簡單到復雜地復習概率的計算方法； 第三環節是簡單應用，讓 學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型的過程，加強對數學應用意識、實踐能 力的培養。四、復習過程1、知識梳理及要點歸納知識梳理：要點歸納:在知識結構圖中，可以明顯看出復習的主體思路： 理論一方法一應用，即在 實驗基礎上探究出試驗頻率與理論概率的關系；由此得到理論概率的計算方法， 再根據隨機事件本身的特點分為理論計算和試驗估算兩種概率計算方法；利用概率計算解決實際問題。其中計算的重點在理論計算，難點在實驗估算。2、活動單元設計活動單元一：試驗回顧內容：

5、利用Z+Z平臺設計的拋幣實驗、擲骰子實驗、摸牌實驗拋幣實驗：拋出一枚硬幣，它在空中隨機翻轉后，落在地上。會出現正面朝上 或反面朝上兩種事件。我們以30次實驗為一個統計組，統計兩個隨機事件的 試驗頻率。擲骰子實驗：擲出一枚均勻的骰子，統計各點數出現的次數并計算出試驗頻 率。摸牌實驗：每組兩張牌，兩張牌的牌面數字分別是 1和2。而從每組牌 中各摸出一張，成為一次實驗。點擊“實驗1”按鈕開始30次實驗。! 4Ho 0634収 JIH2 2ft. 3 *:* if操作：由學生操作在課件中可以統計隨機試驗的總次數和相應事件發生的次數 和頻率；啟發學生結合試驗數據回憶試驗所體現的頻率與概率的關系。點撥：（

6、1）試驗結論：試驗次數較大時，某一隨機事件發生的試驗頻率趨近于這一事 件發生的理論概率。（2）引導學生分析以上三個試驗中，每一種事件發生的可能性是否相同（等可 能性），各占總事件發生數的幾分之幾。意圖：這一設計，旨在讓學生用 Z+Z快速的經歷、再現頻率與概率關系理 論的發現過程，并結合問題理解以上試驗中各事件發生的等可能性，為下面復 習計算作好鋪墊。活動單元二：試驗反饋1、討論題：請你說說對下面兩種說法的看法：（1）一個口袋里裝有大小、形狀完全相同的紅豆和綠豆，那么隨手從袋里摸出 一顆紅豆11的機會是丄，隨手摸出一顆綠豆的機會也是丄。22（2） 有一位同學把一枚質量分布均勻的硬幣連續拋了100

7、次，其中有80次都 得到正面，而只有20次得到反面，所以他認為正面朝上的機會根本無法確定， 全憑運氣。點撥：通過以上兩個討論題，可以讓學生體會一次試驗中，某一事件理論概 率的形成條件。（1）突出等可能性的大小的依據；（2）突出試驗次數足夠大是理 論概率計算的前提條件；2、填空題：涉及一步實驗的概率計算（1） 任寫一個英文字母，此字母是元音字母的概率是 ，是輔音字母的概率 是，這兩個概率的關系是 。（2） 有一枚均勻的正四面體骰子，各面上的數字分別是1、2、3、4，當擲的次數很多時，朝下的一面上的數字是偶數的頻率在 左右波動。3、設計題：如圖，是一個可轉動的轉盤，平均分為8個相同區域，任意轉動轉

8、盤后使指1針指向紅色區域的概率為-，指向黃色區域和綠色區域的概率相同。請你用紅、4黃、藍三種顏色來填充這個轉盤，并說明理由。點撥：在理論上一次試驗中各事件發生的可能性是相等的。意圖：以上設計是應用活動單元一試驗結論解決實際問題，復習利用這一結論解決問題的一般方法，為兩步試驗概率計算的方法探究提供依據。活動單元三：樹狀圖法和列表法求概率1 學生獨立練習：(1)連擲兩枚骰子，它們點數相同的概率是要求用列表法和樹狀圖法兩種方法分析計算過意圖：本題讓學生獨立操作并講解，目的是上學生回憶這兩種涉及兩步試驗概率計算的基本方法。并從中發現學生存在的問題，并以此 調節教學策略和復習的速度(2)填空并討論：填空

9、： 轉動如圖所示的轉盤兩次，兩次所得顏色相同的概率是 某口袋里放有編號1 - 6的6個球，先從中摸索出一球，將它放回口袋中后,再摸一次，兩次摸到的球相同的概率是 。 利用計算器產生16的隨機數（整數），連續兩次隨機數相同的概率討論：以上三個填空與第1題“連擲兩枚骰子”問題在研究方法上有何相同之點撥：以上四個問題情境，可以化歸成一個問題“利用計算器產生16的隨機數（整數），連續兩次隨機數相同的概率是多少？” 。這個過程實質上是一個 建模的過程，即將另外幾個實際問題進行數字化、字母化。當然這其中也包含 著數形結合的思想。2 解法辨析：用下圖中的轉盤進行“配紫色”游戲:小明制作了下面的樹狀圖，并根據

10、它求出游戲者獲勝的概率為12，請你分析他的作法是否正確紅（紅紅）藍（紅藍）紅（藍紅）藍（藍藍）操作方式：學生討論、辨析并畫出正確的樹狀圖。意圖：突出用列表法和樹狀圖求概率時，應注意各種結果出現的等可能性3 反饋練習：1（1） 設計一次摸球游戲，每摸一次，摸到擺球的概率為-，摸到紅球的概率為3-，摸到黃球的概率為-，則完成這個游戲所需求的個數最少為（）4 6A. 6 B. -2 C. 24 D. 36（2）小華作摸球試驗：盒子中有-0個大小、質地完全相同的小球，其中有4個 黑球。 小華摸出一個球，記錄顏色后放回盒子中，并混合均勻，繼續試驗，那么他 摸出黑球的概率是。 小華摸出一個球，記錄顏色后不

11、再放回盒子中，若他前兩次摸到一個黑球和一個白球，則他下一次摸出黑球的概率為 。意圖：以上反饋練習對列表法和樹狀圖法的進一步落實。兩題分別涉及了概率 中的兩種抽取模型，有放回抽取（兩步試驗前提條件相同）和無放回抽取（第 二步試驗前提條件改變）。第一題注意強調逆向思維過程。活動單元四 復雜事件的概率計算用試驗的方法估計復雜隨機事件的發生概率投針試驗再現：投針試驗一1777年，法國 數學家布豐設計的投針試驗所得針與平行線相 交的概率與圓周率有關，于是人們就將投針實驗作為計算圓周率的概率模型。 隨著信息技術的發展，科學家逐步開始將要研究的問題與概率聯系，通過計算 機模擬抽樣，以獲得問題得近似解，這種方

12、法被稱為統計試驗法，又稱孟特卡 羅方法。1、隨便說出3個正數，以這3個數為邊長一定能圍成一個三角形嗎？ 一定能圍 成一個鈍角三角形（其中最大邊的平方大于另兩邊的平方和）嗎？（1）利用計算機演示試驗，請同學們觀察試驗概率，并估計理論概率。（2）我們能否用建模的方法研究出現鈍角三角形的理論概率？在利用實驗方法估算“任意三條線段能組成鈍角三角形的概率”時，帶領學生 依次分析任意三條線段一一組成三角形一一組成鈍角三角形的條件，然后通過 Z+Z的條件判斷函數和隨機函數設計了一個實驗，學生可以在短時間內利用幾臺 電腦分別作實驗，并獲得大量的實驗數據，通過試驗頻率的統計，隨著試驗次數的不斷增加，試驗頻率逐步

13、趨于穩定，學生通過實驗估計出任意三條線段能組成 鈍角三角形的概率，并在變化過程中深刻理解了頻率與概率的關系。三條線段組或饋曲三柏F怕在1tt住-s>.配 t.V. 0玄"個乍崗制慘tMi thiiiii-呷it前 5思涪<«it - 0.04b - 0.61c - 4,17"尸也欣h'+t1- t.y* « |Q*»> °厲K版的戰敢1 1 總冷故點撥：先分析三線段組成鈍角三角形的條件，依次為：能組成三角形、最大 邊的平方大于另兩邊的平方和；再組織學生說出三個長度數值，判斷能否組成鈍 角三角形；當學生有一定的

14、感性認識和經驗后，利用設計好的Z+Z課件作隨機試驗，統計來自各臺計算機上的試驗數據， 與學生共同探討、估計出得到鈍角三 角形的理論概率。因為在估計過程中，數據的結果往往不同，學生的看法不一， 在整個過程中注意時時給予適當的評價， 突出估計的方法與科學性，并指明試驗 本身由于條件所限而表現出來的局限性。意圖：本題設計旨在帶領學生經歷用試驗法估計理論概率的過程，豐富學生的學習感受。增強學生對于用多次試驗的頻率估計理論概率方法的認識，理解試 驗估算法的科學性。活動單元五復雜事件的概率計算1、如圖，小明和小紅在玩一個游戲時，先擲骰子，骰子朝上的數字是幾，就將棋子前進幾步，并獲得格子中相應的物品，現在輪

15、到小明擲骰子，棋子在標有“T的那一格，小明能擲一次就得到汽車嗎？他擲下一次得到汽車的概率是多少？OOO1®13點撥：通過分析只要兩次所擲出的點數之和為 7，便可得到小汽車，而每次 擲出的點數可能情況都為1 6。可以引導學生用列表法求解，在列表過程中啟 發學生尋找規律，根據要求找到符合題意的“ 7”在表格中的分布規律得到下列簡 易表格。從中直觀的讀出所有可能情況的總次數和得到“ 7”的次數。意圖：本題設計旨在啟發學生在使 法求概率時要善于思考、總結規律，畫 簡易、更能突出特點的表格。123456172737475767用列表 出更為2、桌上放著6張撲克牌，全部正面朝下，其中恰有 2張老

16、K”，兩人作游戲，游 戲規則是：隨機抽取兩張牌，并把它們翻開，若兩張中有老“K”，則紅方勝，否則 藍方勝。請你用學過的概率知識分析游戲是否公平？點撥：學生在思考時，有的用列表法，有的用樹狀圖法，發動學生資助探究。之后教師可以引導學生轉變思考問題的角度，去考慮沒有老“ K”的情況有多少種? 意圖：本題設計旨在培養學生轉化的思想方法， 學會從多個角度看待和分析 問題。3、某人寫了 3封信給3個不同的人，并在三個信封上寫好了收信人的地址。但 在裝信的時候，他忽略了信與信封的對應，請你分析一下在這三封信中，至少有 一封信裝對信封的概率是多少？點撥：首先教師帶領學生分析有多少種可能性， 其間注意捕捉學生

17、的思維亮 點，發現學生在分類中把握較好的例子，由學生進行探討，教師予以適當評價。 分別考慮裝對3封、2封、1封、0封各有幾種情況。意圖：本題旨在訓練學生分類的數學思想方法， 學會把復雜的問題有一種分類 標準進行整合、分析。14、一個人從A點走向C點。在每個路口，向東或向南的概率各為，但是走到2DC邊上就始終朝南走；走到BC邊上就始終朝東走。請你分析此人行走的各種 方式，求他經過點E到C點的概率是多少？A鶴£DEB點撥：本題看似比較復雜，但如果把問題中的圖形旋轉一定角度得到下圖,就可以形象的列舉出到達每個拐點的可能情況有多少種。從而得到，共有10種走法，其中有4種通過E點。意圖：本題旨在啟發學生的思維,學會用揭示圖形中的規律,并能數形結合的分析問題五、反思與自評本節課通過四個遞進的學習環節，既對基礎知識進行了復習，又使學生掌握 了基本技能，進一步研究了理論概率與試驗頻率之間的關系， 通過幾個現實生活 模型感受到概率在生活中的應用.在豐富的實際問題中認識到試驗次數很大時， 用一個事件發生的頻率來估計之一事件發生的概率， 掌握了一些計算概率的方法, 并能通過計算概率