1、 DSE 金牌數學專題系列 經典專題系列第6講直角三角形邊角關系一、 導入二、 知識點回顧1銳角三角函數定義在直角三角形ABC中，C=900，設BC=a，CA=b，AB=c，銳角A的四個三角函數是： (1) 正弦定義：A的正弦=；（2）余弦的定義：A的余弦= ,（3）正切的定義：A的正切=這種對銳角三角函數的定義方法，有兩個前提條件：（1）銳角A必須在直角三角形中，且C=900； （2）在直角三角形 ABC 中，每條邊均用所對角的相應的小寫字母表示。 否則，不存在上述關系2、銳角三角函數關系： (1) 互為余角的三角函數關系若A+B=90，則sinA=cosB,cosA=sinB.即： sin

2、（90A）=cosA， cos（90A）=sin A tan（90A）= cotA cot（90A）=tanA (2) 同角的三角函數關系 平方關系：sin2 A+cos2A=l 倒數關系：tanA×cotA=1 商數關系： 3、特殊角的三角函數： 00300450600sinA0cosA1tanA014.三角函數的大小比較 (1) 同名三角函數的大小比較正弦、正切是增函數三角函數值隨角的增大而增大，隨角的減小而減小余弦、余切是減函數三角函數值隨角的增大而減小，隨角的減小而增大。 (2) 異名三角函數的大小比較tanASinA，由定義，知tanA=，sinA=；因為bc，所以tanA

3、sinAcotA cosA由定義，知cosA=，cotA=；因為 ac，所以cotAcosA若0 A45，則cosAsinA，cotAtanA；若45A90，則cosAsinA，cotAtanA5.仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下文的叫俯角（如圖）6.方位角從指北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如B點的方位角為（如圖）注：仰角、俯角、方位角的區別是：三者的參照不同。仰角與俯角是相對于水平線而言的，而方位角是相對于正北方向而言的。7.方向角：相對于某一正方向的水平角（如圖） 北偏東即由指北方向順時針旋轉到達目標方向；北偏本即由指北方向逆時針旋轉到達目標

4、方向；南偏本等其他方向角類似。8、坡角與坡度:坡度：坡面與水平面所成角的度數（如圖，角為坡角）坡比：坡面的鉛直高度與水平長度之比（如圖，為坡比）注：坡面的鉛直高度h與水平寬度的比為坡度（或坡比），用字母i表示，即i= ，坡面與水平夾角叫 坡角 ，即坡度等于坡角的正切（tan= i ）。工程上斜坡的傾斜程度通常用坡度來表示，坡面的鉛直高度h與水平寬度的比為坡度（或坡比），坡度是坡角的正切，坡度越大，坡面越陡三、 專題講解 【例1】計算 (1) (2) (3) ，其中； 解：1、設x=()-1+(sin73°)0+tan21°·tan69°，求÷的

5、值2、+.（sin21°13-tan21°）0-【例2】一副直角三角板如圖放置，點C在FD的延長線上，ABCF，F=ACB=90°, E=45°,A=60°,AC=10,試求CD的長【答案】 解：過點B作BMFD于點M在ACB中，ACB=90°, A=60°,AC=10,ABC=30°, BC=AC tan60°=10,ABCF，BCM=30°在EFD中，F=90°, E=45°,EDF=45°,綜合實踐課上，小明所在小組要測量護城河的寬度。如圖所示是護城河的一段，

6、兩岸ABCD，河岸AB上有一排大樹，相鄰兩棵大樹之間的距離均為10米.小明先用測角儀在河岸CD的M處測得=36°，然后沿河岸走50米到達N點，測得=72°。請你根據這些數據幫小明他們算出河寬FR（結果保留兩位有效數字）.（參考數據：sin 36°0.59，cos 36°0.81，tan36°0.73，sin 72°0.95，cos 72°0.31，tan72°3.08） 【答案】解：過點F作FGEM交CD于G. ABCDEFMNR則MGEF20米. FGN36°.GFNFGN72°36°

7、;36°.FGNGFN，FNGN502030（米）.在RtFNR中，FRFN×sin30×sin72°30×0.9529（米）.【例3】中華人民共和國道路交通管理條例規定：“小汽車在城市街道上的行駛速度不得超過70千米/時”一輛小汽車在一條城市街道上由西向東行駛（如圖所示），在距離路邊25米處有“車速檢測儀O”，測得該車從北偏西60°的A點行駛到北偏西30°的B點，所用時間為15秒（1）試求該車從A點到B的平均速度；（2）試說明該車是否超過限速（1）要求該車從A點到B點的速度只需求出AB的距離，在OAC中，OC=25米OAC

8、=90°-60°=30°，OA=2CO=50米    由勾股定理得CA= =25 （米）    在OBC中,BOC=30°    BC= OB.    （2BC）2=BC2+252    BC= （米）    AB=AC-BC=25 - = （米）&

9、#160;   從A到B的速度為 ÷1.5= （米/秒）    （2） 米/秒69.3千米/時    69.3千米/時<70千米/時    該車沒有超過限速    【點評】此題應用了直角三角形中30°角對的直角邊是斜邊的一半及勾股定理，也是幾何與代數的綜合應用 如圖，自來水廠A和村莊B在小河l的兩側，現要在A，B間鋪設一條輸水答道.為了搞好工程預算，需

10、測算出A，B間的距離.一小船在點P處測得A在正北方向，B位于南偏東24.5º方向，前行1200m,到達點Q處，測得A位于北偏西49º方向，B位于南偏西41º方向.（1）線段BQ與PQ是否相等？請說明理由；（2）求A，B間的距離.（參考數據：cos41º0.75）【答案】(1)B位于P點南偏東24.5º方向,BPQ=65.5º,又B位于Q點南偏西41º方向, PQB=49º, PBQ=65.5º, PQ=BQ(等角對等邊),(2)點P處測得A在正北方向,在RtAPQ中,AQ=1600,由(1)得PQ=BQ=

11、1200，在點Q處，測得A位于北偏西49º方向，B位于南偏西41º方向，AQB=90º，在RtABQ中，AB=（m）.ACDBEFG【例4】.（2011山東德州20,10分）某興趣小組用高為1.2米的儀器測量建筑物CD的高度如示意圖，由距CD一定距離的A處用儀器觀察建筑物頂部D的仰角為，在A和C之間選一點B，由B處用儀器觀察建筑物頂部D的仰角為測得A，B之間的距離為4米，試求建筑物CD的高度ACDBEFG【答案】解：設建筑物CD與EF的延長線交于點G，DG=x米 1分在中,，即 2分在中，即 3分， 5分 6分解方程得：=19.2 8分 答：建筑物高為20.4米

12、10分（2011江蘇宿遷,23,10分）如圖，為了測量某建筑物CD的高度，先在地面上用測角儀自A處測得建筑物頂部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前進了100m，此時自B處測得建筑物頂部的仰角是45°已知測角儀的高度是1.5m，請你計算出該建筑物的高度（取1.732，結果精確到1m）（第23題）【答案】解：設CExm，則由題意可知BExm，AE(x100)m 在RtAEC中，tanCAE，即tan30°，3x(x100)解得x5050136.6CDCEED(136.61.5)138.1138(m)答：該建筑物的高度約為138m【例5】（2011四川涼山州，2

13、3，8分）在一次課題設計活動中，小明對修建一座87m長的水庫大壩提出了以下方案；大壩的橫截面為等腰梯形，如圖，壩高10m，迎水坡面的坡度，老師看后，從力學的角度對此方案提出了建議，小明決定在原方案的基礎上，將迎水坡面的坡度進行修改，修改后的迎水坡面的坡度。（1） 求原方案中此大壩迎水坡的長（結果保留根號）（2） 如果方案修改前后，修建大壩所需土石方總體積不變，在方案修改后，若壩頂沿方向拓寬2.7m，求壩頂將會沿方向加寬多少米？ABCED23題圖【答案】解：過點作于。 在中，且。 ， 過點作于。 在中，且。 ， ABCMDGFEN 如圖，延長至點，至點，連接，方案修改前后，修建大壩所需土石方總體

14、積不變。 。來源:Zxxk.Com即 。 答：壩底將會沿方向加寬。如圖，某縣為加固長90米，高5米，壩頂寬為4米，迎水坡和背水坡的坡度都是1：1的橫斷面是梯形的防洪大壩要將大壩加高1米，背水坡坡度改為1：1.5已知壩頂寬不變（1）求大壩橫截面面積增加多少平方米？（2）要在規定時間內完成此項工程如果甲隊單獨做將拖延10天完成，乙隊單獨做將拖延6天完成現在甲隊單獨工作2天后，乙隊加入一起工作，結果提前4天完成求原來規定多少天完成和每天完成的土方數？ 四、 鞏固練習：（1） 填空1、（2011浙江衢州，13,4分）在一次夏令營活動中，小明同學從營地出發，要到地的北偏東60°方向的處，他先沿

15、正東方向走了200m到達地，再沿北偏東30°方向走，恰能到達目的地(如圖)，那么，由此可知，兩地相距 m. （第1題）【答案】2002、如圖，有兩個長度相同的滑梯（即BC=EF），左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，則ABC+DFE=_（2） 選擇3、（2011四川綿陽10，3）周末，身高都為1.6米的小芳、小麗來到溪江公園，準備用她們所學的知識測算南塔的高度.如圖，小芳站在A處測得她看塔頂的仰角為45°，小麗站在B處測得她看塔頂的仰角為30°.她們又測出A、B兩點的距離為30米。假設她們的眼睛離頭頂都為10cm，則 可計算出塔高約為(結果精確到0

16、.01，參考數據：=1.414，=1.73)A.36.21 米 B.37. 71 米 C.40. 98 米 D.42.48 米【答案】D4、如圖28221，在ABC中,C=90°,點D在BC上，CD=3，AD=BC,且cosADC=，則BD的長是( )圖28221A.4 B.3 C.2 D.1解析：求BD需求BC,而BC=AD,在RtADC中,已知一角一邊,可求出AD.在RtADC中，CD=3，且cosADC=，AD=5,BC=AD=5.BD=2.答案：C（3） 解答題5、（2011內蒙古烏蘭察布，16，4分）某廠家新開發的一種電動車如圖，它的大燈A射出的光線AB,AC 與地面MN

17、所夾的銳角分別為和，大燈A與地面離地面的距離為1m則該車大燈照亮地面的寬度BC是 m .（不考慮其它因素）第16題圖【答案】1.46、（2011江蘇無錫，24，9分）(本題滿分9分)如圖，一架飛機由A向B沿水平直線方向飛行，在航線AB的正下方有兩個山頭C、D。飛機在A處時，測得山頭C、D在飛機前方，俯角分別為60°和30°。飛機飛行了6千米到B處時，往后測得山頭C的俯角為30°，而山頭D恰好在飛機的正下方。求山頭C、D之間的距離。ABCD【答案】解：在RtABD中，BAD = 30°，BD = AB·tan30° = 6 ×

18、 = 2 (2分)BAC = 60°，ABC = 30°，ACB = 90°，BC = AB·cos30° = 6 × = 3(4分) 過點C作CEBD于點E，則CBE = 60°，CE = BC·sin60° = (6分)BE = BC·cos60° = ，(7分)DE = BD BE = 2 = 在RtCDE中，CD = = = (km)答：山頭C、D之間的距離為(km)(9分)7、（2010四川眉山）如圖，在一次數學課外實踐活動中，要求測教學樓的高度AB小剛在D處用高1.5m的測

19、角儀CD，測得教學樓頂端A的仰角為30°，然后向教學樓前進40m到達E，又測得教學樓頂端A的仰角為60°求這幢教學樓的高度AB8、如圖282210，塔AB和樓CD的水平距離為80米，從樓頂C處及樓底D處測得塔頂A的仰角分別是45°和60°.求塔高與樓高.（精確到0.01米）（參考數據=1.414 21，=1.732 05）圖282210解：在RtABD中,BD=80米，BDA=60°，AB=BD·tan60°=803138.56（米）.RtAEC中,EC=BD=80,ACE=45°，AE=CE=80(米).CD=A

20、BAE58.56（米）.答:塔高與樓高分別為138.56米、58.56米.9、某校初三課外活動小組，在測量樹高的一次活動中，如圖7所示，測得樹底部中心A到斜坡底C的水平距離為8. 8m在陽光下某一時刻測得1米的標桿影長為0.8m，樹影落在斜坡上的部分CD= 3.2m已知斜坡CD的坡比i=1：，求樹高AB。（結果保留整數，參考數據：1.7）_D_C_B_Ai=1：圖7_D_C_B_Ai=1：_H_E【答案】解：如圖，延長BD與AC的延長線交于點E，過點D作DHAE于HCD=3.2 DH=1.6 CH= HE=1.28 AB=16五、 拓展訓練10、一幢房屋的側面外壁的形狀如圖所示，它由等腰三角形

21、OCD和矩形ABCD組成，OCD=25°外墻壁上用涂料涂成顏色相同的條紋，其中一塊的形狀是四邊形EFGH，測得FG EH，GH=2.6cm , FGB=65° （1）求證：GFOC；（2）求EF的長（結果精確到0.1m）(參考數據：sin25°=cos65°0.42，cos25°=sin65°0.91)【答案】解：（1）設CD與FG交于點M，由CDAB，FGB=65°，可得FGC=65°，又OCD=25°，于是在FGC中，可得CFM=90°，即GFOC（2）過點G作GNHE，則GN=EF，在Rt

22、GHN中，sin EHG=,即GN=GH sin EHG=2.6 sin 65°=2.6×0.91=2.3662.4cm.六、反思總結當堂過手訓練 （快練5分鐘，穩準建奇功）1、如圖，小明在A時測得某樹的影長為2m，B時又測得該樹的影長為8m，若兩次日照的光線互相垂直，則樹的高度為_m.第4題圖ACEDBF30°45°2、將一副三角尺如圖所示疊放在一起，若=14cm，則陰影部分的面積_cm2答案：（第2題）3、梯形ABCD中ABCD，ADC+BCD=90°，以AD、AB、BC為斜邊向形外作等腰直角三角形，其面積分別是S1、S2、S3 ，且S1 +S3 =4S2，則CD=（ ）A. 2.5AB B. 3AB C. 3.5