1、會計學1第一頁，共142頁。教材：鄭寶東主編教材：鄭寶東主編. . 線性代數與空間線性代數與空間(kngjin)(kngjin)解析幾何解析幾何. . 高等教育出版高等教育出版社，北京，社，北京，20132013參考書：參考書：1 1同濟大學數學教研室編同濟大學數學教研室編. .線性線性代數代數( (第六版第六版).).高等教育出版社高等教育出版社.2014.2014年年2 2趙連偶，劉曉東趙連偶，劉曉東. .線性代數與幾何線性代數與幾何(j (j h)(h)(面向面向2121世紀課程教材世紀課程教材).).高等教育出版高等教育出版社社3 3居余馬等居余馬等. .線性代數線性代數. . 清華大

2、學出版社清華大學出版社第1頁/共142頁第二頁，共142頁。 第二節第二節 行列式的性質行列式的性質(xngzh)第四節第四節 克萊姆法則克萊姆法則(fz)第三節第三節 行列式按行行列式按行(列列)展開展開(zhn ki) 第一節第一節 行列式的概念行列式的概念第2頁/共142頁第三頁，共142頁。第3頁/共142頁第四頁，共142頁。第一節第一節 行列式的概念行列式的概念(ginin)第4頁/共142頁第五頁，共142頁。112223823xxxx 系數系數(xsh)行列式行列式232 ( 2) 1 3712 稱為二階行列式二階行列式。第5頁/共142頁第六頁，共142頁。給定 a、b、c、

3、d 四個復數，稱bcaddcba為二階行列式。.2112221122211211aaaaaaaaD其中元素(yun s) aij 的第一個下標 i 為行標，第二個下標 j 為列標。即 aij 位于行列式的第 i 行第 j 列。為方便(fngbin)記第6頁/共142頁第七頁，共142頁。11a12a22a主對角線主對角線副對角線副對角線2211aa .2112aa 二階行列式的計算二階行列式的計算 對角線法則對角線法則例如(lr)131 7( 2) 31327 21a第7頁/共142頁第八頁，共142頁。11112212112222a xa xba xa xb 通過通過(tnggu)消消元法，

4、有：元法，有：考慮考慮(kol)線性線性方程組：方程組：于是于是(ysh)，當當11 2212210,a aa a 有唯一解：有唯一解：122212111221221,b ab axaaaa 112212211122212112212212211121()()a aa axb ab aa aa axb ab a 211121211221221b ab axa aa a 第8頁/共142頁第九頁，共142頁。寫成行列式形式寫成行列式形式(xngsh)有：有：122212221211111211221221212122aab ab aDxaaaaaaDbaab 112121112122111211

5、221221212122aab ab aDxaaa aa aabbDa 第9頁/共142頁第十頁，共142頁。aa2!2第10頁/共142頁第十一頁，共142頁。2 2 三階三階(sn (sn ji)ji)行列式行列式111122133121122223323113223333a xa xa xba xa xa xba xa xa xb 111213212223313233aaaDaaaaaa 222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa 112233122331132132a a aa a aa a a 112332122133132231a a

6、 aa a aa a a 如果如果 ，那么對于三元一次方程組：，那么對于三元一次方程組：0D 第11頁/共142頁第十二頁，共142頁。其中其中(qzhng)，1213122233231233aaDabaabab 1113221213333312bbbaaDaaaa 1112321223132213bbaaDaaaab 利用消元法也有相同利用消元法也有相同(xin tn)的結果，的結果，11,DxD 22,DxD 33DxD 111213212223313233aaaDaaaaaa 第12頁/共142頁第十三頁，共142頁。稱3122133321123223113221133123123322

7、11aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa為三階行列式。可用下面(xi mian)的對角線法則記憶332211aaa .322311aaa 322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 333231232221131211aaaaaaaaa對角線法則對角線法則第13頁/共142頁第十四頁，共142頁。2-43-122-4-21D 計算三階行列式計算三階行列式按對角線法則按對角線法則(fz)，有有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 第14頁/共1

8、42頁第十五頁，共142頁。例例2 2 證明證明322)(11122 babbaababa證明證明(zhng(zhngmng)mng)：2222223222232232233()22()22 2222 33aabababb aba ba baa babababba ba baa babbab左邊（）右邊第15頁/共142頁第十六頁，共142頁。312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa中，6項的行下標(xi bio)全為123，而列下標(xi bio)分別為在三階行列式，共有

9、 ；每一項都是不同行不同列的三個數相乘(xin chn)，前面的正負號不同123，231，312 此三項均為正號132，213，321 此三項均為負號(f ho) 為了給出n 階行列式的定義，下面給出全排列及其逆序數的概念及性質。3!6 項第16頁/共142頁第十七頁，共142頁。定義 由1，2， ，n 組成的有序數組稱為一個(y )n級 全排列。（簡稱排列）記為 j1 j2 jn. 例如(lr) 32541 是一個5級全排列 83251467是一個8級全排列3級全排列的全體共有6種，分別為 123，231，312，132，213，321n級全排列的種數為! 321) 1(nnn第17頁/共1

10、42頁第十八頁，共142頁。定義 在在一個排列 中，若某個較大的數排在一個較小的數前面，即， 則稱這兩個數組成此排列的一個逆序。 nstiiiii21tsjj例如(lr) 排列 32514 中 我們規定各元素之間有一個(y )標準次序, n 個不同的自然數，規定由小到大為自然排序（標準次序）。如：123n 是自然排序排列排列(pili)的逆序數的逆序數3 2 5 1 4逆序逆序逆序tsii第18頁/共142頁第十九頁，共142頁。定義 一個排列 j1 j2 jn 中所有逆序的總數稱為(chn wi)此排 列的逆序數。記為 （ j1 j2 jn ）例如(lr) 排列 32514 中3 2 5 1

11、 4逆序數逆序數(xsh)為為31010故此排列的逆序數為 ( 32541)=3+1+0+1+0=5.說明：說明： ( 1234n)=0第19頁/共142頁第二十頁，共142頁。定義（p2）: 排列的奇偶性逆序數(xsh)為奇數的排列稱為奇排列逆序數(xsh)為偶數的排列稱為偶排列.第20頁/共142頁第二十一頁，共142頁。分別計算出排列分別計算出排列(pili)中每個元素前面比它大中每個元素前面比它大的數碼個數之和，即算出每個元素的逆序數，的數碼個數之和，即算出每個元素的逆序數，方法方法(fngf)2 (fngf)2 前看法前看法方法方法(fngf)1 (fngf)1 后看法后看法2 2

12、計算排列逆序數的方法計算排列逆序數的方法分別計算出分別計算出排列中每個元素排列中每個元素后面后面比它比它小小的數碼個的數碼個數之和，即算出每個元素的逆序數，數之和，即算出每個元素的逆序數，所有元素的逆序數總和即為所求排列的逆序數所有元素的逆序數總和即為所求排列的逆序數. .所有元素的逆序數總和即為所求排列的逆序數所有元素的逆序數總和即為所求排列的逆序數. .第21頁/共142頁第二十二頁，共142頁。4 2 5 3 101024于是(ysh)排列 42531的逆序數為 7為奇數，稱為奇排列5的前面(qin mian)沒有比5大的數,其逆序數為0;3的前面(qin mian)比1大的數有3個,故

13、逆序數為2;1的前面比1大的數有4個,故逆序數為4;例例1 1 (1)求排列求排列42531的逆序數的逆序數.解解在排列在排列42531中中,4 4排在首位,逆序數為0;2的前面比2大的數只有一個4,故逆序數為1第22頁/共142頁第二十三頁，共142頁。 12321n nn解解12 ,21 nn當當 時為偶排列；時為偶排列；14 ,4 kkn當當 時為奇排列時為奇排列. .34 , 24 kkn(1)n 2 n例例 求排列求排列(pili)的逆序數的逆序數(xsh)(1)(2)321n nnn個個逆序數逆序數(xsh)(xsh)的性質的性質: :(1)( (1)321);2n nn n 12

14、(1)0().2nn nj jj (12)0;n 第23頁/共142頁第二十四頁，共142頁。于是此排列(pili)的逆序數為4的前面(qin mian)比4大的數n-2,其逆序數為n-2;6的前面(qin mian)比6大的數有n-3個,故逆序數為n-3; 2n的前面比2n大的數有0個,故逆序數為0;解解: 共n個數 共n個數2的前面比2大的數只有一個n-1,故逆序數為n-1 213521 246(2 )nn13521n(1)(1)(2)02n nnn2 4 6( 2)n第24頁/共142頁第二十五頁，共142頁。當當 時為偶排列；時為偶排列；14 ,4 kkn當當 時為奇排列時為奇排列.3

15、4 , 24 kkn第25頁/共142頁第二十六頁，共142頁。定義定義(dngy)在排列在排列(pili)中，將任意兩個數對調，其余數不動，中，將任意兩個數對調，其余數不動，這種對排列這種對排列(pili)的變換叫做對換的變換叫做對換將相鄰兩個數對調將相鄰兩個數對調(dudio)，叫做相鄰對換，叫做相鄰對換mlbbbaaa11例如例如bamlbbabaa11abnmlccbbbaaa111nmlccabbbaa111baab325143152423 1 32 1第26頁/共142頁第二十七頁，共142頁。定理定理1 1 一個排列中的任意兩個元素一個排列中的任意兩個元素(yun s)(yun

16、s)對換，排列改變奇偶性對換，排列改變奇偶性證明證明(zhngmng)設排列設排列(pili)為為mlbbabaa11對換對換 與與abmlbbbaaa11除除 外，其它元素的逆序數不改變外，其它元素的逆序數不改變.b ,aabba第27頁/共142頁第二十八頁，共142頁。當當 時，時，ba ab的逆序數不變的逆序數不變;經對換后經對換后 的逆序數增加的逆序數增加1 ,經對換后經對換后 的逆序數不變的逆序數不變 ， 的逆序數減少的逆序數減少1.ab因此對換相鄰兩個元素，排列因此對換相鄰兩個元素，排列(pili)改變奇偶性改變奇偶性.設排列設排列(pili)為為 一般情形一般情形nmlcbcb

17、abaa111當當 時，時，ba 現來對換現來對換 與與a.b第28頁/共142頁第二十九頁，共142頁。次相鄰對換次相鄰對換mnmlccbbabaa111次相鄰對換次相鄰對換1 mnmlccabbbaa111,111nmlcbcbabaa次相鄰對換次相鄰對換12 m,111nmlcacbbbaa所以一個排列中的任意兩個所以一個排列中的任意兩個(lin )元素對換，排列改變元素對換，排列改變奇偶性奇偶性.abnmlccbbbaaa111abab第29頁/共142頁第三十頁，共142頁。推論推論 時，時，n個元素的所有排列中，個元素的所有排列中，2n 奇排列奇排列(pili)和偶排列和偶排列(p

18、ili)的的個數相等，個數相等，各為各為!2n推論推論 任何一個任何一個n 級排列與自然順序級排列與自然順序12n排列都可通過一系列對換排列都可通過一系列對換(du hun)互變，互變，并且并且所做對換所做對換(du hun)的次數與這個排列有的次數與這個排列有相同的相同的奇偶性奇偶性. .第30頁/共142頁第三十一頁，共142頁。三階三階(sn ji)行列式行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 說明說明(shumng)（1）三階行列式共有三階行列式共有

19、6 項，即項，即 項項!3（2）每項都是位于不同行不同列的三個元素的每項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積乘積第31頁/共142頁第三十二頁，共142頁。（3 3）在行標按順序排列后，下列標排列的逆序數）在行標按順序排列后，下列標排列的逆序數(xsh)(xsh)決定每項的決定每項的“+“+、-”-”號，偶號，偶“+”“+”、奇、奇“-“-”例如例如(lr)322113aaa列標排列(pili)的逆序數為211312322311aaa列標排列的逆序數為1320 1 1 偶排列奇排列奇排列12正號 (-1)1 1負號 (-1)1 2 31 2 3123123111213()()212223123

20、123313233( 1)( 1).j j ji i ijjjiiiaaaaaaa aaa a aaaa第32頁/共142頁第三十三頁，共142頁。1 12 233( 1)p qp qp qaaa 為行標為行標 排列排列(pili)逆序數逆序數 與列標與列標 排列排列(pili)逆序數的和逆序數的和.說明：說明：223p p p123q q q13 21 32a a a 任意改變元素的順序，排列的奇偶性不變1321 3232 13213121 12312231224a a aa a a ，都是偶排列，奇偶性不變第33頁/共142頁第三十四頁，共142頁。nnnnnnnjjjjjjaaaaaaa

21、aaDaaannnnn21222211121121)(2.) 1(2121記作的代數和個元素的乘積取自不同行不同列的階行列式等于所有個數組成的由定義定義(dngy)4 (p3).det(ija簡簡記記作作的元素的元素稱為行列式稱為行列式數數)det(ijijaa二、二、n階行列式階行列式第34頁/共142頁第三十五頁，共142頁。nnnnjjjjjjjjjnnnnnnaaaaaaaaaaaaD212121212122221112111規定規定(gudng) 一階一階行列式行列式aa第35頁/共142頁第三十六頁，共142頁。nppppppnnaaaD21)(21211其中其中 為行標排列為行標

22、排列 的逆序數的逆序數. .nppp21 階行列式也可定義為階行列式也可定義為n事實上事實上 按行列式定義按行列式定義(dngy)有有第36頁/共142頁第三十七頁，共142頁。nnpppaaaD21211npppnaaaD211211記記對于對于(duy)D中任意一中任意一項項,12121nnpppaaa總有且僅有總有且僅有 中的某一項中的某一項1D ,12121nqqqsnaaa 與之對應與之對應(duyng)并相等并相等;反之反之(fnzh),對于對于 中任意一項中任意一項1D,12121npppnaaa也總有且僅有也總有且僅有D中的某一項中的某一項 ,12121nnqqqsaaa 與之

23、對應并相等與之對應并相等, 于是于是D與與1D中的項可以一一對應并相等中的項可以一一對應并相等,從而從而.1DD 第37頁/共142頁第三十八頁，共142頁。1 1221nnp qp qp qDaaannqqq,ppp2121其中其中 是兩個是兩個 級排列，級排列， 為行為行標排列逆序數與列標排列逆序數的和標排列逆序數與列標排列逆序數的和. .注：注：n n階行列式的一般項為：階行列式的一般項為：n更一般的我們(w men)有:定理（p7 定理2）112233(1)nnp qp qp qpqaaaa第38頁/共142頁第三十九頁，共142頁。說明說明(shumng)1、 階行列式是階行列式是

24、項的項的代數和代數和;n!n2、 階行列式的每項都是階行列式的每項都是位于不同行、不同位于不同行、不同列列 個元素的乘積個元素的乘積;nn3、 一階行列式一階行列式 不要與不要與絕對值記號絕對值記號相混淆相混淆;aa 4、 的符號為的符號為nnpppaaa2121.1)(21nppp思考題思考題1. 若n階行列式D有一行(yxng)(列)元素全為零,則D=?第39頁/共142頁第四十頁，共142頁。1423314256653243 14512566a a a a a aa a a a a a和-6142331425665( 1)( 1)1a a a a a a （431265）（431265）

25、=0+1+2+2+0+1=6故前面的符號是正號324314512566( 1)a a a a a a（341526）+（234156）8（341526）=0+0+2+0+3+0=5（234156）=0+0+0+3+0+0=3（-1）=1故前面的符號是正號142331425665a a a a a a324314512566a a a a a a-第40頁/共142頁第四十一頁，共142頁。111212221122000nnnnnnaaaaaaa aa第41頁/共142頁第四十二頁，共142頁。證明證明(zhngmng)(zhngmng)：上三：上三角行列式角行列式nnnnaaaaaa00022

26、211211解解展開式中一般展開式中一般(ybn)項是項是.2121nnpppaaa,npn , 11 npn, 1, 2, 3123 ppnpn第42頁/共142頁第四十三頁，共142頁。所以所以(suy)不為零的項只有不為零的項只有.2211nnaaannnnaaaaaa00022211211 nnntaaa2211121 .2211nnaaa 第43頁/共142頁第四十四頁，共142頁。例例2?8000650012404321 D443322118000650012404321aaaaD .1608541 第44頁/共142頁第四十五頁，共142頁。2.下三角下三角(snjio)行列式行

27、列式特點：對角線以上元素都是特點：對角線以上元素都是0nnnnnaaaaaaa32122211100000.2211nnaaa 3.對角行列式對角行列式特點：主對角線以外特點：主對角線以外(ywi)的元素都是的元素都是011221122nnnnaaa aaa第45頁/共142頁第四十六頁，共142頁。0004003002001000即行列式中不為零的項為即行列式中不為零的項為逆序數逆序數(xsh)：故故例例3 3計算計算(j sun)(j sun)行列式行列式( 1)2424D （4321）61 2 3 4=(-1).aaaa41322314（4321）=0+1+2+3=6第46頁/共142頁

28、第四十七頁，共142頁。注：注：112,1212,1111nn nnnnnnaaa aaa4.4.反對反對(fndu)(fndu)角行列式角行列式(1)( (1)21)0 1(1)2n nn nn 第47頁/共142頁第四十八頁，共142頁。解：行列式中不為零的項為解：行列式中不為零的項為逆序數逆序數(xsh)：故故( 1)2424D （2314）22 1 3 4=(-1)12233144.a a a a（2314）=0+0+2+0=20200001030000004練習練習(linx) ：用定義計算行列式：用定義計算行列式第48頁/共142頁第四十九頁，共142頁。例例5 5設設nnnnnn

29、aaaaaaaaaD2122221112111 nnnnnnnnnnabababaabababaaD221122222111112112 證證明明(zhngmng).21DD 證證由行列式定義由行列式定義(dngy)有有第49頁/共142頁第五十頁，共142頁。 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121212121222211121111 nnnnnnnnnnabababaabababaaD221122222111112112 nnnnpppnnppppppppptbaaa 2121212121211第50頁/共142頁第五十一頁，共142頁。由于由于(yuy

30、),2121npppn 所以所以(suy) .12211212121DaaaDnnnnpppppppppt nnnnpppnnppppppppptbaaaD 21212121212121 nnnnppppppppptaaa212121211 故故第51頁/共142頁第五十二頁，共142頁。第二節第二節 行列式的性質行列式的性質(xngzh)第52頁/共142頁第五十三頁，共142頁。行列式行列式 稱為行列式稱為行列式 的轉置行列式的轉置行列式. TDD記記nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa2211第53頁/共142頁第

31、五十四頁，共142頁。證明證明(zhngmng) 的轉置行列式的轉置行列式記記ijaDdet ,212222111211nnnnnnTbbbbbbbbbD , 2 , 1,njiabjiij即按定按定義義(dngy) .1121212121 nppptnppptTnnaaabbbD 又因為又因為(yn wi)行列式行列式D可表示可表示為為 .12121 nppptnaaaD故故.TDD 證畢證畢第54頁/共142頁第五十五頁，共142頁。131 42 3224TD 則 232205012D 121 42 3234D 121212021D練習: 寫出以下兩個(lin )行列式的轉置行列式，并證明

32、D=DT：第55頁/共142頁第五十六頁，共142頁。設行列式設行列式,2122221112111nnnnnnbbbbbbbbbD 是由行列式是由行列式 變換變換 兩行得到的兩行得到的, ijaDdet ji,第56頁/共142頁第五十七頁，共142頁。于是于是(ysh) njinpjpipptbbbbD1111 njinpjpipptaaaa111 即當即當 時時,jik, ;kpkpab 當當 時時,jik, ,ipjpjpipabab D 第57頁/共142頁第五十八頁，共142頁。推論推論(tuln) (tuln) 如果行列式有兩行（列）完全相同如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列

33、式為零，則此行列式為零. .證明證明(zhngmng)互換相同互換相同(xin tn)的兩行，有的兩行，有 . 0 D,DD 第58頁/共142頁第五十九頁，共142頁。121 42 3234D 例 343 2 1 4212 121 2 1 2012D 設 第59頁/共142頁第六十頁，共142頁。練習練習 驗證驗證(ynzhng)性質性質2 571853266571853266825567361第60頁/共142頁第六十一頁，共142頁。 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數乘以同一數 ，等于用數，等于用數 乘此行列式乘此行列式. .kknnnnin

34、iinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 第61頁/共142頁第六十二頁，共142頁。26141372052 205012012D 例 111211212niiinnnnnaaaaaaaaa111211212niiinnnnnaaaaaaaaa 第62頁/共142頁第六十三頁，共142頁。,13523570503253例如例如(lr)2770103535235705032532770103535所以所以(suy)27(5135135第二列提取第二列提取(tq)-5倍倍第63頁/共142頁第六十四頁，共142頁。性質行列式中如果有兩

35、行（列）元素性質行列式中如果有兩行（列）元素(yun s)成比例，則此行列式為零成比例，則此行列式為零證明證明(zhngmng)nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 . 0 第64頁/共142頁第六十五頁，共142頁。1202420121D 例如第1行，第2行成比例(bl)第65頁/共142頁第六十六頁，共142頁。性質性質5 5若行列式的某一列若行列式的某一列(y li)(y li)（行）的元素都是（行）的元素都是兩數之和兩數之和. .nnnininnniiniiaaaaaaa

36、aaaaaaaaD)()()(2122222211111211 則則D等于下列等于下列(xili)兩個行列式之兩個行列式之和：和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111例如例如(lr)第66頁/共142頁第六十七頁，共142頁。性質性質(xngzh)把行列式的某一列（行）的各元素把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數然后加到另一列乘以同一數然后加到另一列(行行)對應的元素上去，行對應的元素上去，行列式不變列式不變njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111njnjnjninjjjinjjij

37、iaakaaaaakaaaaakaaakrr)()()(1222221111111 k例如例如(lr)第67頁/共142頁第六十八頁，共142頁。32530507352D例例 計算計算(j sun)3030507352D讓第讓第1列加到第列加到第3列，得列，得300050( 3) ( 5) 91357359D 讓第讓第2行乘以行乘以5加到第加到第1行，得行，得分析分析(fnx)：利用性質把：利用性質把D化為上（下）三角行列式化為上（下）三角行列式第68頁/共142頁第六十九頁，共142頁。計算行列式常用方法：利用運算把行列計算行列式常用方法：利用運算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的

38、式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值值jikrr 11121222000nnnnaaaaaa第69頁/共142頁第七十頁，共142頁。3112513420111533D111212223112051342011001533nnnnaaaaaDa第70頁/共142頁第七十一頁，共142頁。3112513420111533D(1,2)c13121534021151332 1( 1)r13120846021151334 1(5)r13120846021101627第71頁/共142頁第七十二頁，共142頁。(2,3)r1312021108460162734(2)r1312021100810016

39、2742( 8)r1312021100810001015543( )4r13120211008100005/251 2 8402 第72頁/共142頁第七十三頁，共142頁。例例22101044614753124025973313211 D3 第73頁/共142頁第七十四頁，共142頁。2101044614753124025973313211 D3 解解2101044614753124022010013211312 rr第74頁/共142頁第七十五頁，共142頁。2101044614753140202010013211 2101044614753124022010013211312 rr 2

40、3 122rr 4 第75頁/共142頁第七十六頁，共142頁。42rr 2220020100140203512013211 2220035120140202010013211 144rr 133rr 第76頁/共142頁第七十七頁，共142頁。2220001000211003512013211 34rr 2220020100211003512013211 23rr 2 第77頁/共142頁第七十八頁，共142頁。6000001000211003512013211 612 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 第78頁/共142頁第七十九頁，共

41、142頁。nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaa321333323122322211131211綜上可知，化三角形行列式的一般步驟綜上可知，化三角形行列式的一般步驟(bzhu)如如下下00001000200將將a11的下方的下方(xi fn)化為化為0的過程中，若的過程中，若（1）011a，則可通過，則可通過(tnggu)換行（列）使換行（列）使; 011a（2）11a的下方化為的下方化為0時，其它元素出現分數，則可通過性質時，其它元素出現分數，則可通過性質11a“不漂亮不漂亮”，即，即變化變化a11，以盡量避免出現分數，以盡量避免出現分數.a22 、a33 的下方化為的下方化為0的

42、過程依此類推的過程依此類推.0步驟第79頁/共142頁第八十頁，共142頁。第80頁/共142頁第八十一頁，共142頁。例例3 3計算計算 n 階行列式階行列式abbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D將第將第 都加到第一列得都加到第一列得n, 3 , 2第81頁/共142頁第八十二頁，共142頁。 abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbbbna 1) 1(00 .)() 1(1 nbabna第82頁/共142頁第八十三頁，共142頁。例例4 4nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD1111111

43、111110 設設,)det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 證明證明(zhngmng)第83頁/共142頁第八十四頁，共142頁。證明證明(zhngmng);0111111kkkkkpppppD 設為設為化為下三角形行列式化為下三角形行列式，把，把作運算作運算對對11DkrrDji 化為下三角形行列式化為下三角形行列式把把作運算作運算對對22,DkccDji .0111112nnnknqqpqqD 設為設為第84頁/共142頁第八十五頁，共142頁。,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 化為下三角

44、形行列式化為下三角形行列式把把算算列作運列作運，再對后，再對后行作運算行作運算的前的前對對DkccnkrrkDjiji, nnkkqqppD1111 故故.21DD 第85頁/共142頁第八十六頁，共142頁。階行列式階行列式計算計算411111111111122222222ddddccccbbbbaaaaD 1 abcd已知已知例例5 5第86頁/共142頁第八十七頁，共142頁。解解111111112222dddcccbbbaaaD 1111111111112222dddcccbbbaaa 第87頁/共142頁第八十八頁，共142頁。dddcccbbbaaaabcd111111111111

45、2222 dddcccbbbaaa111111111111122223 . 0 第88頁/共142頁第八十九頁，共142頁。第三節第三節 行列式按行行列式按行(列列)展開展開(zhn ki)第89頁/共142頁第九十頁，共142頁。,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa例如例如(lr) 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaa

46、a1 11 21 3111112121313111112121313( 1)( 1)( 1)a Ma Ma Ma Aa Aa A 111112121313a Ma Ma M第90頁/共142頁第九十一頁，共142頁。在在 階行列式中，把元素階行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列劃去后，留下來的列劃去后，留下來的 階行列式叫做元素階行列式叫做元素 的余子式，記作的余子式，記作nijaij1 nija.Mij ，記記ijjiijMA 1叫做元素叫做元素 的代數余子的代數余子式式ija例如例如(lr)44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaa

47、aaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M 第91頁/共142頁第九十二頁，共142頁。,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44434134333124232112aaaaaaaaaM 1221121MA .12M ,33323123222113121144aaaaaaaaaM .144444444MMA .式余子式和一個代數余子每個元素都對應著一個第92頁/共142頁第九十三頁，共142頁。引理引理 一個一個 階行列式，如果其中第階行列式，如果其中第 行所有行所

48、有元素除元素除 外都為零，那末這行列式等于外都為零，那末這行列式等于 與它與它的代數余子式的乘積，即的代數余子式的乘積，即 ijijAaD niijaija44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD .14442412422211412113333aaaaaaaaaa 例如例如(lr)(lr)第93頁/共142頁第九十四頁，共142頁。證證當當 位于第一行第一列時位于第一行第一列時,ijannnnnaaaaaaaD21222211100 1111Ma.1111Aa再證一般再證一般(ybn)情形情形,nnnnjjjjjjaaa222211111nnnn

49、jjjjjjaaa2222111111111) 1(Ma第94頁/共142頁第九十五頁，共142頁。nnnjnijnjaaaaaaaD1111100 ,1,2,1行對調行對調第第行行第第行行行依次與第行依次與第的第的第把把 iiiD得得 nnnjnnijiiijiaaaaaaaD1, 1, 11 , 11001 ijaija第95頁/共142頁第九十六頁，共142頁。,1,2,1對對調調列列第第列列第第列列列列依依次次與與第第的的第第再再把把 jjjD得得 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1, 11, 1, 1110011 ija第96頁/共142頁第九十七頁，共142頁。 n

50、njnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 12001 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 1001 ijaija第97頁/共142頁第九十八頁，共142頁。nnnjnijnjaaaaaaaD1111100 中的余子式中的余子式.ijM在在余余子子式式仍仍然然是是中中的的在在行行列列式式元元素素ijnnjnnjnijijiijijaaaaaaaaa1, 11, 1, 100 ijaija第98頁/共142頁第九十九頁，共142頁。故得故得 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1, 11, 1, 1001 ijijjiMa1于是有于是

51、有nnjnnjnijijiijaaaaaaa1, 11, 1, 100 ,ijijMa ijaija.ijijAa第99頁/共142頁第一百頁，共142頁。定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素行列式等于它的任一行（列）的各元素(yun s)(yun s)與其對應的代數余子式乘積之和，即與其對應的代數余子式乘積之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 證證nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000 第100頁/共142頁第一百零一頁，共142頁。nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaaaaa21211211

52、00 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiAaAaAa 2211 ni, 2 , 1 第101頁/共142頁第一百零二頁，共142頁。例例1 計算行列式計算行列式277010353 D解解1 110( 1)( 3)72D .27 按第按第1行展開行展開(zhn ki)，得得1 200( 1)( 5)72 1 301( 1)377 方法方法(fngf)2： 按第按第2行展行展開開2 233( 1)( 1)72D .27 第102頁/共142頁第一百零三頁，共142頁。2004310050100232D 1 11 201102 1 1 24 3 ( 1)5 ( 1)23

53、23 44(3 ( 2)5 3)88 1 11 41003102 ( 1)0104 ( 1)501232023D 第103頁/共142頁第一百零四頁，共142頁。1232120510124312D103210052 1( 2)12124512c103710004 1(5)121745122c0370372121721751225122 2+1按第 行展開（-1）27217522511+21+3按第1行展開 -3(-1）（-1）48 第104頁/共142頁第一百零五頁，共142頁。例例43351110243152113 D5112111341 3( 2)00115533c51111113143(

54、1)00105530c第105頁/共142頁第一百零六頁，共142頁。0551111115)1(33 511(2 1)620550r5526)1(31 30( 10)40. 第106頁/共142頁第一百零七頁，共142頁。后進行計算。后進行計算。第107頁/共142頁第一百零八頁，共142頁。推論推論 行列式任一行行列式任一行(yxng)(yxng)（列）的元素與另（列）的元素與另一行一行(yxng)(yxng)（列）的對應元素的代數余子式乘（列）的對應元素的代數余子式乘積之和等于零，即積之和等于零，即. ji,AaAaAajninjiji 02211,11111111nnnjnjininjn

55、jnjjaaaaaaaaAaAa 證證行展開，有行展開，有按第按第把行列式把行列式jaDij)det( 第108頁/共142頁第一百零九頁，共142頁。,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa 可得可得換成換成把把), 1(nkaaikjk 行行第第 j行行第第 i,時時當當ji ).(,02211jiAaAaAajninjiji 同理同理).(, 02211jiAaAaAanjnijiji 相同相同第109頁/共142頁第一百一十頁，共142頁。關于代數余子式的重要關于代數余子式的重要(zhngyo)性質，可簡記為性質，可簡記為;,0,1jijiDAankk

56、jki當當;,0,1jijiDAankjkik當當第110頁/共142頁第一百一十一頁，共142頁。0532004140013202527102135 D例例5 計算計算(j sun)行列式行列式解解0532004140013202527102135 D第111頁/共142頁第一百一十二頁，共142頁。66027013210 6627210 .1080124220 53241413252 53204140132021352152 (31)r(21( 2)r第112頁/共142頁第一百一十三頁，共142頁。12312001030100nnDn11121nAAA11121111211 111120

57、01111 0301 00nnAAAAAAn 21111111 2()200211()11 3()030311()00niiciinnn21111102000030000niin221112 31!nniinnii 第113頁/共142頁第一百一十四頁，共142頁。1232222123111111231111()nnnijj i nnnnnnxxxxVxxxxxxxxxx 213111()()()()ijnj i nxxxxxxxx 其中322()()nxxxx122()()nnnnxxxx1()nnxx第114頁/共142頁第一百一十五頁，共142頁。3123222123111V = xxx

58、xxx2211211V =xxxx213132()()()xxxxxx第115頁/共142頁第一百一十六頁，共142頁。2221D= 11aabbccT222111D=D = abcabc是是3階范得蒙行列式階范得蒙行列式()()()Dba ca cb故第116頁/共142頁第一百一十七頁，共142頁。第四節第四節 克萊姆法則克萊姆法則(fz)第117頁/共142頁第一百一十八頁，共142頁。記作記作 . .劃去后，留下來的劃去后，留下來的 階行列式叫做元素階行列式叫做元素 的的余子式余子式，在在 階行列式中，把元素階行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列列nij1n ijaij

59、M 1ijijijAM ，叫做元素叫做元素 的的代數余子式代數余子式ija記記1, ,0, ;nikjkijkDija ADij 當當當當1, ,0 , ;nkikjijkDija ADij 當當當當1, 0, .ijijij ，當當當當第118頁/共142頁第一百一十九頁，共142頁。mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111設線性方程組設線性方程組,21不全為零若常數項mbbb則稱此方程組為則稱此方程組為非非 齊次線性方程組齊次線性方程組;,21全為零若常數項mbbb此時此時(c sh)稱方程組為齊次線性方程稱方程組為齊次線性方程

60、組組.使得方程組成立使得方程組成立(chngl)(chngl)的一組數的一組數 稱稱為此方為此方程組的解程組的解. .12,nx xx第119頁/共142頁第一百二十頁，共142頁。12341242341234258,369,225,4760.xxxxxxxxxxxxxx 例如 12341242341234250,360,220,4760.xxxxxxxxxxxxxx是是 非齊次線性方程組非齊次線性方程組是是 齊次線性方程組齊次線性方程組顯然，顯然， 是齊次線性方程組的是齊次線性方程組的一個一個(y )解，簡稱解，簡稱 零解零解120nxxx第120頁/共142頁第一百二十一頁，共142頁。一