1、2021-12-1515.1 引言5.2 頻率特性 5.3 頻率特性圖 5.4 奈奎斯特(Nyquist)穩定性判據 5.5 控制系統的穩定裕量 5.6 閉環系統的頻域性能指標小結2021-12-152 前面章節通過分析控制系統對階躍信號的時間響應，分析了系統穩態性能和動態性能。 本章節介紹線性系統的頻域分析法，它通過控制系統對正弦函數的穩態響應來分析系統性能。 時域分析和根軌跡法對系統進行分析，必須首先知道系統的開環傳遞函數。 頻域分析法既可以根據系統的開環傳遞函數采用解析方法得到系統頻率特性也可以用實驗方法測出穩定系統或元件的頻率特性。頻域特性的基本概念、頻率特性的圖形表示、奈奎斯特穩定判

2、據、系統的相對穩定性、閉環頻率特性、頻域指標與時域指標間的關系。主要內容：2021-12-153 j-sdjsd1s11(S) Ut Asin U RCT UUT RC 21220i1TS1(S)U(S)Ui0dtdUi00TsaATs則設式中網絡的微分方程為右圖所示的RUIU0Ca.RC網絡1.頻率特性的基本概念 112112j1)(s11d 112112j1-)(s11d 2222222221jarctgTjsjarctgTjseTjjTAjsATseTjjTAjsATs2021-12-154222221) 1(s11a1TTATsaTsTs）（這里應用歐拉公式穩態分量jearctgTte

3、dedtUjtjtj2esin )sin( )(limjT1A210t22)(11)(22/220TarctgtSinTAeTtAtuTt第一項為瞬態分量，時間趨于無窮，其趨于零。第二項為穩態分量2021-12-155).(arctgT - ),( , 1.:2211相頻特性滯后相角比輸入電壓幅頻特性幅值是輸入電壓的其頻率與輸入電壓相同弦電壓網絡的穩態輸出仍是正說明T. , , ee2.T-jarctgT11jjT11Tj1122)jT(11率特性的頻稱為網絡變化的規律頻率和相角隨正弦輸入電壓穩態輸出時電壓幅值入作用下它描述了網絡在正弦輸jS1TS1Tj11 3. 2021-12-156 )j

4、-)(sj(s)()()(Y(S) X(s)t xsinX(t) )()()()(Y(s) )()()()()(G(s) )()()(.112121222121nnnnnsscsscjsdjsdxsssssssBsxsXsssssssBsssssssBsAsBsXsYsGb一般系統tjtjnededttSSS21ss21)(y ,時所以當都有負實部由于極點對于穩定系統tsnts1tj2tj -1n1ec ec ed edy(t) 2021-12-157 2j)XG(j)j-(ssXG(s)d 2j)XG(-j-)j(ssXG(s)djS222-jS221)tYsin(2| )G(j| 2e|

5、)G(j|2e| )G(j|-(t)y)()()(j)(-jssjeeXejXejXtjtjtjtj e| )G(j|e| )G(-j|)G(-j)ReG(j)ImG(jarctg)G(j)( e| )G(j|)G(jj -j -)(j）（）（同樣其中，為穩態輸出信號的幅值X)j (GY2021-12-158)G(jje)G(j)G(j ,3.)0()0(,.,)j (G)(2.| )G(j|Y/X , 1. :記為稱為頻率特性幅頻特性和相頻特性總的特性或滯后其相位產生超前時入不同頻率的諧波信號當系統輸它描述在穩態情況下稱為相頻特性線性函數的非是相位差輸出信號與輸入信號的稱為幅頻特性線性函數的

6、非與輸入信號的幅值比是在穩態求出的輸出信號說明 這個頻率特性定義既可用于穩定系統也適用于不穩定系統。2021-12-159頻率特性和傳遞函數關系：jsG(s)j (R)j (C)G(j 穩定系統頻率特性可由實驗方法確定：即在系統的輸入端作用不同的正弦信號，在輸出端得到應的穩態輸出的幅值和相角，根據幅值比和相位差，就可得到系統的頻率特性。不穩定系統不可以用實驗法。系統的理論依據。夠從頻率特性出發研究這就是頻率響應能表征了系統的運動規律也及微分方程一樣頻率特性和傳遞函數以結論,: 穩定系統的頻率特性等于輸出和輸入的傅氏變換之比，這也是頻率特性的物理意義。2021-12-1510微分方程頻率特性傳遞

7、函數系統pj js ps 頻率特性、傳遞函數和微分方程三種系統描述之間的關系2021-12-15112、頻率特性的幾何表示法、頻率特性的幾何表示法幅相曲線：對于一個確定的頻率，必有一個幅頻特性的幅值和一個幅頻特性的相角與之對應，幅值與相角在復平面上代表一個向量。當頻率從零變化到無窮時，相應向量的矢端就描繪出一條曲線。這條曲線就是幅相頻率特性曲線，簡稱幅相曲線，又稱極坐標圖。(P174圖) 在實際應用中，常把頻率特性畫成曲線，根據這些頻率特性曲線對系統進行分析和設計。常用的曲線繪制方法介紹如下： 由于幅頻特性是角頻率 的偶函數，相頻特性是角頻率的奇函數，所以從0變換到無窮的幅相曲線與從負無窮變換

8、到0的幅相曲線關于實軸對稱，通常，只畫出從0變換到無窮時候的幅相曲線，并在曲線上用箭頭表示增大的方向。2021-12-1512對數幅頻特性曲線：對數幅頻特性曲線又稱為伯德(Bode)圖，包括對數幅頻和對數相頻兩條曲線。 對數幅頻特性曲線的橫坐標是頻率，按對數分度，單位是rad/s，縱坐標表示對數幅頻特性的函數值，采用線性分度，的單位是分貝dB；對數幅頻特性用L()表示，記作： L()=20lg| G(j)| 對數相頻特性曲線的橫坐標也是頻率 ，按對數分度，單位是rad/s?？v坐標表示相頻特性函數值，單位是度，記作 ()。對數分度與線性分度如下圖所示。2021-12-1513對數分度優點：在求幅

9、頻特性時，可以將各環節幅值相乘轉化為幅值相加。(1) 可以采用漸進性的方法，用直線段畫出近似的對數幅頻特性曲線。=1， lg()=0=10， lg()=1=100，lg()=2頻率每擴大10倍，對應橫軸上變換一個單位長度，故對而言，坐標分度是不均勻的，對lg()則是均勻分布的。(3)對于最小相位系統，可以由對數幅頻曲線得到系統的傳遞函數。2021-12-1514對數幅相曲線（又稱尼柯爾斯曲線）：用一條曲線表示相頻特性和對數幅頻特性，橫坐標和縱坐標都是線性分度的。 對數幅相圖的橫坐標表示對數相頻特性的相角，縱坐標表示對數幅頻特性的幅值的分貝數。都是以頻率為參變量。例如：慣性環節 的對數幅相曲線如

10、右所示： 2021-12-1515).12() 1(12111s1K 1sasasa1)sbsbsK(bG(s) .22)(1122)(11v11 -n1 -nnn11 -m1 -mmm2121SSssTsTsTiiilmjjljiiihvniihi環節控制系統中常見的典型一比例環節：K積分環節：1/s 慣性環節：1/(Ts+1) 式中T0 具體常見有以下七種環節：振蕩環節：1/(s/n)2+2s/n+1; 式中n0，00 二階微分環節：(s/n)2+2s/n+1; 式中n0，01微分環節：s 2021-12-1516二、典型環節的頻率響應1、比例環節比例環節的頻率特性是G(j)=K對數幅頻特

11、性曲線是一條距0dB線為20lgK的直線。對數相頻特性為002021-12-15172、積分環節jjG1)(對數幅頻特性是 L()=相頻特性是 ()=-90o。積分環節的頻率特性是幅頻特性：相頻特性：2021-12-15183、慣性環節1/T, L()-20lgT 221lg20)(TL T-arctg)( TjarctgeTTjjG 221111)(頻頻率率特特性性對數幅頻特性為：對數相頻特性為：近似對數幅頻特性2021-12-15194、振蕩環節頻率特性：幅頻特性：相頻特性：對數幅頻特性為：對數相頻特性為：2)(12)(TTarctg22222)(4)1 (lg20)(TTL2021-12

12、-15204、微分環節一階微分環節頻率特性：幅頻特性：相頻特性：對數幅頻特性為：對數相頻特性為：221lg20)(TL 1/T, L()20lgT Tarctg)( 1)(TjjG1)(22TjGTarctgjG)(2021-12-1521二階微分環節頻率特性：幅頻特性：相頻特性：對數幅頻特性為：對數相頻特性為：(1,j0)2021-12-15225、不穩定環節 不穩定環節具有在右半平面的極點，如傳遞函數：的環節就是不穩定環節。這兩個環節傳遞函數形式分別與慣性環節和振蕩環節相似，故稱它們為不穩定的慣性環節和不穩定的振蕩環節。2021-12-15232021-12-1524三、開環系統的幅相曲線

13、繪制 根據系統開環頻率特性的表達式可以通過取點、計算合作圖繪制系統開環幅相曲線，下面做簡略介紹。概略開環幅相曲線應反映開環頻率特性的三個重要因素：1、開環幅相曲線的起點和終點。2、開環幅相曲線與實軸交點。3、開環幅相曲線的變化范圍。2021-12-15252021-12-1526 從以上例子可以看出，對于開環傳遞函數只含有左半平面的零點和極點的系統，其幅相曲線的起點和終點具有如下規律： 若開環傳遞函數中含有在右半平面的極點或零點，幅相曲線的起點和終點不具有以上規律，對于這樣的系統，尤其應注意系統的相頻特性。2021-12-1527四、開環系統對數頻率特性曲線繪制（Bode圖）2021-12-1

14、528)()(bsbsbsbG(S)H(S)(S)G G(S)H(S)1G(S)(S)G .21011 -m1 -mmmkBvnvpspspss開環傳函為函為右圖所示系統的閉環傳輔助函數一部。的全部零點均具有負實現在卻變成輔助函數有負實部的全部極點均具是原系統穩定的充要條件由上述關系知)(,)(, SFSGBGB(S)零點極點相同F(S)零點極點相同GK(S)零點極點G(s)C(s)R(s)H(s)由此我們看到選取輔助函數 )()()Z-(S)Z-)(SZ-k(SG(S)H(S)1F(S) 21n21vnvpspspss2021-12-1529P-ZN )( , , .)( ,)( , ,)(

15、,)(.,)( .點的次數按順時針方向包圍原平面上的映射在運動沿以順時針方向當點在這種情況下的任何極點與零點不通過而內平面的封閉軌線部極點與零點均分布在的全以及點數目其中包括重極點與重零的零點數目為極點數目為又設為單值連續正則函數點外平面的有限個奇除在是復變量的多項式之比設幅角原理二FSSSSSFSSFSSFSFZSFPSSF不包圍原點表示次逆時針包圍原點表示次順時針包圍原點表示FFFNNN 0 0N 0N2021-12-1530 )()(,B,F(S), :S的變化的相位角造成了這個變化回到點點出發沿它從也相應的變化這樣變化時當回到原來的位置順時針轉一圈繞從這點移動使上選擇點在有關幅角定理的

16、說明SFSFBSZSAFi-2)Z-(SF(S) ,2)(,)(,(a)S)Z-(SiSi所以其余均為零外等于除了時而不含極點與其他零點含零點內只當的相位角變化即向量復數路線變動時的按圖表示這里iiSiZSZZSjwSA.Zi(a) SBFReImF(S)(b) )P-(S-)P-(S-)Z-(S)Z-(SF(S) F(S) n1n1)P-(S)P-(S)Z-(S)Z-k(Sn1n12021-12-1531 (3)(2),(1),R(3),-(2)(1), . s, a.s (1).s : .s面面。段段就就封封閉閉了了整整個個右右半半平平因因此此的的趨趨于于無無窮窮大大的的圓圓弧弧組組成成段

17、段由由半半徑徑的的整整個個虛虛軸軸組組成成到到兩兩段段是是由由其其中中軌軌線線。稱稱為為為為平平面面右右半半部部的的封封閉閉軌軌線線的的整整個個可可選選包包括括虛虛軸軸在在內內況況下下在在虛虛軸軸無無開開環環極極點點的的情情的的情情況況平平面面虛虛軸軸上上無無開開環環極極點點軌軌跡跡平平面面的的推推導導穩穩定定判判據據三三NyquistNyquistNyquistsjw(3)(1)(2) r0ss2021-12-1532 ,.,0,)(,)(, .極極點點的的情情況況相相同同。同同時時和和虛虛軸軸不不含含開開環環內內包包圍圍在在修修正正軌軌線線與與極極點點都都將將平平面面右右半半部部的的全全部

18、部零零點點所所以以零零也也將將趨趨于于時時當當修修正正回回避避掉掉的的一一些些面面積積由由于于這這些些右右側側繞繞過過反反時時針針方方向向從從這這些些點點的的按按以以無無窮窮小小為為半半徑徑的的圓圓弧弧補補以以該該點點為為圓圓心心則則在在這這些些點點增增平平面面的的原原點點或或虛虛軸軸上上時時點點處處于于所所以以當當函函數數有有若若干干個個極極的的任任何何極極點點函函數數不不能能通通過過由由于于應應用用幅幅角角定定理理時時的的情情況況平平面面原原點點處處有有開開環環極極點點SSSrSFSFSb(1)(2)r=0(3)ImResF(s)2021-12-1533。故故零極點數相等零極點數相等函數的

19、函數的曲線所包圍的曲線所包圍的說明說明即即則其曲線不包圍原點則其曲線不包圍原點若其圖形如圖所示若其圖形如圖所示函數做出。函數做出。軌跡按軌跡按平面上的平面上的軌跡軌跡平面上的平面上的0P-ZN,F(S), 0,)(NyquistF(S) NyquistF(S) )2(SNSF(1,j0)ReImF(S)2021-12-1534 . )( , )0, 1( ,)( )0(-1, ,)( 1-F(S)G(S)H(S) , ,)()(1)( )3(NSFNjGHSFjGHSFGHGHSHSGSFNyquistGHF圈圈數數包包圍圍原原點點的的平平面面上上就就等等于于在在的的圈圈數數平平面面上上包包圍

20、圍在在上上的的原原點點平平面面點點就就是是上上的的平平面面所所構構成成的的新新復復平平面面位位之之后后平平面面虛虛軸軸右右移移了了一一個個單單平平面面只只是是將將可可見見因因為為平平面面上上的的情情況況與與此此相相似似平平面面上上的的情情況況以以上上研研究究了了軌軌跡跡平平面面上上的的.(-1,j0)GH2021-12-1535圖圖。時時的的完完整整開開環環頻頻率率響響應應可可以以通通過過對對稱稱關關系系畫畫出出應應因因此此通通常常繪繪制制的的頻頻率率響響平平面面的的實實軸軸稱稱于于對對與與由由于于響響應應時時完完整整開開環環頻頻率率在在這這兩兩部部分分構構成成閉閉環環系系統統運運動動向向沿沿

21、虛虛軸軸從從段段在在第第運運動動向向沿沿虛虛軸軸從從段段在在第第的的關關系系。響響應應與與閉閉環環系系統統的的開開環環頻頻率率上上映映射射平平面面在在順順時時針針運運動動一一周周時時沿沿下下面面分分析析當當點點-0 )()(,)()()()()()(),()(- | )()(| )()( 0 , 0 s (2) | )()(| )()( 0- ,0 s (1) )H(jG(jG(S)H(S)()(,S)()()()(-jHjGsHsGjHjGjHjGjHjGejHjGsHsGjjejHjGsHsGjjSHSGjHjGjjsjHjGjjsF2021-12-1536點點。不不包包圍圍時時變變到到本

22、本從從當當平平面面上上的的開開環環頻頻率率響響應應件件為為條條則則閉閉環環系系統統穩穩定定的的充充要要即即平平面面左左半半部部的的全全部部極極點點均均分分布布在在若若的的極極點點數數目目平平面面右右半半部部位位于于為為開開環環傳傳遞遞函函數數中中其其次次按按逆逆時時針針方方向向包包圍圍時時變變到到本本從從當當平平面面上上的的開開環環頻頻率率響響應應件件是是閉閉環環系系統統穩穩定定的的充充要要條條穩穩定定判判據據)0, 1(, ),)H(jG(j )H(jG(j ,0,P,sG(s)H(s) .sG(s)H(s),)0, 1(,),)H(jG(j)H(jG(j: :jPPjNyquist2021

23、-12-1537radjHjGerKsasassbsbKsHsGresjsjsjrresnnmmresjrjrjr順順時時針針轉轉過過沿沿半半徑徑為為無無窮窮大大的的圓圓弧弧到到平平面面上上的的映映射射軌軌線線由由這這說說明明增增補補段段在在時時到到當當00)()(lim ) 1() 1()()(lim 000lim11lim0002021-12-1538) 1() 1()()( 2TsssKsHsG函函數數為為設設閉閉環環系系統統的的開開環環傳傳遞遞例例2021-12-1539穿穿越越。故故稱稱正正將將產產生生正正的的增增量量伴伴隨隨這這種種穿穿越越的的相相移移因因為為線線段段一一次次的的必

24、必從從上上而而下下穿穿越越負負實實軸軸則則一一周周方方向向包包圍圍開開函函頻頻率率響響應應按按逆逆時時針針正正穿穿越越正正負負穿穿越越的的定定義義線線圖圖的的相相頻頻特特性性的的對對應應圖圖的的負負實實軸軸橫橫軸軸以以上上區區域域對對應應單單位位圓圓外外圖圖的的橫橫軸軸對對應應圖圖的的單單位位圓圓圖圖的的對對應應關關系系圖圖與與的的穩穩定定性性穩穩定定判判據據分分析析閉閉環環系系統統圖圖應應用用根根據據四四,)H(jG(j ,)(-1,-)H(jG(j,j0)(-1,: 2. Bode -180)H(jG(j Nyquist c. 0| )H(jG(j|20lg 1| )H(jG(j| b.

25、0| )H(jG(j|20lg Bode 1| )H(jG(j| Nyquist a. Nyquist1.Bode .NyquistBode2021-12-1540線線從從上上而而下下穿穿越越頻頻段段上上圖圖在在對對應應上上的的負負穿穿越越線線段段上上產產生生一一次次從從下下而而在在則則點點一一周周方方向向包包圍圍開開環環頻頻率率響響應應按按順順時時針針負負穿穿越越線線從從下下而而上上穿穿越越頻頻段段上上圖圖在在對對應應 )H(jG(j , 0| )H(jG(j|20lgBode ), 1()()( )0, 1( :- )H(jG(j , 0| )H(jG(j|20lgBode jHjGj -

26、1 負正ImReGHww正負|lg20GG2021-12-1541 ., 0;. 2P/-)H(jG(j,db 0| )H(jG(j|20lg: :. 3。存存在在任任何何穿穿越越越越次次數數差差應應等等于于零零或或不不上上述述正正負負穿穿若若數數平平面面右右半半部部的的開開環環極極點點為為位位于于其其中中等等于于線線的的正正負負穿穿越越次次數數差差應應與與相相頻頻特特性性的的頻頻段段內內在在幅幅頻頻特特性性件件閉閉環環系系統統穩穩定定的的充充要要條條判判據據如如下下性性圖圖分分析析閉閉環環系系統統的的穩穩定定根根據據PSPNyquistBodeww-+1800系系統統穩穩定定。次次數數差差為

27、為零零顯顯然然正正負負穿穿越越,例：w=0w=+-P=0-12021-12-1542 -P, 0)(0900 )(jG90 90,0 )H(jG(j )(G(S)H(S) :11S1V定定性性。數數差差判判別別閉閉環環系系統統的的穩穩線線的的正正負負穿穿越越次次值值及及增增補補相相頻頻特特性性對對然然后后再再根根據據延延長長的的位位于于橫橫軸軸無無窮窮遠遠處處向向時時的的這這時時需需將將至至變變化化從從變變化化時時由由在在分分環環節節時時當當開開環環傳傳函函含含有有串串聯聯積積說說明明vvvSG-2700180P=000系統不穩定系統不穩定2021-12-1543)H(jG(j180 )(-1

28、80-)H(jG(j)().(,)H(jG(j,: )(0)H(jG(j log20 ,1)H(jG(j .,Nyquist)H(jG(j: .0ccccccccccccccdBBode即記作上追補的附加相移響應的相移界穩定性需在開環頻率使閉環系統具有臨上在剪切頻率相角裕度有圖上在環頻率響應的剪切頻率稱為控制系統開率上的單位圓相交處的頻圖與開環頻率響應剪切頻率相角裕度一2021-12-1544 c )H(jG(jcc c )H(jG(jcc 2021-12-1545)()()(log20log20 .)()(,:)()(1 , ,)()(,180:.dBjHjGKjHjGjHjGKKjHjGg

29、gggggggggggg或或縮縮小小的的倍倍數數增增大大特特性性值值將將開開環環頻頻率率響響應應的的幅幅頻頻定定需需使使閉閉環環系系統統具具有有臨臨界界穩穩上上在在角角頻頻率率含含義義即即記記作作控控制制系系統統的的幅幅值值裕裕度度稱稱為為的的倒倒數數開開環環頻頻率率特特性性值值上上時時的的角角頻頻率率等等于于在在開開環環頻頻率率響響應應的的相相移移定定義義幅幅值值裕裕度度二二2021-12-1546(db)wcrKgwgKg(db)wcrwg2021-12-15470log20 1 0 ,:ggKK需需欲欲使使系系統統穩穩定定結結論論2021-12-1548的的關關系系式式。和和阻阻尼尼比比

30、試試求求取取相相角角裕裕度度環環傳傳遞遞函函數數設設二二階階系系統統具具有有下下列列開開例例)2(G(s)H(s) 2nnss24242412 241 arctgnc解解：2021-12-1549解： )2()()(2nnwjwjwwjwHjwG22224)()(nnwwwwjwHjwGnwwarctgjwHjwG290)()( 1)()(ccjwHjwG，即 142222nccnwwww解得42222)4(nnccwwww422244ncncwwww44422224)2(nnncwwww2021-12-155042222412nncwww 22422241nncwww 24241ncww n

31、cccwwarctgjwHjwG290)()( 22419022arctg )()(180ccjwHjwG 22419022arctg )2241(22arctgctgtg )2241(122arctgtg 222412 222412 arctg 2021-12-1551bbrrMMAAMAA的的截截止止頻頻率率反反映映系系統統帶帶寬寬諧諧振振頻頻率率相相對對諧諧振振峰峰值值頻頻率率的的角角寬寬反反映映復復現現輸輸入入信信號號的的帶帶閉閉環環幅幅頻頻特特性性的的零零頻頻值值確確定定的的頻頻域域標標有有通通過過閉閉環環幅幅頻頻特特性性的的頻頻域域指指標標根根據據閉閉環環幅幅頻頻特特性性確確定定一一0)5()4()0(/)3(0)2();0() 1 (:)(.max2021-12-1552 maxA)( A)0(A)0(707. 0AM r b 2021-12-15536.控制系統的相對穩定性 一.相角裕度 Wc處1)()(jwHjwG在Bode圖上20lg0)()(ccj