1、新編天體運動計算題1. 宇航員站在一星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一個小球，經過時間t,小球落到星球表面，測得拋出點與落地點之間的距離為L若拋出時的初速增大到2 倍，則拋出點與落地點之間的距離為3L 已知兩落地點在同一水平面上，該星球的半徑為R，萬有引力常數為 G，求該星球的質量M解：設拋出點的高度為h ，第一次拋出時水平射程為x；當初速度變為原來2 倍時，水平射程為 2x ，如圖所示由幾何關系可知：L2 h 2 x2 (L)2 h 2 (2x) 2 聯立，得：h L設該星球表面的重力加速度為g則豎直方向h gt 2 又因為 mg( 或 GM gR 2) 由聯立，得M 2.在地球某處海平面

2、上測得物體自由下落高度h 所需的時間為t ，到某高山頂測得物體自由落體下落相同高度所需時間增加了t ，已知地球半徑為R ，求山的高度。解析: 有（ 1）（ 3 ）（2）（4）由以上各式可以得出3. 人類對宇宙的探索是無止境的。 隨著科學技術的發展， 人類可以運送宇航員到遙遠的星球去探索宇宙奧秘。假設宇航員到達了一個遙遠的星球，此星球上沒有任何氣體。此前，宇航員乘坐的飛船繞該星球表面運行的周期為T ，著陸后宇航員在該星球表面附近從速度 v0 水平拋出一個小球，測出小球的水平射程為L ，已知萬有引力常量為Gh 高處以初。（1）求該星球的密度； （ 2）若在該星球表面發射一顆衛星，那么發射速度至少為

3、多大？【解析】（ 1）在星球表面GMm4 2R2m T 2 R又GMmmgM4 R3R23解得3GT2另得到： RgT 242（2）設星球表面的重力加速度為g ，小球的質量為m ，小球做平拋運動，故有 h1 gt 2w L v0 t _2解得 g2hv 02L2該星球表面處的最小發射速度即為該星球的第一宇宙速度，設為為 v ，設衛星的質量為m1 ，則在星球表面m1Mv2m1 MG R2m1又GR2m1 gR則vgRhTv 02。代入（ 1）問中的 R 解得 vL24. 一組宇航員乘坐太空穿梭機，去修理位于離地球表面h 6.0 10 5 m 的圓形軌道上的哈勃太空望遠鏡 H 。機組人員使穿梭機s

4、 進入與 H 相同的軌道并關閉助推火箭，而望遠鏡則在穿梭機前方數千米處，如圖所示。設G 為引力常量，M 為地球質量（已知地球半徑為R 6.4 10 6 m ，地球表面重力加速度取9.8m / s2 ）。(1) 在穿梭機內，一質量為 m 70kg 的太空人站在臺秤上視重是多少？(2) 計算軌道上的重力加速度及穿梭機在軌道上的速率。(3) 穿梭機需首先進入半徑較小的軌道，才有較大的角速度以超前望遠鏡。試判斷穿梭機要進入較低軌道時應增加還是減小其原有速率，說明理由。【解析】（ 1）穿梭機內物體由地球萬有引力提供向心力，處于完全失重狀態，故該太空人視重為 0.（2）在距地球表面Mmmgh 高處： G(

5、R h)2SMmH在地球表面Gmg2R地球解得 ggR28.2m / s2( Rh) 2由 mg ' m v2 R h得 vg '(Rh)8.27106 m / s 7.6 103 m / s（3）要減小其原來速率。v 減小，則 mv2Mm，穿棱機做靠近地球的運動，進入較低軌道.( RG(Rh)2h)答案：（ 1） 0（ 2） 7.6 103 m / s5.2007年 10月 24 日，中國首顆探月衛星“嫦娥一號”從西昌衛星發射中心發射升空，11月 26 日，中國第一幅月圖完美亮相，中國首次月球探測工程取得圓滿成功我國將在2017年前后發射一顆返回式月球軟著陸器，進行首次月球樣

6、品自動取樣并安全返回地球假設探月宇航員站在月球表面一斜坡上的M點，并沿水平方向以初速度v0 拋出一個質量為m的小球，測得小球經時間t 落到斜坡上另一點N，斜面的傾角為，已知月球半徑為R，月球的質量分布均勻，萬有引力常量為G，求：（1）月球表面的重力加速度g / ；（ 2）小球落在斜面上時的動能；（ 3）人造衛星繞月球做勻速圓周運動的最大速度（ 1） v0 tL cos1gt 2L sin2g /2v0 tant（ 2） vyg / t2v0 tanEk1 m(v02v y2 )1 mv02 (14 tan 2)22（ 3） mg/m v 2vg / R2v0 tanRRt6. 科學家在地球軌道

7、外側發現了一顆繞太陽運行的小行星，經過觀測該小行星每隔t時間與地球相遇一次，已知地球繞太陽公轉半徑是R，周期是 T，設地球和小行星都是圓軌道，求小行星與地球的最近距離。解： 設小行星繞太陽周期為T/， T/ >T, 地球和小行星沒隔時間t 相遇一次，則有tt /1T /tTTTt T設小行星繞太陽軌道半徑為R/ , 萬有引力提供向心力有G Mm/m/4 2R/R/ 2T /2同理對于地球繞太陽運動也有GMmm4 2R2T2R由上面兩式有R/3T /2R/(t)2/3 RR3T 2tT所以當地球和小行星最近時dR/R(t)2/3RRtT7. 火星和地球繞太陽的運動可以近似看作為同一平面內同方向的勻速圓周運動，已知火星的1111軌道半徑 r火1.5 10 m ，地球的軌道半徑r地1.0 10 m ，從如圖所示的火星與地球相距最近的時刻開始計時，估算火星再次與地球相距最近需多少地球年？（保留兩位有效數字）解： 設行星質量m，太陽質量為M ，行星與太陽的距離為r，根據萬有