1、 第第3 3章章 振動與沖擊理論基礎振動與沖擊理論基礎 力學基礎（沖擊、振動）力學基礎（沖擊、振動） 數(shù)學基礎（微分方程、隨機過程）數(shù)學基礎（微分方程、隨機過程）1 1 概述概述商品破損的原因商品破損的原因: :（1 1）沖擊）沖擊沖擊過程的時間歷程不能用數(shù)學式描述；沖擊過程的時間歷程不能用數(shù)學式描述； 沖擊幅值是多峰狀態(tài)，包裝的響應是隨機分布的；沖擊幅值是多峰狀態(tài)，包裝的響應是隨機分布的； 沖擊波的形狀比較復雜，難以用簡單的函數(shù)表達；沖擊波的形狀比較復雜，難以用簡單的函數(shù)表達； 沒有明確的沖擊作用時間，很難用脈寬來定量時間；沒有明確的沖擊作用時間，很難用脈寬來定量時間； (2) (2) 振動

2、振動 某個物理量的值在觀測時間內(nèi)不斷地經(jīng)過極大值某個物理量的值在觀測時間內(nèi)不斷地經(jīng)過極大值和極小值地變化，這種狀態(tài)的改變稱為振動。和極小值地變化，這種狀態(tài)的改變稱為振動。 機械振動機械振動物體在平衡位置附近所做的周期性往復運動，物體在平衡位置附近所做的周期性往復運動，稱為機械振動。（包裝動力學研究的重點）稱為機械振動。（包裝動力學研究的重點）（3 3）氣候條件）氣候條件（溫濕度、風雨、鹽霧等）（溫濕度、風雨、鹽霧等）（4 4）其他因素）其他因素（如有害氣體、熱源、放射源、氣味源和日光照（如有害氣體、熱源、放射源、氣味源和日光照射等）射等）脆脆值值1.1 1.1 機械振動機械振動組成：組成： 振

3、動系統(tǒng)（單擺），振源（給一初始位振動系統(tǒng)（單擺），振源（給一初始位移），響應移），響應 振動問題：已知振源、系統(tǒng)特性，求響應振動問題：已知振源、系統(tǒng)特性，求響應 環(huán)境預測：已知系統(tǒng)特性、響應，求輸入環(huán)境預測：已知系統(tǒng)特性、響應，求輸入 系統(tǒng)識別：已知輸入、響應，求系統(tǒng)特性系統(tǒng)識別：已知輸入、響應，求系統(tǒng)特性車床車床+ +混凝混凝土機座土機座彈性墊彈性墊振動系統(tǒng)振動系統(tǒng)激勵激勵響應響應1.1 1.1 實際包裝系統(tǒng)實際包裝系統(tǒng)簡化簡化1.2 1.2 力學模型力學模型簡化力學模型的原則：簡化力學模型的原則：（1 1）要正確反映包裝系統(tǒng)的特性；）要正確反映包裝系統(tǒng)的特性；（2 2）在正確反映包裝系統(tǒng)的

4、特性的前提下盡可能簡）在正確反映包裝系統(tǒng)的特性的前提下盡可能簡化模型。化模型。考慮的具體問題：考慮的具體問題：（1 1）包裝產(chǎn)品是均質(zhì)剛體，還是由多個部件組成？）包裝產(chǎn)品是均質(zhì)剛體，還是由多個部件組成？產(chǎn)品的擺放方式？產(chǎn)品的擺放方式？（2 2）是否考慮外包裝箱的質(zhì)量和彈性？）是否考慮外包裝箱的質(zhì)量和彈性？（3 3）是否考慮緩沖材料的質(zhì)量？）是否考慮緩沖材料的質(zhì)量？（4 4）是否考慮緩沖材料的粘性？）是否考慮緩沖材料的粘性？1.2 1.2 力學模型力學模型單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)假設：假設：被包裝產(chǎn)品為均質(zhì)剛體，略被包裝產(chǎn)品為均質(zhì)剛體，略去外包裝箱的質(zhì)量和彈性，不計緩去外包裝箱的質(zhì)量和彈性，不計

5、緩沖材料的質(zhì)量，并視為粘性和阻尼沖材料的質(zhì)量，并視為粘性和阻尼的彈性體。的彈性體。m m：產(chǎn)品質(zhì)量：產(chǎn)品質(zhì)量k k：緩沖襯墊材料的彈性系數(shù)：緩沖襯墊材料的彈性系數(shù)c c：緩沖襯墊材料的粘性阻尼系數(shù)：緩沖襯墊材料的粘性阻尼系數(shù)1.2 1.2 力學模型力學模型二自由度系統(tǒng)二自由度系統(tǒng)假設：假設：略去外包裝箱的質(zhì)量和彈性，不略去外包裝箱的質(zhì)量和彈性，不計緩沖材料的質(zhì)量，并視為粘性和阻計緩沖材料的質(zhì)量，并視為粘性和阻尼的彈性體。尼的彈性體。m1, m2m1, m2：易損件和產(chǎn)品質(zhì)量；：易損件和產(chǎn)品質(zhì)量；k1k1，c1c1：易損件與產(chǎn)品間的彈性系數(shù)：易損件與產(chǎn)品間的彈性系數(shù)和粘性阻尼系數(shù)；和粘性阻尼系數(shù)

6、；k2k2，c2c2：產(chǎn)品主體與外包裝箱間的緩：產(chǎn)品主體與外包裝箱間的緩沖材料的彈性系數(shù)和粘性阻尼系數(shù)。沖材料的彈性系數(shù)和粘性阻尼系數(shù)。1.2 1.2 力學模型力學模型三自由度系統(tǒng)三自由度系統(tǒng)假設：假設：不計緩沖材料的質(zhì)量，并視為粘不計緩沖材料的質(zhì)量，并視為粘性和阻尼的彈性體。性和阻尼的彈性體。m1,m2m1,m2：易損件和產(chǎn)品質(zhì)量；：易損件和產(chǎn)品質(zhì)量；m3m3：外包裝箱的質(zhì)量（外包裝箱很重：外包裝箱的質(zhì)量（外包裝箱很重時）；時）；k1k1，c1c1：易損件與產(chǎn)品間的彈性系數(shù)和：易損件與產(chǎn)品間的彈性系數(shù)和粘性阻尼系數(shù)；粘性阻尼系數(shù)；k2k2，c2c2：產(chǎn)品主體與外包裝箱間的緩沖：產(chǎn)品主體與外包

7、裝箱間的緩沖材料的彈性系數(shù)和粘性阻尼系數(shù)。材料的彈性系數(shù)和粘性阻尼系數(shù)。 1.2 1.2 力學模型力學模型多自由度系統(tǒng)多自由度系統(tǒng)1.2 1.2 力學模型力學模型多自由度系統(tǒng)多自由度系統(tǒng)假設：產(chǎn)品疊放在同一包裝箱中或同一產(chǎn)品假設：產(chǎn)品疊放在同一包裝箱中或同一產(chǎn)品 有多個關(guān)鍵零部件有多個關(guān)鍵零部件 不計緩沖材料的質(zhì)量，并視為粘性和不計緩沖材料的質(zhì)量，并視為粘性和 阻尼的彈性體。阻尼的彈性體。m1,m2mnm1,m2mn：質(zhì)量；：質(zhì)量；k1k1，k2knk2kn：彈性系數(shù)；：彈性系數(shù)；c1c1，c2cnc2cn：粘性阻尼系數(shù)。：粘性阻尼系數(shù)。 1.3 1.3 機械振動的分類機械振動的分類（1 1）

8、按自由度分：單自由度系統(tǒng)，二自由度系統(tǒng)，三自由度）按自由度分：單自由度系統(tǒng)，二自由度系統(tǒng)，三自由度系統(tǒng)，多自由度系統(tǒng)，連續(xù)介質(zhì)系統(tǒng)；系統(tǒng)，多自由度系統(tǒng)，連續(xù)介質(zhì)系統(tǒng)；（2 2）按系統(tǒng)運動的微分方程分：）按系統(tǒng)運動的微分方程分： 線性振動線性振動（運動方程為線性微分方程）；（運動方程為線性微分方程）； 非線性振動（運動方程為非線性微分方程）；非線性振動（運動方程為非線性微分方程）；（3 3）按系統(tǒng)輸入類型分：）按系統(tǒng)輸入類型分： 自由振動：系統(tǒng)只受初干擾或外界激勵取消后，系統(tǒng)僅自由振動：系統(tǒng)只受初干擾或外界激勵取消后，系統(tǒng)僅 在彈性恢復力的作用下產(chǎn)生振動。在彈性恢復力的作用下產(chǎn)生振動。 強迫振動

9、：系統(tǒng)在外界激勵下產(chǎn)生的振動；強迫振動：系統(tǒng)在外界激勵下產(chǎn)生的振動； 自激振動：系統(tǒng)在輸入和輸出之間有反饋特性，并有能自激振動：系統(tǒng)在輸入和輸出之間有反饋特性，并有能 量補充而產(chǎn)生的診斷。量補充而產(chǎn)生的診斷。（4 4）按系統(tǒng)輸出規(guī)律分：）按系統(tǒng)輸出規(guī)律分：周期振動周期振動 隨機振動隨機振動 2 2 單自由度線性系統(tǒng)的振動單自由度線性系統(tǒng)的振動2.1 2.1 單自由度線性系統(tǒng)的自由振動單自由度線性系統(tǒng)的自由振動 自由振動自由振動振體在受到初干擾（初位移或振體在受到初干擾（初位移或初速度）后，僅在系統(tǒng)恢復力的作用下在平初速度）后，僅在系統(tǒng)恢復力的作用下在平衡位置附近作往復運動稱為自由振動。衡位置附

10、近作往復運動稱為自由振動。2.1.1 2.1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動無阻尼系統(tǒng)的自由振動(a)(b)(c)平衡位置（1 1）無阻尼系統(tǒng)自由振動的微分方程及求解）無阻尼系統(tǒng)自由振動的微分方程及求解圖（圖（b b） W=F=k W=F=k （2-12-1）圖（圖（c c） F= - k( ) F= - k( ) 負號表示力的方向負號表示力的方向根據(jù)牛頓第根據(jù)牛頓第2 2定律定律 F=ma F=ma 得振動體的運動微分得振動體的運動微分方程：方程： W- k( )=m W- k( )=m 由（由（2-12-1）得）得 m = - k m = - k （作用在振動方向的常力只影響振動中心的位（作用在

11、振動方向的常力只影響振動中心的位置，而不影響振動規(guī)律）置，而不影響振動規(guī)律）stxstxstx x x（1 1）無阻尼系統(tǒng)自由振動的微分方程及求解）無阻尼系統(tǒng)自由振動的微分方程及求解設設 系統(tǒng)的固有特性，固有頻率）系統(tǒng)的固有特性，固有頻率）得得 （二階常系數(shù)線性齊次微分方程）（二階常系數(shù)線性齊次微分方程）解：解： C C，D D待定系數(shù)待定系數(shù)代入初始條件：代入初始條件： 所以所以, ,得方程的解得方程的解 mkn/202xxn tDtCxnnsincos000, 0vxxxxtCDCxnn0sin0cos00 xC 000cos0sinvxDDCxnnnnnnnvxD/00 tvtxxnnn

12、sin/cos00（1 1）無阻尼系統(tǒng)自由振動的微分方程及求解）無阻尼系統(tǒng)自由振動的微分方程及求解令令A A振幅：振體偏離振動中心的最大距離振幅：振體偏離振動中心的最大距離相位角，相位角，A A， 由運動的初始條件定。由運動的初始條件定。sin0Ax tvtxxnnnsin/cos00cos/0AvntAtAtvtxxnnnnnsincoscossinsin/cos00)sin(tAn2220sinAx2220cos)/(Avn22222020cossin)/(AAvxn22020/nvxA00/vxtgn（2 2）周期、頻率和圓頻率）周期、頻率和圓頻率)sin(tAxn周期：周期：物體作一次

13、完全振動（來回一次）所需的時間稱為振動周物體作一次完全振動（來回一次）所需的時間稱為振動周 期，用期，用T T表示，則物體在任一時刻表示，則物體在任一時刻t t的運動狀態(tài)（位置和的運動狀態(tài)（位置和 速度）應該與物體在速度）應該與物體在t+Tt+T的運動狀態(tài)（位置和速度）相同的運動狀態(tài)（位置和速度）相同運動狀態(tài)具有周期性運動狀態(tài)具有周期性)sin()(sin)sin(TtATtAtAnnnn由于正弦函數(shù)的數(shù)值每經(jīng)過由于正弦函數(shù)的數(shù)值每經(jīng)過22重復一次，故重復一次，故 2Tn)(2sTn 頻率：頻率：周期的倒數(shù)稱為頻率。它表示單位時間內(nèi)（每秒）物體所周期的倒數(shù)稱為頻率。它表示單位時間內(nèi)（每秒）物體

14、所 作的完全振動的次數(shù)，單位為赫茲（作的完全振動的次數(shù)，單位為赫茲（HzHz）。）。 21nTf圓頻率圓頻率 ：表示振動體在：表示振動體在22秒內(nèi)的振動次數(shù)。秒內(nèi)的振動次數(shù)。 （弧度（弧度/ /秒）秒）nfn2（2 2）周期、頻率和圓頻率之間的關(guān)系）周期、頻率和圓頻率之間的關(guān)系說明：周期、頻率或固有頻率都是由振動系統(tǒng)本說明：周期、頻率或固有頻率都是由振動系統(tǒng)本 身的性質(zhì)所決定的量；這種由系統(tǒng)本身性身的性質(zhì)所決定的量；這種由系統(tǒng)本身性 質(zhì)所決定的周期、頻率或圓頻率往往稱為質(zhì)所決定的周期、頻率或圓頻率往往稱為 固有周期固有周期、固有頻率固有頻率或或固有圓頻率固有圓頻率。 mknkmTn22mkTf

15、211例：求質(zhì)量例：求質(zhì)量彈簧系統(tǒng)的周期、頻率或圓頻率。彈簧系統(tǒng)的周期、頻率或圓頻率。結(jié)論：質(zhì)量結(jié)論：質(zhì)量彈簧系統(tǒng)的周期、頻率和圓頻率與重力彈簧系統(tǒng)的周期、頻率和圓頻率與重力 作用下的靜變形有關(guān)。作用下的靜變形有關(guān)。stkmgstmgkstngmkgTstn22stgTf211代入代入 （3 3）計算固有頻率的能量法）計算固有頻率的能量法 根據(jù)能量守恒定理，系統(tǒng)的機械能守恒：根據(jù)能量守恒定理，系統(tǒng)的機械能守恒：T+V=T+V=常數(shù)常數(shù) T T：動能，：動能，V V：勢能：勢能具體研究質(zhì)量具體研究質(zhì)量彈簧系統(tǒng)：振動體在任意位置彈簧系統(tǒng)：振動體在任意位置且有速度且有速度 ，則，則xx （3 3）計

16、算固有頻率的能量法）計算固有頻率的能量法平衡位置：平衡位置： 極限位置：極限位置：在上述系統(tǒng)中：在上述系統(tǒng)中： 221xmT221kxV 0 xmaxxx 0212kxV2max121xmVTEmaxxx 0 x 0212xmT2max221kxVTE，即，即 21EE 2max2max2121kxxm)sin(tAxn)cos(tAxnn1)sin(tnAxmax1)cos(tnnAxmax代入代入 2max2max2121kxxmmkn（4 4）串聯(lián)彈簧和并聯(lián)彈簧的等效剛度）串聯(lián)彈簧和并聯(lián)彈簧的等效剛度串聯(lián)彈簧串聯(lián)彈簧 11stkmg11kmgst22stkmg22kmgststkmg)1

17、1(212121kkmgkmgkmgststst21111kkkniinkkkkk121111112121kkkkk（4 4）串聯(lián)彈簧和并聯(lián)彈簧的等效剛度）串聯(lián)彈簧和并聯(lián)彈簧的等效剛度并聯(lián)彈簧：并聯(lián)彈簧：推廣到推廣到N N個并聯(lián)彈簧：個并聯(lián)彈簧： 2F1Fmg stkF11stkF22stkkFFmg)(212121kkkniinkkkkk1212.1.2 2.1.2 阻尼對自由振動的影響阻尼對自由振動的影響衰減振動衰減振動(1)(1)阻尼振動阻尼振動：振幅隨時間而減小的振動稱為阻尼振動。：振幅隨時間而減小的振動稱為阻尼振動。(2)(2)粘滯阻尼的大小粘滯阻尼的大小: :當振體以不大的速度在流

18、體介質(zhì)當振體以不大的速度在流體介質(zhì)（空氣、油類等）中運動時，介質(zhì)給振體的阻尼的大（空氣、油類等）中運動時，介質(zhì)給振體的阻尼的大小與振體速度成正比，即小與振體速度成正比，即 粘滯阻尼系數(shù)，取決于振體的形狀、大小和介粘滯阻尼系數(shù)，取決于振體的形狀、大小和介質(zhì)的性質(zhì)，單位為牛頓質(zhì)的性質(zhì)，單位為牛頓 秒秒/ /米。米。 振體速度，米振體速度，米/ /秒。秒。 牛頓。牛頓。 - -號表示阻尼的方向與振體速度的方向相反。號表示阻尼的方向與振體速度的方向相反。cvRcRv（3 3）單自由度有阻尼系統(tǒng)的受力分析）單自由度有阻尼系統(tǒng)的受力分析取平衡位置為坐標原點取平衡位置為坐標原點 ，該系統(tǒng)的運動微分方程為該系

19、統(tǒng)的運動微分方程為方程的解可設為方程的解可設為 代入微分方程代入微分方程 得得 該系統(tǒng)的特征方程該系統(tǒng)的特征方程cvkxxm 0 xmkxmcx （二階常系數(shù)線性齊次微分方程）（二階常系數(shù)線性齊次微分方程） stAex 02mksmcsmkmcmcs22, 1)2(2特征方程的解特征方程的解 產(chǎn)生重根的情況在物理上具有特殊意義，將對應的阻尼產(chǎn)生重根的情況在物理上具有特殊意義，將對應的阻尼 系數(shù)稱為系數(shù)稱為臨界阻尼系數(shù)臨界阻尼系數(shù)。 設設 系統(tǒng)中實際存在的阻尼與該系統(tǒng)臨界阻尼系統(tǒng)中實際存在的阻尼與該系統(tǒng)臨界阻尼系數(shù)之比，稱為系數(shù)之比，稱為阻尼比阻尼比。 0)2(2mkmcnmkmc2nmc2mc

20、ss221ncmC21)2(2222, 1cnncCcCcmkmcmcscCcns)1(22, 1mknkmcmcCcnc22(A) (A) 小阻尼系統(tǒng)的自由振動（小阻尼系統(tǒng)的自由振動（ 111）強阻尼系統(tǒng)強阻尼系統(tǒng)特征方程有兩個負實根特征方程有兩個負實根 ： kmmCcnc22tneBtAx)(ns)1(22, 1振體運動的微分方程的解為兩個衰減指數(shù)函數(shù)的和：振體運動的微分方程的解為兩個衰減指數(shù)函數(shù)的和：ttnneAeAx)1(2)1(122取決于初始條件取決于初始條件 21,AA例題1：緩沖襯墊的排列如圖所示，其中緩沖襯墊的彈簧剛度緩沖襯墊的排列如圖所示，其中緩沖襯墊的彈簧剛度為為 ， ，

21、 ，求等效彈簧剛度。求等效彈簧剛度。解：解： mmNk/1751mmNk/5 .872mmNk/6573mmNkkk/5 .2625 .87175212, 1mmNkkkkk/6 .18732, 132, 1例題例題2 2：已知單自由度小阻尼系統(tǒng)在已知單自由度小阻尼系統(tǒng)在 時的第三個振幅比時的第三個振幅比 的的第二個振幅降低了第二個振幅降低了20%20%，求此系統(tǒng)的阻尼系數(shù)和固有頻率。，求此系統(tǒng)的阻尼系數(shù)和固有頻率。解：解：（1 1）求阻尼系數(shù)）求阻尼系數(shù)小阻尼系統(tǒng)對數(shù)衰減率：小阻尼系統(tǒng)對數(shù)衰減率：（2 2）求固有頻率）求固有頻率 振動周期振動周期 ，阻尼系統(tǒng)的固有頻率為：，阻尼系統(tǒng)的固有頻率

22、為：st2 . 33st1 . 32212ln211TAAnii2231. 025. 1ln8 . 0lnln2232AAAA035288. 02231. 042231. 042222sradTd/382.6221sttT1 . 0231sraddn/872.68122.2 2.2 單自由度系統(tǒng)的受迫振動單自由度系統(tǒng)的受迫振動 受迫振動：振動系統(tǒng)在長時間或瞬間的激勵作用下發(fā)生的振動。受迫振動：振動系統(tǒng)在長時間或瞬間的激勵作用下發(fā)生的振動。 2.2.1 2.2.1 運動微分方程及求解運動微分方程及求解以靜平衡位置為坐標原點，以靜平衡位置為坐標原點，坐標向下為正。坐標向下為正。F F（t t）簡諧

23、擾力）簡諧擾力（二階常系統(tǒng)非齊次微分方程）（二階常系統(tǒng)非齊次微分方程） tFxckxxmsin0 tFxmkxmcxsin0 2.2.1 2.2.1 運動微分方程及求解運動微分方程及求解 方程的解為：方程的解為：其中：其中： 為對應的齊次方程的通解，設為對應的齊次方程的通解，設 ，則，則 是一個衰減運動，瞬態(tài)解，通常不考慮；是一個衰減運動，瞬態(tài)解，通常不考慮； 為特解（穩(wěn)態(tài)解）：為特解（穩(wěn)態(tài)解）： 為強迫振動的振幅，為強迫振動的振幅， 為相位角。為相位角。將將 代入非齊次微分方程中，可得代入非齊次微分方程中，可得 )sin()sin(21tBtAexxxdtn1x1)sin(1tAexdtn1

24、x2x)sin(2tBxB22,xx 2220)()(cmkFB2mkctg強迫振動的振幅和相位角只決定于系統(tǒng)本身的特性和干擾強迫振動的振幅和相位角只決定于系統(tǒng)本身的特性和干擾力的性質(zhì)，與運動的初始條件無關(guān)。力的性質(zhì)，與運動的初始條件無關(guān)。(1)(1)頻率比頻率比 ： 穩(wěn)態(tài)解為：穩(wěn)態(tài)解為：(2) (2) 靜力偏移靜力偏移 ： 力幅作用下系統(tǒng)的偏移力幅作用下系統(tǒng)的偏移 (3) (3) 動力放大系數(shù)動力放大系數(shù) ： 表示干擾力對振動系統(tǒng)動力作用的效果，取決于表示干擾力對振動系統(tǒng)動力作用的效果，取決于 和和 。 nkmcmknn2,2220)2()1 (/kFB212tg)sin()2()1 (/2

25、2202tkFx0BkFB002220)2()1 (1BB(4) (4) 曲線（以曲線（以 為參變量）為參變量） (4) (4) 曲線（以曲線（以 為參變量）為參變量）A A1 1，即，即 （低頻段），（低頻段）， 接近接近1 1， 接近接近 緩慢交緩慢交變的干擾力的動力作用接近其靜力的作用。變的干擾力的動力作用接近其靜力的作用。B B 1 1，即，即 （高頻段），（高頻段）， 接近接近0 0，干擾力交變極其干擾力交變極其迅速時，振體由于慣性幾乎來不及振動。迅速時，振體由于慣性幾乎來不及振動。C C對對 的各條曲線，當?shù)母鳁l曲線，當 增大時，對于確定的增大時，對于確定的 和和 ，都有相應的最大

26、值，都有相應的最大值共振共振解決問題！解決問題！求出求出共振時共振時 和和 ，求極值的問題。求極值的問題。當當 值較小（實際中往往如此），認為值較小（實際中往往如此），認為 ，即，即 干擾力頻率接近于系統(tǒng)的固有頻率時發(fā)生共振，干擾力頻率接近于系統(tǒng)的固有頻率時發(fā)生共振， 。當當 ，無共振現(xiàn)象。，無共振現(xiàn)象。D.D.當當 =0=0，無阻尼自由振動。從圖上可以看出，小阻尼系統(tǒng)和，無阻尼自由振動。從圖上可以看出，小阻尼系統(tǒng)和無阻尼系統(tǒng)的響應沒有區(qū)別。因此，在無阻尼系統(tǒng)的響應沒有區(qū)別。因此，在 和和 時可以按無阻尼系統(tǒng)來計算時可以按無阻尼系統(tǒng)來計算 值。值。 nB0Bn0dd202110n21max75

27、. 025. 1707. 0707. 02max121例題例題3 3： 在如圖所示的振動系統(tǒng)中，已知彈簧常數(shù)在如圖所示的振動系統(tǒng)中，已知彈簧常數(shù) ，物塊，物塊質(zhì)量質(zhì)量 ，粘滯阻尼系數(shù)，粘滯阻尼系數(shù) ，干擾力的，干擾力的力幅力幅 ，干擾力頻率，干擾力頻率 ，試求振體的受迫，試求振體的受迫振動。振動。mmNk/38. 4kgm2 .18mmsNc/149. 0NF5 .440srad /15解：分析解：分析 求求 和和 求求 和和（1 1）求系統(tǒng)的固有頻率）求系統(tǒng)的固有頻率 （注意單位）（注意單位）（2 2）求頻率比）求頻率比（3 3）求阻尼比）求阻尼比（4 4）求）求 和和 )sin(tBxB2

28、220)2()1 (/kFB212tgnkmcmkn2,)/(5 .152 .184380sradmkn968. 05 .1515n264. 02 .1843802149. 02kmcB)(7 .19)968. 0264. 02()968. 01 (/38. 45 .44)2()1 (/2222220mmkFB11. 8968. 01968. 0264. 021222tg)(45. 111. 8radarctg)45. 115sin(7 .19tx2.2.2 2.2.2 支座激勵與隔振支座激勵與隔振強迫振動強迫振動外界的激勵力，位移干擾。外界的激勵力，位移干擾。（1 1）系統(tǒng)運動微分方程及求解

29、）系統(tǒng)運動微分方程及求解taxssin運動微分方程為運動微分方程為 )()(ssxxcxxkxm ssxckxkxxcxm taxssin將將 taxscos)sin()(22tckakxxcxm 方程的穩(wěn)態(tài)解為：方程的穩(wěn)態(tài)解為： )sin(tBx22222222222)2()1 ()2(1)(acmkckaBkcarctgrT（2 2）傳遞率）傳遞率 : :（振體振幅與支座振動的振幅的比值）（振體振幅與支座振動的振幅的比值）2222)2()1 ()2(1aBTr（3 3） 曲線曲線（ 為參變量）為參變量）rTA A 1 1， 1 1， ，隔振體的固有頻率遠，隔振體的固有頻率遠大于激勵頻率時，

30、大于激勵頻率時， 11，沒有隔振效果。，沒有隔振效果。B B 區(qū)域內(nèi)，區(qū)域內(nèi)， ，振體振幅會被放大，當，振體振幅會被放大，當 ，發(fā)生共振。，發(fā)生共振。放大區(qū)。運輸包裝工具在起放大區(qū)。運輸包裝工具在起制動過程中可能會經(jīng)過放大區(qū)，因此隔振體（緩沖結(jié)制動過程中可能會經(jīng)過放大區(qū)，因此隔振體（緩沖結(jié)構(gòu)）應有適當?shù)淖枘帷?gòu)）應有適當?shù)淖枘帷 C ， ，有隔振效果，稱為隔振區(qū)。在實際，有隔振效果，稱為隔振區(qū)。在實際應用中取應用中取 。nnrT21rT121rT55 . 2（4 4）傳遞率曲線分析）傳遞率曲線分析例例4 4： 包裝件內(nèi)裝產(chǎn)品在靜平衡時壓縮緩沖襯墊引起的靜變形為包裝件內(nèi)裝產(chǎn)品在靜平衡時壓縮緩沖

31、襯墊引起的靜變形為5.08cm5.08cm，如果此包裝放在運輸車上，支座擾頻為如果此包裝放在運輸車上，支座擾頻為 ，支座擾力，支座擾力幅值幅值 ，求產(chǎn)品最大位移和最大加速度。，求產(chǎn)品最大位移和最大加速度。 srad /7 .15gxs1 . 0max 解：分析，求解：分析，求max,xB )sin(tBxBxmaxBxmax2maxBx taxssinaxsmaxaxsmax2maxaxs 2222)2()1 ()2(1aBTr在本題中不考慮阻尼，故在本題中不考慮阻尼，故 211rTnn（1 1）求系統(tǒng)固有頻率）求系統(tǒng)固有頻率 （注意單位）（注意單位）)/(9 .1308. 5980sradg

32、stn（2 2）求傳遞率）求傳遞率 58. 3)9 .13/7 .15(111122rT（3 3）求）求 max,xB maxmaxmaxmaxmaxmaxsssrxxxxxxaBT ggxTxsr358. 01 . 058. 3maxmax )(42. 17 .15358. 022maxcmgxB 2.2.3 2.2.3 任意周期激勵力引起的強迫振動任意周期激勵力引起的強迫振動（1 1）非簡諧周期激振力引起的受迫振動）非簡諧周期激振力引起的受迫振動)()(nTtFtFnn, 3 , 2 , 1系統(tǒng)的運動微分方程為系統(tǒng)的運動微分方程為 )(tFkxxcxm 應用諧波分析法，可將應用諧波分析法，

33、可將 按富里埃級數(shù)展開成一系列不同按富里埃級數(shù)展開成一系列不同頻率的簡諧激振力，即頻率的簡諧激振力，即 為為常力，取靜平衡位置為坐標原點，方程中不出現(xiàn)該項。常力，取靜平衡位置為坐標原點，方程中不出現(xiàn)該項。)(tFnjjjtjbtjaatF10)sincos(2)(20anjjjjjjjktjbtjatx1222)2()1 ()sin()cos()( 當系統(tǒng)阻尼較小時，當系統(tǒng)阻尼較小時， 可忽略不計，可忽略不計， ，方程的解為：，方程的解為： 0jnjjjjktjbtjatx12)1 (sincos)(njjj為第為第j j階諧波階諧波響應的相位差響應的相位差 為第為第j j階頻率比階頻率比 （

34、2 2）非簡諧的周期性支承運動引起的受迫振動）非簡諧的周期性支承運動引起的受迫振動 njjjstjbtjatx1)sincos()(單自由度系統(tǒng)在支承運動單自由度系統(tǒng)在支承運動 作用下的穩(wěn)態(tài)響應為：作用下的穩(wěn)態(tài)響應為： taxssin)sin()2()1 ()2(1)sin(2222ttBx根據(jù)疊加原理，得非簡諧周期性支承運動作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應：根據(jù)疊加原理，得非簡諧周期性支承運動作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應： )sin()cos()2()1 ()2(1)(12222njjjjjjjjtjbtjatx若忽略阻尼若忽略阻尼 =0=0，則，則 ，方程的解可簡化為：，方程的解可簡化為： 0jnjjjjtj

35、btjatx121sincos)(2.2.4 2.2.4 任意激勵力引起的強迫振動任意激勵力引起的強迫振動系統(tǒng)的運動微分方程為：系統(tǒng)的運動微分方程為： )(Fkxxcxm t0)(F任意激勵力，非周期，無法直接求解任意激勵力，非周期，無法直接求解解決方法：任意激勵力解決方法：任意激勵力分解成無數(shù)多個脈沖寬度（脈沖作用分解成無數(shù)多個脈沖寬度（脈沖作用時間）為無限小的脈沖，在時間）為無限小的脈沖，在 的間隔的間隔 內(nèi)，系統(tǒng)質(zhì)量受到一內(nèi)，系統(tǒng)質(zhì)量受到一個微沖量個微沖量 的作用的作用陰影面積表示陰影面積表示求出單獨脈沖作用求出單獨脈沖作用下系統(tǒng)的響應下系統(tǒng)的響應疊加疊加系統(tǒng)的總響應。系統(tǒng)的總響應。 t

36、ddtF )(dteFmxdttdn)(sin)(1)(0它包括了任意激勵力作用下的瞬態(tài)振動它包括了任意激勵力作用下的瞬態(tài)振動和激勵停止后的自由振動。和激勵停止后的自由振動。若忽略阻尼，則若忽略阻尼，則 =0=0， ，方程，方程的解可簡化為：的解可簡化為： DuhamelDuhamel積分法積分法nddtFmxntn)(sin)(10例例5 5：試求有阻尼單自由度系統(tǒng)對圖：試求有阻尼單自由度系統(tǒng)對圖2-152-15（a a）所示的階躍函數(shù)激）所示的階躍函數(shù)激勵的響應。勵的響應。 解：單位階躍函數(shù)可表示為：解：單位階躍函數(shù)可表示為：)0(1)0(0)(tttu階躍函數(shù)可表示為階躍函數(shù)可表示為 ,

37、 ,系統(tǒng)運動微分方程為：系統(tǒng)運動微分方程為：)(0tuF)(0tuFkxxcxm 利用利用DuhamelDuhamel積分法，在積分法，在t0,t0, , ,則響應為：則響應為： 0)(FF)cos(111 )(sin20)(00tekFdtemFxdtdttdnn211tg對無阻尼系統(tǒng)，對無阻尼系統(tǒng)， =0=0， ，系統(tǒng)響應為：，系統(tǒng)響應為：nd , 0)cos1 (0tkFxn當當 時，響應達到最大，即時，響應達到最大，即 ，為靜變形的，為靜變形的2 2倍，倍，其響應曲線見圖（其響應曲線見圖（b b）. . ntkFx/20max例例6 6：求半周期正弦脈沖激勵對單自由度無阻尼系統(tǒng)的響應。

38、：求半周期正弦脈沖激勵對單自由度無阻尼系統(tǒng)的響應。解：時間間隔為解：時間間隔為 的半周期正弦脈沖波形如圖的半周期正弦脈沖波形如圖a a 所示，可表示成：所示，可表示成：nT)0(sinsin), 0(0)(00nnnTttFTtFTtttF式中：式中： nT利用利用DuhamelDuhamel積分法，半周期正弦脈沖在積分法，半周期正弦脈沖在 的響應為：的響應為： nTt 0)()cos(sin2)()sin(sin)(1/)(sinsin02000nnnnnnnnTnnttkFttkFdtmFxn當當 ，激振力為，激振力為0 0，響應只取決于，響應只取決于 時的狀態(tài)，有：時的狀態(tài)，有：nTt

39、nTt )()cos(sin)()(sinsin)(1)/()(sinsin02000nnnnnnnnnnTnttkFTttkFdtmFxn當當 的值不同時，響應曲線不同，（的值不同時，響應曲線不同，（c c）半周期正弦脈沖的）半周期正弦脈沖的沖擊響應譜。沖擊響應譜。 /n2.3 2.3 多自由度線性系統(tǒng)的振動多自由度線性系統(tǒng)的振動 2.3.1 2.3.1 兩自由度線性系統(tǒng)的振動兩自由度線性系統(tǒng)的振動（1 1）系統(tǒng)的運動微分方程）系統(tǒng)的運動微分方程)()()(112112111tFxxcxxkxm )()()(2222212112122tFxcxkxxcxxkxm 整理得：整理得： )(121

40、11211111tFxkxkxcxcxm )()()(2221112211122tFxkkxkxccxcxm 耦合方程耦合方程 引入矩陣和向量：引入矩陣和向量：2100mmM 21111cccccC 21111kkkkkK 21xxX)()()(21tFtFtF )(tFXKXCXM 矩陣方程矩陣方程 （2 2）無阻尼系統(tǒng)的自由振動）無阻尼系統(tǒng)的自由振動0)()(, 02121tFtFcc000021211112121xxkkkkkxxmm 方程的解為：方程的解為： )sin()sin(22221211211121tAAtAAxxnn為任意常數(shù)（由初始條件確定）為任意常數(shù)（由初始條件確定） 為

41、為 在頻率在頻率 時的振幅。時的振幅。 ,A12A)(1tx2nn基波基波：較低的頻率項為基波；如果：較低的頻率項為基波；如果 ， 為基波。為基波。諧波諧波：其他的項稱為諧波。：其他的項稱為諧波。21nn1n2221222121211121111,1rrrAArrrAA其中為常數(shù)其中為常數(shù) r)sin(1)sin(1221221111121tArtArxxnn主振型主振型：系統(tǒng)按給定的一個固有頻率作自由振動為主振動，系統(tǒng)系統(tǒng)按給定的一個固有頻率作自由振動為主振動，系統(tǒng)作主振動的任何瞬間的各點位移之間所具有的一定比值，即整個作主振動的任何瞬間的各點位移之間所具有的一定比值，即整個系統(tǒng)具有確定的振

42、動形態(tài)，成為主振型。系統(tǒng)具有確定的振動形態(tài)，成為主振型。 kkkkmmm3,2,2121若若 =0=0，則產(chǎn)生第一主振型。，則產(chǎn)生第一主振型。12A)sin(11111121tArxxn )sin(11112111tArrnx或或121111rrr振型矢量振型矢量 若若 =0=0，則產(chǎn)生第二主振型，則產(chǎn)生第二主振型 。11A)sin(12212221tArxxn或或 )sin(22122212tArrnx整個方程的解整個方程的解 )sin(1)sin(1221221111121tArtArxxnn)sin()sin(11221211112121tAtArrxxnn 2111rrr振型矩陣振型矩陣 （3 3）有阻尼系統(tǒng)的強迫振動）有阻尼