1、引引 言言第1頁/共67頁第一頁，共67頁。0.1 試驗設計(shj)與數據處理的發展概況 20世紀20年代，英國生物統計學家及數學家費歇（RAFisher）提出了方差分析 20世紀50年代，日本(r bn)統計學家田口玄一將試驗設計中應用最廣的正交設計表格化 數學家華羅庚教授也在國內積極倡導和普及的“優選法” 我國數學家王元和方開泰于1978年首先提出了均勻設計 第2頁/共67頁第二頁，共67頁。0.2 試驗設計(shj)與數據處理的意義0.2.1 試驗設計的目的(md):合理地安排試驗,力求用較少的試驗次數獲得較好結果 例：某試驗研究了3個影響因素： A：A1，A2，A3 B：B1，B2，

2、B3 C：C1，C2，C3 全面試驗：27次 正交試驗：9次第3頁/共67頁第三頁，共67頁。0.2.2 數據處理的目的(md)通過誤差分析，評判試驗數據的可靠性；確定(qudng)影響試驗結果的因素主次，抓住主要矛盾，提高試驗效率；確定(qudng)試驗因素與試驗結果之間存在的近似函數關系，并能對試驗結果進行預測和優化；試驗因素對試驗結果的影響規律，為控制試驗提供思路；確定(qudng)最優試驗方案或配方。第4頁/共67頁第四頁，共67頁。第第1 1章章 試驗數據試驗數據(shj)(shj)的誤的誤差分析差分析第5頁/共67頁第五頁，共67頁。 誤差分析（error analysis） ：對

3、原始數據的可靠性進行客觀的評定 誤差（error） ：試驗中獲得的試驗值與它的客觀真實(zhnsh)值在數值上的不一致 試驗結果都具有誤差，誤差自始至終存在于一切科學實驗過程中 客觀真實(zhnsh)值真值第6頁/共67頁第六頁，共67頁。1.1 真值與平均值 1.1.1 真值（true value）真值：在某一時刻和某一狀態下，某量的客觀值或實際值 真值一般是未知的相對的意義上來說，真值又是已知的平面三角形三內角之和恒為180國家標準(u ji bio zhn)樣品的標稱值國際上公認的計量值 高精度儀器所測之值多次試驗值的平均值第7頁/共67頁第七頁，共67頁。1.1.2 平均值（mean）

4、 （1）算術(sunsh)平均值（arithmetic mean）121.ninixxxxxnnn 等精度(jn d)試驗值適合適合(shh)：n 試驗值服從正態分布第8頁/共67頁第八頁，共67頁。（2）加權平均值(weighted mean) 適合不同(b tn)試驗值的精度或可靠性不一致時1 1221121.Wniinninniiw xw xw xw xxwwwwwi權重權重(qun zhn)加權和加權和第9頁/共67頁第九頁，共67頁。（3）對數(du sh)平均值（logarithmic mean）說明： 若數據的分布具有對數特性，則宜使用對數平均值對數平均值算術(sunsh)平均值

5、如果1/2x1/x22 時，可用算術(sunsh)平均值代替121221121221lnlnlnlnLxxxxxxxxxxxxx設兩個(lin )數：x10，x2 0 ，則第10頁/共67頁第十頁，共67頁。（4）幾何(j h)平均值（geometric mean） 當一組試驗(shyn)值取對數后所得數據的分布曲線更加對稱時，宜采用幾何平均值。 幾何平均值算術平均值11212.(.)Gnnnnxx xxx xx設有n個正試驗(shyn)值：x1，x2，xn，則第11頁/共67頁第十一頁，共67頁。（5）調和(tio h)平均值（harmonic mean） 常用在涉及到與一些量的倒數有關的場

6、合(chng h) 調和平均值幾何平均值算術平均值1121111.1ninixxxxHnn設有n個正試驗(shyn)值：x1，x2，xn，則：第12頁/共67頁第十二頁，共67頁。1.2 誤差(wch)的基本概念1.2.1 絕對誤差（absolute error） （1）定義(dngy) 絕對誤差試驗值真值 或m axtxxxx txxx （2）說明(shumng)n真值未知，絕對誤差也未知n 可以估計出絕對誤差的范圍：絕對誤差限或絕對誤差上界絕對誤差限或絕對誤差上界 或maxtxxx 第13頁/共67頁第十三頁，共67頁。 絕對誤差估算方法： 最小刻度的一半為絕對誤差； 最小刻度為最大絕對誤

7、差； 根據儀表精度等級(dngj)計算： 絕對誤差=量程精度等級(dngj)%第14頁/共67頁第十四頁，共67頁。1.2.2 相對誤差(xin du w ch)（relative error） （1）定義(dngy)：絕對誤差相對誤差真值tRttxxxExx或 或RxEx（2）說明(shumng)：n 真值未知，常將x與試驗值或平均值之比作為相對誤差：RxEx或第15頁/共67頁第十五頁，共67頁。n 可以估計出相對誤差(xin du w ch)的大小范圍：maxRttxxExx相對誤差相對誤差(xin du w ch)(xin du w ch)限或相對誤差限或相對誤差(xin du w (

8、xin du w ch)ch)上界上界 n 相對誤差(xin du w ch)常常表示為百分數（%）或千分數（） (1)tRxxE第16頁/共67頁第十六頁，共67頁。1.2.3 算術(sunsh)平均誤差 (average discrepancy) 定義(dngy)式：11nniiiixxdnn n可以(ky)反映一組試驗數據的誤差大小 ixx試驗值試驗值與算術平均值與算術平均值之間的偏差之間的偏差 id第17頁/共67頁第十七頁，共67頁。1.2.4 標準誤差 (standard error) 當試驗次數(csh)n無窮大時，總體標準差：222111()() /nnniiiiiixxxxn

9、nn22221111()() /111nnnniiiiiiiidxxxxnsnnnn 試驗次數為有限(yuxin)次時，樣本標準差：n表示試驗(shyn)值的精密度，標準差，試驗(shyn)數據精密度第18頁/共67頁第十八頁，共67頁。（1）定義：以不可預知的規律變化著的誤差，絕對誤差時正時負，時大時小（2）產生的原因： 偶然因素（3）特點：具有統計規律小誤差比大誤差出現(chxin)機會多正、負誤差出現(chxin)的次數近似相等當試驗次數足夠多時，誤差的平均值趨向于零 可以通過增加試驗次數減小隨機誤差隨機誤差不可完全避免的 1.3 試驗(shyn)數據誤差的來源及分類第19頁/共67頁第

10、十九頁，共67頁。1.3.2 系統誤差（systematic error） （1）定義： 一定試驗條件下，由某個或某些因素按照某一確定的規律起作用而形成的誤差 （2）產生的原因：多方面（3）特點：系統誤差大小及其符號在同一試驗中是恒定的 它不能通過(tnggu)多次試驗被發現，也不能通過(tnggu)取多次試驗值的平均值而減小只要對系統誤差產生的原因有了充分的認識，才能對它進行校正，或設法消除。 第20頁/共67頁第二十頁，共67頁。1.3.3 過失(gush)誤差 （mistake ）（1）定義： 一種顯然與事實不符的誤差（2）產生(chnshng)的原因： 實驗人員粗心大意造成 （3）特點

11、：可以完全避免 沒有一定的規律 第21頁/共67頁第二十一頁，共67頁。1.4.1 精密度（precision） （1）含義：反映了隨機誤差大小的程度在一定的試驗條件下，多次試驗值的彼此符合程度 例：甲：11.45，11.46，11.45，11.44 乙：11.39，11.45，11.48，11.50（2）說明：可以通過增加(zngji)試驗次數而達到提高數據精密度的目的 試驗數據的精密度是建立在數據用途基礎之上的 試驗過程足夠精密，則只需少量幾次試驗就能滿足要求 1.4 試驗(shyn)數據的精準度 第22頁/共67頁第二十二頁，共67頁。（3）精密度判斷(pndun) 極差（range）2

12、22111()() /nnniiiiiixxxxnnnmaxminRxx標準差（standard error）222111()() /11nnniiiiiixxxxnsnnR，精密度標準差，精密度第23頁/共67頁第二十三頁，共67頁。方差(fn ch)（variance） 標準差的平方(pngfng)：樣本方差（ s2 ）總體方差（2 ）方差，精密度第24頁/共67頁第二十四頁，共67頁。1.4.2 正確度（correctness） （1）含義：反映(fnyng)系統誤差的大小（2）正確度與精密度的關系：n 精密度不好，但當試驗(shyn)次數相當多時，有時也會得到好的正確度 n 精密度高并

13、不意味著正確度也高 （a）（b）（c）第25頁/共67頁第二十五頁，共67頁。1.4.3 準確度（accuracy） （1）含義：反映了系統誤差和隨機誤差的綜合(zngh) 表示了試驗結果與真值的一致程度（2）三者關系無系統誤差的試驗 精密度精密度 ：ABC正確度：正確度： ABC準確度：準確度： ABC第26頁/共67頁第二十六頁，共67頁。 有系統誤差的試驗(shyn) 精密度精密度 ：A B C 準確度：準確度： A B C ，A B，C第27頁/共67頁第二十七頁，共67頁。1.5.1 隨機誤差的檢驗(jinyn) 1.5 試驗(shyn)數據誤差的統計假設檢驗 2檢驗（

14、 2-test） （1）目的(md)：對試驗數據的隨機誤差或精密度進行檢驗。對試驗數據的隨機誤差或精密度進行檢驗。 在試驗數據的總體方差在試驗數據的總體方差2已知的情況下，已知的情況下，（2）檢驗步驟：若試驗數據若試驗數據12,nx xx服從正態分布，則服從正態分布，則 計算統計量2第28頁/共67頁第二十八頁，共67頁。222(1)ns查臨界值2()df 1dfn2服從自由度為服從自由度為的的分布分布顯著性水平顯著性水平 一般取一般取0.01或或0.05，表示有顯著，表示有顯著(xinzh)差異的概率差異的概率n 雙側（尾）檢驗(jinyn)(two-sided/tailed test) ：

15、222122檢驗(jinyn) 若若則判斷兩方差無顯著差異，否則有顯著差異則判斷兩方差無顯著差異，否則有顯著差異 第29頁/共67頁第二十九頁，共67頁。 單側（尾）檢驗(jinyn)(one-sided/tailed test) ： 左側（尾）檢驗(jinyn) ：22(1)()df則判斷該方差則判斷該方差(fn ch)(fn ch)與原總體方差與原總體方差(fn ch)(fn ch)無顯著減小，否則有顯著減小無顯著減小，否則有顯著減小 右側右側(yu c)(yu c)（尾）檢驗（尾）檢驗 22()df則判斷該方差與原總體方差無顯著增大，否則有顯著增大則判斷該方差與原總體方差無顯著增大，否則

16、有顯著增大 若若若若（3）Excel在2檢驗中的應用 第30頁/共67頁第三十頁，共67頁。 F檢驗(jinyn)(F-test) （1）目的： 對兩組具有正態分布的試驗數據(shj)之間的精密度進行比較 （2）檢驗步驟計算統計量1(1)(1)(1)12,nxxx2(2)(2)(2)12,nxxx21s21s設有兩組試驗設有兩組試驗(shyn)數據：數據：都服從正態分布，樣本方差分別為都服從正態分布，樣本方差分別為和和和和，則，則2122sFs111dfn221dfn第一自由度為第一自由度為第二自由度為第二自由度為服從服從F分布，分布， 第31頁/共67頁第三十一頁，共67頁。查

17、臨界值給定(i dn)的顯著水平111dfn221dfn查查F分布分布(fnb)表表臨界值臨界值n 雙側（尾）檢驗(jinyn)(two-sided/tailed test) ：檢驗 若若則判斷兩方差無顯著差異，否則有顯著差異則判斷兩方差無顯著差異，否則有顯著差異 1212(1)22(,)(,)Fdf dfFFdf df第32頁/共67頁第三十二頁，共67頁。 單側（尾）檢驗(jinyn)(one-sided/tailed test) ： 左側（尾）檢驗(jinyn) ：則判斷該判斷方差則判斷該判斷方差(fn ch)1(fn ch)1比方差比方差(fn ch)2(fn ch)2無顯著減小，否則

18、有顯著減小無顯著減小，否則有顯著減小 右側右側(yu c)(yu c)（尾）檢驗（尾）檢驗 則判斷該方差則判斷該方差1比方差比方差2無顯著增大，否則有顯著增大無顯著增大，否則有顯著增大 若若若若(1)12(,)FFdf df12(,)FF df df（3）Excel在F檢驗中的應用 第33頁/共67頁第三十三頁，共67頁。1.5.2 系統誤差的檢驗(jinyn) t檢驗法 （1）平均值與給定值比較 目的：檢驗服從正態分布數據的算術平均值是否與給定值有顯著差異(chy)檢驗步驟：計算統計量： 0 xtns服從自由度服從自由度1dfn的的t分布分布(t-distribution) 0

19、給定值（可以是真值、期望值或標準值）給定值（可以是真值、期望值或標準值） 第34頁/共67頁第三十四頁，共67頁。 雙側檢驗(jinyn) ：若若2tt則可判斷則可判斷(pndun)該平均值與給定值無顯著差異，否則就有顯著差異該平均值與給定值無顯著差異，否則就有顯著差異 n 單側檢驗(jinyn) 左側檢驗左側檢驗 0t tt若若且且則判斷該平均值與給定值無顯著減小，否則有顯著減小則判斷該平均值與給定值無顯著減小，否則有顯著減小 右側檢驗右側檢驗 0t tt若若且且則判斷該平均值與給定值無顯著增大，否則有顯著增大則判斷該平均值與給定值無顯著增大，否則有顯著增大 第35頁/共67頁第三十五頁，共

20、67頁。（2）兩個平均值的比較 目的：判斷兩組服從正態分布數據的算術平均值有無顯著(xinzh)差異計算統計量：兩組數據的方差無顯著(xinzh)差異時 121212xxn ntsnn服從自由度服從自由度122dfnn的的t分布分布 s合并合并(hbng)標準差：標準差：22112212(1)(1)2nsnssnn第36頁/共67頁第三十六頁，共67頁。 兩組數據的精密度或方差(fn ch)有顯著差異時 12221212xxtssnn服從服從(fcng)t(fcng)t分布，其自由度為：分布，其自由度為： 22211222222112212()2()()(1)(1)snsndfsnsnnn t

21、檢驗(jinyn)第37頁/共67頁第三十七頁，共67頁。 雙側檢驗(jinyn) ：若若2tt則可判斷兩平均值無顯著則可判斷兩平均值無顯著(xinzh)差異，否則就有顯著差異，否則就有顯著(xinzh)差異差異 n 單側檢驗(jinyn) 左側檢驗左側檢驗 0t tt若若且且則判斷該平均值則判斷該平均值1較平均值較平均值2無顯著減小，否則有顯著減小無顯著減小，否則有顯著減小 右側檢驗右側檢驗 0t tt若若且且則判斷該平均值則判斷該平均值1較平均值較平均值2無顯著增大，否則有顯著增大無顯著增大，否則有顯著增大 第38頁/共67頁第三十八頁，共67頁。（3）成對數據的比較 目的：試驗數據是成對

22、出現，判斷兩種方法、兩種儀器或兩分析人員的測定結果之間是否存在(cnzi)系統誤差計算統計量： 0dddtns成對測定值之差的算術平均值：成對測定值之差的算術平均值： d0d零或其他指定值零或其他指定值 11nniiiixxddnnds n對試驗值之差值的樣本標準差：對試驗值之差值的樣本標準差： 21()1niidddsn服從自由度為服從自由度為1dfn的的t分布分布 第39頁/共67頁第三十九頁，共67頁。 t檢驗(jinyn) 若2tt否則兩組數據之間存在否則兩組數據之間存在(cnzi)顯著的系統誤差顯著的系統誤差 ，則成對數據，則成對數據(shj)之間不存在顯著的系統誤差，之間不存在顯著

23、的系統誤差，（4）Excel在t檢驗中的應用 第40頁/共67頁第四十頁，共67頁。 秩和檢驗法（rank sum test）（1）目的：兩組數據或兩種試驗方法之間是否(sh fu)存在系統誤差、兩種方法是否(sh fu)等效等 ，不要求數據具有正態分布 （2）內容：設有兩組試驗數據，相互獨立 ，n1，n2分別是兩組數據的個數 ，總假定 n1n2；將這個試驗數據混在一起，按從小到大的次序排列 每個試驗值在序列中的次序叫作該值的秩（rank）將屬于第1組數據的秩相加，其和記為R1 R1第1組數據的秩和（rank sum） 如果兩組數據之間無顯著差異，則R1就不應該太大或太小第41頁

24、/共67頁第四十一頁，共67頁。 查秩和臨界值表： 根據顯著性水平和n1，n2，可查得R1的上下限(xixin)T2和T1 檢驗： 如果R1T2 或R1 T1，則認為兩組數據有顯著差異，另一組數據有系統誤差 如果T1R1T2，則兩組數據無顯著差異，另一組數據也無系統誤差 第42頁/共67頁第四十二頁，共67頁。（3）例： 設甲、乙兩組測定值為： 甲：8.6，10.0，9.9，8.8，9.1，9.1 乙：8.7，8.4，9.2，8.9，7.4，8.0，7.3，8.1，6.8已知甲組數據(shj)無系統誤差，試用秩和檢驗法檢驗乙組測定值是否有系統誤差。（0.05）解:（1）排序(pi x)：秩秩1

25、234567891011.511.5131415甲甲9.19.910.0乙乙8.08.99.2第43頁/共67頁第四十三頁，共67頁。（2）求秩和R1 R1=7911.511.5141568（3）查秩和臨界值表 對于0.05， n1=6，n2=9得 T1=33，T263，R1T2 故：兩組數據(shj)有顯著差異，乙組測定值有系統誤差 第44頁/共67頁第四十四頁，共67頁。1.5.3 異常(ychng)值的檢驗 可疑數據、離群值、異常值 一般(ybn)處理原則為： 在試驗過程中，若發現異常數據，應停止試驗，分析原因，及時糾正錯誤試驗結束后

26、，在分析試驗結果時，如發現異常數據，則應先找出產生差異的原因，再對其進行取舍在分析試驗結果時，如不清楚產生異常值的確切原因，則應對數據進行統計處理；若數據較少，則可重做一組數據對于舍去的數據，在試驗報告中應注明舍去的原因或所選用的統計方法 第45頁/共67頁第四十五頁，共67頁。 拉依達（ ）檢驗法內容： 可疑(ky)數據xp ，若32pxxss或則應將該試驗(shyn)值剔除。 說明(shumng)：n計算平均值及標準偏差s 時，應包括可疑值在內n 3s相當于顯著水平 0.01，2s相當于顯著水平 0.05 Pauta第46頁/共67頁第四十六頁，共67頁。 可疑數據應逐一(z

27、hy)檢驗，不能同時檢驗多個數據 首先檢驗偏差最大的數 剔除一個數后，如果還要檢驗下一個數 ，應重新計算平均值及標準偏差 方法簡單，無須查表 該檢驗法適用于試驗次數較多或要求不高時 3s為界時，要求n10 2s為界時，要求n5 第47頁/共67頁第四十七頁，共67頁。 有一組分析測試數據：0.128，0.129，0.131，0.133，0.135，0.138，0.141，0.142，0.145，0.148，0.167，問其中(qzhng)偏差較大的0.167這一數據是否應被舍去? （0.01）解：（1）計算(j sun)例：0.140,0.01116xs（2）計算(j sun)偏差 ,xs0.

28、1670.1400.027pxx（3）比較 3s30.011160.03350.027 故按拉依達準則，當 0.01時，0.167這一可疑值不應舍去 第48頁/共67頁第四十八頁，共67頁。（2）格拉( l)布斯（Grubbs）檢驗法 內容： 可疑(ky)數據xp ，若 則應將該值剔除(tch)。(, )nGGrubbs檢驗臨界值檢驗臨界值 ( , )ppndxxGs第49頁/共67頁第四十九頁，共67頁。格拉( l)布斯（Grubbs）檢驗臨界值G( ,n)表第50頁/共67頁第五十頁，共67頁。說明(shumng)： 計算平均值及標準偏差s 時，應包括可疑值在內 可疑數據應逐一檢驗，不能同

29、時檢驗多個(du )數據 首先檢驗偏差最大的數 剔除一個數后，如果還要檢驗下一個數 ，應重新計算平均值及標準偏差 能適用于試驗數據較少時 格拉布斯準則也可以用于檢驗兩個數據偏小，或兩個數據偏大的情況 例：例1-13第51頁/共67頁第五十一頁，共67頁。（3）狄克遜（Dixon）檢驗法 單側情形將n個試驗數據按從小到大的順序排列： x1x2xn-1xn 如果有異常值存在，必然出現在兩端，即x1 或xn計算(j sun)出統計量D或D查單側臨界值1( )Dn 檢驗xn時，當 1( )DDn時，可剔除xnn 檢驗(jinyn) 檢驗x1時，當 時，可剔除x11( )DDn第52頁/共67頁第五十二

30、頁，共67頁。雙側情形(qng xing)計算D和 D查雙側臨界值 1( )Dnn 檢驗(jinyn) 當當 DD1( )DDn，判斷判斷nx為異常值為異常值 當當 DD1( )DDn，判斷判斷1x為異常值為異常值 第53頁/共67頁第五十三頁，共67頁。說明(shumng) 適用于試驗數據較少時的檢驗，計算(j sun)量較小 單側檢驗時，可疑數據應逐一檢驗，不能同時檢驗多個數據 剔除一個數后，如果還要檢驗下一個數 ，應重新排序 例：例1-14 第54頁/共67頁第五十四頁，共67頁。1.6.1 有效數字(yu xio sh z)（significance figure） 能夠代表一定物理量

31、的數字有效數字的位數可反映試驗(shyn)或試驗(shyn)儀表的精度數據中小數點的位置不影響有效數字的位數例如：50，0.050m，5.0104m第一個非0數前的數字都不是有效數字，而第一個非0數后的數字都是有效數字例如： 29和29.00第一位數字等于或大于8，則可以多計一位例如：9.99 1.6 有效數字和試驗結果(ji gu)的表示第55頁/共67頁第五十五頁，共67頁。1.6.2 有效數字(yu xio sh z)的運算（1）加、減運算： 與其中小數點后位數最少的相同（2）乘、除運算 以各乘、除數中有效數字位數最少的為準（3）乘方(chngfng)、開方運算： 與其底數的相同： 例如：2.42=5.8（4）對數運算： 與其真數的相同 例如ln6.841.92；lg0.000044第56頁/共67頁第五十六頁，共67頁。（5）在4個以上數的平均值計算中，平均值的有效數字可增加一位（6）所有取自手冊上的數據，其