1、 隨機事件具有偶爾性，在一次實驗中不可事隨機事件具有偶爾性，在一次實驗中不可事先預知。但一樣條件下反復進展多次實驗，即會先預知。但一樣條件下反復進展多次實驗，即會發現不同事件發生的能夠性存在大小之分。發現不同事件發生的能夠性存在大小之分。事件事件A發生能夠性大小的度量發生能夠性大小的度量概率概率P(A) 概率是事件本身具有的屬性，是經過大量反概率是事件本身具有的屬性，是經過大量反復實驗展現出來的內在特征。復實驗展現出來的內在特征。引見眾多概率定義之前，先引入頻率。引見眾多概率定義之前，先引入頻率。).(,. , ,AfAnnAnAnnnAA成成并并記記發發生生的的頻頻率率稱稱為為事事件件比比值

2、值生生的的頻頻數數發發稱稱為為事事件件發發生生的的次次數數事事件件次次試試驗驗中中在在這這次次試試驗驗進進行行了了在在相相同同的的條條件件下下定義定義 AnA(A)事事件件 出出現現的的次次數數試試驗驗總總次次數數nnf 實驗序號5 nHnf1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4Hnf50 n22252125241827Hn500 n2512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.54f0.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502實例實例 將一枚硬幣拋擲將一枚硬幣拋擲 5

3、 5 次、次、50 50 次、次、500 500 次次, , 各做各做 7 7 遍遍, , 察看正面出現的次數及頻率察看正面出現的次數及頻率. .處處波波動動較較大大在在21動搖最小隨n的增大, 頻率 f 呈現出穩定性處處波波動動較較小小在在21實驗者德 摩根蒲 豐nHnf皮爾遜皮爾遜 K皮爾遜皮爾遜 K 204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120210.5005()f H的增大的增大n1.2 Afn , 的的頻頻率率正正面面向向上上出出現現從從上上表表中中可可以以看看出出 , 次次但但總總的的趨趨勢勢是是隨隨著著試試驗驗的的不不同同

4、而而變變動動雖雖然然隨隨 n . 5 . 0 這這個個數數值值上上數數的的增增加加而而逐逐漸漸穩穩定定在在 可見，在大量反復的實驗中，隨機事件出現的可見，在大量反復的實驗中，隨機事件出現的頻率具有穩定性，即通常所說的統計規律性頻率具有穩定性，即通常所說的統計規律性. 我們我們可以用大量實驗下頻率的穩定值來描畫事件發生的可以用大量實驗下頻率的穩定值來描畫事件發生的能夠性，得到概率的統計定義能夠性，得到概率的統計定義.1. 概率的統計定義概率的統計定義 在一樣的條件下反復進展在一樣的條件下反復進展n次實驗，其中事件次實驗，其中事件發生了發生了nA 次，當實驗次數充分大時，事件的頻率次，當實驗次數充

5、分大時，事件的頻率nA /n將穩定在某一個常數將穩定在某一個常數p附近，那么稱此常數附近，那么稱此常數p為為事件出現的概率，記作事件出現的概率，記作( )P Ap 注：當實驗次數注：當實驗次數n充分大時，根據頻率的穩定性，可充分大時，根據頻率的穩定性，可以用頻率近似的替代概率，即以用頻率近似的替代概率，即( )AnP An 0( )1, ()0, ()1P APP 顯顯然然，留意：留意：1了解頻率與概率的區別與聯絡了解頻率與概率的區別與聯絡 概率是事件的內部一成不變的本質屬性，頻率只概率是事件的內部一成不變的本質屬性，頻率只是隨機性很大的外表景象。是隨機性很大的外表景象。2頻率穩定于概率，但并

6、非以概率為極限頻率穩定于概率，但并非以概率為極限3統計定義的局限性統計定義的局限性 實驗實驗n+1次所計算的頻率并不一定比次所計算的頻率并不一定比n次實驗更加次實驗更加接近概率，更何況我們無法保證實驗的條件不變以及接近概率，更何況我們無法保證實驗的條件不變以及完成大量的實驗，更何況那些存在危險的破壞性實驗。完成大量的實驗，更何況那些存在危險的破壞性實驗。 鑒于統計定義的局限性，針對特殊實驗人們鑒于統計定義的局限性，針對特殊實驗人們往往按照長期積累的關于往往按照長期積累的關于“對稱性的實踐閱歷，對稱性的實踐閱歷，提出模型直接計算概率。這類模型稱為等能夠實提出模型直接計算概率。這類模型稱為等能夠實

7、驗概型。驗概型。古古典典概概型型樣樣本本空空間間有有限限集集等等可可能能試試驗驗概概型型幾幾何何概概型型樣樣本本空空間間無無限限集集1 1古典實驗概型古典實驗概型 假設隨機實驗具有如下兩個特征：假設隨機實驗具有如下兩個特征： 中根身手件總數中根身手件總數n有限有限有限性有限性每個根身手件發生的能夠性一樣每個根身手件發生的能夠性一樣等能夠性等能夠性 12=,n 1()()ijPPn那么稱該實驗為古典型隨機實驗。那么稱該實驗為古典型隨機實驗。2. 概率的古典定義概率的古典定義2 2古典定義古典定義 設古典型實驗設古典型實驗E的樣本空間的樣本空間中所含根身手件數中所含根身手件數為為n，A為恣意一個事

8、件，假設設事件為恣意一個事件，假設設事件A包含的根身包含的根身手件數為手件數為m，那么，那么A發生的概率為發生的概率為( )=事事件件包包含含樣樣本本點點數數包包含含樣樣本本點點總總數數AnmAP Ann 1211 0( )1,()1,()0; ()( )( );( ()( )( ) ,()()A BABnnniiiiP APPABP ABP AP BnnnP ABP AP BnnA AAPAP A 古古典典定定義義滿滿足足：兩兩兩兩互互斥斥注：利用該定義計算時應調查有限性和等能夠性這注：利用該定義計算時應調查有限性和等能夠性這兩個條件兩個條件例例1 一付撲克牌一付撲克牌54張，任取一張，求它

9、是黑桃的概率。張，任取一張，求它是黑桃的概率。解解: 以每一張撲克牌為根身手件，所以以每一張撲克牌為根身手件，所以設設A表示表示“任取一張是黑桃，任取一張是黑桃，注：假設以花樣為根身手件，共注：假設以花樣為根身手件，共5種花樣，種花樣，即即此種解法等能夠性被破壞了，故結果是錯誤的。此種解法等能夠性被破壞了，故結果是錯誤的。54n 13An 13( )54AnP An黑黑，紅紅，梅梅，方方，王王 1設設 表表示示“黑黑桃桃”，則則AAn 1( )5AnP An 假設標題條件改為：一付撲克牌無大小王共假設標題條件改為：一付撲克牌無大小王共52張，張，從中任取一張，求它是黑桃的概率，那么以張數或花從

10、中任取一張，求它是黑桃的概率，那么以張數或花樣為根身手件數求解均正確。即樣為根身手件數求解均正確。即以張數為根身手件：以張數為根身手件：以花樣為根身手件：以花樣為根身手件：131( )524AnP An1( )4AnP An1、選擇適當的樣本空間滿足有限與等能夠、選擇適當的樣本空間滿足有限與等能夠利用古典定義解題的根本步驟：利用古典定義解題的根本步驟：2、計算樣本點數量，利用公式解題。、計算樣本點數量，利用公式解題。3. 概率的幾何定義概率的幾何定義1 1幾何實驗概型幾何實驗概型 假設隨機實驗具有如下兩個特征：假設隨機實驗具有如下兩個特征：中根身手件總數無限不可數中根身手件總數無限不可數無限性

11、無限性每個根身手件發生的能夠性一樣每個根身手件發生的能夠性一樣均勻性均勻性那么稱該實驗為幾何型隨機實驗。那么稱該實驗為幾何型隨機實驗。2 2幾何定義幾何定義 設幾何型實驗設幾何型實驗E的樣本空間的樣本空間可用一有界區域描可用一有界區域描畫，其中部分區域可描畫畫，其中部分區域可描畫A事件所含樣本點數量，事件所含樣本點數量，那么那么A發生的概率為發生的概率為( )( )()事事件件對對應應子子集集的的幾幾何何度度量量整整個個空空間間的的幾幾何何度度量量L AAP AL注：實驗一切樣本點可視為等能夠落入有界區域的注：實驗一切樣本點可視為等能夠落入有界區域的隨機點。雖然樣本空間與事件均為無限集，但由于

12、隨機點。雖然樣本空間與事件均為無限集，但由于等能夠性的保證，事件的發生能夠性取決于二者無等能夠性的保證，事件的發生能夠性取決于二者無限集度量長度、面積等的比較，并且與區域位限集度量長度、面積等的比較，并且與區域位置外形無關。置外形無關。1211 0( )1,()1,()0; ()( )( ); ,()()幾幾何何定定義義同同樣樣滿滿足足：兩兩兩兩互互斥斥nnniiiiP APPABP ABP AP BA AAPAP A 三大定義的局限：三大定義的局限：統計定義統計定義大量反復實驗、破壞性實驗大量反復實驗、破壞性實驗古典定義古典定義樣本空間有限等能夠樣本空間有限等能夠幾何定義幾何定義樣本空間無限

13、等能夠樣本空間無限等能夠 鑒于此，數學家總結三者共性，提煉概率與事件鑒于此，數學家總結三者共性，提煉概率與事件間函數對應的本質以及諸多共同性質，于間函數對應的本質以及諸多共同性質，于19331933年，由年，由蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫提出概率論的公理化構造，蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫提出概率論的公理化構造，給出了概率的嚴厲定義，使概率論有了迅速的開展給出了概率的嚴厲定義，使概率論有了迅速的開展. .4. 概率的公理化定義概率的公理化定義 ,(),0,1設設試試驗驗 的的樣樣本本空空間間為為以以 中中所所有有隨隨機機事事件件的的集集合合為為定定義義域域, ,定定義義一一個個函函數數對對于于任任意意的的

14、事事件件總總能能與與內內確確定定常常數數對對應應, ,且且滿滿足足：EEP AA 12110( )1,()1,()0,()()非非負負規規范范性性： 可可列列可可加加性性：兩兩兩兩互互斥斥nnniiiiP APPA AAPAP A ( )P AA則則稱稱函函數數為為事事件件 的的概概率率。思索：函數的定義域與值域是什么？思索：函數的定義域與值域是什么？性質性質1()0,()1PP 留意：不能夠事件的概率為留意：不能夠事件的概率為0，但概率為，但概率為0的事的事件不一定為不能夠事件；必然事件的概率為件不一定為不能夠事件；必然事件的概率為1，但概率為但概率為1的事件不一定是必然事件。的事件不一定是

15、必然事件。性質性質212111211 ()( )( ); ,()(),()()兩兩兩兩互互斥斥兩兩兩兩互互斥斥nnniiiiniiiiABP ABP AP BA AAPAP AA AAPAP A 性質性質3,()()().若若為為兩兩個個任任意意的的隨隨機機事事件件，則則A BP ABP AP AB 證明證明(),()又又AABABABAB ( )()()()( )()P AP ABP ABP ABP AP AB 性質性質4,( )( ),()( )( ).若若為為兩兩個個隨隨機機事事件件, ,則則A BABP AP BP BAP BP A ()1().設設是是的的對對立立事事件件，則則AA

16、P AP A 性質性質5性質性質6(),()( )( )().加加法法公公式式 對對于于任任意意兩兩事事件件有有A BP ABP AP BP AB 證明證明AB由圖可得由圖可得(),ABABAB(),ABAB 且且()()().故故 P ABP AP BAB 又由性質又由性質 3 得得因此得因此得AB),()()(ABPBPABBP ()( )( )().P ABP AP BP AB 推行推行 三個事件和的情況三個事件和的情況123()P AAA ).()()()()()()(321313221321AAAPAAPAAPAAPAPAPAP n 個事件和的情況個事件和的情況12()nP AAA

17、njijiniiAAPAP11)()().()1()(2111nnnkjikjiAAAPAAAP 例例2 某工廠職工可以訂閱兩種讀物某工廠職工可以訂閱兩種讀物報紙和雜志，報紙和雜志，其中訂閱報紙的概率為其中訂閱報紙的概率為0.7，訂閱雜志的概率為，訂閱雜志的概率為0.2, 兩種都訂閱的概率為兩種都訂閱的概率為0.1. 求求解解 事件事件A , B分別表示分別表示“訂閱報紙和訂閱雜志訂閱報紙和訂閱雜志(1)()( )()0.70.10.6P ABP AP AB (1) 訂閱報紙而不訂閱雜志的概率訂閱報紙而不訂閱雜志的概率; (2) 至少訂閱一種讀物的概率至少訂閱一種讀物的概率; (3) 兩種讀物

18、都不訂閱的概率兩種讀物都不訂閱的概率.(2)()( )( )()0.8P ABP AP BP AB (3)()()0.2P A BP AB ()()()()( )()0.50.30.2P ABCP ABP ABCP ABP CABCC由由此此：例例3 ,()0.7,()0.4,()0.5()AC BC P AP ACP ABP ABC 設設，求求()( )()( )( )( )( )()0.70.40.3P ACP AP ACP AP CACCP CP AP AC解解：（）故故：2( )0.5,()0.2,( )0.4(),(),(),()P AP ABP BP AB P AB P AB P

19、AB . . 求求：3. ( )0.4,( )0.3,()0.6,()P AP BP ABP AB求求1. 在在10到到99的一切兩位數中任取的一切兩位數中任取1個數字，求個數字，求其能被其能被2或者或者3整除的概率。整除的概率。2 1 2. 0.2,0.3,0.7,0.3 3. 0.33答答案案： . . 求解古典概型問題的關鍵是弄清樣本空間中的根身手求解古典概型問題的關鍵是弄清樣本空間中的根身手件總數和對所求概率事件有利的事件個數在思索事件數件總數和對所求概率事件有利的事件個數在思索事件數的時候，必需分清研討的問題是組合問題還是陳列問題，的時候，必需分清研討的問題是組合問題還是陳列問題，掌

20、握以下關于陳列組合的知識是有用的：掌握以下關于陳列組合的知識是有用的： (1) 加法原理：設完成一件事有加法原理：設完成一件事有k類方法，每類又分類方法，每類又分別有別有m1 , m2, mk種方法，而完成這件事只需其中一種方法，而完成這件事只需其中一種方法，那么完成這件事共有種方法，那么完成這件事共有m1 + m2,+mk種方法種方法 (2) 乘法原理：乘法原理： 設完成一件事有設完成一件事有n個步驟第一步有個步驟第一步有m1種方法、第二步有種方法、第二步有m2種方法，種方法，第第n步有步有mn 種方法，種方法，那么完成這件事共有那么完成這件事共有m1 m2 mn種方法種方法.(3) 不同元

21、素的選陳列不同元素的選陳列 從從n個不一樣的元素中無放回取個不一樣的元素中無放回取k個的陳列個的陳列(k n)，稱為從稱為從n個不同元素中取個不同元素中取k個元素的選陳列個元素的選陳列,共有共有 種。種。當當 n k 時，稱時，稱n個元素的全陳列共有個元素的全陳列共有n！種。！種。knP 例如：從例如：從3個元素取個元素取出出2個的陳列總數有個的陳列總數有6種種236P!()()()()! 121knnpn nnn kn k(4) 不同元素的反復陳列不同元素的反復陳列例如：從裝有例如：從裝有4張卡片的盒中張卡片的盒中有放回地摸取有放回地摸取3張張3241n=4,k =3123第第1張張4123

22、第第2張張4123第第3張張4共有共有4.4.4=43種能夠取法種能夠取法kn nnn 從從n個不同的元索中，有放回地取個不同的元索中，有放回地取k個元素進展的陳個元素進展的陳列，共有種元素允許反復列，共有種元素允許反復 。kn1kn n(5) 不全相異元素的陳列不全相異元素的陳列在在n個元素中，有個元素中，有m類不同元素、每類各有類不同元素、每類各有k1, k2 , km 個，將這個，將這n個元素作全陳列，共有如下種方式：個元素作全陳列，共有如下種方式：12!mnkkkk1個個元素元素k2個個元素元素km個個元素元素n個元素個元素由于由于:12112!mmkkknn kkmnCCCkkk(6

23、) 環陳列環陳列 從從n個不同元素中，選出個不同元素中，選出m個不同的元素排成一個不同的元素排成一個圓圈的陳列，共有：個圓圈的陳列，共有：(1)(2)(1)(1)!mnn nnnmCmm(7) 組合組合從從n個不同元素中取個不同元素中取m個而不思索其次序的陳列個而不思索其次序的陳列組合，共有組合，共有 種種.mnC4123412311242343每個陳列每個陳列反復了反復了4次次4!4陳列數為陳列數為. . )2(; )1(古古典典概概型型驗驗稱稱為為等等可可能能概概型型或或具具有有以以上上兩兩個個特特點點的的試試生生的的可可能能性性相相同同試試驗驗中中每每個個基基本本事事件件發發有有限限個個

24、元元素素試試驗驗的的樣樣本本空空間間只只包包含含 我們主要學習等能夠概型我們主要學習等能夠概型( (古典概型古典概型) )古典概型中事件概率的計算公式古典概型中事件概率的計算公式( ).mAP An 所所包包含含樣樣本本點點的的個個數數中中樣樣本本點點總總數數 古典概型中主要引見兩大典型例題：古典概型中主要引見兩大典型例題：有有放放回回抽抽取取（一一）抽抽球球問問題題有有序序抽抽取取無無放放回回抽抽取取無無序序抽抽取取（一一把把抓抓） （二二）質質點點落落入入問問題題（生生日日、投投信信、分分房房問問題題）一抽球問題隨機抽取問題一抽球問題隨機抽取問題例例4 袋中有袋中有4個白球個白球2個紅球，

25、從中任取個紅球，從中任取2球，分析球，分析以下事件概率：以下事件概率：取取得得兩兩個個全全是是白白球球A 恰恰有有一一個個是是白白球球B 至至少少有有一一個個是是白白球球C 古典概型的等能夠性決議了不能按照顏色劃古典概型的等能夠性決議了不能按照顏色劃分樣本空間，因此可將球編號，從而滿足要求。分樣本空間，因此可將球編號，從而滿足要求。1 1、有放回抽取、有放回抽取 抽取問題中的有放回抽取自然區分順序，因此抽取問題中的有放回抽取自然區分順序，因此樣本空間的樣本點總數為：樣本空間的樣本點總數為：116636nC C 11441166164(1) ( )369C CP AC C111124421166

26、(884(2) ( )369）C CC CP BC C 例例4 袋中有袋中有4個白球個白球2個紅球，從中任取個紅球，從中任取2球球1111112442441166(328(3) ( )369C CC CC CP CC C + +）8,()()()9或或而而ABCABP CP AP B 1122116684( )1( )11369或或C CP CP CC C 2 2、無放回抽取、無放回抽取 無放回抽取分為有序與無序兩種方式。有序即無放回抽取分為有序與無序兩種方式。有序即每次取一，不放回；無序即指一次性取夠，不放回。每次取一，不放回；無序即指一次性取夠，不放回。116530nC C 1143116

27、5612(1) ( )3015C CP AC C 111124421165(888(2) ()3015）C CC CP BC C 例例4 袋中有袋中有4個白球個白球2個紅球，從中任取個紅球，從中任取2球球1111112442431165(2814(3) ( )3015+ +）C CC CC CP BC C 14,( )( )( )15或或而而ABCABP CP AP B 11211165214( )1( )113015或或C CP CP CC C有序抽取有序抽取2 2、無放回抽取、無放回抽取2615nC2042266(1) ( )15C CP AC 1142268(2) ( )15C CP B

28、C 例例4 袋中有袋中有4個白球個白球2個紅球，從中任取個紅球，從中任取2球球1120424226(14(3) ( )15+ +）C CC CP CC14,( )( )( )15或或而而ABCABP CP AP B 2226114( )1( )111515或或CP CP CC 無序抽取無序抽取 我們發現不同方式下結果一致，但顯然無序我們發現不同方式下結果一致，但顯然無序抽取要比有序抽取計算簡單。抽取要比有序抽取計算簡單。 重新整理無放回抽取的計算思緒，并且發現，重新整理無放回抽取的計算思緒，并且發現，三個事件均可轉化成三個事件均可轉化成“恰有類型的事件或運算，恰有類型的事件或運算，因此我們以第

29、二個事件因此我們以第二個事件“恰有一個白球為例恰有一個白球為例64白白2紅紅1白白1紅紅任取任取2球球26C14C12C1142268( )15C CP BC 傳說中的傳說中的“超幾何概率模型超幾何概率模型超幾何概率：超幾何概率：NMN-Mkn-k任取任取nnNCkMCn kNMC kn kMNMnNC CPC 條件：無放回抽取。目的：簡化運算條件：無放回抽取。目的：簡化運算特點：分子分母組合對應項滿足和運算特點：分子分母組合對應項滿足和運算NMNM 設設有有個個元元素素分分為為類類與與類類（數數量量分分類類）, ,Nn現現從從個個元元素素中中任任取取 個個元元素素（不不放放回回）, ,nkM

30、試試求求 個個元元素素中中恰恰好好有有 個個類類元元素素的的概概率率. .0,1,min( ,)klln M 例例5 一批產品有一批產品有12件，其中件，其中4件次品，件次品，8件正品，件正品，現從中任取現從中任取3件，求取出的件，求取出的3件中含有次品的概率件中含有次品的概率.解：設解：設 0,1,2,3iAii 取取出出的的三三件件中中恰恰有有 件件次次品品 A 取取出出的的三三件件中中含含有有次次品品123,AAAA那那么么123( ) =()P AP AAA 另解另解( )1( )P AP A兩兩互斥，兩兩互斥，123,A A A且且 12213048484831241()=55C C

31、C CC CC 123= ()()()P AP AP A034831241155C CC 1 袋中有袋中有10個球，編號個球，編號110，從中任取，從中任取3球，不放回球，不放回.求：最小號碼是求：最小號碼是5的概率；的概率； 最大號碼是最大號碼是7的概率。的概率。練習練習2 某油漆公司發出某油漆公司發出17桶油漆，其中桶油漆，其中10桶白漆，桶白漆，4桶黑桶黑 漆，漆，3桶紅漆，在搬運中一切標簽零落，交貨人隨意桶紅漆，在搬運中一切標簽零落，交貨人隨意將油漆發給顧客將油漆發給顧客. 問一個訂了問一個訂了4桶白漆桶白漆3桶黑漆桶黑漆2桶紅桶紅漆的顧客，能按所訂顏色如數得到所訂貨的概率漆的顧客，能

32、按所訂顏色如數得到所訂貨的概率.答案答案112521. ; 2. .1282431二生日問題分房問題二生日問題分房問題特點：特點：1每個人的生日有每個人的生日有 種能夠；種能夠；2恣意一天可以包容很多人的生日。恣意一天可以包容很多人的生日。例例6 房內有房內有500人，問至少一人生日是人，問至少一人生日是10月月1日的概率。日的概率。解：因每人生日都有解：因每人生日都有365種能夠，故種能夠，故設設A：至少一人生日在：至少一人生日在10月月1日，那日，那么么P(A)=P(至少一人生日在至少一人生日在10月月1日日)=1-P(大家生日都不在大家生日都不在10月月1日日)5005005003643

33、64=1=10.746.365365 500365n u分析分析此問題可以用投球入盒模型來模擬此問題可以用投球入盒模型來模擬500個人個人500個小球個小球365天天365個盒子個盒子類似地有分房問題與投信問題類似地有分房問題與投信問題 信件信件 郵筒郵筒人人 房子房子u特點：特點：每一個元素面對多個選擇，一次只能自動選擇一種；每一個元素面對多個選擇，一次只能自動選擇一種；每一種選擇被動的可以包容多個元素。每一種選擇被動的可以包容多個元素。u關鍵：關鍵：主主動動因因素素樣樣本本點點數數量量的的確確定定：被被動動元元素素解：每球都有解：每球都有N種放法，種放法，1當當n=N時，每盒恰有一球，時，

34、每盒恰有一球，n個球共個球共 n! 種放法，種放法，設設A表示表示“每盒恰有一球，那每盒恰有一球，那么么!( );nnP AN n個球共個球共 種放法，種放法，nN例例7 設有設有n個球，隨機地放入個球，隨機地放入N個盒子中，試求：個盒子中，試求：1當當n=N時，每盒恰有一球的概率；時，每盒恰有一球的概率；2當當nN時，恣意時，恣意n個盒子中各有一球的概率。個盒子中各有一球的概率。例例7 設有設有n個球，隨機地放入個球，隨機地放入N個盒子中，試求：個盒子中，試求：1當當n=N時，每盒恰有一球的概率；時，每盒恰有一球的概率；2當當nN時，恣意時，恣意n個盒子中各有一球的概率。個盒子中各有一球的概

35、率。解解: 2當當nN時，盒多球少，先從時，盒多球少，先從N個盒中任取個盒中任取n個，個，再在取出的再在取出的n個盒中每盒放一個，個盒中每盒放一個，共共 n! 種放法，種放法，設設B表示表示“恣意恣意n個盒中各有一球，個盒中各有一球，那么那么!( ).nnNNnnC nPP BNN共有共有 種能夠，種能夠，nNC例例8 將將3個球隨機放入個球隨機放入4個杯子中，求杯子中球數最多為個杯子中，求杯子中球數最多為1，2，3的概率各是多少？的概率各是多少？解：設解：設A，B，C分別表示杯中球數最多為分別表示杯中球數最多為1，2，3，于是放球過程一切能夠結果為于是放球過程一切能夠結果為34n 3433!

36、3( )48CP A 341( )416P C 9( )1( )( )16P BP AP C例例9 9 將將 15 15 名新生其中名新生其中3 3名是優秀生隨機地分名是優秀生隨機地分配到三個班級中配到三個班級中, , 其中一班其中一班4 4人，二班人，二班5 5人，三班人，三班6 6人人. .求求 (1) (1) 每一個班級各分配到一名優秀生的概率是多少每一個班級各分配到一名優秀生的概率是多少? ? (2) 3 (2) 3 名優秀生分配在同一個班級的概率是多名優秀生分配在同一個班級的概率是多少少? ? 解：解：15名新生按要求分配到三個班級中的分法總數名新生按要求分配到三個班級中的分法總數:

37、45615116C C C15!=.4!5!6!(1) 每一個班級各分配到一名優秀生的分法共有每一個班級各分配到一名優秀生的分法共有34512953!(3! 12!) (3!4!5!).C C C 種種因此所求概率為因此所求概率為13! 12!15!3!4!5!4!5!6!p 24.91 (2)2123()()()0.07473pP AP AP A 31,2,3iAii表表示示 名名優優秀秀生生被被分分到到 班班 ， = =15645611211615116()P AC C CC C C 4264562128615116()P AC C CC C C 4534563128315116()P AC C CC C C 練習練習1 1 假設每人的生日在一年假設每人的生日在一年 365 365 天中的任一天天中的任一天是等能夠的是等能夠的 , , 即都等于即都等于 1/365 , 1/365 ,求求 64 64 個人中至少個人中至少有有2 2人生日一樣的概率人生日一樣的概率. . 64 個人生日各不一樣的概率為個人生日各不一樣的概率為.365)164365( 364365641 p故故64 個人中至少有個人中至少有2人生日一樣的概率為人生日一樣的概率為64365)164365( 3643651 p.997. 0 解：解：率為率為概概他們的生日