1、平面向量練習題集答案典例精析題型一向量的有關概念【例 1】 下列命題：向量 AB 的長度與 BA 的長度相等；向量 a 與向量 b 平行，則a 與 b 的方向相同或相反；兩個有共同起點的單位向量，其終點必相同；向量 AB 與向量 CD 是共線向量，則A、 B、 C、D 必在同一直線上.其中真命題的序號是.【解析】 對；零向量與任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故錯；顯然錯；AB 與 CD是共線向量， 則 A、B、C、D 可在同一直線上，也可共面但不在同一直線上，故錯 .故是真命題的只有.【點撥】 正確理解向量的有關概念是解決本題的關鍵，注意到特殊情況，否定某個命題只要舉出一個反例即可 .

2、【變式訓練1】下列各式： |a| a ? a ； (a ? b) ? c a ? (b ? c)；OAOB BA；在任意四邊形ABCD 中， M 為 AD 的中點， N 為 BC 的中點，則AB DC 2 MN ； a (cos ， sin )， b (cos ， sin )，且 a 與 b 不共線，則 (a b) (ab) .其中正確的個數為()A.1B.2C.3D.4【解析】 選 D.| a |a ? a 正確； (a ? b)? ca ?(b ? c)；OA OB BA 正確；如下圖所示，MN =MD +DC +CN 且MN =MA+AB+BN ，兩式相加可得2 MN AB DC ，即命

3、題正確；因為 a， b 不共線，且 |a|b| 1，所以 a b， a b 為菱形的兩條對角線，即得 (ab)( a b).所以命題正確.題型二與向量線性運算有關的問題【例 2】如圖， ABCD 是平行四邊形，AC 、BD 交于點 O，點 M 在線段 DO上，且 DM =1DO，點 N在線段 OC 上,且ON=1 OC ,設 AB =a,AD = b, 試用33a、b 表示 AM ， AN ， MN .【解析】 在 ?ABCD 中， AC ，BD 交于點 O，所以DO11ABAD )1 ，2 DB2(2( a b)111AOOC2AC2(ABAD) 2(a b).又 DM1DO ，ON 1OC

4、 ，33所以 AMADDM b13 DO1115 b × (a b) a b，3266AN 43OCAO ON OC 31OC412(a b).× (a b)323所以MN ANAM21511 3(a b) (6a 6b) 2a 6b.【點撥】 向量的線性運算的一個重要作用就是可以將平面內任一向量由平面內兩個不共線的向量表示，即平面向量基本定理的應用，在運用向量解決問題時，經常需要進行這樣的變形.【變式訓練2】O 是平面 上一點， A、B、C是平面 上不共線的三點， 平面 內的動點 P 滿足 OP OA ABAC )，若 1時，則 PA?(PBPC )的值為.(2【解析】

5、由已知得 OP OA ( AB AC )，即 AP ( AB AC )，當 1時，得 AP 1(AB AC)，22所以 2AP AB AC，即 APABACAP，所以 BP PC，所以 PB PC PBBP0，所以 PA ? ( PB PC ) PA ?00，故填 0.題型三向量共線問題【例3】設兩個非零向量a 與b 不共線.(1)若 AB a b，BC 2a 8b， CD 3(a b)，求證： A， B， D 三點共線；(2)試確定實數k，使 ka b 和 akb 共線 .【解析】 (1) 證明：因為AB a b，BC 2a 8b， CD 3(a b)，所以 BD BC CD 2a 8b3(

6、a b) 5(a b) 5 AB ，所以 AB ，BD 共線 .又因為它們有公共點B，所以 A， B，D 三點共線 .(2)因為 ka b 和 a kb 共線，所以存在實數，使 ka b (a kb)，所以 (k )a(k1)b.因為 a 與 b 是不共線的兩個非零向量，所以 k k 1 0，所以 k2 1 0，所以 k ±1.【點撥】 (1) 向量共線的充要條件中，要注意當兩向量共線時，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數法的運用和方程思想.(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區別與聯系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三

7、點共線.【變式訓練3】已知 O 是正三角形BAC 內部一點， OA +2 OB +3 OC =0，則OAC 的面積與 OAB 的面積之比是（）32A. 2B. 31C.2D. 3【解析】 如圖，在三角形 ABC 中， OA 2OB 3 OC 0，整理可得 OA OC 2( OB OC ) 0.1令三角形 ABC 中 AC 邊的中點為 E， BC 邊的中點為 F，則點 O 在點F與點 E連線的3處，即 OE 2OF .設三角形 ABC 中 AB 邊上的高為 h，則 S S S 2?OE?(22)2OE· h，OACOAEOEC1hh 1111SOAB 2AB ? 2h 4AB·

8、; h，由于 AB22EF ，OE EF ，所以 AB 3OE，3S1OE ? hOAC2所以OAB 1SAB ? h42 3.故選 B.總結提高1.向量共線也稱向量平行，它與直線平行有區別，直線平行不包括共線(即重合 )的情形，而向量平行則包括共線 (即重合 )的情形 .2.判斷兩非零向量是否平行，實際上就是找出一個實數，使這個實數能夠和其中一個向量把另外一個向量表示出來.3.當向量 a 與 b 共線同向時，|a b| |a| |b|；當向量 a 與 b 共線反向時， |a b| |a| |b|；當向量 a 與 b 不共線時， |ab| |a| |b|.典例精析題型一平面向量基本定理的應用【

9、例 1】如圖 ?ABCD 中 ,M,N 分別是 DC ，BC 中點 .已知 AM =a, AN =b,試用 a，b 表示 AB ， AD 與 AC【解析】 易知 AM AD DM1 AD 2AB，1AN AB BN AB2AD ，AD1 ABa,即21ABADb.所以AB2，AD 23(2b a)3( 2a b).2所以 AC AB AD 3( a b).【點撥】 運用平面向量基本定理及線性運算，平面內任何向量都可以用基底來表示.此處方程思想的運用值得仔細領悟 .【變式訓練 1】已知 D 為 ABC 的邊 BC 上的中點， ABC 所在平面內有一點P，滿足 PA BP CP0，則 |PD|等于

10、()|AD |1B. 1C.1D.2A. 32【解析】 由于 D 為 BC 邊上的中點，因此由向量加法的平行四邊形法則，易知PBPC2PD，因|PD |此結合 PA BP CP 0 即得 PA 2 PD ，因此易得P，A， D 三點共線且D 是 PA 的中點，所以|AD| 1，即選 C.題型二向量的坐標運算【例 2】 已知 a (1， 1)， b (x， 1)，u a 2b， v 2ab.(1)若 u 3v，求 x； (2)若 uv，求 x.【解析】 因為 a (1， 1)， b (x， 1)，所以 u (1， 1) 2(x， 1) (1， 1) (2x， 2) (2x 1， 3)，v 2(1

11、， 1) (x，1) (2 x， 1).(1)u 3v? (2x1， 3) 3(2 x， 1)? (2x 1，3) (6 3x， 3)，所以 2x 1 63x，解得 x1.(2)u v ? (2x1， 3) (2 x， 1)2x 1(2 x),?3? (2x 1) 3(2 x)0?x 1.【點撥】 對用坐標表示的向量來說，向量相等即坐標相等，這一點在解題中很重要，應引起重視.【變式訓練2】已知向量nnan (cos， sin)( nN * )， |b| 1.則函數 y |a1 b|2 |a2 b|2 |a3 b|2 77 |a1412 的最大值為. b|【解析】 設 b (cos ， sin

12、)，所以 y |a1 b|2 |a2b|2 |a3 b|2 |a141 b|2 (a1 )2 b2 2(cos ，7)2 b2 2(cos141 141 sin7)(cos ， sin ) (a1417，sin7 )(cos ， sin ) 282 2cos(7 )，所以 y 的最大值為 284.題型三平行 (共線 ) 向量的坐標運算【例 3】已知 ABC 的角 A，B，C 所對的邊分別是a， b，c，設向量 m(a，b)，n (sin B， sin A)， p(b2， a 2).(1)若 m n，求證： ABC 為等腰三角形；(2)若 m p，邊長 c 2，角 C ，求 ABC 的面積 .3

13、【解析】 (1) 證明：因為m n ，所以 asin A bsin B.由正弦定理，得a2 b2，即 ab.所以ABC 為等腰三角形 .(2)因為 m p，所以 m· p 0，即a(b 2) b(a2) 0，所以 a b ab.由余弦定理，得4 a2 b2 ab(a b)2 3ab，所以 (ab)2 3ab 4 0.所以ab 4 或ab 1(舍去 ).所以113SABC 2absin C2×4×2 3.【點撥】 設 m (x1， y1)， n (x2， y2)，則 m n? x1 y2 x2y1； m n? x1 x2y1 y2 0.【變式訓練3】已知 a，b，c

14、 分別為 ABC 的三個內角 A，B， C 的對邊，向量 m(2cosC1， 2)， n(cos C， cos C 1).若 m n ，且 a b10，則 ABC 周長的最小值為 ()A.10 53B.10 53C.10 23D.10 231【解析】由 m n 得 2cos2C 3cos C 2 0，解得 cos C 或 cos C 2(舍去 )，所以 c2 a2 b2 2abcos2C a2 b2 ab (a b)2 ab 100 ab，由 10a b 2 ab? ab 25，所以 c275，即 c 53，所以 a b c 10 53，當且僅當 a b5 時，等號成立 .故選 B.典例精析題

15、型一利用平面向量數量積解決模、夾角問題【例 1】 已知 a， b 夾角為 120°，且 |a| 4， |b| 2，求：(1)|a b|；(2)( a 2b) · (a b)；(3)a 與 (a b)的夾角 .【解析】 (1)(a b)2 a2 b2 2a· b1 164 2×4×2× 12，2所以 |a b| 23.(2)( a 2b) · (a b) a2 3a· b 2b21 163×4×2× 2×4 12.221(3)a· (a b) a a·b 1

16、6 4 ×2 × 12.2所以 cos a ?ab) 12(3，所以 .| a | a b |4×2 326【點撥】 利用向量數量積的定義、性質、運算律可以解決向量的模、夾角等問題.【變式訓練1】已知向量 a，b，c 滿足：|a|1，|b| 2，c a b，且 c a，則 a 與 b 的夾角大小是.【解析】 由 c a? c· a 0?a2 a· b 0，1所以 cos 2，所以 120 .°題型二利用數量積來解決垂直與平行的問題【例 2】 在 ABC 中， AB (2， 3)， AC (1，k)，且 ABC 的一個內角為直角，求k

17、的值 .【解析】 當A 90°時，有 AB · AC 0，所以 2 ×1 3· k0，所以 k 23；當B 90 °時，有 AB · BC 0，又 BC AC AB (1 2， k 3) ( 1， k 3)，11所以 2 ×(1) 3 ×(k 3) 0? k 3 ；當C 90 °時，有 AC · BC 0，所以 1 k· (k 3) 0，所以 k2 3k 1 0? k 3± 13.22 113±13所以 k 的取值為 3， 3 或2.【點撥】 因為哪個角是直角尚未確

18、定，故必須分類討論 .在三角形中計算兩向量的數量積，應注意方向及兩向量的夾角.【變式訓練2】 ABC 中， AB 4， BC 5，AC 6，求 AB·BC BC·CACA· AB.【解析】 因為 2 AB · BC 2BC · CA2CA· AB (AB· BCCA·AB)(CA· ABBC·CA)(BC·CABC· AB) AB·(BC CA)CA·( AB BC ) BC·(CA AB) AB·BACA· AC BC

19、83;CB 426252 77.77所以 AB· BC BC· CACA· AB 2.題型三平面向量的數量積的綜合問題e1，e2 分別是與 Ox，Oy 同向【例 3】數軸 Ox，Oy 交于點 O，且 xOy ，構成一個平面斜坐標系，3的單位向量，設 P 為坐標平面內一點，且OP xe12，則點 P 的坐標為 (x， y)，已知 Q( 1，2). ye(1)求 | OQ |的值及 OQ 與 Ox 的夾角；(2)過點 Q 的直線 l OQ ，求 l 的直線方程 (在斜坐標系中).1且 OQ e1 2e2，所以 OQ 2 ( e1 2e2)2 1 4 4e1· e2 3.所以 |OQ |3.2又 OQ ·e1 ( e1 2e2) · e1 e1 2e1 ? e2 0.所以 OQ e1，即 OQ 與 Ox 成 90°角 .(2)