1、1 例如，某零件(ln jin)的真實(shí)長(zhǎng)度為a，現(xiàn)用甲、乙兩臺(tái)儀器各測(cè)量10次，將測(cè)量結(jié)果X用坐標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖： aNoImage甲儀器測(cè)量結(jié)果aNoImage 乙儀器測(cè)量結(jié)果較好測(cè)量(cling)結(jié)果的均值都是 a第1頁(yè)/共22頁(yè)第一頁(yè)，共22頁(yè)。2又如,甲、乙兩門炮同時(shí)(tngsh)向一目標(biāo)射擊10發(fā)炮彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖：5甲炮射擊(shj)結(jié)果乙炮射擊(shj)結(jié)果乙炮 NoImage中心中心第2頁(yè)/共22頁(yè)第二頁(yè)，共22頁(yè)。3我們需要引進(jìn)一個(gè)量來(lái)描述r.v.X的取值分散程度(chngd)，即X的取值與E(X)的偏離程度(chngd)(XEX 偏離(pinl)的度量：平均(pn

2、gjn)偏離：()EXE X絕對(duì)值（不好研究）第3頁(yè)/共22頁(yè)第三頁(yè)，共22頁(yè)。4但是，絕對(duì)值（大 ） 平方（大)所以我們研究2()E XE X方差 定義(dngy) 設(shè)X是一隨機(jī)變量， 2()()D XE XE X)()(XDX 稱稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差(fn ch)。2()E XE X若若存在(cnzi)，則稱之為X的方差。記為D(X)或Var(X)，即方差實(shí)際上是一個(gè)特殊的函數(shù) g(X) =(X-E(X)2 的期望第4頁(yè)/共22頁(yè)第四頁(yè)，共22頁(yè)。對(duì)于(duy)離散型隨機(jī)變量X，() 1,2,kkP Xxpk其分布律為：21()()kkkD XxE Xp( ),f x其概率密度為2 ()()

3、D XEXE X事實(shí)上，2()()( )D XxE Xf x dx22()() ()D XE XE X222() ()E XXE XE X22()2 () () ()E XE X E XE X22() ()E XE X對(duì)于(duy)連續(xù)型隨機(jī)變量X，此外，利用數(shù)學(xué)期望(qwng)的性質(zhì)，可得方差得計(jì)算公式(常用)：第5頁(yè)/共22頁(yè)第五頁(yè)，共22頁(yè)。 例1：設(shè)隨機(jī)變量(su j bin lin)X具有數(shù)學(xué)期望()E X*()0()1E XD XXX證明：，稱為 的標(biāo)準(zhǔn)化變量*1()()E XE X證：2*()0XD XX方差，記1 ()0E X2*2 ()() ()D XE XE X221()

4、E X2() XE221第6頁(yè)/共22頁(yè)第六頁(yè)，共22頁(yè)。 例2：設(shè)隨機(jī)變量(su j bin lin)X具有0-1分布，其分布律為： 解：(0)1(1)()P XpP XpD X 。，求()E X0 (1) 1pp p2()E X220(1) 1ppp()D X所以 22() ()E XE X2pp(1)pp第7頁(yè)/共22頁(yè)第七頁(yè)，共22頁(yè)。 例3： 解： () 1,2, 0!keXP Xkkk的分布律為：()E X由上節(jié)例5已算得2 ()E X而22 ()() ()D XE XE X所以即泊松分布的均值與方差相等，都等于參數(shù)(1)()E X XE X(1)E X XX222(2)!kkek

5、0(1)!kkek kk22e e( )()XD X 。設(shè)，求 第8頁(yè)/共22頁(yè)第八頁(yè)，共22頁(yè)。 例4：( , )() XU a bD X。設(shè)，求22()( )E Xx f x dx22()() ()D XE XE X1 ( )0 axbbaf x其他()2abE X上節(jié)例6已算得：21baxdxba333()baba223abab2222234abababab2()12ba解：X的概率密度為：第9頁(yè)/共22頁(yè)第九頁(yè)，共22頁(yè)。 例5：設(shè)隨機(jī)變量(su j bin lin)X服從指數(shù)分布，其概率密度為：1 0( ) 0(),()0 0 xexf xE XD Xx。，求()( )E Xxf x

6、 dx解：即對(duì)指數(shù)分布而言，方差(fn ch)是均值的平方，而均值恰為參數(shù)01xxedx00|xxxeedx 22()( )E Xx f x dx201xxedx2200|22xxx exedx22()() ()D XE XE X于是 2222第10頁(yè)/共22頁(yè)第十頁(yè)，共22頁(yè)。方差(fn ch)的性質(zhì)： 22, ,()()( )X Ya b cD aXbYca D Xb D Y綜合上述三項(xiàng)，設(shè)相互獨(dú)立，是常數(shù)，則( )0CD C 1. 設(shè) 是常數(shù)，則2()()XCD CXC D X2. 設(shè) 是隨機(jī)變量， 是常數(shù)，則有,()()( )2()( ),()()( )X YD XYD XD YEXE

7、 XYE YX YD XYD XD Y3. 設(shè)是兩個(gè)隨機(jī)變量， 則有 特別，若相互獨(dú)立，則有4. ()0()1 ()D XP XCCE X且第11頁(yè)/共22頁(yè)第十一頁(yè)，共22頁(yè)。證明(zhngmng)：21. ( )( )0D CECE C22222222222. ()() ()() () () ()()D CXE CXE CXC E XCE XCE XE XC D X22223. ()()()()( ) ()( )2()( ) ()( )2()( )D XYEXYE XYEXE XYE YEXE XEYE YEXE XYE YD XD YEXE XYE Y4. 證略。,()( )()( )(

8、) ( )0()()( )X YXE XYE YEXE XYE YE XE XE YE YD XYD XD Y當(dāng)相互獨(dú)立時(shí)，與相互獨(dú)立故所以第12頁(yè)/共22頁(yè)第十二頁(yè)，共22頁(yè)。13 解：由數(shù)學(xué)期望和方差(fn ch)的性質(zhì) E(X-2Y)=E(X)-2E(Y)X與與Y 相互相互(xingh)獨(dú)立：已知獨(dú)立：已知E(X)=3；D(X)=1；E(Y)=2；D(Y)=3 。求：。求：E(X-2Y)；D(X-2Y) 。D(X-2Y)=D(X)+(-2)2D(Y) =3-2*2=-1=1+4*3=13第13頁(yè)/共22頁(yè)第十三頁(yè)，共22頁(yè)。 例6：( , )(),()Xb n pE XD X。設(shè)，求1

9、1,2,0 kAkXknAk在第 次試驗(yàn)發(fā)生在第 次試驗(yàn)不發(fā)生Xkpk011-pp12 nXXXX易知：11()()()nniiiiE XEXE Xnp故知：()()(1)E XnpD Xnpp即，11()()()(1)nniiiiD XDXD XnppXnAp。解：隨機(jī)變量 是 重伯努利試驗(yàn)中事件 發(fā)生的次數(shù)，設(shè)P(A)= 引入隨機(jī)變量：12,0 1nXXX于是相互獨(dú)立，服從同一分布：,0 1n pnp以為參數(shù)的二項(xiàng)分布變量，可分解為 個(gè)相互獨(dú)立且都服從以 為參數(shù)的分布的隨機(jī)變量之和。第14頁(yè)/共22頁(yè)第十四頁(yè)，共22頁(yè)。 例7： 解：2( ,)(),()XNE XD X 。設(shè)，求XZ先求標(biāo)

10、準(zhǔn)正態(tài)變量的數(shù)學(xué)期望和方差221( )2tZte的概率密度為：221( )02tE Ztedt于是 22()(),()()( )XZE XEZD XDZD Z因?yàn)椋?( )()D ZE Z22212tt edt222211|122ttteedt 2, 即正態(tài)分布的兩個(gè)參數(shù)分別是該分布的數(shù)學(xué)期望和方差。第15頁(yè)/共22頁(yè)第十五頁(yè)，共22頁(yè)。012121222222220111122(,) 1,2, ,(,)nnnnnniiinCC XC XC XN CXNinCCCCCCCC若且它們相互則它們的線性組合獨(dú)立是不全：為0的常數(shù) (1,3)(2,4),23( 4,48)XNYNX YZXYN如:，

11、且相互獨(dú)立，則n獨(dú)立的 個(gè)正態(tài)變量的線性組合仍服從正態(tài)分布：第16頁(yè)/共22頁(yè)第十六頁(yè)，共22頁(yè)。例8：設(shè)活塞(husi)的直徑(以cm計(jì)) 汽缸的直徑 X,Y相互獨(dú) 立，任取一只活塞(husi)，任取一只汽缸，求活 塞能裝入汽缸的概率。2(22.40,0.03 ),XN2(22.50,0.04 ),YN()(0)P XYP XY解：按題意需求2( 0.10,05 ) 0.XYN由于()(0)P XYP XY故有0( 0.10)()0.05 (2)0.9772第17頁(yè)/共22頁(yè)第十七頁(yè)，共22頁(yè)。表表1 1 幾種常見幾種常見(chn jin)(chn jin)分布的分布的均值與方差均值與方差數(shù)

12、學(xué)期望(qwng) 方差 分布(fnb)率或 密度函數(shù) 分布01分布分布 p p(1-p)二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布b(n,p) npnp(1-p)泊松分布泊松分布 均勻分布均勻分布U(a,b)指數(shù)分布指數(shù)分布正態(tài)分布正態(tài)分布1()(1)0,1kkP Xkppk1()(1)0,1,.,kkknP XkC ppkn( ) ()!0,1,.,kP Xkekk1 (),( )0,baaxbf x其它a+b22(b-a)12( )EP,0( )0,xexf x其它1212( ,)N 22()21( )2xf xex 2第18頁(yè)/共22頁(yè)第十八頁(yè)，共22頁(yè)。19幾個(gè)與期望及方差(fn ch)有關(guān)的練習(xí)題1、設(shè)X的數(shù)學(xué)(shxu)期望E(X)=2,方差D(X)=4,則E(X2)= ；2、設(shè)X B(n,p),已知E(X)=1.6 , D(X)=1.28,則 n= ; P= ;3、設(shè)X P()，且P(X=1)=P(X=2),則E(X)= , D(X)= ;8820.22第19頁(yè)/共22頁(yè)第十九頁(yè)，共22頁(yè)。20總結(jié)總結(jié)(zngji)方差的計(jì)算方法方差的計(jì)算方法 定義法：函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 方差的性質(zhì)(xngzh) 常用公式：