1、橢圓知識點知識要點小結：知識點一：橢圓的定義平面內一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數 ,這個動點的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距.注意：若，則動點的軌跡為線段；若，則動點的軌跡無圖形.知識點二：橢圓的標準方程1當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中2當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中；注意：1只有當橢圓的中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸建立直角坐標系時， 才能得到橢圓的標準方程；2在橢圓的兩種標準方程中，都有和；3橢圓的焦點總在長軸上.當焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標為，；當焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標為，知識點三：橢圓的簡單幾何性質橢圓：的簡單幾何性質（1

2、）對稱性：對于橢圓標準方程：說明：把換成、或把換成、或把、同時換成、原方程都不變，所以橢圓是以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形，并且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心。（2）范圍：橢圓上所有的點都位于直線和所圍成的矩形內，所以橢圓上點的坐標滿足，。（3）頂點：橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。橢圓與坐標軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標分別為 ， 線段，分別叫做橢圓的長軸和短軸，,。和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。（4）離心率：橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用表示，記作。因為，所以的取值范圍是。越接近1，則就越接近，從而越小，因此橢圓越扁；反之，越接

3、近于0，就越接近0，從而越接近于，這時橢圓就越接近于圓。 當且僅當時，這時兩個焦點重合，圖形變為圓，方程為。注意：橢圓的圖像中線段的幾何特征（如下圖）：（1）；（2）；（3）；知識點四：橢圓 與 的區別和聯系標準方程 圖形性質焦點，焦距 范圍，對稱性關于軸、軸和原點對稱頂點，軸長長軸長=，短軸長= 離心率準線方程焦半徑，注意：橢圓，的相同點：形狀、大小都相同；參數間的關系都有和，；不同點：兩種橢圓的位置不同；它們的焦點坐標也不相同。規律方法： 1如何確定橢圓的標準方程？ 任何橢圓都有一個對稱中心，兩條對稱軸。當且僅當橢圓的對稱中心在坐標原點，對稱軸是坐標軸，橢圓的方程才是標準方程形式。此時，橢

4、圓焦點在坐標軸上。確定一個橢圓的標準方程需要三個條件：兩個定形條件；一個定位條件焦點坐標，由焦點坐標的形式確定標準方程的類型。 2橢圓標準方程中的三個量的幾何意義橢圓標準方程中，三個量的大小與坐標系無關，是由橢圓本身的形狀大小所確定的。分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數，且三個量的大小關系為：，且。可借助右圖理解記憶： 顯然：恰構成一個直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊。3如何由橢圓標準方程判斷焦點位置橢圓的焦點總在長軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看，的分母的大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標軸上。 4方程是表示橢圓的條件方程可化為，即，所以

5、只有A、B、C同號，且AB時，方程表示橢圓。當時，橢圓的焦點在軸上；當時，橢圓的焦點在軸上。5求橢圓標準方程的常用方法： 待定系數法：由已知條件確定焦點的位置，從而確定橢圓方程的類型，設出標準方程，再由條件確定方程中的參數的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；定義法：由已知條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據定義確定方程。6共焦點的橢圓標準方程形式上的差異共焦點，則c相同。與橢圓共焦點的橢圓方程可設為，此類問題常用待定系數法求解。7判斷曲線關于軸、軸、原點對稱的依據： 若把曲線方程中的換成，方程不變，則曲線關于軸對稱； 若把曲線方程中的換成，方程不變，則曲線關于軸對稱； 若把曲線方程中的

6、、同時換成、，方程不變，則曲線關于原點對稱。8如何求解與焦點三角形PF1F2（P為橢圓上的點）有關的計算問題？ 思路分析：與焦點三角形PF1F2有關的計算問題時，常考慮到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結合的方法進行計算解題。將有關線段，有關角 ()結合起來，建立、之間的關系. 9如何計算橢圓的扁圓程度與離心率的關系？ 長軸與短軸的長短關系決定橢圓形狀的變化。離心率，因為，用表示為。顯然：當越小時，越大，橢圓形狀越扁；當越大，越小，橢圓形狀越趨近于圓。（一）橢圓及其性質1、橢圓的定義（1）平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于常數（大于|F1 F2|）的點的軌跡叫做橢圓

7、，這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距。（2）一動點到定點的距離和它到一條定直線的距離的比是一個內常數，那么這個點的軌跡叫做橢圓 其中定點叫做焦點，定直線叫做準線，常數就是離心率2、橢圓的標準方程3、橢圓的參數方程4、離心率: 橢圓焦距與長軸長之比 橢圓的準線方程左準線 右準線（二）、橢圓的焦半徑橢圓的焦半徑公式：（左焦半徑） （右焦半徑） 其中是離心率 焦點在y軸上的橢圓的焦半徑公式： （ 其中分別是橢圓的下上焦點）（三）、直線與橢圓問題（韋達定理的運用）1、弦長公式：若直線與圓錐曲線相交與、兩點，則 弦長 例1. 已知橢圓及直線yxm。（1）當直線和橢圓有公共點時，求實數m

8、的取值范圍；（2）求被橢圓截得的最長弦所在的直線的方程。2、已知弦AB的中點，研究AB的斜率和方程AB是橢圓1(a>b>0)的一條弦，中點M坐標為(x0，y0)，則AB的斜率為.運用點差法求AB的斜率，設A(x1，y1)，B(x2，y2)A、B都在橢圓上，兩式相減得0，0，即.故kAB.例、過橢圓內一點引一條弦，使弦被點平分，求這條弦所在直線的方程。（四）、四種題型與三種方法四種題型1：已知橢圓C：內有一點A（2，1），F是橢圓C的左焦點，P為橢圓C上的動點，求PA+PF的最小值。2： 已知橢圓內有一點A（2，1），F為橢圓的左焦點，P是橢圓上動點，求PA+PF|的最大值與最小值。

9、3：已知橢圓外一點A（5，6），l為橢圓的左準線，P為橢圓上動點，點P到l的距離為d，求|PA|+的最小值。4：定長為d()的線段AB的兩個端點分別在橢圓上移動，求AB的中點M到橢圓右準線的最短距離。三種方法1：橢圓的切線與兩坐標軸分別交于A,B兩點， 求三角形OAB的最小面積 。2：已知橢圓 和直線 l:x-y+9=0 ，在l上取一點M ，經過點M且以橢圓的焦 點為焦點作橢圓，求M在何處時所作橢圓的長軸最短，并求此橢圓方程 。3：過橢圓的焦點的直線交橢圓A,B兩點 ，求面積的最大值 。課堂總結（一）橢圓及其性質 （二）橢圓的焦半徑 （三）直線與橢圓問題（韋達定理的運用）（四）四種題型與三種方

10、法課后同步練習1.橢圓的焦點坐標是 , 離心率是_，準線方程是_.2.已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，過F1的直線與橢圓交于M、N兩點，則MNF2的周長為( )A8 B16 C25 D323.橢圓上一點P到一個焦點的距離為5，則P到另一個焦點的距離為（ ）A.5 B.6 C.4 D.104.已知橢圓方程為,那么它的焦距是 （ ） A.6 B.3 C.3 D. 5.如果方程表示焦點在軸上的橢圓，那么實數k的取值范圍是 A.（0，+） B.(0,2) C.(1,+) D.(0,1) 6設為定點，|=6，動點M滿足，則動點M的軌跡是（ ）A.橢圓 B.直線 C.圓 D.線段 7.已知方程+=1，表示

11、焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍為 .8.已知橢圓的兩個焦點坐標是F1（-2，0），F2（2，0），并且經過點P（），則橢圓標準方程是_ _9.過點A（-1，-2）且與橢圓的兩個焦點相同的橢圓標準方程是_ _ 10.過點P（，-2），Q（-2，1）兩點的橢圓標準方程是_ _ _11.若橢圓的離心率是，則k的值等于 .12.已知ABC的頂點B、C在橢圓y21上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則ABC的周長是 .13.F1、F2分別為橢圓+=1的左、右焦點，點P在橢圓上，POF2是面積為的正三角形，則b2的值是 14.設M是橢圓上一點，F1、F2為焦點，則 15.在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為，焦點到相應準線的距離為1，則該橢圓的離心率為(A) (B) (C) (D)16.設是右焦點為的橢圓上三個不同的點，則“成等差數列”是“”的（ ）（A）充要條件 （B）必要不充分條件 （C）充分不必要條