1、(4.9)D 定理定理4.14 (泰勒定理泰勒定理) 設設f(z)在區域在區域D內解析內解析,aD,只要只要K:|z-a|R含于含于D,則則f(z)在在K內能展成內能展成如下冪級數如下冪級數 0( )()nnnfzcza(4.8)其中系數( )11( )( )2()!nnnpffacdian(:|,0;0,1,2,)zR n展式是唯一的.4.3.1.泰勒泰勒(Taylor)定理定理KaK 證證:證明的關鍵是利用柯西積分公式及如下證明的關鍵是利用柯西積分公式及如下熟知的公式熟知的公式:011nnuu(|u|1).(4.10)總有一個圓周總有一個圓周:|(0),aR使點使點z含在含在 (圖圖4.1

2、中虛線表中虛線表). azD圖圖4.1的內部的內部zK (2)1()pziffzd()fz 我們設法將被積式我們設法將被積式:由柯西積分公式得由柯西積分公式得表示為一個含有表示為一個含有z-a的正冪次級數的正冪次級數.為此改寫：為此改寫：( )( )( )()11fffzzaaaaaz(4.11)由由 時時|,|1zazaa應用公式應用公式(4.10),我們有我們有0,1()1nnzazaaa右端的級數在右端的級數在 上上(關于關于 )是一致收斂的是一致收斂的.( )fa于是于是(4.11)表示為表示為 上一致收斂級數上一致收斂級數01()(,)()nnnfafzaa 將將上上式式沿沿積積分分

3、，并并以以乘乘所所得得結結果果根根據據逐逐項項積積分分定定理理即即得得1.2,i 以在以在 上的有界函數上的有界函數一致收斂級數一致收斂級數相乘相乘,仍然得到仍然得到 上的上的( )1( )2pf zdfiz10( ),1()2nnpnzaifda由定理3.13知()11()( ),2()!nnpffadian最后得出0.)()(nnnazczf其中的系數由其中的系數由Cn公式公式(4.9)給出給出.上面證明對于上面證明對于任意任意z均成立均成立,故定理的前半部分得證故定理的前半部分得證.下面證明展式是唯一的下面證明展式是唯一的. 設另有展式設另有展式0( ) () (:|).nnnf zcz

4、 azKz aR 由定理由定理4.13(3)即知即知nnncnafc!)()(n=0,1,2,),故展式是唯一的故展式是唯一的. 定義定義4.8 (4.8)稱為稱為f(z)在點在點a的的泰勒展式泰勒展式,(4.9)稱為其稱為其泰勒系數泰勒系數,而而(4.8)右邊的級數右邊的級數,則稱則稱為為泰勒級數泰勒級數.0( )() (5.8 )nnnf zcza ( )11( )( ) (4.9 )2()!nnnffacdian 定理定理4.15 f(z)在區域在區域D內解析的充要條件為內解析的充要條件為:f(z)在在D內任一點內任一點a的鄰域內可展成的鄰域內可展成z-a的冪級數的冪級數,即泰勒級數即泰

5、勒級數. 由第三章的柯西不等式知若由第三章的柯西不等式知若f(z)在在|z-a|0,且)|:|( ,)()(0RazKzazczfnnn則則f(z)在收斂圓周在收斂圓周C:|z-a|=R上至少有一奇點上至少有一奇點,即即不可能有這樣的函數不可能有這樣的函數F(z)存在存在,它在它在|z-a|R內與內與f (z)恒等恒等,而在而在C上處處解析上處處解析. 證 假若這樣的F(z)存在,這時C上的每一點就都是某圓O的中心,而在圓O內F(z)是解析的.z1a0()nnnczaK/:|z-a|R+內是解析的.于是F(z)在K/可開為泰勒級數.但因在|z-a|0表示C到G的邊界的距離(參看第三章定理3.3

6、注).于是F(z)在較圓K大的同心圓z1z2z3z2z5z2z6z8z9z10a注 (1)縱使冪級數在其收斂圓周上處處收斂,其和函數在收斂圓周上仍然至少有一個奇點. 232222( )123nzzzzfzn21( )123nzzzfzn(2)這個定理,一方面建立了冪級數的收斂半徑與此冪級數所代表的函數的性質之間的密切關系;同時還表明冪級數的理論只有在復數域內才弄的完全明白.2462111xxxx 常用方法常用方法: 直接法和間接法直接法和間接法. .1.直接法直接法:,2,1 ,0, )(!10)( nzfncnn. )( 0展開成冪級數展開成冪級數在在將函數將函數zzf由泰勒展開定理計算系數

7、由泰勒展開定理計算系數例例1. 0 的泰勒展開式的泰勒展開式在在求求 zez),2,1 ,0(,1)(0)( neznz故有故有 02! 21nnnznznzzze, 在復平面內處處解析在復平面內處處解析因為因為ze. R所以級數的收斂半徑所以級數的收斂半徑,)( )(znzee 因為因為仿照上例仿照上例 , ,)!12()1(! 5! 3sin1253 nzzzzznn)( R,)!2()1(! 4! 21cos242 nzzzznn)( R. 0 cos sin 的泰勒展開式的泰勒展開式在在與與可得可得 zzz2. 間接展開法間接展開法 : 借助于一些已知函數的展開式借助于一些已知函數的展

8、開式 , 結合解析結合解析函數的性質函數的性質, 冪級數運算性質冪級數運算性質 (逐項求導逐項求導, 積分積分等等)和其它數學技巧和其它數學技巧 (代換等代換等) , 求函數的泰勒展求函數的泰勒展開式開式.間接法的優點間接法的優點: : 不需要求各階導數與收斂半徑不需要求各階導數與收斂半徑 , 因而比直因而比直接展開更為簡潔接展開更為簡潔 , 使用范圍也更為廣泛使用范圍也更為廣泛 .例例2 . 0 sin 的泰勒展開式的泰勒展開式在在利用間接展開法求利用間接展開法求 zz)(21sinizizeeiz 012)!12()1(nnnnz 00!)(!)(21nnnnniznizi01( )()2

9、!nnnizizinn 01(1( ) )2!nnnnizin 02(1( ) )2( 1)210,1,2,nnknkiinkk 附附: 常見函數的泰勒展開式常見函數的泰勒展開式,! 21)102 nnnznznzzze,111)202 nnnzzzzz,) 1() 1(111)302 nnnnnzzzzz,)!12()1(! 5! 3sin)41253 nzzzzznn)1( z)1( z)( z)( z242205)cos1( 1)( 1),2!4!(2 )!(2 )!nnnnnzzzzznn )( z,1)1(32)1ln()6132 nzzzzznn 011)1(nnnnz)1( z

10、32! 3)2)(1(! 2)1(1)1( )7zzzz ,!)1()1( nznn )1( z例例3 3. )1(1 2的的冪冪級級數數展展開開成成把把函函數數zz 解解 nnzzzz) 1(11121 z4.3.4 4.3.4 典型例題典型例題, 11)1(12 zzz上上有有一一奇奇點點在在由由于于,1內內處處處處解解析析且且在在 z,的冪級數的冪級數可展開成可展開成 z zz11)1 (12. 1,)1(321112 znzzznn上式兩邊逐項求導上式兩邊逐項求導,例例4 4. 0 )1ln( 泰勒展開式泰勒展開式處的處的在在求對數函數的主值求對數函數的主值 zz分析分析, 1 , 1

11、 )1ln( 是它的一個奇點是它的一個奇點平面內是解析的平面內是解析的向左沿負實軸剪開的向左沿負實軸剪開的在從在從 z. 1 的冪級數的冪級數內可以展開成內可以展開成所以它在所以它在zz 如圖如圖,1 Ro1 1xyzzzzzznnnd)1(d11000 即即 1)1(32)1ln(132nzzzzznn1 z 將展開式兩端沿將展開式兩端沿 C 逐項積分逐項積分, 得得解解zz 11)1ln( 02) 1() 1(1nnnnnzzzz)1( z, 0 1 的的曲曲線線到到內內從從為為收收斂斂圓圓設設zzC 例例5 5. 231)( 的的冪冪級級數數展展開開成成把把函函數數zzzf 解解2311

12、21231zz )23()23(231 212 nzzz 1322223232321nnnzzz,2301 nnnnz. 32, 123 zz即即例例6 6 .0arctan的的冪冪級級數數展展開開式式在在求求 zz解解,1darctan02 zzzz因因為為1,)()1(11 022 zzznnn且且 zzzz021darctan所所以以 znnnzz002d)()1(. 1,12)1(012 znznnn例例7 7.cos2的的冪冪級級數數求求z解解),2cos1(21cos2zz 因為因為 ! 6)2(! 4)2(! 2)2(12cos642zzzz zzzz! 62! 42! 2216

13、64422)2cos1(21cos2zz 所所以以 zzzz! 62! 42! 22165432例例8 8.1展展為為麥麥克克勞勞林林級級數數將將zez 解解,1)(zezfz 令令即微分方程即微分方程0)()()1( zzfzfz對微分方程逐次求導得對微分方程逐次求導得:, 1所所以以收收斂斂半半徑徑為為, 1 內內進進行行展展開開可可在在 z, 11 zzez的的唯唯一一奇奇點點為為因因為為求求導導得得對對)(zf,1)(zzezfz , 2)0(, 1)0(, 0)0(, 1)0( ffff得得由由的的麥麥克克勞勞林林級級數數為為所所以以)(zf. 1,31211132 zzzzez0)()()1()()1( zfzfzzfz0)()2()()1( zfzzfz4.3.5、小結與思考 通過本課的學習通過本課的學習, 應理解泰勒展開定理應理解泰勒展開定理,熟記熟記五個基本函數的泰勒展開式五個基本函數的泰勒展開式,掌握將函數展開成掌握將函數展開成泰勒級數的方法泰勒級數的方法, 能比較熟練的把一些解析函數能比較熟練的把一些解析函數展開成泰勒級數展開成泰勒級數.奇、偶函數的泰勒級數有什么特點奇、偶函數的泰勒級數有什么特點?思考題思考題 奇函數的泰勒級數