1、圓錐曲線的方程與性質1橢圓（1）橢圓概念平面內與兩個定點 F、 F2 的距離的和等于常數2 a （大于 | F F2 | ）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓11的焦點，兩焦點的距離2c 叫橢圓的焦距。若M 為橢圓上任意一點，則有| MF1 | | MF 2 |2a 。橢圓的標準方程為：x2y21（ a b0y2x 21（ ab 0 ）（焦點在 y 軸a2b2）（焦點在 x 軸上）或2b 2a上）。注：以上方程中a,b 的大小 ab0 ，其中 b2a2c2 ；在 x2y21 和 y2x21 兩個方程中都有 ab0 的條件，要分清焦點的位置，只要看x2 和 y2的分a2b2a2b2母的大小。

2、例如橢圓x2y2（ m0， n 0 ， mn ）當 mn 時表示焦點在 x 軸上的橢圓；當 mn 時m1n表示焦點在y 軸上的橢圓。（2）橢圓的性質x2y21 知 | x | a ， | y | b ，說明橢圓位于直線 xa ， yb 所圍成的矩形里；范圍：由標準方程b2a2對稱性：在曲線方程里，若以y 代替 y 方程不變，所以若點(x, y) 在曲線上時，點(x, y) 也在曲線上，所以曲線關于 x 軸對稱，同理，以x 代替 x 方程不變，則曲線關于y 軸對稱。若同時以x 代替 x ， y 代替 y方程也不變，則曲線關于原點對稱。所以，橢圓關于x 軸、 y 軸和原點對稱。這時，坐標軸是橢圓的

3、對稱軸，原點是對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心；頂點：確定曲線在坐標系中的位置，常需要求出曲線與x 軸、 y 軸的交點坐標。在橢圓的標準方程中，令x0 ，得 yb ，則 B1(0,b) ， B2 (0, b) 是橢圓與 y 軸的兩個交點。同理令y0 得 xa ，即 A1 ( a,0) ，A2 (a,0) 是橢圓與 x 軸的兩個交點。所以，橢圓與坐標軸的交點有四個，這四個交點叫做橢圓的頂點。同時，線段A1 A2 、 B1B2 分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為2a 和 2b ， a 和 b 分別叫做橢圓的長1 / 15半軸長和短半軸長。由橢圓的對稱性知： 橢圓的短軸端點到焦點的距離為a

4、 ；在 Rt OB2 F2 中，| OB2 |b ，|OF2 | c ，| B2 F2 | a ，且 |OF2 |2 | B2 F2 |2| OB2 |2 ，即 c2a2b2 ；離心率： 橢圓的焦距與長軸的比ec0e1，且 e 越接近 1， c 就叫橢圓的離心率 。 a c 0 ，a越接近 a ，從而 b 就越小，對應的橢圓越扁；反之，e 越接近于 0 ， c 就越接近于0 ，從而 b 越接近于 a ，這時橢圓越接近于圓。當且僅當a b 時， c0 ，兩焦點重合，圖形變為圓，方程為x2y2a2 。2雙曲線（ 1）雙曲線的概念平面上與兩點距離的差的絕對值為非零常數的動點軌跡是雙曲線（| PF1

5、| | PF2 |2a ）。注 意 ： 式 中 是 差 的 絕 對 值 ， 在 02a | F1 F2 | 條 件 下 ； | PF1 | | PF2 | 2a 時 為 雙 曲 線 的 一 支 ；| PF2 | PF1 |2a時為雙曲線的另一支（含F1 的一支）；當 2a| F1F2 | 時， | PF1 | PF2 |2a表示兩條射線；當 2a | F1F2| 時， | PF1 | PF2 | 2a 不表示任何圖形；兩定點F1 , F2 叫做雙曲線的焦點，| F1F2 | 叫做焦距。（ 2）雙曲線的性質范圍：從標準方程x 2y21 ，看出曲線在坐標系中的范圍：雙曲線在兩條直線xa 的外側。即

6、a 2b2x2a 2 ， xa 即雙曲線在兩條直線xa 的外側。對稱性：雙曲線x 2y 21關于每個坐標軸和原點都是對稱的，這時，坐標軸是雙曲線的對稱軸，原點a2b2是雙曲線 x 2y 21的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。a 2b 2頂點：雙曲線和對稱軸的交點叫做雙曲線的頂點。在雙曲線x2y 2x, y 軸，所a 21的方程里，對稱軸是b2以令 y0 得 xa ，因此雙曲線和x 軸有兩個交點 A ( a,0) A2 ( a,0)，他們是雙曲線x 2y21 的頂點。a 2b2令 x0，沒有實根，因此雙曲線和y 軸沒有交點。2 / 151）注意：雙曲線的頂點只有兩個，這是與橢圓不同的

7、（橢圓有四個頂點），雙曲線的頂點分別是實軸的兩個端點。22叫做雙曲線的實軸，它的長等于2a, a叫做雙曲線的實半軸長。虛軸：線段2）實軸：線段A AB B 叫做雙曲線的虛軸，它的長等于2b,b 叫做雙曲線的虛半軸長。漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從圖上看，雙曲線x2y2a21 的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近。b2等軸雙曲線：1）定義： 實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式： ab ；2）等軸雙曲線的性質： （ 1）漸近線方程為： yx ；（ 2）漸近線互相垂直。注意以上幾個性質與定義式彼此等價。亦即若題目中出現上述其一，

8、即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時其他幾個亦成立。3a b220x 軸，）注意到等軸雙曲線的特征，則等軸雙曲線可以設為：，當時交點在當 0時焦點在 y 軸上。注意 x 2y 21與 y2x21 的區別：三個量a,b, c 中 a,b 不同（互換） c 相同，還有焦點所在的坐標169916軸也變了。3拋物線（1）拋物線的概念平面內與一定點F 和一條定直線l 的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(定點 F 不在定直線l 上 )。定點 F 叫做拋物線的焦點，定直線l 叫做拋物線的準線。方程 y 22 pxp0 叫做拋物線的標準方程。注意：它表示的拋物線的焦點在x 軸的正半軸上，焦點坐標是F（ p ,0 ），

9、它的準線方程是xp；22（ 2）拋物線的性質一條拋物線，由于它在坐標系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標準方程還有其他幾種形式： y22 px ， x22 py ， x 22 py .這四種拋物線的圖形、標準方程、焦點坐標以及準線方程如下表：3 / 15y22 pxy22 pxx22 pyx22 py標準方程0)( p0)( p0)( p0)( pFl yyy圖形loxo FxFoxl焦點坐標( p ,0)(p ,0)(0, p )(0,p )2222準線方程pxpypypx2222范圍x 0x0y0y0對稱性x 軸x 軸y 軸y 軸頂點(0,0)(0,0)(0,0)(0

10、,0)離心率e 1e1e1e1說明：（1）通徑： 過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑；（ 2）拋物線的幾何性質的特點：有一個頂點，一個焦點，一條準線，一條對稱軸，無對稱中心，沒有漸近線；（ 3）注意強調 p 的幾何意義：是焦點到準線的距離。4. 高考數學圓錐曲線部分知識點梳理一、方程的曲線：在平面直角坐標系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點的集合或軌跡) 上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數解建立了如下的關系：(1) 曲線上的點的坐標都是這個方程的解；(2) 以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點，那么這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線。點與曲線的關系：若曲線C 的

11、方程是f(x,y)=0，則點 P0(x 0,y 0) 在曲線 C 上f(x 0,y0)=0 ；點P0(x 0,y 0) 不在曲線C 上f(x 0,y 0) 0。兩條曲線的交點：若曲線C1， C2 的方程分別為f 1(x,y)=0,f2(x,y)=0,則點 P0(x 0,y 0) 是 C1， C2 的交點f1( x0 , y0 )0n 個不同的交點；方程組沒有實數解，曲線就沒方程組有 n 個不同的實數解，兩條曲線就有f 2 ( x0 , y0 )0有交點。二、圓：1、定義： 點集 M OM=r ，其中定點 O為圓心，定長r 為半徑 .4 / 152、方程： (1)標準方程：圓心在c(a,b)，半

12、徑為 r 的圓方程是 (x-a)2+(y-b) 2=r 2圓心在坐標原點，半徑為r 的圓方程是 x2+y 2=r 2(2) 一般方程：當2222(D ,E ) 半徑D +E -4F 0時，一元二次方程 x +y +Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程，圓心為22是 D 2E 24 F。配方，將方程x2+y 2+Dx+Ey+F=0化為 (x+ D ) 2+(y+E ) 2= D 2E 2 - 4F2D ,-E );224當 D2+E2-4F=0 時，方程表示一個點(-22當 D2+E2-4F 0 時，方程不表示任何圖形 .（ 3）點與圓的位置關系已知圓心 C(a,b),半徑為 r, 點 M的坐標為

13、 (x0,y ) ，則 MC r點 M在圓 C內，0MC =r點 M在圓 C上， MC r點 M在圓 C內，其中 MC =(x 0 - a)2(y 0 - b) 2 。（ 4）直線和圓的位置關系：直線和圓有相交、相切、相離三種位置關系：直線與圓相交有兩個公共點；直線與圓相切有一個公共點；直線與圓相離沒有公共點。直線和圓的位置關系的判定：(i) 判別式法； (ii) 利用圓心 C(a,b)到直線 Ax+By+C=0的距離 dAaBb CA2B2與半徑 r 的大小關系來判定。三、圓錐曲線的統一定義：平面內的動點P(x,y) 到一個定點 F(c,0)的距離與到不通過這個定點的一條定直線l 的距離之

14、比是一個常數 e(e 0), 則動點的軌跡叫做圓錐曲線。其中定點F(c,0) 稱為焦點，定直線 l 稱為準線，正常數 e 稱為離心率。當 0 e1 時，軌跡為橢圓；當 e=1 時，軌跡為拋物線；當 e 1 時，軌跡為雙曲線。四、橢圓、雙曲線、拋物線：橢圓雙曲線拋物線1到兩定點 F1,F 2 的距離之和為定值 2a(2a>|F F |)1到兩定點 F1,F 2 的距離之差的的12絕對值為定值 2a(0<2a<|F 1F2|)點的軌跡與定點和直線的距離相等的定義的點的軌跡2與定點和直線的距離之點的軌跡 .2與定點和直線的距離之比為比為定值e 的點的軌跡 .定值 e 的點的軌跡 .

15、 （ e>1）（ 0<e<1）點集： (M MF1+ MF2點集： M MF1 - MF2 .點集 M MF =點 M到直軌跡條件=± 2a, F2F2 2a.線 l 的距離 .=2a, F 1F2 2a.圖形5 / 15方x2y 2x 2y 2標準1( a b >0)1(a>0,b>0)方程a 2b2a 2b2程參數xa cosxasecyb sinyb tan方程(參數 為離心角）(參數 為離心角）范圍 a x a， b y b|x|a ，y R中心原點 O（ 0，0）原點 O（ 0， 0）頂點(a,0), ( a,0),(a,0), ( a,

16、0)(0,b) , (0, b)對稱軸x 軸， y 軸；x 軸， y 軸 ;長軸長 2a, 短軸長 2b實軸長 2a,虛軸長 2b.焦點F1(c,0), F2( c,0)F1(c,0), F2( c,0)22y22 pxx2 pt 2 (t 為參數 )y 2 ptx 0(0,0)x 軸pF (,0)x=± ax=± ax=-p準 線cc2準線與焦點位于頂點兩側，準線垂直于長軸，且在橢圓準線垂直于實軸， 且在兩頂點的外 .內側 .且到頂點的距離相等 .焦距2c（ c=a 2b2）2c （ c= a2b2）離心率ec (0e1)ec (e1)e=1aa【備注 1】雙曲線：等軸雙

17、曲線：雙曲線x 2 y 2a2 稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為yx ，離心率 e2 .共軛雙曲線： 以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線， 叫做已知雙曲線的共軛雙曲線 . x2y2與a 2b 2x2y 2互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：x 2y20.a 2b 2a 2b2共漸近線的雙曲線系方程：x2y 2(0) 的漸近線方程為x 2y 20 如果雙曲線的漸近線為xy時，a2b 2a 2b 2a0b6 / 15它的雙曲線方程可設為x 2y2(0) .a 2b 2【備注 2】拋物線：（ 1）拋物線 y2 =2px(p>0) 的焦點坐標是 (p ,0) ，準線方程 x=-p ，開

18、口向右；拋物線y2 =-2px(p>0)的焦點坐22標是 (- p ,0) ，準線方程 x=p ，開口向左；拋物線x2=2py(p>0) 的焦點坐標是 (0,p ) ，準線方程 y=-p，開2222口向上；拋物線 x2 =-2py （ p>0）的焦點坐標是（0,-p ），準線方程 y=p ，開口向下 .22p ；拋物線 y2 =-2px(p>0)（ 2）拋物線 y 2 =2px(p>0) 上的點 M(x0,y0)與焦點 F 的距離 MFx0上的點 M(x0,y0)2與焦點 F 的距離MFpx02p ，頂點到準線的距離p ，焦點（ 3）設拋物線的標準方程為y2=2p

19、x(p>0) ，則拋物線的焦點到其頂點的距離為22到準線的距離為 p.（ 4）已知過拋物線y 2=2px(p>0)焦點的直線交拋物線于A、B 兩點，則線段 AB稱為焦點弦， 設 A(x1,y1),B(x2,y2)，則弦長 AB = x1x2 +p 或 AB2 p( 為直線 AB的傾斜角 ) ， y1 y2p 2 ， x1 x2p2, AFx1p (AFsin 242叫做焦半徑 ).五、坐標的變換：（ 1）坐標變換：在解析幾何中，把坐標系的變換( 如改變坐標系原點的位置或坐標軸的方向) 叫做坐標變換 . 實施坐標變換時，點的位置，曲線的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改變點的坐標與曲

20、線的方程.（ 2）坐標軸的平移：坐標軸的方向和長度單位不改變，只改變原點的位置，這種坐標系的變換叫做坐標軸的平移，簡稱移軸。（ 3）坐標軸的平移公式：設平面內任意一點M，它在原坐標系 xOy 中的坐標是（ x,y) ，在新坐標系 x O y中的坐標是 ( x' , y' ) . 設新坐標系的原點O在原坐標系 xOy 中的坐標是 (h,k)xx'hx'xh，則yy'k或yky'叫做平移 ( 或移軸 ) 公式 .（ 4）中心或頂點在 (h,k)的圓錐曲線方程見下表：方程焦 點焦線對稱軸(x - h)2+ (y - k)2x=± a2x=h=

21、1( ± c+h,k)+hy=ka2b2c橢圓(x - h)2+ (y - k)2y=± a2x=h=1(h, ± c+k)+ky=kb 2a 2c7 / 15222x=h(x - h)- (y - k)=1( ± c+h,k)x=± a+ky=ka2b2c雙曲線222x=h(y - k)- (x - h)=1(h,± c+h)y=± a+ky=ka 2b 2c(y-k)2=2p(x-h)( p +h,k)x=-p +hy=k22(y-k)2=-2p(x-h)(-p +h,k)x=p +hy=k22拋物線(x-h)2(h,p

22、+k)y=-p+kx=h=2p(y-k)22(x-h)2=-2p(y-k)(h,-p +k)y=p +kx=h22六、橢圓的常用結論：1. 點 P 處的切線 PT 平分 PF1F2在點 P 處的外角 .2. PT平分 PF1F2在點 P 處的外角，則焦點在直線 PT上的射影 H 點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點 .3. 以焦點弦 PQ為直徑的圓必與對應準線相離 .4.以焦點半徑PF1 為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內切.5.x2y21 上，則過x0 xy0 y1.若 P0 ( x0 , y0 ) 在橢圓b2P0 的橢圓的切線方程是b2a2a26.若 0 00)在橢圓 x2y21

23、外，則過0 作橢圓的兩條切線切點為P1、 P2，則切點弦 P1P2 的直線方程是P ( x , ya2b2Px0 xy0 y1.a2b27.橢圓 x2y212，則橢圓的焦點a2b21 (a b 0) 的左右焦點分別為 F ， F ，點 P 為橢圓上任意一點F1PF2角形的面積為 S F PFb2 tan .1228.橢圓 x2y21 （a b 0）的焦半徑公式a2b2| MF1 | a ex0 ,| MF2 | aex0 ( F1 ( c,0) ,F2 (c,0)M ( x0 , y0 ) ).8 / 159.設過橢圓焦點F 作直線與橢圓相交P 、 Q兩點， A為橢圓長軸上一個頂點，連結AP

24、和 AQ分別交相應于焦點F 的橢圓準線于M、 N 兩點，則MF NF.10.過橢圓一個焦點F 的直線與橢圓交于兩點P、 Q, A 1、 A2 為橢圓長軸上的頂點，A1P 和 A2Q交于點 M，A2P 和 A1Q交于點 N，則 MF NF.11.AB是橢圓x2y21的不平行于對稱軸的弦， M( x0 , y0 ) 為 AB的中點，則 kOM kABb2a2b2a2 ，即K ABb 2 x0。a2 y012.若 P0 ( x0 , y0 ) 在橢圓x2y2x0 x y0 y x0 2y0 2；a2b21 內，則被 Po 所平分的中點弦的方程是a2b2a2b2【推論】：x2y2x2y2x0 x y0

25、 y。橢圓x2y211、若 P0 ( x0 , y0 ) 在橢圓2b21內，則過 Po 的弦中點的軌跡方程是2b2a2b2a2b2aa（ a b o）的兩個頂點為A1( a,0) , A2 (a,0) ，與 y 軸平行的直線交橢圓于1、 21 12 2P P時 A P 與 A P 交點的軌跡方程是 x2y21.a2b22、過橢圓 x2y21 (a 0, b 0) 上任一點 A(x0 , y0 ) 任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B,C 兩點，則直a2b2線 BC有定向且 kBCb2 x0 （常數） .a2 y03、若 P 為橢圓 x2y21（ ab 0）上異于長軸端點的任一點,F 1, F

26、2 是焦點 ,PF1F2,PF2 F1，a2b2則 actan2co t .ac24、設橢圓 x2y21（ a b 0）的兩個焦點為 F1、F2,P（異于長軸端點）為橢圓上任意一點，在PF1F2 中，記a2b2F1 PF2,PF1F2,F1 F2 P，則有sincsine.sina5、若橢圓 x2y21（ a b 0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為 L，則當 0e21時，可在橢圓上a2b2求一點 P，使得 PF 是 P 到對應準線距離 d 與 PF 的比例中項 .126、 P 為橢圓 x2y21（ a b 0）上任一點 ,F 1,F 2 為二焦點， A 為橢圓內一定點，則a2b29 /

27、 152a| AF2 | | PA | PF1 |2a| AF1 | , 當且僅當A, F2 , P 三點共線時，等號成立 .7、橢圓 (xx0 ) 2( yy0 ) 21與直線 AxByC 0 有公共點的充要條件是a2b2A2a 2B2b 2( Ax0By 0C ) 2 .8、已知橢圓 x2y21（ a b 0）， O為坐標原點， P、 Q為橢圓上兩動點，且OPOQ . （ 1）a2b21111224a2b2a2b22 .22a22 ; （ 2） |OP| +|OQ|的最大值為a2b2 ; （ 3） S OPQ 的最小值是a2b| OP | | OQ |b9、過橢圓 x2y21（ ab 0）

28、的右焦點 F 作直線交該橢圓右支于M,N兩點，弦 MN的垂直平分線交x 軸于 P，a2b2則 | PF |e .| MN |210、已知橢圓 x2y21（ a b 0） ,A 、B、是橢圓上的兩點， 線段 AB的垂直平分線與 x 軸相交于點 P( x0 ,0) ,a2b2a2b2a2b2則ax0a.11、設 P 點是橢圓x2y21 （ a b0）上異于長軸端點的任一點,F 1、 F2 為其焦點記F1 PF2，則a2b2(1) | PF1 | PF2 |2b2.(2)S PF Fb2 tan .1 cos12212、設 A、 B 是橢圓 x2y21（ a b0）的長軸兩端點，P 是橢圓上的一點，

29、PAB,a2b2PBA,BPA， c、e 分別是橢圓的半焦距離心率，則有2ab2 | cos|(1) | PA |c2 cos2.(2)a2tantan1e2 .(3)S PAB2a2b2cot.b2a213、已知橢圓 x2y21（ a b 0）的右準線 l 與 x 軸相交于點 E ，過橢圓右焦點F 的直線與橢圓相交于 A、a2b2B 兩點 , 點 C 在右準線 l 上，且 BCx 軸，則直線 AC經過線段 EF 的中點 .14、過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直.15、過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連

30、線必與焦半徑互相垂直.10 / 1516、橢圓焦三角形中, 內點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數e( 離心率 ).（注 : 在橢圓焦三角形中 , 非焦頂點的內、外角平分線與長軸交點分別稱為內、外點. ）17、橢圓焦三角形中, 內心將內點與非焦頂點連線段分成定比e.18、橢圓焦三角形中, 半焦距必為內、外點到橢圓中心的比例中項.七、雙曲線的常用結論：1、點 P處的切線 PT 平分 PF F 在點 P 處的 內角 .122、 PT 平分 PF1F2 在點 P 處的內角，則焦點在直線PT 上的射影 H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點 .3、以焦點弦 PQ為直徑的圓必與對應準線 相交 .4、以焦點半徑 PF1 為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切 . （內切： P 在右支；外切： P 在左支）x2y21（ a 0,b 0）上，則過 P0 的雙曲