1、一、物理背景無論是船舶還是海洋平臺在海洋開發中都起著關鍵的作用，而開發海洋首先需要對海洋結構物進行深入地研究。這其中，水動力學中的附加質量是研究的重要方面，掌握物體附加質量的計算無疑具有重要的意義。附加慣性力的存在使物體在理想流體中的變速運動相當于物體自身質量上增加了一個附加質量而在真空中運動，換句話說，理想流體增大了物體的慣性，使物體很難加速也難減速。計算機是求解附加質量的重要工具，本課程設計主要依據分布源模型的面元法等知識來對圓球、橢球、圓柱、雙橢球的附加質量進行數值模擬計算，并進行相關討論。二、理論依據用表示無界流中的物體表面，來流為均勻流，其未擾動速度或無窮遠處的速度為 (2.1.1)

2、用表示定常速度勢，它在物體外部空間域中適合拉普拉斯方程，在物面上適合不可進入條件，在無窮遠處，應該與均勻來流的速度勢吻合，即（物體外） (2.1.2)（物面上） (2.1.3)（無窮遠處）其中,單位法線向量指向物體內部。在速度勢中分出已知的均勻來流項，記 (2.1.4)這里的是擾動速度勢，應適合以下定解條件：（物體外） (2.1.5) （物面上） (2.1.6)（無窮遠處） (2.1.7)易知過物面的通量為零，即所以遠方條件(2.1.7)可進一步具體化為 （） (2.1.8)用表示點和之間的距離，對函數和在物面外部和遠方控制面的內部之空間域內用格林公式，當點在上述空間域內時 (2.1.9)從的

3、遠方條件(2.1.8)可知，上積分趨于零，式(2.1.9)成為 (2.1.10)其中, 是物面外的任意一點。在物體的內部域中構造一個合適的內部解，它在內部適合拉普拉斯方程，在物面上適合某種物面條件，其具體形式將在下面給出。對于上述物體外部的點函數在物體內部域中沒有奇點，在內部域中對函數和用格林公式，得到 (2.1.11)式(2.1.10)和(2.1.11)中的是物體外部同一個點，把兩式相減，得到 (2.1.12)在物面上取適合下述兩種物面條件，得到兩種的定解條件，一種是： (2.1.13)定解問題(2.1.13)是拉普拉斯方程的第一類邊值問題，它的解是存在且唯一的。取式(2.1.12)中的內部

4、解為式(2.1.13)所決定的函數，則式(2.1.12)成為 (2.1.14)其中 (2.1.15)式(2.1.14)表示擾動速度勢可以用物面上的分布源表示，其中分布源密度是未知函數，將由擾動勢的物面條件（2.1.6）來決定。物體的附加質量，表示物體沿方向運動引起的方向的附加質量，公式如下: (2.2.1)利用式(2.1.14)，再結合物面條件，得到 (2.3.1)這就是分布源密度所適合的線性積分方程。把積分方程(2.3.1)轉換成線性代數方程組，即用離散量代替連續變量。把物面分成小塊，記 (2.3.2)用平面四邊形或三角形來近似代替小曲面。具體做法如下，取第小塊的四個頂點坐標之算術平均值，得

5、到中心點的坐標。計算對角線向量的向量積（指向與曲面法線指向相符合），用表示該方向上的單位向量，形成以為法線且通過中心點的平面，再把四個頂點向該平面作投影，以四個投影點為頂點組成平面四邊形，用代替原來的小曲面，稱為單元。通常把小范圍內的分布源密度作為常數，因此只要分割不太粗，可以認為在單元上為常數，記作，從而 (2.3.3)因此物面上的積分可以用個平面四邊形（三角形）上積分之和來近似，即 (2.3.4)上式左端的未知量是連續型變量，而上式右端的未知量是個離散量。為了求解這個未知數，須要個方程。取積分方程(2.3.1)中的動點為個單元的中心點，稱之為控制點，即控制物面條件使之成立的點。用近似式(2

6、.3.4)代替積分方程(2.3.1)的左端，便可以寫出的階線性代數方程組： (2.3.5)其中 稱為影響系數，即第個單元上的分布源在第個控制點上的影響。求解線性代數方程組(2.3.5)得到的值以后，便可以得到速度勢在控制點處的值，即 (2.3.6) (2.3.7)另外，物面上的誘導速度為 (2.3.8)其中表示求和是不計這一項。，這里的曲面法線指向物體內部。三、數值模型將物體表面劃分成四邊形面面元，物面為，每一個四邊形面面元為。為了簡化計算，將面網格投影到各自對應的平面上，使曲面網格變為平面網格。投影的方法為： 取四個頂點坐標之平均值，作為中心點的坐標。計算對角線連線向量的向量積并使得積的方向

7、與流域法向相同。用表示該方向上的單位向量。設：的坐標為：則取投影面為過并以為法向量的平面：設在該平面上的投影點為：而曲面四邊形某個頂點為：則有：因此得到由頂點坐標求解投影點（頂點）坐標的線性方程組： 由此線性方程組可解出投影點坐標。 假設速度勢和分布源在上是不變的，其值為該單元中點（控制點）處的速度勢或分布源。由于所求速度勢和速度等物理量均為物面上的物理量，因此要令點落在物面之上。式右端分布源的法向導數極限由兩部分組成，一部分是P點附近小曲面的貢獻，另一部分是屋面其余部分貢獻。當所趨近于的物面上的點作為控制點的單元，積分時需要考慮奇異性；其余部分為。設其中一單元為單元，其余模型為單元。對于每一

8、個控制點，令循環一次求得前述方程的積分項（包括奇異積分）。再由可以得到組方程，進而形成求解各個控制點處物理量的矩陣。點表示控制點（編號），對于每一個控制點的物理量，通過在和上積分得到。即：對于任意一,，有其中， 將模型控制點數據導入到程序中計和，可以得到方程組：求解上面線性代數方程組得到的值以后，便可以得到速度勢在控制點處的值，即 其中，每一個i點（控制點）處誘導速度為（是向量）：其中，在常分布單元假設條件下： 可得，于是便可求解出速度勢和物面速度。四、幾何模型4.1橢球、圓球、有限長圓柱、平行橢球利用計算機編程來完成以上四類幾何模型的建立并劃分網格如圖4.1、圖4.2、圖4.3、圖4.4所示

9、。其中，橢球長短軸之比為5：1，有限長圓柱柱體長和截面直徑之比為5，平行橢球的兩個橢球相同且長軸平行，間距為短半軸的3、5、7倍。圖4.1 橢球面網格劃分圖4.2 圓球面網格劃分圖4.3 有限長圓柱面網格劃分圖4.4 平行橢球面網格劃分五、計算參數及結果討論5.1橢球5.1.1橢球附加質量系數M11經查閱資料可知，橢球附加質量系數M11的理論值為0.059。不同面元數時，M11的計算結果見表5.1。表5.1橢球的附加質量系數M11隨面元數的變化面元數橢球的附加質量系數M113000.062044000.061385000.061176000.061017000.060908000.060749

10、000.06064M11隨面元數變化曲線見圖5.1。圖5.1 M11隨面元數變化曲線5.1.2橢球附加質量系數M33橢球附加質量系數M33的理論值為0.894。不同面元數時，M33的計算結果見表5.2。表5.2橢球的附加質量系數M33隨面元數的變化面元數橢球的附加質量系數M333000.97065414000.96765415000.95821456000.95187417000.94532548000.94225489000.9406142M33隨面元數變化曲線見圖5.2。 圖5.2 M33隨面元數變化曲線5.1.3 結果討論 由計算結果可以看出，橢球在附加質量系數M11較M33小很多，這點

11、由橢球幾何形狀可以容易看出，與實際有較好的符合。隨著面元數量的增加附加質量系數M11和M33均更接近于各自理論值，誤差都有減小。在計算過程中發現，面元的劃分形式存在質量好壞的區別，對于同樣多數量的面元，面元形式的不同會造成不一樣的結果，比如同是數量為600的單元，長軸方向劃分為20份，周向30份得出的M33為0.964419，而長軸方向劃分為30份，周向為20份，得出的附加質量M33為0.9514185，更接近與理論值，誤差更小，這是由于對于本細長的橢球模型而言，周方向劃分20份已經較為緊密，而細長的長軸方向需要劃分更多的數量以使面元更接近于真實物面，所以在劃分面元時，需要考慮物體的實際情況，

12、以得到更高質量的面元。5.2圓球5.2.1圓球附加質量系數M11經查資料可知，圓球附加質量系數M11的理論值為0.5。不同面元數時，M11的計算結果見表5.3。表5.3球的附加質量系數M11隨面元數的變化面元數球的附加質量系數M113240.56372983600.54678394320.53687165400.52665476480.52387287840.5142735M11隨面元數變化曲線見圖5.3。圖5.3 M11隨面元數變化曲線5.2.2圓球附加質量系數M33由于對稱性，圓球附加質量系數M33的理論值也為0.5。不同面元數時，M33的計算結果見表5.4。表5.4球的附加質量系數M33

13、隨面元數的變化面元數球的附加質量系數M333240.53854783600.53635444320.53374525400.53145246480.52685417840.5234581M33隨面元數變化曲線見圖5.4。圖5.4 M33隨面元數變化曲線5.2.3 結果討論由計算結果可以看出，隨著圓球面元數的增加，計算而得的附加質量系數逐漸接近解析解，即理論值，誤差逐漸減小，由面元法知識可知，這是由于面元數量增加，面元密度增加，單元也就更接近真實物面，從而結果更準確。M11與M33計算結果基本一致，差別較小。5.3 有限長圓柱5.3.1圓柱附加質量系數M11不同面元數時，M11的計算結果見下表。

14、表5.5有限長圓柱的附加質量系數M11隨面元數的變化面元數量m112000.1378352400.1391543000.1402783600.1409234000.1412154800.1416176000.1419747200.1421888000.1422879000.142383有限長圓柱M11隨面元數變化曲線圖5.5圖5.5 M11隨面元數變化曲線5.3.2圓柱附加質量系數M33不同面元數時，圓柱M33的計算結果見下表。表5.6有限長圓柱的附加質量系數M11隨面元數的變化面元數量m332001.0216852400.9944273000.9688393600.9526274000.94

15、47584800.9332416000.922057200.9147698000.9111799000.907623有限長圓柱M33隨面元數變化曲線圖5.6圖5.6 M33隨面元數變化曲線5.3.3 結果討論 由計算結果可以看出，對于柱體長與直徑長之比為5：1的有限長圓柱體而言，其沿柱體方向附加質量系數M11要小于垂直柱體方向附加質量系數M33，并且隨著面元數量增加而增大并且有收斂趨勢，而垂直于柱體長軸方向的附加質量系數M33隨著面元數量增加而減小并且也呈現出收斂趨勢。5.4平行橢球5.4.1兩橢球平行時附加質量系數M11每個橢球面元劃分數量為400，并且劃分形式與單個橢球時一樣，以便比較二者

16、的區別。單個橢球在以上計算中得到的附加質量系數M11的值為0.06149，以該值作為計算兩橢球并行時相互影響的參考值。在不同軸間距時時，M11的計算結果與對比如下。表5.7兩橢球并行時M11隨長軸間距的變化間距(倍數)并行時附加質量系數M11影響30.0756224.08%50.0675410.11%70.064595.10%M11隨長軸間距變化曲線見下圖。圖5.7兩橢球并行時M11隨長軸間距的變化曲線5.4.2兩橢球平行時附加質量系數M33單個橢球在以上計算中得到的附加質量系數M33的值為0.9675557，以該值作為計算兩橢球并行時相互影響的參考值。不同軸間距下的算結果見下表。表5.8兩橢球平行時M33隨長軸間距變化間距并行時附加質量系數M33影響31.11514814.90%51.0046213.87%70.9836511.59%雙橢球并行時M33隨長軸間距變化時的曲線如下，圖5.8雙橢球并行時M33隨長軸間距變化曲線5.4.3 結果討論由計算結果可以看出，兩個橢球并行時，二者之間會產生干擾，使單個橢球附加質量系數增加，然而其影響會隨著橢球之間軸間距增大而減小，以使每個橢球附加質量系數逐漸接近于單個橢球運動時的值，可以推測當其間距足夠大時，每個橢球可以看成單獨運動的效果。參考