1、教學目的教學目的1、使學生初步掌握數列極限這一重要概念、使學生初步掌握數列極限這一重要概念2、使學生學會用定義證明極限的根本方法、使學生學會用定義證明極限的根本方法3、經過對數列性質及極限存在條件的學習，、經過對數列性質及極限存在條件的學習，可以處置求數列極限的計算以及證明。可以處置求數列極限的計算以及證明。4、加深對數學的籠統性特點的認識；體驗、加深對數學的籠統性特點的認識；體驗數學概念構成的籠統維方法；體驗數學數學概念構成的籠統維方法；體驗數學“符符號化的意義及號化的意義及“數形結合方法；數形結合方法；第二章數列極限第二章數列極限我們已經有了函數的概念，但如果我們只停留在函數概念本身去研究

2、運動，即如果僅僅把運動看成物體在某一時刻在某一地方，那我們就還沒有達到揭示變量變化的內部規律的目的，我們就事實上還沒有脫離初等數學的領域，只有我們用動態的觀點揭示出函數 yf（x）所確定的兩個變量之間的變化關系時，我們才算真正開始進入高等數學的研究領域。極限是進入高等數學是鑰匙和工具。我們從最簡單的也是最基本的數列極限開始研究。 1 1 數數列列極極限限的的概概念念 課題引入 1予備知識：數列的定義、記法、通項、項數等有關概念。 由此，可給出數列的定義： 對于數列 na，設 A 是一個常數，若任給 0. ，都存在相應的自然數 NnN, 時， Aan ，則稱 A 為數列na的極限。 下面我們通過

3、圖示，對數列定義作幾點說明： 二、數列極限定義 1將上述實例一般化可得： 對數列 na，若存在某常數a，當n無限大時，an能無限接近常數a，則稱該數為收斂數列，a 為它的極限。 例如：n1， a=0； nn) 1(3， a=3; 2n ， a 不存在，數列不收斂； n) 1(， a 不存在，數列不收斂； 2將“n無限大時”，數學“符號化”為： “存在 N，當 nN 時” 將“an 無限接近 a”，數學“符號化”為： 任? 0， aan 例如對 nn) 1(3 以 3 ? 極限，對 =101，要使 3)1(3naann=1011n 只需取 N=10，即可 3“抽象化”得“數列極限”的定義 定義：

4、 設 na是一個數列， a 是一個確定的常數， 若對任給的正數，總存在某一自然數 N，使得當 nN 時，都有 aan 則稱數列 na收斂于 a，a 為它的極限。記作 aannlim(或 ana,(n) 說明（1）若數列 na沒有極限，則稱該數列為發散數列。 (2）數列極限定義的“符號化”記法： aannlim0，N，當nN，有aan (3）上述定義中的雙重性：的的任任意意性性 0是任意的，但在求N時，又可視為是給定的，由“任意性”可知，不等式aan，可用 2|aan，knaa |來代替 “”號也可用 “” 號來代替 (4）上述定義中N的雙重性：N 的的相相應應性性, , N是僅依賴于的自然數，

5、有時記作N=N（）（這并非說明N是的函數，是即：N是對應確定的！但N又不是唯一的，只要存在一個N，就會存在無窮多個N。 （5）如何用肯定的語氣敘述 aannlim： 00，N，n。盡管 n。N，但aaon。 （6）如何用肯定的語氣敘述，數列 na發散： Ra ，)(aOO0，N，no, 盡管 noN，但 aaon o。 （7）aannlim的幾何意義： 即a的任給鄰城，都存在一個足夠大的確定的自然數 N，使數列na 中,所有下標大于 N 的an,都落在a的鄰城內。 x xa-a+aNanaNa三三、用用極極限限定定義義證證明明 aannlim 的的例例題題 例1.證明 01limknn （K為

6、正實數） 證：由于kknn101 所以0，取N=k11,當nN時,便有01kn 注：或寫作：0，取N=k11，當nN時，有 KKnn101，01limknn 例2. 證明 343lim22nnn 分析，要使nnnn12412343222（為簡化，限定n 3 只要 12n 證.3,12max,0N取,當nN,有 nnnn12412343222 由定義 343lim22nnn 由由上上面面數數列列極極限限的的證證明明可可總總結結出出數數列列極極限限證證明明的的步步驟驟： （1 1） 化化減減 aan （2 2） 適適當當放放大大 aan，通通常常放放大大成成 nMaan的的形形式式 為放大方便，有

7、時候，要? 當予先限定 nn。 （3 3） 解解 nM， 求求出出需需要要的的 N 例 3證明 nnqlim=0， 這里 1|q 證.若 q=0, 結果顯然成立 若 0 q 1，令 q =hh(110) 由于 由貝努利不等式nnnhqq)1 (1 nhnh111 所以，0，取 N=NnhN當,1，有有 0nq 四、小結：(可以師生共同總結，或教師引導學生小結，然后教師再條理一下) 本節課重點在于“數列極限的概念” ，而“用極限定義證明極限”的例題學習也是為了鞏固極限概念。為此，同學們要注意： 1極限概念的“-N”敘述要熟練掌握，并注意理科，N 的雙重性。 2用極限定義證明極限時， 關鍵是由任給

8、的0 通過反解不等式an-a求 N，其中的若干技巧在于化簡不等式。特別注意不等式的“放大”要適度；即要盡可能化簡，又不要過度，N 的表達式一定僅依賴于，當然 N 是否是自然數，倒是無關緊要的。 3同學們在學習這部分知識的同時要反復體驗其中滲透看的重要數學思維方法，如：抽象化法，數形結合法，符合化法等，這對于大家體驗數學的本著特點及培養數學思維能力是十分有益的。關于這一點希望同學們在課下復習時反復體會一下，并結合以前學過的知識中的類似方法對照思考。 對于圓周率的估計，我國古代數學家過出了很大貢獻。我國最早的算書周髀算經 （公元 700 年）已經談到“圓徑一而周三”，即3，三國時候（263），三國

9、時期，我國科學家劉徽就提出了“割圓求周”的思想，直徑為 1 的圓周分成六等份，量得圓內接正六邊形的周長，再平分各弧量出內接正十二邊形的周長，這樣分割下去，算出了14. 3（稱徽率）。南北朝時代的祖沖之（429-500）在綴術一書中求得 在1415926. 3與1415927. 3之間，于是定 14159265. 3叫做圓率正數，133355叫做“密率”，722叫做“約率 ”，后人總稱“祖率”。祖沖之 的密率 要比歐洲最早得出這個近似值德人鄂圖早 1100 余年。 2 2 收收斂斂數數列列的的性性質質 1 1. . 極極限限唯唯一一性性：（ 證 ） 2 2. . 收收斂斂數數列列有有界界性性 收

10、斂的必要條件：（ 證 ） 3 3. . 收收斂斂數數列列保保號號性性： 定理2.4 設 ( 0limaann或) 0. 則對ar 0 (或 , ),0NraraNnn , (或).ran 例1 設 .lim ,limbbaannnn 證明：若 , ba 則. , ,nnbaNnN （ 證 ） 定理2。5 設.lim ,limbbaannnn 若nnbaNnN ,時有， . ba （注意“ = ” ；并注意bbn 和 0b的情況 ）. 推論 若 , 0limaann 則對. , , , 0raNnNarn 1 1. . 迫迫斂斂性性 Th ( 證 ) 例2 求 limnnn 2 2. . 絕絕對

11、對值值收收斂斂性性: : . lim ,limaaaannnn ( 注意反之不確 ). . 0 lim , 0limnnnnaa ( 證 ) 推論 設數列na 和nb 收斂, 則 .lim , lim min , min lim, lim , lim max , maxlimnnnnnnnnnnnnnnbabababa 6 6 四四則則運運算算性性質質: : 例3 求 1010limmmknka nan abnbn b 例4 求 lim1nnnaa 例5 求 lim(1)nnnn 7 7. . 子子列列收收斂斂性性: : 子子列列概概念念. . Th ( 數列收斂充要條件 ) na 收斂 na

12、 的任何子列收斂于同一極限. Th ( 數列收斂充要條件 ) na 收斂 子列12 ka、ka2和3ka都收斂. 一一. . 利用數列極限性利用數列極限性質質求極限求極限: : 兩個基本極限：). 1 ( , 0lim , 01limqqnnnn 1 利用四則運算性質求極限： 例 1 .52102113limnnnnn 註： 關于n的有理分式當n時的極限情況 例2 填空: _;_) 12() 12()2(lim102862nnnn ._ ,8173223lim3223223kaanannaananankn 例 3 例 3 ). 1 (limnnnn 例 4 . 1 .1limaaannn 2.

13、 利用迫斂性的基本技法: 大小項雙逼法 例 5 求下列極限: );12sin( ) 13 (lim2nnn ninin02;31lim .121241141lim22nnnn 例 6 .limnnn ( .)122112nnnnnnnnn 例 7 ).1 ( , 0kiai 求證 ., maxlim2121knnknnnaaaaaa 例 8 設nnnbalim存在. 若 , 0limnnb 則. 0limnna 一. 利用子列性質證明數列發散: 例 9 證明數列 13n) 1 (2nnn發散. 3 3 數數列列極極限限存存在在的的條條件件 單調有界定理：任何單調 有界數列都有極限。 例1 設

14、111,22nan ， 證明該數列收斂。 例2 證明數列 ,222,22,2 收斂，并求其極限. clf,n=20; a(1)=sqrt(2); plot(0;n,2;2),hold on for i=1:n; a(i+1)=sqrt(2+a(i); plot(i,a(i),r.),hold on end axis(1,n,1,2.2) 數列的單調遞增是顯然的, 有界很容易用歸納法證明, 而且 nnaa21 利用單調有界定理, 設其極限為 A , 則有 AA 2 , A=2 例3 證明 nnn)11 (lim 存在。（c16, n=） 先看一下數列的變化的圖像, 該數列單調有界（小于3），所以

15、極限存在，且由圖象看出：隨著 n 的增大, nnna)11 ( 逐漸接近一個 718. 2 的無理數e c cl lf f, , n n= =5 50 0; ; x x= =1 1: :n n; ; f f( (x x) )= =( (1 1+ +1 1. ./ /x x) ). . x x; ; p pl lo ot t( ( 0 0; ;n n , , 2 2. .7 71 18 8; ;2 2. .7 71 18 8 ) ), ,h ho ol ld d o on n p pl lo ot t( (x x, ,f f( (x x) ), , r r. . ) ) 051015202530

16、3540455022.12.22.32.42.52.62.72.8證明： Cauchy收斂準則： Th 2.10 數列na收斂，. , , , , 0 nmaaNnmN （ 或數列na收斂， . ,p , , , 0 npnaaNnNN 例4 證明: 任一無限十進小數 ) 10( . 021nbbb的不足近似值所組成的數列 ,101010 , ,1010 ,102212211nnbbbbbb 收斂. 其中) 9 , 2 , 1 (ibi是 9 , 1 , 0 中的數. 證 令 na ,101010 221nnbbb有 1122111011011109101010 pnpnpnnnnnnpnbb

17、baa 1109n.1101) 1 . 0(11011 . 01) 1 . 0 (1nnpnp 例5 設 .sinsinsin , 102nnnqqqqqqxq 試證明數列 nx收斂. 數列nn11單調有界證法欣賞: Cauchy (17891857 ) 最先給出這一極限，Riemann（18261866）最先給出以下證法一. 證法一 （ Riemann最先給出這一證法 ） 設 .11nnnx應用二項式展開，得 nnxn11321! 3) 2)(1(1! 2) 1(nnnnnnnnnnnn1!123) 1( nnnnnnnn112111!12111! 3111! 2111， ! 21111nx

18、121111! 31111nnn+ + )!1(1n;11111nnn 注意到 ,11111nn ,12121nn .11111 ,nnnn 且1nx比nx 多一項)!1(1n, 011111nnn , 1nnxx 即nx . nnnxn) 1(132121111!1! 31! 21110 nxnnn . 31111111312121111 有界.。綜上, 數列nx 單調有界. 證法二 ( 利用Bernoulli不等式 ) 注意到Bernoulli不等式 nxnxxn , 1( ,1)1 (為正整數 ), 有 nnnnnnxx1111111nnnn11111111nnnnnn12211122 ,) 1(111112nnn 由 , 1) 1(12n 利用Bernoulli不等式,有 . 1133233) 1(1111232321nnnnnnnnnxxnn nx . 為證nx 上方有界, 考慮數列 .111nnny 可類證ny . 事實上, 1nnyy 2111111nnnn1111111111nnnn12221221nnnnnnn nnnnnnnnnn2112121121212 nynnnnnn , 1441442323. 顯然有 , .nyxnn 有 . 41y