1、會計學1電子科技大學電磁場與電磁波典型例題電子科技大學電磁場與電磁波典型例題 a解：1) 取如圖所示高斯面。在球外區域：ra0( )SQE rdS20( ) (4)rQE rre204rQEer分析：電場方向垂直于球面。 電場大小只與r有關。半徑為a的球形帶電體，電荷總量Q均勻分布在球體內。求：（1） （2） （3）( )E r( )E r( )E r在球內區域：rarr0( )SQE rdS32043( ) (4)rrE rre304rQrEea334QQVa例第1頁/共36頁2）解為球坐標系下的表達形式。2030()()4()()4rrQerarEQreraa22300()1()()4ra

2、Qrrrarra300034EQa3）0301( )404QrEQra第2頁/共36頁 半徑為a的球形電介質體，其相對介電常數 ,若在球心處存在一點電荷Q，求極化電荷分布。4r解：由高斯定律，可以求得SD dSQ24rQeDr0PDE在媒質內：023316rQeEr24rQeEr體極化電荷分布:PP 221()0rr Prr面極化電荷分布:SPrP e2316Qa在球心點電荷處：2344pSPspQQQa 例第3頁/共36頁 在線性均勻媒質中，已知電位移矢量 的z分量為 ，極化強度 求：介質中的電場強度 和電位移矢量 。220/zDnC m292115/xyzPeeenC mDED解：由定義，

3、知：00DEPDP1(1)rPD4zrzzDPD1rrDP43P014ED例第4頁/共36頁半徑為a的帶電導體球，已知球體電位為U，求空間電位分布及電場強度分布。解法一：導體球是等勢體。ra時：0UE 例ra時：200r arU221()00r arddrr drdrU120r arccrU aUrE ()()sinreeaUerrrr 2raUer第5頁/共36頁解法二：電荷均勻分布在導體球上，呈點對稱。 設導體球帶電總量為Q，則可由高斯定理求得，在球外空間，電場強度為：204rQEer001()44aaQQUE drra04QaU2raUEer2rraUE drdrraUr第6頁/共36頁

4、 同軸線內導體半徑為a，外導體半徑為b。內外導體間充滿介電常數分別為 和 的兩種理想介質，分界面半徑為c。已知外導體接地，內導體電壓為U。求:(1)導體間的 和 分布； (2)同軸線單位長度的電容12ED abc12分析：電場方向垂直于邊界，由邊界條件可知，在媒質兩邊 連續D解：設內導體單位長度帶電量為l由高斯定律，可以求得兩邊媒質中，2lrDer1122/EDED例 12cbacUE drE dr12lnln22llcbac12212lnlnlUcbac 第7頁/共36頁1221(lnln)UDcbrac 221121()(lnln)()(lnln)UarccbracEUcrbcbrac第8

5、頁/共36頁 球形電容器內導體半徑為a，外球殼半徑為b。其間充滿介電常數為 和 的兩種均勻媒質。設內導體帶電荷為q，外球殼接地，求球殼間的電場和電位分布。12 a12b分析：電場平行于介質分界面，由邊界條件可知，介質兩邊 相等。ESD dSq2122()rDDq2122()rEEq解：令電場強度為 ，由高斯定律E2122 ()rqEer 1211( )()2 ()brqrE drrb 例 第9頁/共36頁 同軸線填充兩種介質，結構如圖所示。兩種介質介電常數分別為 和 ，導電率分別為 和 ，設同軸線內外導體電壓為U。求：(1)導體間的 ， ， ； (2)分界面上自由電荷分布。1221EJ 2a2

6、b2c11 22 a22 11 EJ解：這是一個恒定電場邊值問題。不能直接應用高斯定理求解。設單位長度內從內導體流向外導體電流為I。則：rIJeS()2rIearcr由邊界條件，邊界兩邊電流連續。例 由導電媒質內電場本構關系，可知媒質內電場為：111()2rJIEearbr222()2rJIEebrcr第10頁/共36頁12bcabUE drE dr12(lnln )(lnln )22IIbacb120212ln( / )ln( / )UIb ac b 12021()ln( / )ln( / )UJarcb ac b r 201121()ln( / )ln( / )rUJEearbb ac b

7、 r102221()ln( / )ln( / )rUJEebrcb ac b r22()crE drbrc112()bcrbE drE drarb第11頁/共36頁2）由邊界條件： 在 面上：ra11SD n12021ln( / )ln( / )Ub ac b a 在 面上：rc21021ln( / )ln( / )Ub ac b c 32SrD e 在 面上：rb221()SrDDe2112021()ln( / )ln( / )Ub ac b b 第12頁/共36頁 平行雙線，導線半徑為a，導線軸線距離為D 求：平行雙線單位長度的電容。（aD) DxyPx解：設導線單位長度帶電分別為 和 ，

8、則易于求得，在P點處，ll102lxEex20()2()lxEeDx12EEE011()2lxexDx導線間電位差為：D aaUE dx0lnlDaa0ln()lnCDaa例 第13頁/共36頁計算同軸線內外導體間單位長度電容。 解：設同軸線內外導體單位長度帶電量分別為 和 ，則內外導體間電場分布為：ll102lrEer則內外導體間電位差為：內外導體間電容為：baUE dr0ln2lba02lnlnQCUba例 第14頁/共36頁由邊界條件知在邊界兩邊 連續。E解：設同軸線內導體單位長度帶電量為SD dSQ110(2)rl ErlEQ110(2)lrEer 110ln(2)blabUE dra

9、 同軸線內外導體半徑分別為a,b，導體間部分填充介質，介質介電常數為 ，如圖所示。已知內外導體間電壓為U。求：導體間單位長度內的電場能量。例 110(2)lnlnlUba (lnln )rUEeba rlbb01第15頁/共36頁12221011122eVVWE dVE dV2210122221111(2)2(lnln )2(lnln )bbaaU lU lrdrrdrbarbar21101(2);2 (lnln )U lba 兩種方法求電場能量：或應用導體系統能量求解公式12eiiiWqU12ellWU110(2)lnlnlUba 21101(2)2 (lnln )Uba 21101(2)

10、2(lnln )elU lWba 第16頁/共36頁 已知同軸線內外導體半徑分別為a,b，導體間填充介質，介質介電常數為 ，導電率為 。已知內外導體間電壓為U。求：內外導體間的 1） ;2） ;3） ;4） ; 5） ;6）0EJlCelWs分析：為恒定電場問題。 電荷只存在于導體表面，故可用靜電場高斯定理求解。解法一：應用高斯定理求解。設內導體單位長度電量為 則SD dSQ2lrDer2lrEer例 (lnln )2blaUE drba2(lnln )lUbalab 第17頁/共36頁 (lnln)rUEeba r(lnln )(lnln )brUbrE drba(lnln )rUJEeba

11、 r2(lnln )llCUba212(lnln )ellUWUba1( )( )2eVWD rE r dV第18頁/共36頁解法二：間接求解法由于內外導體間不存在電荷分布，電位方程為200r ar bU1()00r ar bddrr drdrUlnlnlnlnbrUba(lnln )rUEeba r (lnln )rUJEeba r2(lnln )QlCUba212(lnln )eU lWQUba2ln( / )SlUQD dSb a2(lnln )lQlCUba第19頁/共36頁解法三：恒定電場方法求解令由內導體流向外導體單位長度總電流強度為I，則2rIJerl/2rJI lEer(lnl

12、n )2blaIUE drba2(lnln )lUIba(lnln )rUJeba r(lnln )rJUEeba r2(lnln )QlCUba212(lnln )eU lWQUba2ln( / )SUlQD dSb a第20頁/共36頁 導體球殼，內徑為b，外徑為c，球殼球心為半徑為a導體球，導體球帶電量Q,中間充滿兩種介質，介電系數分別為1和2，介質分界面如圖所示。求：（1）空間場分布E(r)； （2）空間電位分布； （3）電容； （4）系統電場能量。解：由邊界條件知， 連續。E（1）ra，該區域為導體空間，故： =0； E arb，由高斯定理有SD dSQ2122()rEQ例 2122

13、()rQEer1112122()rQDEer2222122()rQDEerQcba21第21頁/共36頁brc，204rQEer （2）求電位分布。rc，04rQE drr04Qcarb，()brcE dr 01211()42 ()QQcrb ra,01211()42 ()QQcab bra時2IHr 當ra時2221222IrIrHIrraa 例題 半徑為a的無限長直導體內通有電流I，計算空間磁場強度 分布H第24頁/共36頁 例題 內、外半徑分別為a、b的無限長中空導體圓柱，導體內沿軸向有恒定的均勻傳導電流，體電流密度為 導體磁導率為 。求空間各點的磁感應強度BJ xyz0J分析：電流均勻

14、分布在導體截面上，呈軸對稱分布。解：根據安培環路定律 在ra區域：0CH dlI20Hr0H 在arb區域：2202()HrJba220()2JHbar第25頁/共36頁 所以，空間中的 分布為：22022000()( )()()2()()2raJB rra earbrJra erbrB第26頁/共36頁 例 無限長線電流位于z軸，介質分界面為平面，求空間的 分布和磁化電流分布。B xz10I分析：電流呈軸對稱分布?？捎冒才喹h路定律求解。磁場方向沿 方向。e解：磁場方向與邊界面相切，由邊界條件知，在分界面兩邊， 連續而 不連續。HB由安培環路定律：CH dlI2HrI2IHer01(0)2(0

15、)2IezrBHIezr介質磁化強度為：1000()2IBMHer第27頁/共36頁體磁化電流為：0rzmrzeeerrJMrzMrMM 面磁化電流為：101000()()22smzrIIJMneeerr在介質內r=0位置，還存在磁化線電流Im。由安培環路定律，有：00(1)mmrlBIIdlIII1010()(1)msmrIIII也由電流守恒的關系求磁化線電流第28頁/共36頁分析：內導體為粗導體，故內導體存在內自感。因此同軸線自感由同軸線內自感和內外導體間互感組成。解：設同軸線內導體載流為I，則由安培環路定律，知020()2()20()IreraaIBearbrrb 例 求同軸線單位長度的

16、自感。設同軸線內徑為a，外徑為b，內外導體間為真空。導體磁導率為 ab0同軸線單位長度自感由內導體內自感和內外導體互感構成。即：ioLLL第29頁/共36頁 a1dra 如圖，在內導體內取一長為單位長度，寬為dr的矩形面元，則通過該面元的磁通為：022iIrdB dSdra 令與 所交鏈的電流為I,可知d2222IIrIraa 若將整個內導體電流看作1匝，則與 交鏈的電流為 d22()IrNIa匝 由磁鏈定義，知與 對應的磁鏈為：d3042iiIrdNddra 整個內導體單位長度的內磁鏈為3004028aiiIrIddra 第30頁/共36頁08iiLI 故內導體單位長度的內自感為 易求得，內外導體間單位長度磁鏈為：00ln22boaIIbdrra 0ln2oobLIa00ln82iobLLLa第31頁/共36頁 例 求雙傳輸線單位長度自感。設導線半徑為a，導線間距為D。(Da) yxDIIdxxDx分析：導線為細導線，故只需考慮導體間的互感。解：由安培環路定律，可以求得在導體間磁感應強度分布：12BBB00()()22 ()yyIIeexDx則導體間單位長度的磁通量為0lnln()2D aD aaaIB dxxDx 0lnIDaa0lnDaLIa第32頁/共36頁例 求半徑為a的無限長直導