1、會(huì)計(jì)學(xué)1結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)14-1 概 述動(dòng)力荷載作用下，結(jié)構(gòu)將發(fā)生振動(dòng)，各種量值均隨時(shí)間而變化。一、結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)（2）研究單自由度及多自由度的自由振動(dòng)、強(qiáng)迫振動(dòng)。1、內(nèi)容：（1）研究動(dòng)力荷載作用下，結(jié)構(gòu)的內(nèi)力、位移等計(jì)算原理和計(jì)算方法。求出它們的最大值并作為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的依據(jù)。2、靜荷載和動(dòng)荷載（1）靜荷載：荷載的大小和方向不隨時(shí)間變化（如梁板自重）。（2）動(dòng)荷載：荷載的大小和方向隨時(shí)間變化，需要考慮慣性力。 3、特點(diǎn) （2）內(nèi)力與荷載不能構(gòu)成靜平衡。必須考據(jù)慣性力。依達(dá)朗伯原理，加慣性力后，將動(dòng)力問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜力問(wèn)題。 (1)必須考慮慣性力。 (3)分析自由振動(dòng)即求自振頻率、振型、阻尼參

2、數(shù)等是求強(qiáng)迫振動(dòng)動(dòng)力反應(yīng)的前提和準(zhǔn)備。第1頁(yè)/共155頁(yè)動(dòng)力荷載的種類(lèi)(1) 周期荷載：隨時(shí)間按一定規(guī)律變化的周期性荷載，如按正弦 (或余弦)規(guī)律變化的稱(chēng)為簡(jiǎn)諧周期荷載，也稱(chēng)為 振動(dòng)荷載。14-1 概 述F(t)toF(t)=F0sint(2) 沖擊荷載：很快地把全部量值加于結(jié)構(gòu)而作用時(shí)間很短即行消失的荷。F(t)totd第2頁(yè)/共155頁(yè)(3) 突加荷載：在一瞬間施加于結(jié)構(gòu)上并繼續(xù)留在結(jié)構(gòu)上的荷載。(4) 快速移動(dòng)的荷載。高速移動(dòng)的列車(chē)、汽車(chē)等。F(t)totd14-1 概 述第3頁(yè)/共155頁(yè)(5) 隨機(jī)荷載：變化規(guī)律不能用確定的函數(shù)關(guān)系表示的荷載。如風(fēng)的脈動(dòng)作用、地震等。14-1 概 述

3、第4頁(yè)/共155頁(yè)14-1 概 述結(jié)構(gòu)振動(dòng)的形式(1) 自由振動(dòng)：結(jié)構(gòu)受到外部因素干擾發(fā)生振動(dòng)，而在振動(dòng) 過(guò)程中不再受外部干擾力作用。(2) 強(qiáng)迫振動(dòng)：在振動(dòng)過(guò)程中不斷受外部干擾力作用。 如圖所示在跨中支承集中質(zhì)量的簡(jiǎn)支梁，把質(zhì)點(diǎn)m拉離原有的彈性平衡位置，然后突然放松，則質(zhì)點(diǎn)將在原有平衡位置附近往復(fù)振動(dòng)。在振動(dòng)過(guò)程中不受外來(lái)干擾，這時(shí)的振動(dòng)即是自由振動(dòng)。第5頁(yè)/共155頁(yè)14-2 結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度：結(jié)構(gòu)在彈性變形過(guò)程中確定全部質(zhì)點(diǎn)位置所需的獨(dú) 立參數(shù)的數(shù)目。 圖a所示簡(jiǎn)支梁跨中固定一個(gè)重量較大的物體，如果梁本身的自重較小可略去，把重物簡(jiǎn)化為一個(gè)集中質(zhì)點(diǎn)，得到圖b所示的計(jì)算簡(jiǎn)圖。

4、梁在振動(dòng)中的自由度=1單自由度結(jié)構(gòu)具有一個(gè)自由度的結(jié)構(gòu)。多自由度結(jié)構(gòu)自由度大于1的結(jié)構(gòu)。第6頁(yè)/共155頁(yè)14-2 結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度圖a所示結(jié)構(gòu)有三個(gè)集中質(zhì)點(diǎn)。自由度=1圖b所示簡(jiǎn)支梁上有三個(gè)集中質(zhì)量。自由度=3圖c所示剛架有一個(gè)集中質(zhì)點(diǎn)。自由度=2自由度的數(shù)目不完全取決于質(zhì)點(diǎn)的數(shù)目第7頁(yè)/共155頁(yè)14-2 結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度 圖剛架上有四個(gè)集中質(zhì)點(diǎn)，但只需要加三根鏈桿便可限制全部質(zhì)點(diǎn)的位置。如圖e。自由度=3圖示梁，其分布質(zhì)量集度為m，可看作有無(wú)窮多個(gè)mdx的集中質(zhì)量，是無(wú)限自由度結(jié)構(gòu)。自由度的數(shù)目與結(jié)構(gòu)是否靜定或超靜定無(wú)關(guān)動(dòng)力自由度的確定方法：加附加鏈桿約束質(zhì)點(diǎn)位移，最少鏈桿數(shù)即為自由度或

5、第8頁(yè)/共155頁(yè) 圖a所示機(jī)器的塊式基礎(chǔ)，當(dāng)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，若只考慮基礎(chǔ)的垂直振動(dòng)，可用彈簧表示地基的彈性，用一個(gè)集中質(zhì)量代表基礎(chǔ)的質(zhì)量。使結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為圖示的單自由度結(jié)構(gòu)。14-2 結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度 圖b所示的水塔，頂部水池較重，塔身重量較輕，略去次要因素后，可簡(jiǎn)化為圖示的直立懸臂梁在頂端支承集中質(zhì)量的單自由度結(jié)構(gòu)。實(shí)際結(jié)構(gòu)針對(duì)具體問(wèn)題可以進(jìn)行簡(jiǎn)化第9頁(yè)/共155頁(yè)14-3 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng) 圖a所示為一個(gè)簡(jiǎn)單的質(zhì)點(diǎn)彈簧模型。取重物的靜力平衡位置為計(jì)算位移y的原點(diǎn)，規(guī)定位移y和質(zhì)點(diǎn)所受的力都已向下為正。(1) 列動(dòng)力平衡方程（剛度法）彈簧拉力(恢復(fù)力) Fe=k11y慣性力 ymF I質(zhì)點(diǎn)處

6、于動(dòng)力平衡狀態(tài)0eI FF可得011ykym 一、不考慮阻尼時(shí)的自由振動(dòng)取振動(dòng)任一時(shí)刻的質(zhì)點(diǎn)為隔離體如圖b。1、振動(dòng)微分方程的建立第10頁(yè)/共155頁(yè)14-3 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)(2) 列位移方程（柔度法）如圖c。 質(zhì)點(diǎn)m振動(dòng)時(shí)，把慣性力FI看作是靜力荷載作用在體系上，則質(zhì)點(diǎn)處的位移為1111IymFy 對(duì)單自由度結(jié)構(gòu)有11111k可得與(1)相同的結(jié)果011ykym 或?yàn)?2yy (a)命mk112上式即為單自由度結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)微分方程則有02yy (a)第11頁(yè)/共155頁(yè)14-3 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)建立振動(dòng)微分方程的例：第12頁(yè)/共155頁(yè)14-3 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)建立圖示體

7、系的振動(dòng)微分方程：第13頁(yè)/共155頁(yè)方程tAtAtysincos)(21振動(dòng)的初始條件為000yyyyt ，時(shí)，則有0201yAyA，可得tytyysincos002、運(yùn)動(dòng)方程的解：02yy 為一常系數(shù)線性齊次微分方程，其通解為A1和A2為任意常數(shù)，可有初始條件來(lái)確定。式中y0初位移， 初速度。0y 14-3 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)第14頁(yè)/共155頁(yè)14-3 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)由兩部分組成：一部分是初位移y0引起的，為余弦規(guī)律；一部分是初速度 引起的，為正弦規(guī)律。如圖a、b。0y tytyysincos00第15頁(yè)/共155頁(yè)14-3 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)令cos0ay

8、,sin0ay 則有/tan00yy,22020yya式(b)可寫(xiě)為)sin(tay(c)簡(jiǎn)諧振動(dòng)如圖ca 為振幅，表示質(zhì)點(diǎn)的最大位移； 為初相角。周期2TTf1工程頻率T2角頻率或頻率討論：結(jié)構(gòu)振動(dòng)主要由三個(gè)參數(shù)a、和 有關(guān)。a和與外因（初位移、初速度）有關(guān)， 只與結(jié)構(gòu)特性有關(guān)，是結(jié)構(gòu)固有特性，決定了結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性，即兩個(gè)結(jié)構(gòu)只要相同，動(dòng)力反應(yīng)相同。第16頁(yè)/共155頁(yè)14-3 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)st1111111gmggmmk(d)g重力加速度；st重量mg所產(chǎn)生靜力位移。式(d)表明：隨st的增大而減小，即把質(zhì)點(diǎn)放在結(jié)構(gòu)最大位 移處，則可得到最低的自振頻率和最大的振動(dòng)周期。剛度法柔度

9、法重力法討論：質(zhì)量自重力對(duì)自振頻率的影響。yst為重力mg產(chǎn)生的靜位移，y為動(dòng)位移，總位移為yst+y，0mgFFeI動(dòng)平衡方程：0)(11mgyykymst 01111mgykykymst mgyst11mgykst11011ykym 考慮質(zhì)量重力，不影響頻率和動(dòng)位移。第17頁(yè)/共155頁(yè)14-3 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)解：可用柔度法計(jì)算，即先求單位力產(chǎn)生的位移11，代入公式計(jì)算例14-1 當(dāng)不考慮梁的自重時(shí)，比較圖中所示三種支承情況的梁 的自振周期。EIl483113148mlEI自乘圖1M第18頁(yè)/共155頁(yè)14-3 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)EIl19231133192mlEI說(shuō)明：隨著結(jié)

10、構(gòu)剛度的增大，其自振頻率也相應(yīng)地增高。EIl7687311327768mlEI(a),(b)圖互乘據(jù)此有2:51. 1:1:32111為超靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算，虛設(shè)狀態(tài)為靜定結(jié)構(gòu)，可取上頁(yè)的圖(a) ，(a),(c)圖互乘上面幾種情況剛度系數(shù)k11=?第19頁(yè)/共155頁(yè)14-3 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)例 求下面結(jié)構(gòu)的自振頻率。解：EIl3311313mlEIEIl32311水平方向振動(dòng)時(shí)，總質(zhì)量為2m，故31114321mlEIm第20頁(yè)/共155頁(yè)14-3 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)例 求下面結(jié)構(gòu)的自振頻率。解： 此題結(jié)構(gòu)為剪切型剛架，用剛度法計(jì)算頻率較簡(jiǎn)單。33311241212lEIlEIlE

11、Ik311124mlEImk第21頁(yè)/共155頁(yè)14-3 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)上面桿端剪力稱(chēng)為桿件的側(cè)移剛度，同層各桿側(cè)移剛度之和稱(chēng)為結(jié)構(gòu)的層間剛度。桿件的側(cè)移剛度與桿端約束有關(guān)312lEIk 33lEIk 3331115312lEIlEIlEIk例如311115mlEImk第22頁(yè)/共155頁(yè)14-3 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)例 分別用柔度法和剛度法計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率，EI=常數(shù)。解：1、柔度法EIlllEIlllllllEI4851624142212232222113331131115481mlEIm第23頁(yè)/共155頁(yè)解：2、剛度法14-3 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)求剛度系數(shù)附加鏈桿的

12、水平單位位移引起的附加反力即為剛度系數(shù)。用力矩分配法計(jì)算ABBABCCB0.60.40-12i/l007.2i/l4.8i/l2.4i/l0-4.8i/l4.8i/l2.4i/l325486 . 928 . 4lEIlilliFSAB3111548mlEImk311548lEIk第24頁(yè)/共155頁(yè)14-3 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)例 圖示結(jié)構(gòu)桿件剛度為無(wú)窮大，試求其自振頻率。(不計(jì)桿件質(zhì)量)解：本問(wèn)題可由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法計(jì)算。Jk11J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，k11為轉(zhuǎn)動(dòng)剛度。繞A點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J為：22210)3(maammaJ繞A點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度k11為：22114)2(kaakkmkmakaIk521042

13、211第25頁(yè)/共155頁(yè)14-3 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)0AM0)3)(3()2)(2()(aamakaama 041022kama 010422maka 052mk mk522mk52推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)微分方程，將加速度項(xiàng)的系數(shù)簡(jiǎn)化為1，則位移項(xiàng)的系數(shù)為自振頻率的平方。第26頁(yè)/共155頁(yè)14-3 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)例 試求圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率。(不計(jì)桿件質(zhì)量)解：第27頁(yè)/共155頁(yè)14-3 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)2、考慮阻尼作用時(shí)的自由振動(dòng)阻尼力的產(chǎn)生：外部介質(zhì)的阻力，支承的摩擦等； 物體內(nèi)部的作用，材料分子之間的摩擦等。 粘滯阻尼力：阻尼力與其振動(dòng)的速度成正比，與速度的方向相反。ycFRc

14、稱(chēng)為阻尼系數(shù)考慮阻尼力時(shí)，質(zhì)點(diǎn)m的受力圖如圖所示由動(dòng)力平衡得0eRIFFF即011ykycym 令mk112mc2則有022yyy 線性常系數(shù)齊次微分方程建立振動(dòng)微分方程第28頁(yè)/共155頁(yè)14-3 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)022yyy 設(shè)其解為rtCey代入微分方程，得特征方程0222rr兩個(gè)根為222, 1r討論(1) 大阻尼情況：r1、r2是兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)，方程的通解為)sinhcosh(222221tCtCeyt 是非周期函數(shù)，不產(chǎn)生振動(dòng)，結(jié)構(gòu)偏離平衡位置后將緩慢回復(fù)到原有位置。(3) =臨界阻尼情況：r1=r2=-，方程的通解為)(21tCCeyt是非周期函數(shù)，不發(fā)生振動(dòng)。此時(shí)阻尼比=1，

15、=m，可得臨界阻尼系數(shù)mc2cr故有crcc阻尼比為阻尼系數(shù)與臨界阻尼系數(shù)之比。臨界阻尼系數(shù)ccr是結(jié)構(gòu)的固有特性。第33頁(yè)/共155頁(yè)14-3 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)小 結(jié)自由振動(dòng)分為無(wú)阻尼自由振動(dòng)和有阻尼自由振動(dòng)。無(wú)阻尼自由振動(dòng)特點(diǎn)：結(jié)構(gòu)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)由初始位移和初始速度引起。振動(dòng)的主要?jiǎng)恿μ匦耘c自振頻率有關(guān)，自振頻率與結(jié)構(gòu)的剛度成正比，與結(jié)構(gòu)質(zhì)量成反比。有阻尼自由振動(dòng)特點(diǎn)：當(dāng)阻尼系數(shù)小于臨界阻尼系數(shù)或阻尼比小于1時(shí)，結(jié)構(gòu)振動(dòng)，且為衰減的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。有阻尼的自振頻率小于無(wú)阻尼時(shí)的自振頻率。阻尼和自振頻率是反映有阻尼振動(dòng)的主要特性，阻尼特性可由阻尼比表示，阻尼比可由實(shí)測(cè)結(jié)構(gòu)的相鄰周期的振幅比

16、值來(lái)計(jì)算。有阻尼的振幅是隨時(shí)間減少的。當(dāng)阻尼系數(shù)大于等于臨界阻尼系數(shù)或阻尼比大于等于1時(shí)，結(jié)構(gòu)不振動(dòng)，結(jié)構(gòu)在偏離平衡位置后將緩慢回復(fù)到原有位置。自由振動(dòng)是結(jié)構(gòu)初始狀態(tài)引起的振動(dòng)，振動(dòng)中無(wú)外界干擾。第34頁(yè)/共155頁(yè)14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)結(jié)構(gòu)在外來(lái)干擾力F(t)作用下產(chǎn)生的振動(dòng)。如圖所示，干擾力F(t)直接作用在質(zhì)點(diǎn)m上0)(eRItFFFF即)(11tFykycym 或)(122tFmyyy 結(jié)構(gòu)在使用過(guò)程中遇到振動(dòng)問(wèn)題主要是強(qiáng)迫振動(dòng)。 前面討論的結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)主要是討論結(jié)構(gòu)的自身的動(dòng)力特性，而結(jié)構(gòu)在強(qiáng)迫振動(dòng)的時(shí)的效果是與結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性有關(guān)的。強(qiáng)迫振動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分

17、方程的推導(dǎo)。簡(jiǎn)諧荷載：F(t)=F0sin t ，F(xiàn)0為荷載幅值（荷載的最大值），為荷載頻率（圓頻率）。取質(zhì)點(diǎn)為隔離體，可得第35頁(yè)/共155頁(yè)14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程的解為齊次解與特解之和。tBtBysincos210特解 為滿(mǎn)足方程的任意解。y右端項(xiàng)為零的齊次方程的 y0，即為自由振動(dòng)解1、無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng))(12tFmyy tmFyysin02 或設(shè)tAtysin)(代入微分方程，得tmFtAsinsin)(022)(220mFAtmFtAysin)(sin220解得即第36頁(yè)/共155頁(yè)14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)方程通解為：tmFtB

18、tByyysin)(sincos220210任意常數(shù)B1和B2可由初始條件t=0時(shí)，00)0()0(yyyy和來(lái)確定。結(jié)構(gòu)振動(dòng)由兩部分疊加：初始條件引起的自由振動(dòng)和動(dòng)荷載引起的純強(qiáng)迫振動(dòng)。前者按結(jié)構(gòu)自振頻率振動(dòng)，后者按荷載頻率振動(dòng)。短時(shí)間內(nèi)，自由振動(dòng)部分會(huì)衰減而被忽略，只剩純強(qiáng)迫振動(dòng)部分。振動(dòng)可分為兩個(gè)階段開(kāi)始時(shí)各部分振動(dòng)同時(shí)存在，此階段稱(chēng)為過(guò)渡階段。短時(shí)間后，自由振動(dòng)影響可忽略，僅有強(qiáng)迫振動(dòng)，此階段稱(chēng)為平穩(wěn)階段。過(guò)渡階段比較短，實(shí)際問(wèn)題中平穩(wěn)階段比較重要，因此這里著重討論平穩(wěn)階段的純強(qiáng)迫振動(dòng)，也稱(chēng)為穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)。第37頁(yè)/共155頁(yè)14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)平穩(wěn)階段的純

19、強(qiáng)迫振動(dòng)或穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)的表達(dá)式為tmFtAysin)(sin220式中為已知，主要討論振幅A。2022022220)1 (1)(1)(mFmFmFA式中11111121kmkmm得stymFA2022)1 (1式中yst為荷載最大值產(chǎn)生的靜位移，為位移動(dòng)力系數(shù)，A為最大動(dòng)位移。styA表明考慮動(dòng)荷載時(shí)結(jié)構(gòu)的最大動(dòng)位移為荷載最大值產(chǎn)生的靜位移的倍。位移動(dòng)力系數(shù)相當(dāng)于放大系數(shù)。)1 (122第38頁(yè)/共155頁(yè)14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，以結(jié)構(gòu)反應(yīng)的最大值作為設(shè)計(jì)依據(jù)，結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)的最大值可以通過(guò)計(jì)算荷載最大值產(chǎn)生的反應(yīng)乘以動(dòng)力系數(shù)得到，這樣將動(dòng)力問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜力問(wèn)

20、題來(lái)解答，簡(jiǎn)化了計(jì)算。因此，動(dòng)力系數(shù)的計(jì)算是強(qiáng)迫振動(dòng)計(jì)算中的一項(xiàng)重要內(nèi)容。動(dòng)力系數(shù)僅與結(jié)構(gòu)的自振頻率和荷載頻率有關(guān)，相同荷載作用下，結(jié)構(gòu)自振頻率不同，結(jié)構(gòu)的最大反應(yīng)不同。結(jié)構(gòu)反應(yīng)分為內(nèi)力反應(yīng)和位移（變形）反應(yīng)，動(dòng)力系數(shù)也分為內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)和位移動(dòng)力系數(shù)。對(duì)單自由度體系，當(dāng)荷載作用于質(zhì)點(diǎn)上時(shí)（即慣性力與荷載作用點(diǎn)和方向相同時(shí)），內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)與位移動(dòng)力系數(shù)相同，統(tǒng)稱(chēng)為動(dòng)力系數(shù)。對(duì)于多自由度體系和當(dāng)荷載不作用于質(zhì)點(diǎn)上時(shí)，沒(méi)有統(tǒng)一的位移動(dòng)力系數(shù)和內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)。第39頁(yè)/共155頁(yè)14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)當(dāng)時(shí)：為負(fù)，動(dòng)力位移與動(dòng)力荷載反向。2211 隨/ 而變化，當(dāng)干擾力頻率接近于

21、結(jié)構(gòu)的自振頻率時(shí)，動(dòng)力系數(shù)迅速增大； =時(shí)，理論上無(wú)窮大，此時(shí)內(nèi)力和位移都將無(wú)限大共振。工程設(shè)計(jì)中應(yīng)盡量避免發(fā)生共振 通常取/ 1.25。第40頁(yè)/共155頁(yè)14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)例 計(jì)算下面結(jié)構(gòu)在干擾力作用下質(zhì)量的最大位移和結(jié)構(gòu)的最大彎矩。已知干擾力頻率為 ，F(xiàn)0=10kN，l =4m。 3mlEI解：EIl331131131mlEIm5 . 12331111122EIlFFyst330110EIlFEIlFyyst33233030maxkNmlFMMst60230maxmax第41頁(yè)/共155頁(yè)14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)例14-2 如圖發(fā)電機(jī)

22、的重量G=35kN，梁的I=8.810-5m4，E=210GPa，發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)離心力的垂直分力幅值F=10kN。不考慮阻尼，試求當(dāng)發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)數(shù)為n=500r/min時(shí)，梁的最大彎矩和撓度（不計(jì)梁的自重）。解：在G作用下，梁中點(diǎn)的最大靜位移為m1053. 24833stEIGl自振頻率為1sts3 .62g干擾力頻率為1s3 .52602n求得動(dòng)力系數(shù)4 . 31122梁中點(diǎn)的最大彎矩mkN69FstGmaxMMM梁中點(diǎn)最大撓度mm98. 4Fststmaxyy第42頁(yè)/共155頁(yè)14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)例 計(jì)算下面結(jié)構(gòu)在干擾力作用下質(zhì)量的最大位移和結(jié)構(gòu)的最大彎矩。已知干擾

23、力頻率為 ，F(xiàn)0=10kN，l =4m。3mlEI)2322212322221(111llllllEIEIl837881111122328mlEIEIlFEIlFFAyD78783030110max742782000maxlFlFlFMD第43頁(yè)/共155頁(yè)14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng) 圖a所示簡(jiǎn)支梁，干擾力不作用在質(zhì)點(diǎn)上。建立質(zhì)點(diǎn)m的振動(dòng)方程。 F=1作用在點(diǎn)1時(shí)使點(diǎn)1產(chǎn)生的位移為11，如圖b。 F=1作用在點(diǎn)2時(shí)使點(diǎn)1產(chǎn)生的位移為12，如圖c。作用在質(zhì)點(diǎn)m上的慣性力為ymF I 在慣性力FI和干擾力F(t)共同作用下，任一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)m處的位移為)()()(121112I1

24、1tFymtFFy 即)(111211tFykym 第44頁(yè)/共155頁(yè))(1112tF 可以看成作用于質(zhì)量上的等效荷載。與F(t)產(chǎn)生相同的質(zhì)點(diǎn)位移，但其他位移和內(nèi)力不同。14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)此時(shí)，位移動(dòng)力系數(shù)與內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)不同。等效質(zhì)點(diǎn)動(dòng)荷載綜上所述，結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載F=F0sint作用下，tAysin速度為tAycos加速度為tAysin2 作用于質(zhì)點(diǎn)上的慣性力為tAmymFIsin2 位移為可以看出，干擾力、位移和慣性力是同步的，即同時(shí)達(dá)到最大值。第45頁(yè)/共155頁(yè)14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)因此結(jié)構(gòu)的最大反應(yīng)可以看成是由荷載最大值和慣性

25、力最大值共同作用產(chǎn)生的。慣性力最大值為：AmFax2Im將F0和 2Am 同時(shí)作用于結(jié)構(gòu)上，按靜力學(xué)的方法就可求出結(jié)構(gòu)的最大位移和最大內(nèi)力。第46頁(yè)/共155頁(yè)14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)例 計(jì)算下面結(jié)構(gòu)在干擾力作用下質(zhì)量的最大位移和結(jié)構(gòu)的最大彎矩。已知干擾力頻率為 ，F(xiàn)0=10kN，l =4m。3mlEI)(2011AmFA)2322212322221(111llllllEIEIl8388)(830303AEIlFAmmlEIFEIlAEIlFA730解得：第47頁(yè)/共155頁(yè)14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)lFmlEilFmlEIlFlAmFM03030

26、20max7472122)(將荷載最大值和慣性力最大值同時(shí)作用到結(jié)構(gòu)上，并畫(huà)出彎矩圖由彎矩圖可知最大彎矩為第48頁(yè)/共155頁(yè)14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)例 計(jì)算下面結(jié)構(gòu)在干擾力作用下質(zhì)量的最大位移和結(jié)構(gòu)的最大彎矩。已知干擾力頻率為 ，F(xiàn)0=10kN，l =4m。3mlEI012211FAmAEIl8311EIllllEI322214211312EIlFA2830第49頁(yè)/共155頁(yè)14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)2802ImFAmFax112294112000maxlFlFlFM動(dòng)彎矩幅值圖最大位移發(fā)生在哪里？值為多少？第50頁(yè)/共155頁(yè)14-4 單自由

27、度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)2、有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng))(122tFmyyy 微分方程的解：齊次方程的解 y0，)sincos(210tBtBeyt與干擾力F(t)相應(yīng)的特解ytFtFsin)(0設(shè)特解為tCtCycossin21代入方程解出tmFyyysin22 4)(24)()(2222222222222221mFCmFC第51頁(yè)/共155頁(yè)14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)將y0與特解合并，由初始條件00,0yyyyt 可得cos2sin)(4)(sin)(2cos24)(sincos222222222222222222000ttmFttmFetyytyeytt第52頁(yè)/共15

28、5頁(yè)14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)(1) 由初始條件決定的自由振動(dòng)；(2) 伴隨干擾力的作用發(fā)生的振動(dòng)頻率為，稱(chēng)為伴生自由振動(dòng)；(3) 按干擾力頻率振動(dòng)，稱(chēng)為純強(qiáng)迫振動(dòng)或穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)如圖。前兩部分振動(dòng)很快衰減掉，最后只剩下純強(qiáng)迫振動(dòng)。過(guò)渡階段振動(dòng)開(kāi)始的一段時(shí)間內(nèi)幾種振動(dòng)同時(shí)存在的階段；平穩(wěn)階段純強(qiáng)迫振動(dòng)階段。由解答的表達(dá)式可知，振動(dòng)由三部分組成：振動(dòng)可分為兩個(gè)階段過(guò)渡階段比較短，實(shí)際問(wèn)題中平穩(wěn)階段比較重要，因此這里著重討論平穩(wěn)階段的純強(qiáng)迫振動(dòng)，即解答的第三部分。cos2sin)(4)(222222220ttmFy第53頁(yè)/共155頁(yè)14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫

29、振動(dòng)將第三項(xiàng)寫(xiě)為)sin(tAy振幅mFA2222224)(1相位差2212tan振幅A可寫(xiě)為styA動(dòng)力系數(shù)2222224)1 (1第54頁(yè)/共155頁(yè)14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)動(dòng)力系數(shù)與/及的關(guān)系如圖所示。第55頁(yè)/共155頁(yè)14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)相位差與/及的關(guān)系如圖所示。第56頁(yè)/共155頁(yè)14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)討論(1) 時(shí)，很小，質(zhì)量近似于不動(dòng)或作振幅很微小的顫動(dòng)。結(jié)構(gòu)的Fe、FR可以忽略，位移與荷載的相位差為180。荷載主要由慣性力平衡。(3) 時(shí)，增加很快，受阻尼的影響很大 。荷載主要由阻尼力平衡。當(dāng)阻尼

30、較小時(shí)，值很大，共振現(xiàn)象仍很危險(xiǎn)。工程設(shè)計(jì)中一般常取)3 . 125. 1 (第57頁(yè)/共155頁(yè)14-5 單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)瞬時(shí)沖量：荷載F(t)在極短的時(shí)間t0內(nèi)給與振動(dòng)物體的沖量瞬時(shí)沖量作用下的振動(dòng)問(wèn)題 圖a所示荷載大小為F，作用時(shí)間為t ，其沖量I=Ft ，即圖中陰影部分的面積。瞬時(shí)沖量作用下質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量增值為0ym由0ymI可得mIy 0 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)獲得初速度后沖量即時(shí)消失，質(zhì)點(diǎn)在這種沖擊下將產(chǎn)生自由振動(dòng)。將初始條件代入式(g)可得瞬時(shí)沖量I作用下質(zhì)點(diǎn)m的位移方程為temItyeyttsin)sin(0第58頁(yè)/共155頁(yè)14-5 單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)

31、 若瞬時(shí)沖量不是在t=0而是在t=時(shí)加于質(zhì)點(diǎn)上，其位移方程為)()(sin)(ttemIyt 圖b所示一般形式的干擾力F(t)可認(rèn)為是一系列微小沖量F()d連續(xù)作用的結(jié)果，應(yīng)此有teFmyttd)(sin)(1)(0(k)不考慮阻尼=0，=則有tFmytd)(sin)(10(m)式(k)及式(m)稱(chēng)為杜哈梅積分第59頁(yè)/共155頁(yè)14-5 單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)若在t=0質(zhì)點(diǎn)原來(lái)還具有初始位移和初始速度，則質(zhì)點(diǎn)位移為teFmtyytyeytttd)(sin)(1)sincos()(0000若不考慮阻尼則有tFmtytyytd)(sin)(1sincos000(n)第60頁(yè)/共1

32、55頁(yè)14-5 單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)（1）突加荷載。變化規(guī)律如圖a所示。設(shè)：加載前結(jié)構(gòu)處于靜止?fàn)顟B(tài)，將 F()=F代入式(k)求得tteyytsincos1st其振動(dòng)曲線如圖b。)1 (stdeyy時(shí)最大動(dòng)位移yd為t動(dòng)力系數(shù)為1 e不考慮阻尼t(yī)yycos1ststd2yy 第61頁(yè)/共155頁(yè)14-5 單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)（2）短期荷載。變化規(guī)律如圖所示。當(dāng)t=0時(shí)，有突加荷載加入并一直作用在結(jié)構(gòu)上；當(dāng)t=t0時(shí)，有一個(gè)大小相等方向相反的突加荷載加入。利用（1）得到的突加荷載作用下的計(jì)算公式按疊加法求解：tyyttcos1,0st0)2(sin2sin2c

33、os)(cos)(cos1 cos1,00st0st0stst0tttytttyttytyytt自由振動(dòng)第62頁(yè)/共155頁(yè)當(dāng)t0T/2時(shí)，最大位移發(fā)生在前一階段。2短期荷載的最大動(dòng)力效應(yīng)與突加荷載相同。14-5 單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)第63頁(yè)/共155頁(yè)14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng) 工程實(shí)際中有很多結(jié)構(gòu)是不宜簡(jiǎn)化為單自由度體系計(jì)算的。例如多層房屋、多跨不等高工業(yè)廠房以及煙囪等, 都必須按多自由度體系來(lái)處理。 圖示等截面煙囪，將其分為八段，從上到下將每?jī)啥蔚馁|(zhì)量集中于其中點(diǎn)，將一個(gè)無(wú)限自由度的體系簡(jiǎn)化為四個(gè)自由度體系。h /4h /4h /8h /8h /4mm4h /h

34、/4mm h /4h /4第64頁(yè)/共155頁(yè)1、振動(dòng)微分方程的建立14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)柔度法)()()()(222211212221211111ymymyymymy 00222221121122121111yymymyymym 00m00m21212122211211yyyy 0M YY 22211211 21m00mM 21yyY 21yyY柔度矩陣質(zhì)量矩陣加速度向量位移向量第65頁(yè)/共155頁(yè)14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)剛度法彈性恢復(fù)力如何計(jì)算？Fe1=-FR1， Fe2=-FR2FR1和FR2如何計(jì)算？由疊加原理：2121111ykykFR2221212ykykFR由質(zhì)

35、量的平衡條件，得002221212221211111ykykymykykym 第66頁(yè)/共155頁(yè)002221212221211111ykykymykykym 00m00m2122211211121yykkkkyyy 1200mMm 22211211kkkkK 21yyY 21yyY 0YKYM 14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)第67頁(yè)/共155頁(yè)14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng) 0YKYM 0M YY K1由和可知上面兩個(gè)方程是同一方程的兩個(gè)表達(dá)方式與單自由度的運(yùn)動(dòng)方程比較，將質(zhì)量、剛度、加速度和位移分別換成質(zhì)量矩陣，剛度矩陣，加速度向量和位移向量，方程的形式相似。（便于記憶）如011yky

36、m 0YKYM 0M YY 0m11 yy 第68頁(yè)/共155頁(yè)柔度法將各質(zhì)點(diǎn)的慣性力看作是靜荷載如圖a。結(jié)構(gòu)上任一質(zhì)點(diǎn)mi處的位移應(yīng)為)()()()()(222111nninjjijiiiiiiiymymymymymy ii、ij為柔度系數(shù)其物理意義見(jiàn)圖b、c。由此，可以建立n個(gè)位移方程00022211122222112121221211111nnnnnnnnnnnnnymymymyymymymyymymymy 多自由度結(jié)構(gòu)無(wú)阻尼自由振動(dòng)微分方程推廣到n個(gè)自由度的情況14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)第69頁(yè)/共155頁(yè)14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)寫(xiě)成矩陣形式為00000212121222

37、211121121 nnnnnnnnnyyymmmyyy簡(jiǎn)寫(xiě)為 0YMY 為結(jié)構(gòu)的柔度矩陣，是對(duì)稱(chēng)矩陣。M為質(zhì)量矩陣，在集中質(zhì)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)中是對(duì)角矩陣； 為加速度列向量；Y為位移列向量。Y 第70頁(yè)/共155頁(yè)14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)剛度法 圖a所示無(wú)重量簡(jiǎn)支梁，略去梁的軸向變形和質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)，為n個(gè)自由度的結(jié)構(gòu)。加入附加鏈桿阻止所有質(zhì)點(diǎn)的位移，如圖b。各質(zhì)點(diǎn)的慣性力為)21(niymii， 各鏈桿的反力為)21(niymii， 令各鏈桿發(fā)生與各質(zhì)點(diǎn)實(shí)際位置相同的位移，如圖c。各鏈桿上所需施加的力為)21(RniFi，第71頁(yè)/共155頁(yè)14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)不計(jì)阻尼，各鏈桿上的總

38、反力應(yīng)等于零。0RiiiFym 以質(zhì)點(diǎn)mi為例有niniiiiiiykykykykF2211Rkii、kij為剛度系數(shù)其物理意義見(jiàn)圖d、e。可得i質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力平衡方程為02211niniiiiiiiykykykykym 第72頁(yè)/共155頁(yè)14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)對(duì)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都列出一個(gè)動(dòng)力平衡方程，于是可得0002211222212122121211111nnnnnnnnnnnykykykymykykykymykykykym 寫(xiě)成矩陣形式為00000212122221112112121 nnnnnnnnnyyykkkkkkkkkyyymmm多自由度結(jié)構(gòu)無(wú)阻尼自由振動(dòng)微分方程第73頁(yè)/共15

39、5頁(yè)14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)簡(jiǎn)寫(xiě)為 0YKYM 00000212122221112112121 nnnnnnnnnyyykkkkkkkkkyyymmm式中：K 為剛度矩陣，是對(duì)稱(chēng)矩陣；由 K1柔度矩陣與剛度矩陣是互為逆陣。記憶方法：和單自由度比較剛度法011ykmy 0YKYM 柔度法011ymy 0YMY 第74頁(yè)/共155頁(yè)微分方程解答振動(dòng)特點(diǎn)14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)設(shè)位移方程的特解為), 2 , 1()sin(nitAyii代入位移方程可得010101222211122222211211221212111nnnnnnnnnnnnAmAmAmAmAmAmAmAmAm振幅方程

40、1、按柔度法求解這是一組各質(zhì)點(diǎn)按同一頻率振動(dòng)，只是振幅不同。第75頁(yè)/共155頁(yè)14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)寫(xiě)成矩陣形式 012AIM式中 T21nAAAA振幅列向量I 為單位矩陣。要得到振幅不全為零的解答，振幅方程組的系數(shù)行列式為零。 011111det22221112222211211212211122nnnnnnnnnmAmAmmmAmmmmIMIM頻率方程第76頁(yè)/共155頁(yè)14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng) 將行列式展開(kāi)含 2的n次代數(shù)方程，從而可得到n個(gè)自振頻率1，2，n，將頻率從小到大排列，分別稱(chēng)為第一，第二， ，第n頻率。將任一k代入特解得), 2 , 1()sin()()(

41、nitAykkkiki此時(shí)各質(zhì)點(diǎn)按同一頻率k作同步簡(jiǎn)諧振動(dòng)，各質(zhì)點(diǎn)位移的比值為)()(2)(1)()(2)(1:knkkknkkAAAyyy任何時(shí)刻結(jié)構(gòu)的振動(dòng)都保持同一形狀。主振動(dòng)多自由度結(jié)構(gòu)按任一自振頻率k進(jìn)行的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。主振型相應(yīng)的特定振動(dòng)形式，簡(jiǎn)稱(chēng)振型。第77頁(yè)/共155頁(yè)14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)), 2 , 1(010101)(2)(222)(111)(2)(22222)(1121)(1)(2212)(12111nkAmAmAmAmAmAmAmAmAmknknnnknknknnnkkkknnnkkk將k代回振幅方程得可寫(xiě)為), 2 , 1(01)(2nkAIMkk 系數(shù)行列式為

42、零，n個(gè)方程中只有(n-1)個(gè)是獨(dú)立的，不能確定各質(zhì)點(diǎn)的幅值，但可確定其比值即振型。第78頁(yè)/共155頁(yè)14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng) T)()(2)(1)(knkkkAAAA振型向量設(shè) ，即可求出其余各元素的值，此時(shí)振型稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)化振型。1)(1kA主振動(dòng)的線性組合構(gòu)成振動(dòng)微分方程的一般解：), 2 , 1()sin()sin()sin()sin(1)()(22)2(11)1(nitAtAtAtAynkkkkinnniiiikkiA、)(各主振動(dòng)分量的振幅、初相角由初始條件確定。自振頻率、振型：與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量分布和柔度系數(shù)有關(guān)； 反映了結(jié)構(gòu)本身固有的動(dòng)力特性。 nkkkktAY1)()sin(

43、第79頁(yè)/共155頁(yè)兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng))()()()(222211212221211111ymymyymymy 00222221121122121111yymymyymym 22211211000021212122211211yyyymm 0 YYM 14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)第80頁(yè)/共155頁(yè)14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)振幅方程為0101222221121221212111AmAmAmAm頻率方程為011222211212122111mAmmm令210)()(2121222112221112mmmm解得2)(4)()(2)(4)()(21212221122221112221

44、11221212221122221112221111mmmmmmmmmmmm)sin(tAyii)sin()sin(2211tAytAy第81頁(yè)/共155頁(yè)14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)可得兩個(gè)自振頻率111求第一陣型將=1代入振幅方程可得21211121)1(1)1(211mmAA求第二陣型將=2代入振幅方程可得21211122)2(1)2(221mmAA221代入振幅方程，得振型方程0101)(22222)(1121)(2212)(11211iiiiiiAmAmAmAm兩個(gè)方程不獨(dú)立，可由第一個(gè)方程解出兩個(gè)主振型質(zhì)點(diǎn)位移的比值第82頁(yè)/共155頁(yè)【例】【例】 試求結(jié)構(gòu)的自振頻率和振型試求

45、結(jié)構(gòu)的自振頻率和振型. .1l/41l/21M圖2M圖m1=mm2=2ml/2l/2l/2EI=常數(shù)3331122122184832lEIlEIlEI解(1)求柔度系數(shù)(2)求頻率mmDmm1111222211222210131322.6356.653EI mlEI ml14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)第83頁(yè)/共155頁(yè)(3)求振型. YmYm111222111121110 305. YmYm121222211122111 639第一振型第二振型10.30511.63914-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)第84頁(yè)/共155頁(yè)【例】 圖示剛架，在梁跨中D處和柱頂A處有大小相等的集中質(zhì)量m，支座C處

46、為彈性支承，彈簧的剛性系數(shù)k=(3EI)/l3。試求自振頻率和振型。 1. 求柔度系數(shù) 解：體系有兩自由度，A處質(zhì)點(diǎn)的水平位移和D處質(zhì)的豎向位移。EIEIAmBCD3EIlM1k=3/2l1/2/2l/2lm/2l1l/41/22M1/21E IE IAmBCD3E IlM11k =3/2l1 /2M21 /21 /2/2l/2lm/2l1/4l3111 12121 1 1202 2 2 3 22 23 22 296lllllllEIkEI 32221211110224342296llllEIkEI31221211111()2442296llllEIkEI 繪制M1、M2圖,由圖乘及彈簧內(nèi)力虛

47、功計(jì)算得14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)第85頁(yè)/共155頁(yè)14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)3296EIml2. 寫(xiě)出振型方程331223312220111()0969611101()09696llmAmAEIEIllmAmAEIEI（a） (20)11011(10)3. 寫(xiě)出頻率方程，求頻率230790展開(kāi)式為127.08322.917解得 1331961.833EIEImlml2332965.737EIEImlml相應(yīng)的頻率為第86頁(yè)/共155頁(yè)14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)第一主振型第二主振型2=2.9174. 求振型并繪出振型圖1.553第 二 振 型1(b)10.644xyo第 一

48、 振 型(a)由所得結(jié)果繪出振型644. 02121111)1(1)1(21mmAA1=27.083553. 12121112)2(1)2(22mmAA644. 01)1(1)1(2AA553. 11)1(1)1(2AA振型向量為第87頁(yè)/共155頁(yè)14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)例14-3 試求圖a所示等截面簡(jiǎn)支梁的自振頻率并確定主振型。解：自由度=2，由圖b、c可得EIlEIl486724343211232211求得EImlEIml486486153231得到3322331105.22486169. 5154861mlEImlEImlEImlEI第88頁(yè)/共155頁(yè)14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的

49、自由振動(dòng)第一陣型12121111)1(1)1(21mmAA第二陣型12121112)2(1)2(22mmAA如圖d，振型是正對(duì)稱(chēng)的。如圖e，振型是反對(duì)稱(chēng)的。結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量分布是對(duì)稱(chēng)的，則其主振型是正對(duì)稱(chēng)的或反對(duì)稱(chēng)的。取一半結(jié)構(gòu)計(jì)算。第89頁(yè)/共155頁(yè)14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)例 計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率和主振型。EI=常數(shù)。解：結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)，振型分為對(duì)稱(chēng)和反對(duì)稱(chēng)。可取半結(jié)構(gòu)計(jì)算，簡(jiǎn)化為單自由度計(jì)算對(duì)稱(chēng)振型EIaaaEI343133311maEI3143反對(duì)稱(chēng)振型EIaaEI322313322maEI3223第一振型第二振型第90頁(yè)/共155頁(yè)14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)例14-4 圖a

50、所示剛架各桿EI都為常數(shù)，假設(shè)其質(zhì)量集中于各結(jié) 點(diǎn)處，m2=1.5m1。試確定其自振頻率和相應(yīng)的振型。解：結(jié)構(gòu)是對(duì)稱(chēng)的，其振型為正、反對(duì)稱(chēng)兩種。由受彎直桿的 假定，判定不可能發(fā)生正對(duì)稱(chēng)形式的振動(dòng)，其振型只能是 反對(duì)稱(chēng)的。可取圖b所示一半結(jié)構(gòu)計(jì)算。超靜定結(jié)構(gòu)第91頁(yè)/共155頁(yè)14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)作超靜定結(jié)構(gòu)在F1=1和F2=1作用下的彎矩圖，如圖a、b。取靜定的基本結(jié)構(gòu)作 圖，如圖c、d。21MM 、EIhEIhEIh48274823483932112322311計(jì)算得第92頁(yè)/共155頁(yè)14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)EIhmEIhm3123110751. 0,4561. 1有可

51、得3122311165. 31,83. 01hmEIhmEI第一陣型673. 01第二陣型874. 02反對(duì)稱(chēng)振動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)同向振動(dòng)反對(duì)稱(chēng)振動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)反向振動(dòng)第93頁(yè)/共155頁(yè)例題例題 試求結(jié)構(gòu)的自振頻率和振型試求結(jié)構(gòu)的自振頻率和振型. .EIEI= =常數(shù)常數(shù)mml/4l/4l/4l/4m13l/161l/41M圖2M圖13l/163M圖3113332231221233231331976816768117687768lEIlEIlEIlEI解(1)求柔度系數(shù)14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)第94頁(yè)/共155頁(yè)(2)求頻率mmmDmmmmmm1111221332211222233231133133

52、3211011223334.93319.56941.59EIEIEImlmlml14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)第95頁(yè)/共155頁(yè)(3)求振型 MIY210令每個(gè)振型的第一個(gè)元素為1，得 TTT.12311 414110111 4141YYY11.4141第三振型(正對(duì)稱(chēng))第二振型(反對(duì)稱(chēng))11第一振型(正對(duì)稱(chēng))11.414114-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)第96頁(yè)/共155頁(yè))sin(tAyii 02AMK 21AAA 02MK頻率方程由頻率方程可解出自振頻率，代回振幅方程得振幅方程), 2 , 1(0)(2nkAMKkk確定相應(yīng)主振型2、按剛度法求解 0YKYM 14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的

53、自由振動(dòng)第97頁(yè)/共155頁(yè)002221212221211111ykykymykykym 00m00m2122211211121yykkkkyyy 0YKYM 14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)兩個(gè)自由度)sin(tAyii)sin()sin(2211tAytAy)sin(2121tAAyy )sin(tAY第98頁(yè)/共155頁(yè)14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)0021222221121211AAmkkkmk 02AKAM 02AMK有非零解時(shí)，系數(shù)行列式等于零0222221121211mkkkmk得振幅方程為002222212121211211AmkAkAkAmk第99頁(yè)/共155頁(yè)14-6 多

54、自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)兩個(gè)自由度的結(jié)構(gòu)頻率方程為0222221121211mkkkmk展開(kāi)0)()()(212221121222112221kkkmkmkmm解得212122211222211122211122, 1)(42121mmkkkmkmkmkmk兩個(gè)方程不獨(dú)立，可由第一個(gè)方程解出兩個(gè)主振型質(zhì)點(diǎn)位移比值為1211122)2(1)2(221211121)1(1)1(21kkmAAkkmAA代入振幅方程，得振型方程00)(22222)(121)(212)(11211iiiiiiAmkAkAkAmk第100頁(yè)/共155頁(yè)14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)例 計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率和主振型。解：1

55、、解釋概念：層間側(cè)移剛度層間側(cè)移剛度：第i層之間發(fā)生單位側(cè)移時(shí)水平力。用ki 表示，也稱(chēng)為層間總剪力。其值等于該層各柱的側(cè)移剛度之和。2、用層間剛度表示的剛度系數(shù)2111kkk221kk222kk21212kkk第101頁(yè)/共155頁(yè)14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)柱的側(cè)移剛度：發(fā)生柱端單位側(cè)移時(shí)的側(cè)向力（即柱的剪力）。33124212lEIlEIkkklEIlEIk133224212,22111kkkk,22112kkkkkkk222212122211222211122211122, 1)(42121mmkkkmkmkmkmkmkmkmkmkkmkmk2532523)2(4321321222

56、2第102頁(yè)/共155頁(yè)mkmk382. 025321mkmk618. 0382. 01mkmk618. 225322mkmk618. 1618. 2214-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)兩個(gè)主振型為618. 112382. 01211121)1(1)1(21kkmAA618. 012618. 21211122)2(1)2(22kkmAA 618. 11)1(2)1(1)1(AAA 618. 01)2(2)2(1)2(AAA第103頁(yè)/共155頁(yè)mmhhh14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)例 計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率和主振型。已知橫梁剛度無(wú)窮大，立柱剛度為EI=常數(shù)。解：結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)，振型分為對(duì)稱(chēng)和反對(duì)稱(chēng)

57、。可取半結(jié)構(gòu)計(jì)算，簡(jiǎn)化為單自由度計(jì)算31124hEIk3124mhEI333227222324hEIhEIhEIk3272mhEI請(qǐng)同學(xué)們自己繪出兩個(gè)主振型。第104頁(yè)/共155頁(yè)例14-5 圖a所示三層剛架橫梁的剛度可視為無(wú)窮大，設(shè)剛架的 質(zhì)量集中在各層的橫梁上。試確定其自振頻率和主振型。14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)解：剛架振動(dòng)時(shí)各橫梁只能水平移動(dòng)，自由度=3，結(jié)構(gòu)的剛度 系數(shù)如圖b、c、d。第105頁(yè)/共155頁(yè)14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)建立剛度矩陣為110132026243lEIK質(zhì)量矩陣為10005 . 10002mM第106頁(yè)/共155頁(yè)14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)有1

58、1015 .EIMK2324EIml由頻率方程得011015 . 1320226展開(kāi)082718323解得834. 3,774. 1,392. 0321自振頻率324mlEI333231592. 9,525. 6,067. 3mlEImlEImlEI第107頁(yè)/共155頁(yè)14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)確定主振型將k=1即k=1=0.392代入振幅方程有00011015 . 1320226)(3)(2)(1kkkAAA1)1(1A設(shè)標(biāo)準(zhǔn)化的第一振型為290. 4608. 21)1(3)1(2)1(1)1(AAAA同理可求得584. 1226. 11)2(3)2(2)2

59、(1)2(AAAA294. 0834. 01)3(3)3(2)3(1)3(AAAA第108頁(yè)/共155頁(yè)14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)第一、二、三振型分別如圖a、b、c。第109頁(yè)/共155頁(yè)14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)主振型的正交性 n個(gè)自由度的結(jié)構(gòu)有n個(gè)自振頻率及n個(gè)主振型，每一頻率及相應(yīng)的主振型均滿(mǎn)足振幅方程即：分別設(shè)k=i，k=j，可得 0)()(2kkAMK )(2)(iiiAMAK兩邊左乘以T)( jA兩邊左乘以T)(iA )(2)(jjjAMAK則有 )(T)(2)(T)(ijiijAMAAKA )(T)(2)(T)(jijjiAMAAKAK、M均為對(duì)稱(chēng)矩陣，將第二個(gè)式子兩

60、邊轉(zhuǎn)置有 )(T)(2)(T)(ijjijAMAAKA和第110頁(yè)/共155頁(yè)14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)將第一式減去第三式得0)(T)(22ijjiMAA當(dāng)ij時(shí)，i j，應(yīng)有0)(T)(ijAMA此式表明對(duì)于質(zhì)量矩陣M，不同頻率的兩個(gè)主振型是彼此正交的。也可由上頁(yè)的式子得0)(T)(ijKAA此式表明對(duì)于剛度矩陣K，不同頻率的兩個(gè)主振型是彼此正交的。 主振型的正交性是結(jié)構(gòu)本身固有的特性，可以用來(lái)簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)的動(dòng)力計(jì)算，可用以檢驗(yàn)所得主振型是否正確。第111頁(yè)/共155頁(yè)14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)例 驗(yàn)證圖示結(jié)構(gòu)主振型的正交性。解：前面已經(jīng)解除了主振型，618. 11)1 (2)1 (