1、7 7 平穩時間序列預測法平穩時間序列預測法7.1 概述7.2 時間序列的自相關分析7.3 單位根檢驗和協整檢驗7.4 ARMA模型的建模 回總目錄7.1 概概 述述 時間序列 取自某一個隨機過程，則稱： ty 一、平穩時間序列過程是平穩的隨機過程的隨機特征不隨時間變化而變化過程是非平穩的隨機過程的隨機特征隨時間變化而變化回總目錄回本章目錄 寬平穩時間序列的定義：設時間序列 ty，對于任意的t,k和m，滿足： mttyEyEkmtmtkttyyyy,cov,cov則稱 寬平穩。 ty回總目錄回本章目錄q Box-Jenkins方法是一種理論較為完善的統計預測方法。 他們的工作為實際工作者提供了

2、對時間序列進行分析、 預測，以及對ARMA模型識別、估計和診斷的系統方 法。使ARMA模型的建立有了一套完整、正規、結構 化的建模方法，并且具有統計上的完善性和牢固的理 論基礎。q ARMA模型是描述平穩隨機序列的最常用的一種模型；回總目錄回本章目錄 ARMA模型三種基本形式：q 自回歸模型（AR：Auto-regressive）；q 移動平均模型（MA：Moving-Average）；q 混合模型（ARMA：Auto-regressive Moving-Average）。回總目錄回本章目錄 如果時間序列 滿足 其中 是獨立同分布的隨機變量序列,且滿足： 則稱時間序列 服從p階自回歸模型。 t

3、 ty 二、自回歸模型 tytptpttyyy.11l回總目錄回本章目錄 0Var , 02ttE 自回歸模型的平穩條件：滯后算子多項式 ppBBB.11的根均在單位圓外，即 0B的根大于1。 回總目錄回本章目錄 如果時間序列 滿足則稱時間序列 服從q階移動平均模型。 或者記為 。平穩條件：任何條件下都平穩。 ttyB ty11.tttq t qy ty 三、移動平均模型MA(q) 回總目錄回本章目錄 四、ARMA(p,q)模型如果時間序列 ty滿足：qtqttptpttyyy.1111則稱時間序列 服從(p,q)階自回歸移動平均模型。 ty或者記為： ttByB回總目錄回本章目錄q q=0，

4、模型即為AR(p)；q p=0，模型即為MA(q)。 ARMA(p,q)模型特殊情況：回總目錄回本章目錄例題分析 設 cossintXActBct，其中A與B為兩個獨立的零均值隨機變量，方差為1；0c為一常數。試證明：tX寬平穩。回總目錄回本章目錄證明： cossin0tE XE ActBct 22,cossincossincoscoscossinsincossinsincoscossinsincos ()r s tE ActBctAcsBcsE AcsctABctcsABctcsBctcscsctctcsc ts均值為0，tX,r s t只與t-s有關，所以寬平穩。回總目錄回本章目錄7.2

5、時間序列的自相關分析 q自相關分析法是進行時間序列分析的有效方 法，它簡單易行, 較為直觀，根據繪制的自 相關分析圖和偏自相關分析圖，我們可以初 步地識別平穩序列的模型類型和模型階數。q 利用自相關分析法可以測定時間序列的隨機性 和平穩性，以及時間序列的季節性。一、自相關分析回總目錄回本章目錄（1）自相關函數的定義 滯后期為k的自協方差函數為： tktkyyr,cov則自相關函數為： tktyykkr其中 22ttyyEyEt回總目錄回本章目錄 當序列平穩時，自相關函數可寫為： 0rrkk（2）樣本自相關函數nttkntkttkyyyyyy121其中 nyyntt/1回總目錄回本章目錄q 樣本

6、自相關函數可以說明不同時期的數 據之間的相關程度，其取值范圍在-1到 1之間，值越接近于1，說明時間序列的 自相關程度越高。回總目錄回本章目錄（3）樣本的偏自相關函數是給定了的條件下，ty與滯后k期時間序列之間的條件相關。定義表示如下：kk111,111,11kjjkjkkjjkjkk1k,.3 , 2k其中， jkkkkjkjk, 1, 1,121,ktttyyy回總目錄回本章目錄 時間序列的隨機性，是指時間序列各項之間沒有相關關系的特征。使用自相關分析圖判斷時間序列的隨機性，一般給出如下準則：q 若時間序列的自相關函數基本上都落入 置信區間，則該時間序列具有隨機性；q 若較多自相關函數落在

7、置信區間之外， 則認為該時間序列不具有隨機性。回總目錄回本章目錄 判斷時間序列是否平穩，是一項很重要的工作。運用自相關分析圖判定時間序列平穩性的準則是： q若時間序列的自相關函數在k3時都落入置 信區間，且逐漸趨于零，則該時間序列具有平穩性；q若時間序列的自相關函數更多地落在置信區 間外面，則該時間序列就不具有平穩性。回總目錄回本章目錄二、ARMA模型的自相關分析 q AR(p)模型的偏自相關函數是以p步截尾的，自 相關函數拖尾；q MA(q)模型的自相關函數具有q步截尾性，偏 自相關函數拖尾； （可用以上兩個性質來識別AR和MA模型的階數）q ARMA(p,q)模型的自相關函數和偏相關函數都

8、 是拖尾的。回總目錄回本章目錄7.3 單位根檢驗和協整檢驗單位根檢驗和協整檢驗 一、單位根檢驗 利用迪基福勒檢驗（ Dickey-Fuller Test）和菲利普斯佩榮檢驗（Philips-Perron Test），也可以測定時間序列的隨機性，這是在計量經濟學中非常重要的兩種單位根檢驗方法，與前者不同的是，后一個檢驗方法主要應用于一階自回歸模型的殘差不是白噪聲，而且存在自相關的情況。回總目錄回本章目錄（1）隨機游動 如果在一個隨機過程中， 的每一次變化均來自于一個均值為零的獨立同分布，即ty隨機過程 ty滿足： tttyy1.2 , 1t其中 t獨立同分布，并且： 0tE 22ttEVar稱這

9、個隨機過程是隨機游動。它是一個非平穩過程。 回總目錄回本章目錄 （2）單位根過程 設隨機過程 ty滿足： tttyy1.2 , 1t其中 1 t為一個平穩過程并且 0tEsstt,cov.2, 1 ,0s回總目錄回本章目錄（3） 協整關系q 如果兩個或多個非平穩的時間序列，其某個 線性組合后的序列呈平穩性，這樣的時間序 列間就被稱為有協整關系存在；q 這是一個很重要的概念，我們利用Engle- Granger兩步協整檢驗法和Johansen協整檢驗 法可以測定時間序列間的協整關系。回總目錄回本章目錄7.4 ARMA模型的建模模型的建模 一、模型階數的確定 （1）基于自相關函數和偏相關函數的定階

10、方法 對于ARMA(p,q)模型，可以利用其樣本的自相關函數和樣本偏自相關函數的截尾性判定模型的階數。回總目錄回本章目錄具體方法如下：q對于每一個q,計算 1q2qMq.（M 取為 或者 ），考察其中滿足 n10/nqiikn12211或者qiikn12212的個數是否占M個的68.3%或者95.5%。如果 01qk k， 都明顯地異于零，而 (轉下頁)回總目錄回本章目錄10q20qMq 0.均近似于零，并且滿足上述不等式之一的 k的個數達到其相應的比例，則可以近似地判定 k是 步截尾，平穩時間序列 0q ty為 0()MA q。,回總目錄回本章目錄q 類似，我們可通過計算序列kk其中滿足 ，

11、考察nkk1或者nkk2是否占M個的68.3%或者95.5%。即可以近似的個數地判定kk是 步截尾，平穩時間序列 0p ty為 0()AR p。回總目錄回本章目錄q 如果對于序列 kkk和截尾，即不存在上述的 來說，均不0p0q和判定平穩時間序列 ，則可以 ty為ARMA模型。 回總目錄回本章目錄（2）基于F 檢驗確定階數（3）利用信息準則法定階（AIC準則和BIC準則）此外常用的方法還有：回總目錄回本章目錄二、模型參數的估計（1）初估計 q AR(p)模型參數的Yule-Walker估計特例：一階自回歸模型AR(1)： 11二階自回歸模型AR(2)： 21211112121221回總目錄回本

12、章目錄q MA(q)模型參數估計 特例：一階移動平均模型MA(1)：12112411二階移動平均模型MA(2)： 2221211112221221回總目錄回本章目錄q ARMA(p,q)模型的參數估計 由于模型結構的復雜性，比較困難，有幾種方法可以進行。一般利用統計分析軟件包完成。 回總目錄回本章目錄（2）精估計 ARMA(p,q)模型參數的精估計，一般 采用極大似然估計，由于模型結構的復 雜性，無法直接給出參數的極大似然估 計，只能通過迭代方法來完成，這時， 迭代初值常常利用初估計得到的值。回總目錄回本章目錄 三、ARMA(p,q)序列預報 設平穩時間序列 ty是一個ARMA(p,q)過程，

13、則其最小二乘預測為： 11,.,yyyElyTTtq AR(p)模型預測 plylylyTpTt.11,.2 , 1lTTT回總目錄回本章目錄q ARMA(p,q)模型預測 1,.,yyEiTiTT其中： jljlylyTjqjTpjjt11T回總目錄回本章目錄q 預測誤差預測誤差為： 11110.llltlttlttlyyle 步線性最小方差預測的方差和預測步長 有關, 而與預測的時間原點t無關。預測步長越大，預測誤差的方差也越大，因而預測的準確度就會降低。所以,一般不能用ARMA(p,q)作為長期預測模型。ll回總目錄回本章目錄q 預測的置信區間 預測的95%置信區間： 21212120.96. 1ltly回總目錄回本章目錄例題分析設120.30.4ttttXXX為一AR(2)序列，其中 (0,1)tWN。求tX的自協方差函數 k。 例 1回總目錄回本章目錄解答：0112Yule-Walker方程為：1212即：0110.30.41020.30.4回總目錄回本章目錄20120.30.41且：聯合上面三個方程，解出：0100/63150/63255/63120.30.4kkk1k回總目錄回本章目錄 例 2考慮如下AR(2) 序列：121.50.30.5ttttXXX (0,