1、第三章 高斯光束基本理論激光由于其良好的方向性、單色性、相干性和高亮度在軍事中在已經有了很多應用，激光器發出的光束是滿足高斯分布的，因而本章將對高斯光束的基本特性和一些參數進行簡單地理論描述。高斯光束及基本參數激光器產生的光束是高斯光束。高斯光束依據激光腔結構和工作條件不同，可以分為基模高斯光束、厄米分布高階模高斯分布、拉蓋爾分布高階模高斯分布和橢圓高斯光束等。激光雷達常常使用激光諧振腔的最低階模模。 高斯光束的分布函數： (3-1) 從激光諧振腔發出的模式輻射場的橫截面的振幅分布遵守高斯分布，即光能量遵守高斯分布，但是高斯光束不是嚴格的電磁場方程解，而是赫姆霍茲方程在緩變振幅近似下的一個特解

2、，它可以很好地描述基模激光光束的性質。穩態傳輸電磁場滿足赫姆霍茲方程： （3-2） 式中與電場強度的復數表示間有關系： （3-3） 高斯光束不是式子(2-3)的精確解，而是在緩變振幅近似下的一個特解。得到 （3-4）是赫姆霍茲方程在緩變振幅近似下的一個特解 ，它可以變形為基模高斯光束的場強度復振幅的表達式： （3-5）其中的為振幅衰減到中心幅值1/e時的位置到光束中心的距離，稱為光束在該平面上的光斑半徑，為平面球面波的曲率半徑。光斑半徑最小的平面稱為激光光束的束腰，束腰半徑為。 假設激光束的波長為，以束腰位置作為軸方向的參考面，則沿光傳播方向上不同截面上光斑半徑表示為： （3-6） （3-7）

3、球面的曲率半徑得到： 等相面為平面 等相面亦可近似視為平面 取極小值 在遠場可將高斯光束近似視為一個由點出發，半徑為的球面波。而且，高斯光束等相面的曲率中心并不是一個固定點，它隨著光束的傳輸而移動。由已知高斯光束的束腰半徑和束腰半徑的位置或者知道某給定位置（設其坐標為）處的光斑半徑及等相位面曲率半徑,也可以由公式（）和（）轉換，都可以唯一確定一個高斯光束。在式（）中為一個由束腰大小決定的量，稱為激光束的共焦參數或瑞利長度，可表示為： （3-8）當時，。在實用中常取范圍內高斯光束的準值范圍，在這段長度內，高斯光束可以近似認為是平行的。所以，瑞利長度越長，就意味著高斯光束的準直范圍越大，反之亦然。

4、接著引入一個新的復參數，定義為： （3-9）其所定義的復參數將描述高斯光束基本特征的兩個參數和統一在一個表達式。如果以表示處的參數值，并注意到，,則： （3-10） 由此得出。用參數來研究高斯光束的傳輸規律，特別是高斯光束通過光學系統的傳輸將比使用其他參數更加方便。高斯光束傳播包絡雙曲線的漸近線與z軸的交角： （3-11）定義為高斯光束的遠場發散角。束腰半徑越小，光束發散程度越大。高斯光束的發散程度，工程上常以全場發散角 （3-12）來描述。高斯光束薄透鏡變換規律由于我們要對激光器輸出的高斯光束進行整形所以必然要對高斯光束進行成像變換，將高斯光束經過薄透鏡變換是高斯光束的主要應用。經過薄透鏡后

5、，高斯激光光束可以聚焦，也可以壓縮發散角進行準直。下面介紹薄透鏡對高斯激光光束的變換規律。高斯光束的性質，可以由束腰半徑和位置來確定，也可以由其復參數q來決定。一般研究高斯光束經薄透鏡的變換規律，實際上是確定復參數q決定的束腰半徑和位置的變換規律。以高斯光束傳播方向為z軸，研究復參數的變換規律。如圖所示，入射高斯光束的束腰位于焦距為F的薄透鏡的左側z處，經薄透鏡變換后的出射的高圖 3.1 高斯光束的薄透鏡變換斯光束束腰位于薄透鏡右側處。此光學系統所對應的光學傳遞矩陣為 （3-13）經計算后相對應的矩陣元素分別為： （3-14）由復參數q的ABCD定律可得以下式子： （3-15）其中，和分別為入

6、射和出射高斯光束束腰處的復參數： （3-16） （3-17）由式（），可以確定出射高斯光束的束腰半徑和位置分別為： （3-18） （3-19）即為高斯光束經過薄透鏡變換應用的基本公式。而高斯光束新的遠場全發散角可以表示為： （3-20）本章小結以上從理論的角度分析了高斯光束的基本原理和性質以及它的一些重要參數，諸如束腰寬度、等相位面、曲率半徑、參數、瑞利長度、遠場半發散角、遠場全發散角等。通過分析上述參數，我們了解到高斯光束的基本特性。其次，通過高斯光束的參數和性質進一步介紹了高斯光束的通過薄透鏡的變換規律，重點對一個薄透鏡的變換規律和成像公式進行推導。第四章 激光變發散角光學系統針對同一激光

7、雷達測量不同大小目標的雷達散射截面時，要求激光雷達出射光束能夠覆蓋目標的要求，由于激光光束本身發散角極小，不能滿足實驗要求，就需要在激光器之后添加光學系統以改變出射光束的遠場發散角。本章針對具體實驗要求設計激光變發散角光學系統以達到全場發散角在0-200mrad范圍內連續變化。變發散角光學系統計算與設計由公式（）可知，入射光束束腰越接近薄透鏡焦點，則光束新的遠場發散角越小，反之亦然。設計原理為當高斯光束經過兩次薄凸透鏡變換后，改變第二個透鏡與第一個透鏡變換后高斯光束束腰位置之間的距離，來實現高斯光束經第二個透鏡后遠場全發散角的連續變化。由于激光器出射光是高斯光束，但高斯光束束腰位置的不確定或者

8、束腰位置不在激光器光腔外而在激光器光腔內，使得第一個透鏡焦點不能精確落在高斯激光光束的束腰位置，則要計算第一個薄凸透鏡鏡前距離z對后續計算的影響。由公式（）計算，當=980nm，0=1.0,1.2，1.4,1.6,1.8mm,z=0-100cm，F=20mm,30mm時，經第一個薄凸透鏡變換后高斯激光光束束腰位置z的規律為：當束腰半徑變化，束腰位置距薄凸透鏡距離在1米內變化時，透鏡后的束腰位置為透鏡的焦距，即為當時，。第一個薄凸透鏡位置距離激光器出光口位置對經過其變換的新高斯光束的束腰半徑和束腰位置影響極小，可忽略不計。如圖（）所示，高斯光束經過焦距分別為20mm和30mm的薄凸透鏡后，其新形

9、成的高斯光束的束腰位置分別近似為透鏡的焦距。因此實驗時可在出光口處附近任意選取合適位置放置第一個透鏡，而出射光束束腰位置距透鏡距離對后續光束變換基本無影響。但實驗室條件下，第一個透鏡仍應盡量靠近激光器出光口位置。 圖接著討論如何選取合適焦距透鏡組合，滿足移動量20-30mm內使遠場全發散角0-200mrad連續變化。由于激光器輸出激光束腰半徑為毫米數量級，所以先選擇束腰半徑為1mm時進行仿真計算。當，時，用matlab仿真經透鏡變換后新高斯光束的束腰半徑和遠場發散角大小，如下圖由圖可知，激光經第一個透鏡變換后，新束腰半徑為10-2mm數量級左右，即10-5m數量級左右。透鏡焦距越大，經變換后的

10、新束腰半徑越大，遠場發散角越小，反之亦然。已知新束腰半徑為10-5m數量級左右，現在以此為對象，經過第二個透鏡進行變換。第二個透鏡的焦距仍然分別為20,30,40,60mm。用matlab仿真經透鏡變換后新高斯光束的束腰半徑和遠場發散角大小，如下圖由圖可知，當束腰半徑為10-5m時，透鏡距離束腰半徑位置0-0.2m變化時，遠場發散角基本程線性變化。圖（）右圖中，折現拐點分別對應第二個透鏡的焦距，經過拐點后，隨著透鏡距離束腰半徑位置的增大，遠場發散角也增大，達到200mrad時對應的距離減去透鏡焦距即為第二個透鏡的移動量。第二個透鏡焦距越小，達到200mrad時所需的移動量越小。第二個透鏡焦距為

11、20mm時，透鏡移動量約為60mm，超出設計要求，所以要選擇焦距更小的透鏡。實驗室選擇焦距為15mm的透鏡作為第二個透鏡以減小移動量，透鏡直徑為10mm。接著討論選取第一個透鏡的焦距及直徑尺寸。由計算所得數據表格如下：波長980nm0/mmF=20mmF=30mm1/×10-6m/rad1/×10-6m/rad1.06.240.109.350.0671.15.680.118.500.0731.25.200.127.800.0801.34.800.137.200.0871.44.460.146.680.0931.54.160.156.240.1001.63.900.165.8

12、50.1071.73.670.175.500.1141.83.470.185.200.120當第一個透鏡焦距小時，第一次變換得到的束腰半徑小，所要求的第二個透鏡的離焦移動量較小，但第一次變換后的遠場發散角較大，容易使得到達移動后的第二個透鏡上的光斑超過透鏡直徑而損失光能量；第一個透鏡焦距大時，移動量會相應增大，但第一次變換后的遠場發散角較小，得到達移動后的第二個透鏡上的光斑不會超過透鏡直徑而損失光能量。第一個透鏡的直徑大小對實驗經過無影響，可根據實際選取。經過計算以及廠家產品手冊產品數據，實驗室選擇焦距為25.4mm的透鏡作為第一個透鏡，透鏡直徑為20mm。設計要求為波長為980nm的激光器，

13、而實驗室具體實驗時為532nm激光器。分別在第一個透鏡焦距為25.4mm,第二個透鏡焦距為15mm時，分別對波長為532nm和980nm時進行計算仿真，結果如圖9090。圖為波長為532nm，束腰半徑分別為1.0-1.8mm的激光束經過第一個透鏡變換后的束腰半徑和遠場發散角。再把以上結果經過第二個透鏡進行變換得到的結果圖如圖909090由以上兩圖得到仿真數據列表，并計算處第二個透鏡的移動量和到達第二個透鏡時的光斑大小以確定光斑是否超出透鏡尺寸大小造成能量損失。波長532nm0/mm1/×10-6m/radL/mml/mmD/mm1.04.30.07953384.181.13.910.

14、08750354.351.23.580.09447324.421.33.310.10344294.531.43.070.11042274.621.52.870.11841264.841.62.690.12639244.911.72.530.13437224.961.82.390.14236215.11透鏡的移動量l為圖（）中遠場發散角達到0.2rad時的距離L減去第二個透鏡的焦距F2；而到達第二個透鏡的光斑大小D為遠場發散角達到0.2rad時的距離L與經第一個透鏡變換后的到的遠場發散角的乘積。由上表可知仿真結果滿足設計要求可以在實驗室條件下驗證。以下為波長為980nm，束腰半徑分別為1.0-1

15、.8mm的激光束經過第一個透鏡變換后的束腰半徑和遠場發散角的結果圖，再把得到的圖中數值結果帶入公式計算，經過第二個透鏡進行變換得到的遠場發散角隨第二個透鏡離焦距離變化的結果圖如下：由以上兩圖得到波長為980nm時的仿真數據列表，并計算第二個透鏡的離焦距離和到達透鏡時的光斑大小。數據列表如下：波長980nm0/mm1/×10-6m/radL/mml/mmD/mm1.07.920.07955404.351.17.200.08750354.351.26.600.09547324.471.36.100.10344294.531.45.650.11042274.621.55.280.11840

16、254.721.64.950.12638234.791.74.650.13437224.961.84.400.14236215.11實驗驗證及數據分析實驗光路過程實驗結果實驗室采用波長為532nm的激光器作為光源進行試驗驗證。由于開始移動量較小時，光斑半徑較小不利于測量，所以選擇移動量為 后，每次移動2mm，測量光斑橫軸和縱軸位置的光功率大小采樣，對數據進行歸一化處理后，再進行高斯擬合，得到高斯擬合圖樣，在圖像中找到中心光功率的1/e2處(約為0.1353處)，確定出光斑半徑，測量點距離第二個透鏡位置為100cm，以此計算移動第二個透鏡后光斑的遠場發散角大小。圖（）分別是移動量為6mm時測量光

17、斑不同位置的光功率大小進行擬合得到的三維圖樣，圖為俯視時光斑的光功率分布圖能用來反映光斑大小。在圖（）中找到光功率最大點后，沿橫軸和縱軸分別擬合出歸一化后的光功率分布曲線，歸一化光功率曲線圖為（）。在曲線中找到光功率為最大值的0.1353處，在縱軸坐標為-25.7mm和18.5mm，在橫軸為-16.6mm和13.5mm，可計算出在縱軸發散角為44.4mrad,橫軸發散角為30.2mrad。同樣在移動量為8mm時移動量為4mm時測量光斑不同位置的光功率大小進行擬合得到的三維圖樣為圖（），圖（）為俯視時光斑的光功率分布圖能用來反映光斑大小。在（）圖中找到光功率最大點后，沿橫軸和縱軸分別擬合出歸一化

18、后的光功率分布曲線，歸一化光功率曲線圖為（）。在曲線中找到光功率為最大值的0.1353處，在縱軸坐標為-38.2mm和29.0mm，在橫軸為-19.7mm和23.9mm，可計算出在縱軸發散角為67.6mrad,橫軸發散角為43.9mrad。在移動量為10mm時，分別在光斑光功率最大值處沿縱軸和橫軸分別兩次測量光功率，歸一化之后擬合出歸一化光功率曲線。圖（）和圖（）為縱軸近似位置兩次測量結果歸一化擬合圖。在曲線中找到光功率為最大值的0.1353處，分別為-41.0mm和46.1mm，-41.6mm和45mm，分別計算縱軸發散角87.8mrad和87.3mrad，均值為87.6mrad。圖（）和圖

19、（）為橫軸近似位置兩次測量結果歸一化擬合圖。在曲線中找到光功率為最大值的0.1353處，分別為-28.3mm和31.4mm，-27.8mm和29.4mm，分別計算縱軸發散角60.2mrad和57.7mrad，均值為59mrad。在移動量為12mm時，分別在光斑光功率最大值處沿縱軸和橫軸分別兩次測量光功率，歸一化之后擬合出歸一化光功率曲線。圖（）和圖（）為縱軸近似位置兩次測量結果歸一化擬合圖。在曲線中找到光功率為最大值的0.1353處，分別為-51.5mm和54.9mm，-50.1mm和55.0mm，分別計算縱軸發散角107.5mrad和106.2mrad，均值為106.8mrad。圖（）和圖（

20、）為橫軸近似位置兩次測量結果歸一化擬合圖。在曲線中找到光功率為最大值的0.1353處，分別為-38.1mm和37mm，-37.4mm和36.5mm，分別計算縱軸發散角75.9mrad和74.5mrad，均值為75.2mrad。在移動量為14mm時，分別在光斑光功率最大值處沿縱軸和橫軸分別兩次測量光功率，歸一化之后擬合出歸一化光功率曲線。圖（）和圖（）為縱軸近似位置兩次測量結果歸一化擬合圖。在曲線中找到光功率為最大值的0.1353處，分別為-54.3mm和72.0mm，-54.2mm和73.1mm，分別計算縱軸發散角127.8mrad和128.8mrad，均值為128.3mrad。圖（）和圖（）

21、為橫軸近似位置兩次測量結果歸一化擬合圖。在曲線中找到光功率為最大值的0.1353處，分別為-39.7mm和47.5mm，-41.3mm和47.6mm，分別計算縱軸發散角88.3mrad和90.0mrad，均值為89.2mrad。在移動量為16mm時，分別在光斑光功率最大值處沿縱軸和橫軸分別兩次測量光功率，歸一化之后擬合出歸一化光功率曲線。圖（）和圖（）為縱軸近似位置兩次測量結果歸一化擬合圖。在曲線中找到光功率為最大值的0.1353處，分別為-67.1mm和74.8mm，-66.8mm和73.3mm，分別計算縱軸發散角143.9mrad和142.1mrad，均值為143.0mrad。圖（）和圖（

22、）為橫軸近似位置兩次測量結果歸一化擬合圖。在曲線中找到光功率為最大值的0.1353處，分別為-52.2mm和49.7mm，-50.8mm和51.2mm，分別計算縱軸發散角103.3mrad和103.4mrad，均值為103.4mrad。在移動量為18mm時，分別在光斑光功率最大值處沿縱軸和橫軸分別兩次測量光功率，歸一化之后擬合出歸一化光功率曲線。圖（）和圖（）為縱軸近似位置兩次測量結果歸一化擬合圖。在曲線中找到光功率為最大值的0.1353處，分別為-80.3mm和80.1mm，-77.3mm和82.6mm，分別計算縱軸發散角163.0mrad和162.5mrad，均值為162.8mrad。圖（

23、）和圖（）為橫軸近似位置兩次測量結果歸一化擬合圖。在曲線中找到光功率為最大值的0.1353處，分別為-59.7mm和56.8mm，-52.9mm和61.3mm，分別計算縱軸發散角118.4mrad和116.1mrad，均值為117.3mrad。在移動量為20mm時，分別在光斑光功率最大值處沿縱軸和橫軸分別兩次測量光功率，歸一化之后擬合出歸一化光功率曲線。圖（）和圖（）為縱軸近似位置兩次測量結果歸一化擬合圖。在曲線中找到光功率為最大值的0.1353處，分別為-92.5mm和91.9mm，-92.6mm和92.1mm，分別計算縱軸發散角187.8mrad和188.1mrad，均值為187.9mra

24、d。圖（）和圖（）為橫軸近似位置兩次測量結果歸一化擬合圖。在曲線中找到光功率為最大值的0.1353處，分別為-63.3mm和65.6mm，-62.3mm和70.1mm，分別計算縱軸發散角131.3mrad和134.8mrad，均值為133.1mrad。實驗分析本次實驗采用的是美國Coherent公司的Verdi-2W型號，波長為532nm，束腰直徑為2.25±10mm，光斑橢圓率1±0.1，光束質量1.1的綠光激光器，光束遠場發散角0.5mrad（以中心光強1/e2處計算）。實驗所得到的第二個透鏡的移動量與縱軸和橫軸發散角的關系如表（）：移動量/mm681012141618

25、20縱軸發散角/mrad44.467.687.6106.8128.3143.0162.8187.9橫軸發散角/mrad30.243.95975.289.2103.4117.3133.1以此為依據分別作出橫軸和縱軸的遠場發散角與移動量的關系曲線，在對比模擬結果圖，得到結果如圖（）和圖（）。從圖（）可以看出縱軸的遠場發散角與移動量關系圖曲線位置介于入射光束束腰半徑為1.5和1.6mm時的模擬曲線圖之間，接近于1.6mm；從圖（）可以看出橫軸的遠場發散角與移動量關系圖曲線位置介于入射光束束腰半徑為1.1和1.2mm時的模擬曲線圖之間，接近1.2mm。對比激光器的輸出參數可知，激光器輸出光束束腰半徑為

26、1.125±10mm，而縱軸的最大光束束腰半徑值為1.36mm；實驗所得縱軸光束半徑1.6mm，橫軸光束半徑1.2mm，光斑橢圓率為1.3，大于激光器輸出時的1.1，輸出光斑橢圓率增大，光斑呈橢圓狀態。造成這一結果的具體原因分析如下：1. 激光器本身出射激光光斑的橢圓率為激光器設計的最大值。2. 實驗本身光學系統的光路共軸性有少量偏差。由物理光學與應用光學可知，當入射光束未能完全通過透鏡中心位置時，透鏡非薄透鏡會使得光束通過透鏡時橫軸與縱軸的折射率不同，使得光斑形狀發生變化；經過第二個透鏡時會使變化進一步加大。解決方案對于激光器本身光斑光束質量未能作出解決方案，對于光路共軸調節可以對

27、光學系統進行如圖（）封裝。封裝套管可以保證系統本身的光路共軸，減小系統對光斑質量的影響;便于夾持固定，方便激光器出射光束與系統透鏡中心的調節；采用螺紋攻絲方法，便于移動量的精確調節，尺寸設計也能滿足移動量對不同束腰半徑和不同波長光束調節的最大量的調節，具有一定的通用性。從實驗結果列表和結果對比圖分析，光學系統達到設計要求，能實現移動量最大值為30mm時，光束遠場發散角連續變化，最大值為200mrad。本章小結本章由高斯光束經薄透鏡的變換規律設計變發散角光學系統。計算并模擬入射激光光束波長分別為532nm和980nm，束腰半徑1.0-1.8mm通過不同焦距透鏡的理論結果；根據模擬結果選擇焦距為2

28、5.4mm和15mm的雙凸透鏡組合并設計實驗，在實驗室條件下，利用波長532nm激光光束對所設計光學系統進行驗證，記錄不同位置的光功率值，并對實驗數據分析計算相應的遠場發散角，對比理論計算結果，分析產生誤差的原因并對光學系統的工程實用化進行進一步優化。第五章 總結與展望致謝回首西安電子科技大學求學的日子，無限感激多年來導師的指導，老師的教導，同窗的支持以及親人的關懷。本論文的研究自始至終都得到了我的導師曾曉東老師的指導和親自參與，論文從選題、撰寫到完成都凝聚了他大量的心血。曾老師以其敏捷的思維、淵博的學識、嚴謹的治學態度以及對國內外學術動態敏銳的洞察力隨時啟發和指導著我，使我獲益非淺，終生難忘

29、。特別是勤勉的工作作風以及寬以待人的品質讓學生感受到了學者的風采，導師的言傳身教使我在過去兩年多的時間中受益匪淺；在考慮問題、分析問題、解決問題和對問題的全局性把握方面更是對我的學習、科研和生活有著積極的影響，使我受益無窮。在此，向恩師致以最衷心的感謝和深深的敬意！論文的順利完成，我要特別感謝馮喆珺、曹長慶和來志三位老師給予我的大力支持和幫助。在整個的論文寫作中，各位老師提供有利于論文寫作的建議和意見，在他們的幫助下，論文得以不斷的完善，最終幫助我完整的寫完了整個論文。另外，還要感謝光纖與光電檢測實驗室的兄弟姐妹們，黨文佳師姐、劉虎、高奇、李成豪、張琛倉等，和他們一起愉快的工作令我感覺到了實驗

30、室大家庭的溫馨。還要感謝的是我的舍友以及多年來與我一起朝夕相處，一起感動，不斷給我鼓勵的朋友們，感謝他們與我一起分享成功的喜悅和生活上的煩惱。最后要感謝我的父母，他們多少年來一直無私的關心我、照顧我、幫助我、愛護我。今后我將繼續努力，以回報父母多年來的艱辛。再一次向所有曾經關心和幫助過我的老師、同學以及親朋好友表示最誠摯的感謝！謝謝你們！參考文獻1 盛新志,婁淑琴.激光原理. 清華大學出版社.2010.6:141-151.2 熊輝豐. 激光雷達M. 北京宇航出版社, 1994.3 楊義彬. 激光雷達的發展及其在大氣環境監測中的應用J. 成都信息工程學院學報. 2005, 20(6): 725-727.4 李番.鄔雙陽.鄭永超.楊紅果. 合成孔徑激光雷達技術綜述.紅外與激光工程2005,35