1、會計學1保險精算學減因力和中心減率保險精算學減因力和中心減率分減因的減因力的定義，首先引入函數： kxl 12101,1,2,.,1limkkxyy xTxxxmxmTkxxkkkkkxx hxxTThxxmTkxxkldkmmllllmllklldldxhll 相當于把暴露于 個減因力下的總人數分成，.，等 個組，每組人數只受相應減因的作用而減少。第 個減因的減因力定義為：可見第1頁/共17頁 11111011011kTkyyyxxkTkyyyxxxkTkxyyxxkTkTkxy xyytxx txxTTTTTxyyx tx txxTTTTxy xyytxxxdlldyxxdlldydldy

2、qpdypdtdldyldtqpdyp多減因力定義公式可以變換為：-上式兩邊在上積分，有-故依分減因減少人數與總人數的關系，可得所以 10Ttdt第2頁/共17頁 減因力和減因概率的一個重要差別是各減因力之間是相互獨立，而各減因概率之間卻相互依賴。 由于減因概率是某區間內由減因引起的減少概率，在這一區間內所有減因都在起作用，因此由某減因引起的減少人數越多，其他減因引起的減少人數越少，各減因概率之間相互依賴。 減因力是衡量各減因的瞬間減因水平，不依賴于某一特定的區間，因此各減因力相互獨立。第3頁/共17頁4.2.2 中心減率中心死亡率的介紹：xxxxxxxxDxPPxxxDmmP 設某 歲的死亡

3、人數為， 歲的平均人數為 ， 是年初 歲人數與年末 歲人數的平均數，有時也用年總人數代替，則 歲的中心死亡率為：22xxxxxxxdmmLmqm 生命表分年齡中心死亡率定義為生命表分年齡死亡人數在分年齡生存人數中的比例。以表示之，則，在假設死亡均勻分布的情況下：。第4頁/共17頁 與中心死亡率的概念類似，在多減因分析中有總中心減率和分減因中心減率。 11001100,101TTTxxxTxTTTTx tx ttxx tTxTTx ttxdmLxxLldtpdtmtldtpdt 是在歲受全部減因作用的平均人數。以積分表示：，第5頁/共17頁 110011001,101.kkTxxxTxTkTkx

4、 tx ttxx tkxTTx ttxmTkxxkdmLxxLldtpdtmtldtpdtmm 是在歲受全部減因作用的平均人數。以積分表示：，顯然，多減因表通過中心減率與減因概率之間的關系估計減因概率。第6頁/共17頁 多減因表的中心減率通常是在假設每個年齡的總減少人數在年內均勻分布下計算的，此時有 1100,0112111221,2112TTTx txxTTTTTTxx txxxxkkkkxxxxTTTTxxxxTTTxxxkkxxTxlltdtLldtltddtldddqthenmLldqon the other hand sincelLdwe obtainmqm 第7頁/共17頁4.3.

5、1 聯合單減因函數聯合單減因函數 構成多減因表的各個減因都可以依各自獨立的減因力構成單減因表，把由多減因表的各個減因構成的單減因表稱為聯合單減因表，它是單獨考慮各個減因時生成的生命表。 00,1.tkx sktxtdskkkxxx stkktxtxpqepdsqkqk 設聯合單減因表的存活函數為則稱為 減因絕對減率，以區別于用概率表述的。減因絕對減率與其他減因力無關，也稱為獨立減率。第8頁/共17頁4.3.2 聯合單減因函數與多減因函數的基本關系聯合單減因函數與多減因函數的基本關系 0011:,.mtktTxx skdsdsTtxmTktxtxkTkkktxtxtxtxsincepeesopp

6、it is easy to sayppqq第9頁/共17頁4.3.3 各減因力恒定假設下的估計各減因力恒定假設下的估計假設各減因力恒定，即 10111000,01,ln.TTx txkkx txkkTkTkTTxxtxx ttxxtxxTxkTxxTxdtTTTxxxtqpdtpdtpdtqpeep 此時，有同時，在減因力恒定的假設下，還有 第10頁/共17頁 ln.ln.ln,11.kxTxkkxxkkkTTxxxxxTTxxqkTqxxppwe can obtainqqqphenceqq 同理，有上式可用于由多減因概率估計絕對減因率。4.3.4 各減因均勻分布假設下的估計各減因均勻分布假設

7、下的估計假設多減因模型的各個減因在每個年齡上均勻分布，即 ,1,2,.,;01kktxxqtqkmt 第11頁/共17頁加總所有單減因概率，我們有 ,01TTtxxqtqt 在減因均勻分布的假設下，有 11001,1 exp1 exp11 expln 111.kxTxkkTkkkxxtxx txx tTTtxxkkkxxx tTxqkTTxqxxTxkxqqpqptqqhenceqdtdttqqqqqq 可見，在減因力恒定和減因均勻分布的假設下的相等。第12頁/共17頁4.3.5 聯合單減因表的各減因均勻分布假設下的估計聯合單減因表的各減因均勻分布假設下的估計在聯合單減因表的各減因均勻分布假設

8、下，有 11001,1,2,.,;01kktxxkkktxx txmkTkkkxtxx ttxx tkqtqkmtpqqpdtpdt 第13頁/共17頁 1111211120021121012212,112,12xtxtxx ttxx t txxxxxxxxwhen mwe haveqppdtppdtqqtqdtqqand we can alse have qq第14頁/共17頁 1111231112300112301232322131333123,111112311,123112xtxtxtxx ttxx t txtxxxxxxxxxxxxxxxxxxwhen mwe haveqpppdtpppdtqtqtqdtqqqqqand we can alse have qqqqqqqqq 2121.333xxxqqqm 的情況類似分析。第15頁/共17頁Eg4.1 假設某聯合單減因表的