1、34 回路分析法和割集分析法回路分析法和割集分析法 本節先介紹利用獨立電流或獨立電壓本節先介紹利用獨立電流或獨立電壓作變量來建立電路方程的另外兩種方法作變量來建立電路方程的另外兩種方法-回路分析法和割集分析法，然后對各種電回路分析法和割集分析法，然后對各種電路分析方法作個總結。路分析方法作個總結。 一、圖論的幾個名詞一、圖論的幾個名詞先介紹圖論的幾個名詞。先介紹圖論的幾個名詞。1樹樹(tree)是圖論的一個重要概念。圖由結點和支路組成，樹是圖論的一個重要概念。圖由結點和支路組成，樹是連通圖中連通全部結點而不形成回路的子圖。構成樹的支路是連通圖中連通全部結點而不形成回路的子圖。構成樹的支路稱為樹

2、支，連接樹支的支路稱為連支。由稱為樹支，連接樹支的支路稱為連支。由b條支路和條支路和n個結點個結點構成的連通圖有構成的連通圖有n-1條樹支和條樹支和b-n+1條連支。條連支。2割集割集(cut set)是圖論的另一個重要概念，它是連通圖中滿足是圖論的另一個重要概念，它是連通圖中滿足以下兩個條件的支路集合以下兩個條件的支路集合1) 移去全部支路，圖不再連通。移去全部支路，圖不再連通。2) 恢復任何一條支路，圖必須連通。恢復任何一條支路，圖必須連通。 KCL可以用割集來陳述：在集總參數電路中，任一時刻，可以用割集來陳述：在集總參數電路中，任一時刻，與任一割集相關的全部支路電流的代數和為零。與任一割

3、集相關的全部支路電流的代數和為零。A33254 iiii例如，按照圖示割集可以寫出以下例如，按照圖示割集可以寫出以下KCL方程方程 由一條樹支和幾條連支構成的割集，稱為基本割集。由一條樹支和幾條連支構成的割集，稱為基本割集。基本割集基本割集:2,4,1,5,1,3,6,1,3,443161436315135412142 0 0 0iiiiiiiiiiiiiiiiiiii 基本割集的基本割集的KCL方程是一組線性無方程是一組線性無關的方程組關的方程組2,5,6為樹支為樹支,1,3,4為連支為連支連支電流連支電流 i1，i3 ， i4 是一組獨立電流變量是一組獨立電流變量 000143613514

4、2 iiiiiiiiii基本回路基本回路:1,2,6,5,3,5,6 ,4,6,2基本回路的基本回路的KVL方程是一組線性無方程是一組線性無關的方程組關的方程組由一條連支和幾條樹支構成的回路，稱為基本回路。由一條連支和幾條樹支構成的回路，稱為基本回路。62426456365326515621 0 0 0uuuuuuuuuuuuuuuuuuuu 2,5,6為樹支為樹支,1,3,4為連支為連支樹支電壓樹支電壓u2，u5 ， u6 是是一組獨立電壓變量。是是一組獨立電壓變量。 0 0 02646535621 uuuuuuuuuu基本割集基本割集:1,4,2,5,2,4,3,6,2,3基本回路基本回路

5、:2,1,5,6,4,5,1,3,5,6練習題：選擇練習題：選擇1，5，6為樹支，為樹支，2，3，4為連支，寫出基本割集為連支，寫出基本割集和基本回路。和基本回路。 可以證明，可以證明，n-1條樹支電壓是一組獨立電壓變量條樹支電壓是一組獨立電壓變量(它們不構它們不構成回路成回路)，由此可以導出割集分析法。，由此可以導出割集分析法。b-n+1條連支電流是一組條連支電流是一組獨立電流變量獨立電流變量(它們不構成割集它們不構成割集)，由此可以導出回路分析法。，由此可以導出回路分析法。 二、回路分析法二、回路分析法 與網孔分析法相似，也可用與網孔分析法相似，也可用( (b-n+1) )個獨立回路電個獨

6、立回路電流作變量，來建立回路方程。由于回路電流的選擇有流作變量，來建立回路方程。由于回路電流的選擇有較大靈活性，當電路存在較大靈活性，當電路存在m個電流源時，假如能夠讓個電流源時，假如能夠讓每個電流源支路只流過一個回路電流，就可利用電流每個電流源支路只流過一個回路電流，就可利用電流源電流來確定該回路電流，從而可以少列寫源電流來確定該回路電流，從而可以少列寫m個回路個回路方程。網孔分析法只適用平面電路，回路分析是更普方程。網孔分析法只適用平面電路，回路分析是更普遍的分析方法。遍的分析方法。 例例317 用回路分析法重解圖用回路分析法重解圖35電路，只列一個方程求電流電路，只列一個方程求電流i1和

7、和i2。 解解: 為了減少聯立方程數目，讓為了減少聯立方程數目，讓1A和和2A電流源支路只流過電流源支路只流過一個回路電流。例如圖一個回路電流。例如圖321(a)和和(b)所選擇的回路電流都所選擇的回路電流都符合這個條件。假如選擇圖符合這個條件。假如選擇圖321(a)所示的三個回路電流所示的三個回路電流i1，i3和和i4，則，則i3=2A, i4=1A成為已知量，只需用觀察法列出電流成為已知量，只需用觀察法列出電流i1的回路方程的回路方程 圖圖321圖圖321V20)35()31()135(431 iii用觀察法列出電流用觀察法列出電流i1的回路方程的回路方程 代入代入i3=2A, i4=1A

8、，求得電流，求得電流i1 A4135V8V8V201 i根據支路電流與回路電流的關系可以求得其它支路電流根據支路電流與回路電流的關系可以求得其它支路電流A1 A2 A34316315412 iiiiiiiiii 假如選擇圖假如選擇圖321(b)所示的三個回路電流所示的三個回路電流i2，i3和和i4，由于，由于i3=2A, i4=1A成為已知量，只需用觀察法列出電流成為已知量，只需用觀察法列出電流i2的回路方程的回路方程 V201A)(12A)3(1)15(32 i求解方程得到電流求解方程得到電流i2 A3153V18VV202 i 練習題練習題1：選擇圖示電路的：選擇圖示電路的i3，i4和和i

9、5作為三個回路電流，作為三個回路電流，只用一個回路方程求出電流只用一個回路方程求出電流i5； 練習題練習題2：選擇選擇圖示電路的：選擇選擇圖示電路的i3，i4和和i6作為三個回路電作為三個回路電流，只用一個回路方程求出電流流，只用一個回路方程求出電流i6。 三、割集分析法三、割集分析法 與結點分析法用與結點分析法用n-1個結點電壓作為變量來建立電個結點電壓作為變量來建立電路方程類似，也可以用路方程類似，也可以用n-1個樹支電壓作為變量來建立個樹支電壓作為變量來建立割集的割集的KCL方程。由于選擇樹支電壓有較大的靈活性，方程。由于選擇樹支電壓有較大的靈活性，當電路存在當電路存在m個獨立電壓源時，

10、其電壓是已知量，若個獨立電壓源時，其電壓是已知量，若能選擇這些樹支電壓作為變量，就可以少列能選擇這些樹支電壓作為變量，就可以少列m個電路個電路方程。結點分析法只適用連通電路，而割集分析是更方程。結點分析法只適用連通電路，而割集分析是更普遍的分析方法。普遍的分析方法。 例例318用割集分析法重解圖用割集分析法重解圖311電路，只列一個方程求電壓電路，只列一個方程求電壓u2。 解解: 為了求得電壓為了求得電壓u2，作一個封閉面與支路，作一個封閉面與支路2及其它電阻支及其它電阻支路和電流源支路相交，如圖所示，這幾條支路構成一個割路和電流源支路相交，如圖所示，這幾條支路構成一個割集，列出該割集的集，列

11、出該割集的KCL方程方程 圖圖322A33254 iiii代入用電壓代入用電壓u2表示電阻電流的表示電阻電流的VCR方程方程 A33254 iiii)V8(111 2)V14(111 )V8V14(21223322255244uuiuiuuiuui 得到以下方程得到以下方程 A3)V8(1121)V14(11)V8V14(212222 uuuu求解方程得到求解方程得到u2=12V。四、電路分析方法回顧四、電路分析方法回顧 到目前為此，我們已經介紹了到目前為此，我們已經介紹了2b方程法，支路電流法及支方程法，支路電流法及支路電壓法，網孔分析法及回路分析法，結點分析法及割集分析路電壓法，網孔分析法

12、及回路分析法，結點分析法及割集分析法。其核心是用數學方式來描述電路中電壓電流約束關系的一法。其核心是用數學方式來描述電路中電壓電流約束關系的一組電路方程，這些方程間的關系，如下所示組電路方程，這些方程間的關系，如下所示 網孔方程網孔方程 支路電流方程支路電流方程 (b-n+1) 回路方程回路方程 2b方程方程 (b) (2b) 結點方程結點方程 支路電壓方程支路電壓方程 (n-1) 割集方程割集方程 2b方程是根據方程是根據KCL，KVL和和VCR直接列出的支路電直接列出的支路電壓和支路電流的約束方程，適用于任何集總參數電路，它壓和支路電流的約束方程，適用于任何集總參數電路，它是最基本最原始的

13、一組電路方程，由它可以導出其余幾種是最基本最原始的一組電路方程，由它可以導出其余幾種電路方程。電路方程。 當電路由獨立電壓源和流控電阻元件組成時，將流控當電路由獨立電壓源和流控電阻元件組成時，將流控元件的元件的VCR方程方程u=f(i)代入代入KVL方程中，將支路電壓轉換方程中，將支路電壓轉換為支路電流，從而得到用為支路電流，從而得到用b個支路電流表示的個支路電流表示的b-n+1個個KVL方程。這些方程再加上原來的方程。這些方程再加上原來的n-1個個KCL方程，就構成以方程，就構成以b個支路電流作為變量的支路電流法方程。個支路電流作為變量的支路電流法方程。 由于由于b個支路電流中，只有個支路電

14、流中，只有b-n+1個獨立的電流變量，個獨立的電流變量，其它的支路電流是這些獨立電流的線性組合。假如將這種其它的支路電流是這些獨立電流的線性組合。假如將這種線性組合關系代入到支路電流方程組中，就得到以線性組合關系代入到支路電流方程組中，就得到以b-n+1個獨立電流為變量的個獨立電流為變量的KVL方程方程(網孔方程或回路方程網孔方程或回路方程)。假。假如采用平面電路的如采用平面電路的b-n+1個網孔電流作為變量，就得到網個網孔電流作為變量，就得到網孔電流方程；假如采用孔電流方程；假如采用b-n+1個回路電流作為變量，就得個回路電流作為變量，就得到回路電流方程。到回路電流方程。 當電路由獨立電流源

15、和壓控電阻元件組成時，將壓控元當電路由獨立電流源和壓控電阻元件組成時，將壓控元件的件的VCR方程方程i=f(u)代入代入KCL方程中，將支路電流轉換方程中，將支路電流轉換為支路電壓，從而得到用為支路電壓，從而得到用b個支路電壓表示的個支路電壓表示的n-1個個KCL方方程。這些方程再加上原來的程。這些方程再加上原來的b-n+1個個KVL方程，就構成以方程，就構成以b個支路電壓作為變量的支路電壓法方程。個支路電壓作為變量的支路電壓法方程。 由于由于b個支路電壓中，只有個支路電壓中，只有n-1個獨立的電壓變量，其個獨立的電壓變量，其它的支路電壓是這些獨立電壓的線性組合。假如將這種線它的支路電壓是這些

16、獨立電壓的線性組合。假如將這種線性組合關系代入到支路電壓方程組中，就得到以性組合關系代入到支路電壓方程組中，就得到以n-1個獨個獨立電壓為變量的立電壓為變量的KCL方程方程(結點方程或割集方程結點方程或割集方程)。假如采。假如采用連通電路的用連通電路的n-1個結點電壓作為變量，就得到結點電壓個結點電壓作為變量，就得到結點電壓方程；假如采用方程；假如采用n-1個樹支電壓作為變量，就得到割集方個樹支電壓作為變量，就得到割集方程。程。 值得注意的是，當電路中含有獨立電流源時，在列寫值得注意的是，當電路中含有獨立電流源時，在列寫支路電流方程，網孔方程和回路方程時，由于獨立電流源支路電流方程，網孔方程和

17、回路方程時，由于獨立電流源不是流控元件，不存在流控表達式不是流控元件，不存在流控表達式u=f(i)，這些電流源的，這些電流源的電壓變量不能從電壓變量不能從2b方程中消去，還必須保留在方程中，成方程中消去，還必須保留在方程中，成為既有電流和又有電流源電壓作為變量的一種混合變量方為既有電流和又有電流源電壓作為變量的一種混合變量方程。與此相似，當電路中含有獨立電壓源時，在列寫支路程。與此相似，當電路中含有獨立電壓源時，在列寫支路電壓方程，結點方程和割集方程時，由于獨立電壓源不是電壓方程，結點方程和割集方程時，由于獨立電壓源不是壓控元件，不存在壓控表達式壓控元件，不存在壓控表達式i=f(u)，這些電壓

18、源的電流，這些電壓源的電流變量不能從變量不能從2b方程中消去，還必須保留在方程中，成為既方程中消去，還必須保留在方程中，成為既有電壓和又有電壓源電流作為變量的一種混合變量方程。有電壓和又有電壓源電流作為變量的一種混合變量方程。 從從2b分析法導出的幾種分析方法中，存在著一種對偶關分析法導出的幾種分析方法中，存在著一種對偶關系，支路電流分析與支路電壓分析對偶；網孔分析與結點系，支路電流分析與支路電壓分析對偶；網孔分析與結點分析對偶；回路分析與割集分析對偶。這些方法對應的方分析對偶；回路分析與割集分析對偶。這些方法對應的方程也存在著對偶的關系，即支路電流方程與支路電壓方程程也存在著對偶的關系，即支

19、路電流方程與支路電壓方程對偶；網孔電流方程與結點電壓方程對偶；回路方程與割對偶；網孔電流方程與結點電壓方程對偶；回路方程與割集方程對偶。利用這些對偶關系，可以更好地掌握電路分集方程對偶。利用這些對偶關系，可以更好地掌握電路分析的各種方法。析的各種方法。 由于分析電路有多種方法，就某個具體電路而言，采由于分析電路有多種方法，就某個具體電路而言，采用某個方法可能比另外一個方法好。在分析電路時，就有用某個方法可能比另外一個方法好。在分析電路時，就有選擇分析方法的問題。選擇分析方法的問題。 選擇分析方法時通常考慮的因素有選擇分析方法時通常考慮的因素有 (1) 聯立方程數目聯立方程數目少少; (2) 列寫方程比較容易列寫方程比較容易; (3) 所求解的電壓電流就是方程所求解的電壓電流就是方程變量變量; (4) 個人喜歡并熟悉的某種方法。個人喜歡并熟悉的某種方法。 例如例如2b方程的數目雖然最多，但是在已知部分電壓電方程的數目雖然最多，但是在已知部分電壓電流的情況下，并不需要寫出全部方程來聯立求解，只需觀流的情況下，并不需要寫出全部方程來聯立求解，只需觀察電路，列出部分察電路，列出部分KCL，KVL和和VCR方程就能直接求出方程就能直接求出某些電壓電流，這是從事實際電氣工作的人員喜歡采用的某些電壓電流，這是從事實際電氣工作的人員喜歡采用的一種方法。一種方法。 常用