1、考綱要求考情分析1.了解函數單調性和導數的關系，能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區間(其中多項式函數一般不超過三次)2.了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數求函數的極大值、極小值(其中多項式函數一般不超過三次)；會求閉區間上函數的最大值、最小值(其中多項式函數一般不超過三次)3.會利用導數解決某些實際問題.1.本節是高考的必考內容之一，利用導數研究函數的單調性、求極值、求最值以及解決生活中的優化問題已成為高考的熱點2.從考查形式上看，各種題型都可能出現，其中選擇題、填空題側重于利用導數確定函數的單調性、極值的考查；解答題側重于導數與函數、不等式的綜合應用，一般難度較大

2、，屬于中高檔題目.第1頁/共76頁第2頁/共76頁 一、函數的單調性第3頁/共76頁 1f(x)0是f(x)在(a，b)內單調遞增的充要條件嗎？ 提示：f(x)0(或f(x)0)僅是函數f(x)在這個區間內為增函數(或減函數)的充分條件而非必要條件，如f(x)x3在(，)上為增函數，但f(x)3x20，即必要性不成立第4頁/共76頁 二、函數的極值 1函數的極小值 函數yf(x)在點xa的函數值f(a)比它在點xa附近其他點的函數值都小，f(a)0；而且在點xa附近的左側 ，右側 ，則點a叫做函數yf(x)的 ，f(a)叫做函數yf(x)的 f(x)0f(x)0極小值點極小值第5頁/共76頁

3、2函數的極大值 函數yf(x)在點xb的函數值f(b)比它在點xb附近其他點的函數值都大，f(b)0；而且在點xb附近的左側 ，右側 ，則點b叫做函數yf(x)的 ，f(b)叫做函數yf(x)的 極小值點、極大值點統稱為 ，極大值和極小值統稱為 f(x)0f(x)0極大值點極大值極值點極值第6頁/共76頁 3求函數極值的方法 解方程f(x)0，當f(x0)0時， (1)如果在x0附近左側 ，右側 ，那么f(x0)是f(x)的一個極小值 (2)如果在x0附近左側 ，右側 ，那么f(x0)是f(x)的一個極大值 (3)如果f(x)在點x0的左右兩側符號相同，那么f(x0)不是函數的極值單調遞減單調

4、遞增單調遞增單調遞減第7頁/共76頁 2已知函數yf(x)，若f(x)在xa處有f(a)0，則點a一定是函數的一個極值點嗎？ 提示：不一定只有當函數在點a兩側的單調性不同時a才是函數的極值點第8頁/共76頁 三、函數的最值 1如果函數yf(x)在區間a，b上的圖象是 ，那么它必有最大值和最小值 2求函數yf(x)在a，b上最值的步驟 (1)求函數yf(x)在(a，b)內的極值； (2)將函數yf(x)的各極值與端點處的函數值f(a)、f(b)比較，其中最大的一個是最大值、最小的一個是最小值連續不斷的曲線第9頁/共76頁 3極值點一定是最值點嗎？ 提示：函數的極值表示函數在一點附近的情況，是在局

5、部對函數值的比較；函數的最值是對函數在整個區間上的函數值的比較函數的極值不一定是最值，最值點也不一定是極值點第10頁/共76頁 四、生活中的優化問題 1生活中的優化問題 生活中經常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為 導數在這一類問題中有著重要的應用，它是求函數最大(小)值的強有力的工具優化問題第11頁/共76頁 2解題的基本思路第12頁/共76頁 3用導數解決實際問題的注意事項 (1)在求實際問題的最大(小)值時，一定要注意考慮實際問題的意義，不符合實際問題的值舍去 (2)在實際問題中，有時會遇到函數在區間內只有一個點使得f(x)0的情形，那么不與端點值比較，也可以知道

6、這就是最大(小)值，就是問題的最優解 (3)在列函數關系式解決優化問題中，不僅要注意函數關系式表達要恰當，還要注意自變量的實際意義，依此確定定義域第13頁/共76頁第14頁/共76頁第15頁/共76頁 2(文)設f(x)x312x，則f(x)的極值情況是() A極大值是f(2)，極小值是f(2) B極大值是f(2)，極小值是f(2) C只有極大值，無極小值 D只有極小值，無極大值第16頁/共76頁 解析：由條件知f(x)3x2123(x24)3(x2)(x2)故當x2時，f(x)0，f(x)單調遞增；當2x2時，f(x)0，g(x)0，g(x)1e2.第25頁/共76頁 (1)(理)構造函數，

7、判斷函數的單調性，利用最值證明不等式 (1)(文)確定定義域，利用導數f(x)0，(x)單調遞增， (x)(0)0，第33頁/共76頁第34頁/共76頁第35頁/共76頁第36頁/共76頁 (2)導數法證明函數f(x)在(a，b)內的單調性的步驟： 求f(x) 確認f(x)在(a，b)內的符號 作出結論：f(x)0時為增函數；f(x)0時為減函數第37頁/共76頁 已知函數的單調性，求參數的取值范圍，應用條件f(x)0(或f(x)0)，x(a，b)，轉化為不等式恒成立求解第38頁/共76頁 【活學活用】 1已知函數f(x)x3ax1. (1)若f(x)在實數集R上單調遞增，求實數a的取值范圍；

8、 (2)是否存在實數a，使f(x)在(1,1)上單調遞減？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由第39頁/共76頁 解：(1)由已知f(x)3x2a， f(x)在(，)上是單調增函數， f(x)3x2a0在(，)上恒成立， 即a3x2對xR恒成立 又3x20，只需a0. 又當a0時，f(x)3x20， 即f(x)x31在R上是增函數，a0.第40頁/共76頁 (2)由f(x)3x2a0在(1,1)上恒成立， 得a3x2，x(1,1)恒成立 1x1，3x23，只需證a3. 當a3時，f(x)3(x21)， 在x(1,1)上，f(x)0， 即f(x)在(1,1)上為減函數，a3. 故存在實數

9、a3，使f(x)在(1,1)上單調遞減.第41頁/共76頁 【考向探尋】 1求函數的極值與最值 2含參數的函數的極值、最值問題第42頁/共76頁第43頁/共76頁第44頁/共76頁題號分析(1)利用根的分布解題或由f(x)0求得x，令0 x1求得b范圍(2)根據函數的單調情況求解；將問題轉化為maln xx恒成立，進而只需求aln xx的最小值即可，為此構造一次函數h(a)aln xx解題.第45頁/共76頁第46頁/共76頁第47頁/共76頁第48頁/共76頁第49頁/共76頁 (1)求函數極值的一般思路第50頁/共76頁 (2)函數的最大值、最小值是比較整個定義區間內的函數值得出來的，函數

10、的極值是比較極值點附近的函數值得出來的，函數的極值可以有多有少，但最值只有一個，極值只能在區間內一點處取得，最值則可以在端點處取得，有極值未必有最值，有最值未必有極值，極值可能成為最值第51頁/共76頁本例(2)中對于含有雙參數的問題，在解題中要明確誰是主參數，以進一步將問題轉化為常見函數的問題來解決第52頁/共76頁 【活學活用】 2(理)已知f(x)axln x，x(0，e，其中e是自然常數，aR. (1)當a1時，討論f(x)的單調性、極值； (2)是否存在實數a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由第53頁/共76頁第54頁/共76頁第55頁/共76頁第56頁

11、/共76頁 2(文)已知函數f(x)x33ax1(a0) (1)求f(x)的單調區間； (2)若f(x)在x1處取得極值，直線ym與yf(x)的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍第57頁/共76頁第58頁/共76頁 (2)f(x)在x1處取得極值， f(1)3(1)23a0， a1， f(x)x33x1，f(x)3x23. 由f(x)0解得x11，x21. 由(1)中f(x)的單調性可知，f(x)在x1處取得極大值f(1)1.在x1處取得極小值f(1)3. 直線ym與函數yf(x)的圖象有三個不同的交點， 結合f(x)的圖像可知，m的取值范圍是(3,1).第59頁/共76頁 【考向探尋】 利

12、用導數求表示實際問題的函數的最值第60頁/共76頁第61頁/共76頁第62頁/共76頁第63頁/共76頁第64頁/共76頁利用導數解決生活中的優化問題 (1)既要注意將問題中涉及的變量關系用函數關系表示，還要注意確定出函數關系式中自變量的取值范圍 (2)要注意求得結果的實際意義，不符合實際的值應舍去 (3)如果目標函數在定義區間內只有一個極值點，那么根據實際意義該極值點就是最值點第65頁/共76頁第66頁/共76頁第67頁/共76頁第68頁/共76頁 已知函數f(x)x3ax2bxa2在x1處有極值10，則f(2)_.第69頁/共76頁第70頁/共76頁 而在本題中，當f(x)x33x23x9時，f(x)3x26x33(x1)2，此時，盡管有f(1)0成立，但是在x1的左右兩側的導數的符號均為正同號，也就是說，x1不是函數f(x)x33x23x9的極