1、第六章 測量誤差的基本理論整理ppt6-1 6-1 概述概述一、測量誤差的概念一、測量誤差的概念人們對客觀事物或現象的認識總會存在不同程度的誤差。這人們對客觀事物或現象的認識總會存在不同程度的誤差。這種誤差在對變量進行觀測和量測的過程中反映出來，稱為種誤差在對變量進行觀測和量測的過程中反映出來，稱為測測量誤差。量誤差。 二、觀測與觀測值的分類二、觀測與觀測值的分類1 1同精度觀測和不同精度觀測同精度觀測和不同精度觀測在相同的觀測條件下，即用同一精度等級的儀器、設備，用在相同的觀測條件下，即用同一精度等級的儀器、設備，用相同的方法和在相同的外界條件下，由具有大致相同技術水相同的方法和在相同的外界

2、條件下，由具有大致相同技術水平的人所進行的觀測稱為同精度觀測，其觀測值稱為平的人所進行的觀測稱為同精度觀測，其觀測值稱為同精度同精度觀測值觀測值或或等精度觀測值等精度觀測值。反之，則稱為不同精度觀測，其觀。反之，則稱為不同精度觀測，其觀測值稱為不同（不等）精度觀測值。測值稱為不同（不等）精度觀測值。 整理ppt6-1 6-1 概述概述二、觀測與觀測值的分類二、觀測與觀測值的分類2 2直接觀測和間接觀測直接觀測和間接觀測為確定某未知量而直接進行的觀測，即被觀測量就是所求未為確定某未知量而直接進行的觀測，即被觀測量就是所求未知量本身，稱為知量本身，稱為直接觀測直接觀測，觀測值稱為，觀測值稱為直接觀

3、測值直接觀測值。通過被。通過被觀測量與未知量的函數關系來確定未知量的觀測稱為觀測量與未知量的函數關系來確定未知量的觀測稱為間接觀間接觀測測，觀測值稱為，觀測值稱為間接觀測值間接觀測值。3 3獨立觀測和非獨立觀測獨立觀測和非獨立觀測各觀測量之間無任何依存關系，是相互獨立的觀測，稱為各觀測量之間無任何依存關系，是相互獨立的觀測，稱為獨獨立觀測立觀測，觀測值稱為，觀測值稱為獨立觀測值獨立觀測值。若各觀測量之間存在一定。若各觀測量之間存在一定的幾何或物理條件的約束，則稱為的幾何或物理條件的約束，則稱為非獨立觀測非獨立觀測，觀測值稱為，觀測值稱為非獨立觀測值非獨立觀測值。 整理ppt6-1 6-1 概述

4、概述v三、測量誤差及其來源三、測量誤差及其來源1 1測量誤差的定義測量誤差的定義真值真值：客觀存在的值“X”（通常不知道）真誤差：真值與觀測值之差，即：真誤差真誤差= =真值真值- -觀測值觀測值 2 2測量誤差的反映測量誤差的反映測量誤差是通過“多余觀測多余觀測”產生的差異反映出來的。 3 3測量誤差的來源測量誤差的來源（1）測量儀器：儀器精度的局限、軸系殘余誤差等。（2）觀測者：判斷力和分辨率的限制、經驗等。（3）外界環境條件：溫度變化、風、大氣折光等。 整理ppt6-1 6-1 概述概述四、測量誤差的種類四、測量誤差的種類按測量誤差對測量結果影響性質的不同，可將測量誤差分為按測量誤差對測

5、量結果影響性質的不同，可將測量誤差分為系統誤差系統誤差和和偶然誤差偶然誤差兩類。兩類。1 1系統誤差系統誤差在相同的觀測條件下，對某量進行的一系列觀測中，數值大在相同的觀測條件下，對某量進行的一系列觀測中，數值大小和正負符號固定不變或按一定規律變化的誤差，稱為系統小和正負符號固定不變或按一定規律變化的誤差，稱為系統誤差。誤差。 系統誤差可以消除或減弱。系統誤差可以消除或減弱。( (計算改正、觀測方法、儀器檢校計算改正、觀測方法、儀器檢校) )例：例： 誤差誤差 處理方法處理方法 鋼尺尺長誤差鋼尺尺長誤差 ld 計算改正計算改正 鋼尺溫度誤差鋼尺溫度誤差 lt 計算改正計算改正 水準儀視準軸誤差

6、水準儀視準軸誤差I 操作時抵消操作時抵消(前后視等距前后視等距) 經緯儀視準軸誤差經緯儀視準軸誤差C 操作時抵消操作時抵消(盤左盤右取平均盤左盤右取平均) 整理ppt6-1 6-1 概述概述四、測量誤差的種類四、測量誤差的種類2 2偶然誤差偶然誤差 在相同的觀測條件下對某量進行一系列觀測，單個誤差的在相同的觀測條件下對某量進行一系列觀測，單個誤差的出現沒有一定的規律性，其數值的大小和符號都不固定，出現沒有一定的規律性，其數值的大小和符號都不固定，表現出偶然性，這種誤差稱為偶然誤差，又稱為隨機誤差。表現出偶然性，這種誤差稱為偶然誤差，又稱為隨機誤差。 例：估讀數、氣泡居中判斷、瞄準、對中等誤差，

7、導致觀例：估讀數、氣泡居中判斷、瞄準、對中等誤差，導致觀測值產生誤差測值產生誤差 。整理ppt6-1 6-1 概述概述四、測量誤差的種類四、測量誤差的種類v 幾個概念幾個概念: : 準確度：準確度：( (測量成果與真值的差異，取決于系統誤差的大測量成果與真值的差異，取決于系統誤差的大小）小） 精（密）度：精（密）度：( (觀測值之間的離散程度，取決于偶然誤差觀測值之間的離散程度，取決于偶然誤差的大小）的大小） 最或是值：最或是值：（最接近真值的估值，最可靠值）；（最接近真值的估值，最可靠值）； 測量平差測量平差：（求解最或是值并評定精度）。：（求解最或是值并評定精度）。整理ppt6-1 6-1

8、 概述概述五、偶然誤差的特性及其概率密度函數五、偶然誤差的特性及其概率密度函數例如，在相同條件下對某一個平面三角形的三個內角重復觀例如，在相同條件下對某一個平面三角形的三個內角重復觀測了測了358358次，由于觀測值含有誤差，故每次觀測所得的三個次，由于觀測值含有誤差，故每次觀測所得的三個內角觀測值之和一般不等于內角觀測值之和一般不等于180180，按下式算得三角形各次，按下式算得三角形各次觀測的真誤差觀測的真誤差 i i，然后對三角形閉合差然后對三角形閉合差 i i進行分析進行分析。 分析結果表明分析結果表明，當觀測次數很多時，偶然誤差的出現，呈當觀測次數很多時，偶然誤差的出現，呈現出統計學

9、上的規律性。現出統計學上的規律性。而且，觀測次數越多，規律性越而且，觀測次數越多，規律性越明顯。明顯。整理ppt6-1 6-1 概述概述d誤差區間誤差區間負誤差正誤差個數個數相對個數個數個數相對個數0.00.2450.126460.1280.20.4400.112410.1150.40.6330.092330.0920.60.8230.064210.0590.81.0170.047160.0451.01.2130.036130.0361.21.460.01750.0141.41.640.01120.0061.6以上00.00000.000總和1810.5051770.495整理ppt6-1 6

10、-1 概述概述五、偶然誤差的特性及其概率密度函數五、偶然誤差的特性及其概率密度函數 偶然誤差的四個特性：偶然誤差的四個特性：（1 1）有界性：有界性：在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限度，即偶然誤差是有界的；會超過一定的限度，即偶然誤差是有界的；（2 2）單峰性：單峰性：絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現的機絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現的機會大；會大；（3 3）對稱性：對稱性：絕對值相等的正、負誤差出現的機會相等；絕對值相等的正、負誤差出現的機會相等；（4 4）補償性：補償性：在相同條件下，對同一量進行重復觀測，偶在相同條件下，對同

11、一量進行重復觀測，偶然誤差的算術平均值隨著觀測次數的無限增加而趨于零，然誤差的算術平均值隨著觀測次數的無限增加而趨于零，即即 0limlim21nnnnn整理ppt6-1 6-1 概述概述v五、偶然誤差的特性及其概率密度函數五、偶然誤差的特性及其概率密度函數 用用頻率直方圖頻率直方圖表示的偶然誤差統計：表示的偶然誤差統計： 頻率直方圖中，每一條形的面積表示誤差出現在該區頻率直方圖中，每一條形的面積表示誤差出現在該區 間的頻率間的頻率k/nk/n，而所有條形的總面積等于，而所有條形的總面積等于1 1。 頻率直方圖的中間高、兩邊低，并向橫軸逐漸逼近，對稱頻率直方圖的中間高、兩邊低，并向橫軸逐漸逼近

12、，對稱于于y y軸。軸。 各條形頂邊中點連線經光滑后各條形頂邊中點連線經光滑后 的曲線形狀，表現出偶然誤差的曲線形狀，表現出偶然誤差 的普遍規律。的普遍規律。整理ppt6-1 6-1 概述概述v五、偶然誤差的特性及其概率密度函數五、偶然誤差的特性及其概率密度函數 用用頻率直方圖頻率直方圖表示的偶然誤差統計：表示的偶然誤差統計： 當觀測次數當觀測次數n n無限增多無限增多(n(n)、誤差區間誤差區間d d 無限縮小無限縮小( (d d 0)0)時，各矩形的頂邊就連成一條光滑的曲線時，各矩形的頂邊就連成一條光滑的曲線, ,這條曲這條曲線稱為線稱為“正態分布曲線正態分布曲線”，又稱為，又稱為“高斯誤

13、差分布曲線高斯誤差分布曲線”。所以偶然誤差具有正態分布的特性。所以偶然誤差具有正態分布的特性。整理ppt6-1 6-1 概述概述v五、偶然誤差的特性及其概率密度函數五、偶然誤差的特性及其概率密度函數 偶然誤差處理方式 值）靠值，似真值，最或是）求算術平均值（最可（）多余觀測（提高儀器等級32) 1 (整理ppt6-2 6-2 衡量精度的指標衡量精度的指標 一、精度一、精度 精確度精確度是準確度與精密度的總稱。是準確度與精密度的總稱。 對基本排除系統誤差，而以偶然誤差為主的一組觀測值，對基本排除系統誤差，而以偶然誤差為主的一組觀測值，用精密度來評價該組觀測值質量的優劣。精密度簡稱精度。用精密度來

14、評價該組觀測值質量的優劣。精密度簡稱精度。二、中誤差二、中誤差某觀測值真值某觀測值真值X X已知；（設在相同觀測條件下，對任一個未已知；（設在相同觀測條件下，對任一個未知量進行了知量進行了n n次觀測，其觀測值分別為次觀測，其觀測值分別為 、 ，n n個觀測值個觀測值的真誤差的真誤差 、 、 。為了避免正負誤差相抵消和明顯地反。為了避免正負誤差相抵消和明顯地反映觀測值中較大誤差的影響，通常是以各個真誤差的平方和映觀測值中較大誤差的影響，通常是以各個真誤差的平方和的平均值再開方作為評定該組每一觀測值的精度的標準，即的平均值再開方作為評定該組每一觀測值的精度的標準，即1l2lnl12n整理ppt6

15、-2 6-2 衡量精度的指標衡量精度的指標 二、中誤差二、中誤差某觀測值真值某觀測值真值X X已知；（設在相同觀測條件下，對任一個未已知；（設在相同觀測條件下，對任一個未知量進行了知量進行了n n次觀測，其觀測值分別為次觀測，其觀測值分別為 、 ，n n個觀測值個觀測值的真誤差的真誤差 、 、 。為了避免正負誤差相抵消和明顯地反。為了避免正負誤差相抵消和明顯地反映觀測值中較大誤差的影響，通常是以各個真誤差的平方和映觀測值中較大誤差的影響，通常是以各個真誤差的平方和的平均值再開方作為評定該組每一觀測值的精度的標準，即的平均值再開方作為評定該組每一觀測值的精度的標準，即m m稱為中誤差，稱為中誤差

16、，m m小精度高；小精度高；m m大精度低。大精度低。n n觀測值個數觀測值個數 真誤差真誤差nnmn222211l2lnl12n22221.n),.2 , 1(niLXii整理ppt6-2 6-2 衡量精度的指標衡量精度的指標二、中誤差二、中誤差例例: :設有甲、乙兩個小組，對三角形的內角和進行了設有甲、乙兩個小組，對三角形的內角和進行了9 9次觀次觀測，分別求得其真誤差為：測，分別求得其真誤差為：甲組：甲組：乙組：乙組：試比較這兩組觀測值的中誤差。試比較這兩組觀測值的中誤差。解：解： 說明乙組的觀測精度比甲組高。說明乙組的觀測精度比甲組高。783476865 ,357474456 ,2.

17、69)7()8() 3()4()7()6()8()6()5( 222222222甲m2. 59)3()5()7()4()7()4()4()5()6( 222222222乙m乙甲mm整理ppt6-2 6-2 衡量精度的指標衡量精度的指標三、容許誤差三、容許誤差 根據誤差分布的密度函數，誤差出現在微分區間d內的概率為： 誤差出現在K倍中誤差區間內的概率為： 將K=1、2、3分別代入上式，可得到偶然誤差分別出現在一倍、二倍、三倍中誤差區間內的概率：P(|P(| | | m)=0.683=68.3 m)=0.683=68.3 ；P(|P(| | | 2m)=0.954=95.4 2m)=0.954=9

18、5.4 P(|P(| | | 3m)=0.997=99.7 3m)=0.997=99.7 demdfPm22221)()(kmkmmdemkmP22221)(整理ppt6-2 6-2 衡量精度的指標衡量精度的指標三、容許誤差三、容許誤差 將K=1、2、3分別代入上式，可得到偶然誤差分別出現在一倍、二倍、三倍中誤差區間內的概率：P(|P(| | | m)=0.683=68.3 m)=0.683=68.3 ；P(|P(| | | 2m)=0.954=95.4 2m)=0.954=95.4 P(|P(| | | 3m)=0.997=99.7 3m)=0.997=99.7 測量中，一般取兩倍中誤差兩倍

19、中誤差(2m)(2m)作為容許誤差，也稱為限差限差：| | 容容|=3|m| |=3|m| 或或 | | 容容|=2|m|=2|m整理ppt6-2 6-2 衡量精度的指標衡量精度的指標v 四、相對誤差四、相對誤差( (相對中誤差相對中誤差) )v 中誤差絕對值與觀測量之比。中誤差絕對值與觀測量之比。 用分子為用分子為1 1的分數表示。的分數表示。 分數值較小相對精度較高；分數值較大相對精度較低。分數值較小相對精度較高；分數值較大相對精度較低。例例：用鋼尺丈量兩段距離分別得用鋼尺丈量兩段距離分別得S S1 1=100=100米米,m,m1 1=0.02m=0.02m； S S2 2=200=20

20、0米米,m,m2 2=0.03m=0.03m。計算。計算S S1 1、S S2 2的相對誤差。的相對誤差。解：解： K K2 2KK1 1，所以距離，所以距離S S2 2精度較高。精度較高。500011000201mmK.660012000302mmK.整理ppt6-3 6-3 算術平均值及其中誤差算術平均值及其中誤差一、算術平均值一、算術平均值設在相同的觀測條件下，對某未知量未知量進行了n 次觀測，得n個觀測值1,2,n,則該量的算術平均值為x：nlnlllxn21整理ppt6-3 6-3 算術平均值及其中誤差算術平均值及其中誤差v一、算術平均值一、算術平均值u證明算術平均值為該量的最或是值

21、：設該量的真值為X，則各觀測值的真誤差為： 當觀測次數無限多時，觀測值的算術平均值就是該量的真 值；當觀測次數有限時，觀測值的算術平均值最接近真值。所以，算術平均值是最或是值。nnlXlXlX2211 nlXn 0nnlim nlXn limXxnlim0v整理ppt6-3 6-3 算術平均值及其中誤差算術平均值及其中誤差v二、觀測值改正數二、觀測值改正數未知量的最或是值未知量的最或是值x x與觀測值與觀測值l li i之差稱為觀測值改正之差稱為觀測值改正數數v vi i，即，即nnlxvlxvlxv2211lnxvnlxnv0v整理ppt6-3 6-3 算術平均值及其中誤差算術平均值及其中誤

22、差v三、由觀測值改正數計算觀測值中誤差三、由觀測值改正數計算觀測值中誤差nnlXlXlX2211)()()(xXvxXvxXvnn2211nnlxvlxvlxv2211)()(vxXxXnvv222)(xXnvv2)(xXnvvn整理ppt6-3 6-3 算術平均值及其中誤差算術平均值及其中誤差v三、由觀測值改正數計算觀測值中誤差三、由觀測值改正數計算觀測值中誤差2)(xXnvvn222221)()(lnXnnlXxXnnnn131212222122221()(nnnn131212222nnvvnnmnvvm221nvvm整理ppt6-3 6-3 算術平均值及其中誤差算術平均值及其中誤差v四、

23、算術平均值中誤差四、算術平均值中誤差算術平均值的中誤差算術平均值的中誤差MxMx，可由下式計算，可由下式計算: :nmMx) 1(nnvvMx整理ppt6-4 6-4 誤差傳播定律誤差傳播定律v一、誤差傳播定律一、誤差傳播定律u定義：表述觀測值函數的中誤差與觀測值中誤差表述觀測值函數的中誤差與觀測值中誤差之間關系的定律稱為誤差傳播定律。之間關系的定律稱為誤差傳播定律。? 如何由觀測值精度評定觀測值函數精度已知整理ppt6-4 6-4 誤差傳播定律誤差傳播定律v一、誤差傳播定律一、誤差傳播定律u一般函數的中誤差一般函數的中誤差設有函數：),(21nxxxFZ(a)為獨立觀測值獨立觀測值ix設 有

24、真誤差 ，函數 也產生真誤差ixixZ對(a)全微分：由于 和 是一個很小的量，可代替代替上式中的 和 ： ixidxdznndxxFdxxFdxxFdZ2211(b)nnxxFxxFxxF2211(c)整理ppt6-4 6-4 誤差傳播定律誤差傳播定律v一、誤差傳播定律一、誤差傳播定律u一般函數的中誤差一般函數的中誤差令 的系數為 ， (c)式為：ixiixFf)()(22)(11)()2()2(22)2(11)2() 1 () 1 (22) 1 (11) 1 (knnkkknnnnxfxfxfxfxfxfxfxfxf對Z觀測了k次，有k個式(d)整理ppt6-4 6-4 誤差傳播定律誤差傳

25、播定律v一、誤差傳播定律一、誤差傳播定律u一般函數的中誤差一般函數的中誤差jijinnxxffxxffxxffxfxfxf2223131212122222221212(e)njijijijinnxxffxfxfxf1,222222212122(f)對K個(e)式取總和：(g)njijijijinnKxxffKxfKxfKxfK1,222222212122整理ppt6-4 6-4 誤差傳播定律誤差傳播定律v一、誤差傳播定律一、誤差傳播定律u一般函數的中誤差一般函數的中誤差0limnxxjin由偶然誤差的抵償性知：由偶然誤差的抵償性知：(g)njijijijinnKxxffKxfKxfKxfK1,

26、222222212122KxfKxfKxfKnn2222222121222222221212xnnxxzmfmfmfm(h)整理ppt6-4 6-4 誤差傳播定律誤差傳播定律v一、誤差傳播定律一、誤差傳播定律u一般函數的中誤差一般函數的中誤差22222221212xnnxxzmfmfmfm(h)2222222121nnZmxFmxFmxFm(6-10)上式為上式為一般函數的中誤差公式一般函數的中誤差公式，也稱為誤差傳播定律。，也稱為誤差傳播定律。整理ppt6-4 6-4 誤差傳播定律誤差傳播定律v一、誤差傳播定律一、誤差傳播定律u一般函數的中誤差一般函數的中誤差求觀測值函數中誤差的步驟求觀測值

27、函數中誤差的步驟：v1.1.列出函數式；列出函數式；v2.2.對函數式求全微分；對函數式求全微分；v3.3.套用誤差傳播定律，寫出中誤差式。套用誤差傳播定律，寫出中誤差式。 整理ppt6-4 6-4 誤差傳播定律誤差傳播定律v一、誤差傳播定律一、誤差傳播定律u一般函數的中誤差一般函數的中誤差 中誤差傳播公式中誤差傳播公式 AxZ Ammz21xxZnxxxZ212221mmmz22221nzmmmmnnxAxAxAZ22112222222121nnzmAmAmAm函數名稱函數式中誤差傳播公式倍數函數和差函數線性函數整理ppt6-4 6-4 誤差傳播定律誤差傳播定律v二、誤差傳播定律的應用二、誤

28、差傳播定律的應用例例1 1：在：在1 1：500500地形圖上量得某兩點間的距離，其地形圖上量得某兩點間的距離，其中誤差，中誤差， 求該兩點間的地面水平距離求該兩點間的地面水平距離D D的值及其中誤差。的值及其中誤差。解解: : mmmd20.mdD2511723450500500.mmmdD10000020500500.整理ppt6-4 6-4 誤差傳播定律誤差傳播定律v二、誤差傳播定律的應用二、誤差傳播定律的應用例例2 2：設對某一個三角形觀測了其中設對某一個三角形觀測了其中，兩個角，兩個角，測角中誤差分別為，測角中誤差分別為， ，試求角，試求角的中誤差。的中誤差。解：解： 53 .am2

29、6 .m1801726532222 .).().(mmm整理ppt6-4 6-4 誤差傳播定律誤差傳播定律v二、誤差傳播定律的應用二、誤差傳播定律的應用例例3 3：試推導出算術平均值中誤差的公式試推導出算術平均值中誤差的公式：解：解：nlnlnlnnlx11121kn1nklklklx21nmmm21 1 2222222222212nmmmmnmkmkmkMn(nmM整理ppt6-5 6-5 權及加權平均值權及加權平均值v一、權一、權定義：定義：在計算不同精度觀測值的最或然值時，精在計算不同精度觀測值的最或然值時，精度高的觀測值在其中占的度高的觀測值在其中占的“比重比重”大一些，而精度大一些，

30、而精度低低的觀測值在其中占的的觀測值在其中占的“比重比重”小一些。這里，這個小一些。這里，這個“比比重重”就反映了觀測的精度。就反映了觀測的精度。“比重比重”可以用數值表可以用數值表示，示，在測量工作中，稱這個數值為觀測值的在測量工作中，稱這個數值為觀測值的“權權”。定義公式：定義公式：設以設以P Pi i表示觀測值表示觀測值l li i的權，則權的定的權，則權的定義公式為：義公式為：),(nimPii2122整理ppt6-5 6-5 權及加權平均值權及加權平均值v一、權一、權是是權等于權等于1 1的觀測值的中誤差，通常稱等于的觀測值的中誤差，通常稱等于1 1的的權為權為單位權單位權，權為，權

31、為1 1的觀測值為的觀測值為單位權觀測值單位權觀測值。為單位權觀測值的中誤差，簡稱為為單位權觀測值的中誤差，簡稱為單位權中誤差單位權中誤差。權與中誤差的平方成反比，即精度愈高，權愈大權與中誤差的平方成反比，即精度愈高，權愈大 。),(nimPii2122),(nimPii21221222iPm整理ppt6-5 6-5 權及加權平均值權及加權平均值v二、權的性質二、權的性質（1 1）權是相對性數值，表示觀測值的相對精度。）權是相對性數值，表示觀測值的相對精度。（2 2）權與中誤差平方成反比，中誤差越小，權越大，）權與中誤差平方成反比，中誤差越小，權越大，表示觀測值越可靠，精度越高。表示觀測值越可

32、靠，精度越高。（3 3）權始終取正號。）權始終取正號。（4 4）對于單一觀測值而言，權無意義。）對于單一觀測值而言，權無意義。（5 5）權的大小隨的不同而不同，但權之間的比例關）權的大小隨的不同而不同，但權之間的比例關系不變。系不變。（6 6）在同一個問題中只能選定一個）在同一個問題中只能選定一個l li i值，不能同時值，不能同時選用幾個不同的選用幾個不同的值，否則就破壞了權之間的比值，否則就破壞了權之間的比例關系。例關系。 整理ppt6-5 6-5 權及加權平均值權及加權平均值v三、測量中常用的確權方法三、測量中常用的確權方法1 1同精度觀測值的算術平均值的權同精度觀測值的算術平均值的權設

33、一次觀測的中誤差為設一次觀測的中誤差為m m，n n次同精度觀測值的算次同精度觀測值的算術平均值的中誤差術平均值的中誤差 。則一次觀測值的權。則一次觀測值的權為：為：nmM/1222mmmP算術平均值的權為：nnmmnmPL222整理ppt6-5 6-5 權及加權平均值權及加權平均值v三、測量中常用的確權方法三、測量中常用的確權方法1 1同精度觀測值的算術平均值的權同精度觀測值的算術平均值的權對于中誤差為對于中誤差為m mi i的觀測值（或觀測值的函數），的觀測值（或觀測值的函數），其權其權P Pi i為為: :則相應的中誤差的另一表示式可寫為則相應的中誤差的另一表示式可寫為: :22iimP

34、iiPm1整理ppt6-5 6-5 權及加權平均值權及加權平均值v三、測量中常用的確權方法三、測量中常用的確權方法2 2權在水準測量中的應用權在水準測量中的應用設每一測站觀測高差的精度相同，其中誤差為設每一測站觀測高差的精度相同，其中誤差為m m站站，則不同測站數的水準路線觀測高差的中誤差為：則不同測站數的水準路線觀測高差的中誤差為：取取c c個測站的高差中誤差為單位權中誤差，即個測站的高差中誤差為單位權中誤差，即則各水準路線的權為則各水準路線的權為),(niNmmii21站站mciiiNcmP22iiLcP 整理ppt6-5 6-5 權及加權平均值權及加權平均值v三、測量中常用的確權方法三、

35、測量中常用的確權方法3 3權在距離丈量工作中的應用權在距離丈量工作中的應用設單位長度（一公里）的丈量中誤差為設單位長度（一公里）的丈量中誤差為m m，則長度為，則長度為s s公里的丈量中誤差為公里的丈量中誤差為 。取長度為取長度為c c公里的丈量中誤差為單位權中誤差，即，公里的丈量中誤差為單位權中誤差，即， 則得距離丈量的權為：則得距離丈量的權為：smmscmscmPsi22整理ppt6-5 6-5 權及加權平均值權及加權平均值v四、加權平均值及中誤差四、加權平均值及中誤差1 1加權平均值加權平均值設對某未知量進行了設對某未知量進行了n n次不同精度觀測，觀測值次不同精度觀測，觀測值為為L L1 1、L L2 2、LLn n，其相應權為，其相應權為P P1 1、P P2 2、PPn n。 iipm22nmmxnnpnnnppplllLplllLplllLn)()(2)(12)2()2(2