1、李心燦給中學教師版數學與創新思維李心燦給中學教師版數學與創新思維 恩格斯指出：恩格斯指出： “一個民族要想站在科學的最高峰，就一一個民族要想站在科學的最高峰，就一刻也不能沒有理論思維。刻也不能沒有理論思維。”KL米斯拉米斯拉指出：指出：“數學是代表人類抽象思維方面數學是代表人類抽象思維方面的最高成就和勝利。的最高成就和勝利。”著名的數學家著名的數學家A賽爾伯格賽爾伯格指出：指出：“數學的內容一定要重新斟酌。數學的內容一定要重新斟酌。應該增加一些涉及如何發現并令人應該增加一些涉及如何發現并令人振奮的內容。振奮的內容。”塞爾伯格 因此我認為：數學教學不但應該傳授數學知識，還應該培養學生的創新思維。

2、 著名數學家拉普拉斯指出：著名數學家拉普拉斯指出：“分析和自然哲學中許多重大的發現，都分析和自然哲學中許多重大的發現，都歸功于歸納方法歸功于歸納方法牛頓二項式定理和萬有引牛頓二項式定理和萬有引力原理，就是歸納方法的成果。力原理，就是歸納方法的成果。”“在數在數學里，發現真理的主要工具和手段是歸納和學里，發現真理的主要工具和手段是歸納和類比。類比。” 著名數學家高斯曾說：著名數學家高斯曾說：“我的許多發現都是靠歸納取得的。我的許多發現都是靠歸納取得的。” 著名數學家沃利斯著名數學家沃利斯說：說：“我把（不完全的）我把（不完全的）歸納和類比當作一種很歸納和類比當作一種很好的考察方法，因為這好的考察

3、方法，因為這種方法的確使我很容易種方法的確使我很容易發現一般規律發現一般規律” 歸納的方法這是顯然的。但是（逆向思維）這是顯然的。但是（逆向思維）任何一個偶數，都能分解為兩個奇素數之任何一個偶數，都能分解為兩個奇素數之和嗎？和嗎？60=7+53（7和和53都是素數）都是素數） . 一直到現在還沒有一個人推翻它，但也一直到現在還沒有一個人推翻它，但也還沒有一個人證明它。還沒有一個人證明它。 挪挪威數學家威數學家布朗布朗（V.Brun）用）用“篩法篩法”證明了證明了 宋朝數學家楊輝宋朝數學家楊輝1261年寫的年寫的詳解九章算法詳解九章算法*就解釋了上述系數三角形的構造法，并說賈就解釋了上述系數三角

4、形的構造法，并說賈憲用此術。憲用此術。楊輝三角形楊輝三角形.?1197531?97531,47531,3531,231,112222 他的這個發現，后來被刊登在他的這個發現，后來被刊登在春燕春燕雜志上。雜志上。.2nn 個奇數的和等于前33333333436427161514131211103227898765218143210101 按照上述算例找出它們的一般規律，并用適當按照上述算例找出它們的一般規律，并用適當數學式子表示出來，而且試證明它。數學式子表示出來，而且試證明它。，三邊形內角和)23( )24( 四邊形內角和問題：下述結論是否成立？問題：下述結論是否成立？?)2(nn邊形內角和等

5、于. )(, )1ln()(1)(xfxxfn：例xxf11)(解解2)1 (1)(xxf .,)1 (! 3) 1()(,)1 (! 2) 1()(43)4(32xxfxxf 從而歸納出nnnxnxf)1 ()!1() 1()(1)(并且，有任意階的導數設函數例)(:2xf2)()(xfxf. )()(xfn求解解因為因為32)( 2)()(2)()(2)(xfxfxfxfxfxf ,)( ! 3)()( 32)(42xfxfxfxf .)(!)(1)(nnxfnxf因而歸納得到 著名天文學、數學家開普勒著名天文學、數學家開普勒說：說： “我珍視類比勝于任何我珍視類比勝于任何別的東西，它是我

6、最可信賴的別的東西，它是我最可信賴的老 師 它 能 揭 示 自 然 的 奧老 師 它 能 揭 示 自 然 的 奧秘秘。” 著名數學家、教育學家波利亞著名數學家、教育學家波利亞說：說：“類比是一個偉大的引路人，類比是一個偉大的引路人，求解立體幾何問題往往有賴于平面求解立體幾何問題往往有賴于平面幾何中的類比問題幾何中的類比問題。”1xyab;1czbyax 222121()()yyxx222212121()()()yyxxzz(n)(n)(n-1)(n-2)()u v)u vu v, u v)u v2u vu v , u v)u v3u v3u v u v , (1) u v)uvuvu v .2

7、!kn knn nnC u 因為 （從而 可以歸納出（( )0.nkkv萊布尼茨公式萊布尼茨公式將他們比較可以看出將他們比較可以看出:把中右端把中右端K次冪換成次冪換成K階導數階導數(零階導數理解為函數本身零階導數理解為函數本身),把中把中u+v換成換成uv,n次冪換成次冪換成n階導數既為階導數既為. (拉格朗日拉格朗日17歲歲) 牛頓二項式展開公式牛頓二項式展開公式1222332230()()2()33()Cnnkn kknkuvuvuvuuvvuvuu vuvvuvuvZZ= XX+YY52=32+42Z3 = x3 + Y3 (X,Y,Z 為正整數)=zxy+公元972年阿拉伯人阿爾科但

8、第（Alkhodjidi)Zn = n+ Yn (n2)(Wiles 1994)歐拉猜想：歐拉猜想：下述方程沒有整數解：下述方程沒有整數解：4444wzyx沒有人能夠證明它是對的，但是在他提出這個猜想之后的200年內大家都相信它是正確的.但是在1998年，諾姆艾利克斯的舉出一個反例：44442061567318796760153656392682440后來人們又發現了一個更簡單的例子：444442248141456021751995800今天我們能容易地用一個簡單的程序尋找反例在沒有計算機的年代，很難舉出這樣的反例！ 特別應該將牛頓特別應該將牛頓萊布尼茨公式、格林萊布尼茨公式、格林公式、高斯公

9、式、斯托克斯公式進行類比。公式、高斯公式、斯托克斯公式進行類比。 若將牛頓若將牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 視為，它建立了一元函數視為，它建立了一元函數f f( (x) )在一個區間的在一個區間的定積分與其原函數定積分與其原函數F F( (x) )在區間邊界的值之間的在區間邊界的值之間的聯系；聯系；通過類比，就可將格林公式通過類比，就可將格林公式LDQdyPdxdxdyyPxQ 視為，它建立了二元函數在一個平面區域視為，它建立了二元函數在一個平面區域D上的二重積分與其上的二重積分與其“原函數原函數”在區域邊界在區域邊界L L的的曲線積分之間的聯系；曲線積分之間的

10、聯系；通過類比，就可將高斯公式通過類比，就可將高斯公式RdxdyQdzdxPdydzdxdydzzRyQxPS 視為，它建立了三元函數在一個空間區域視為，它建立了三元函數在一個空間區域 上的三重積分與其上的三重積分與其“原函數原函數”在區域邊界在區域邊界曲面曲面S S上的曲面積分之間的聯系；上的曲面積分之間的聯系；通過類比，就可將斯托克斯公式通過類比，就可將斯托克斯公式RdzQdyPdxdxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyRLS 視為，它建立了三元函數在一個空間曲面視為，它建立了三元函數在一個空間曲面S S上的曲面積分與其上的曲面積分與其“原函數原函數”在區域邊界曲線在區域邊界曲線L

11、 L上上的曲線積分之間的聯系。的曲線積分之間的聯系。 若引入若引入“外微分運算外微分運算”，就可將格林公，就可將格林公式、高斯公式和斯托克斯公式都看作牛頓式、高斯公式和斯托克斯公式都看作牛頓- -萊布尼茨公式的高維推廣萊布尼茨公式的高維推廣. . 并都可以用一個并都可以用一個簡單的形式統一表示為簡單的形式統一表示為DDwwd上的積分邊界在區域的低一維空間的“微分形式”上的積分等于低一次的在區域一次的“微分形式”此公式深刻地表明：高DDAHKCBDEFGILFBCABD ACKH, CILEGFBA,BDLIFBC,2GFBA正方形正方形矩形矩形正方形正方形矩形矩形正方形正方形矩形矩形 ,ABD

12、2BDLI因此因此同理同理兩式相加即得定理。兩式相加即得定理。ABCbcaa-b弦圖ababaabccSABED=2y)(x21DE)AD(AB21SBCE +SABC +SDCE 他證明時他證明時,只是一位議員只是一位議員,是他和其他議員討論數學是他和其他議員討論數學問題時想出來的問題時想出來的,發表在發表在新英格蘭教育雜志新英格蘭教育雜志上上 。2z212xy2 思考：思考：他的證明對否？好不好？他的證明對否？好不好？caABBCBD22 cbABACAD22 BD+AD=AB= c 高 斯 被 譽 為 ：高 斯 被 譽 為 ：“能從九霄云外的高能從九霄云外的高度按某種觀點掌握星度按某種觀

13、點掌握星空和深奧數學的天才空和深奧數學的天才”和和“數學王子數學王子”。 第一個證明是用歸納法；第一個證明是用歸納法；第二個證明是用二次型理論；第二個證明是用二次型理論；第三個和第五個證明是用高斯引理；第三個和第五個證明是用高斯引理；第四個證明是用高斯和；第四個證明是用高斯和；第六個和第七個證明是用分圓理論；第六個和第七個證明是用分圓理論；第八個證明是用高次冪剩余理論。第八個證明是用高次冪剩余理論。他的每一種證明思路都導致數論的新方向。其他的每一種證明思路都導致數論的新方向。其后后19世紀多位數論大家如狄里克雷、雅可比、世紀多位數論大家如狄里克雷、雅可比、艾森斯坦、庫默、戴德金、希爾伯特等人都

14、給艾森斯坦、庫默、戴德金、希爾伯特等人都給出了新的證明并發展了該理論。出了新的證明并發展了該理論。dxxx231xydydxydxx222 02)(22 xydydxyxy2xQyP xydydxydxx222 )(2)(12xyxydxdy 得知它是齊次微分方程，從而用齊次微得知它是齊次微分方程，從而用齊次微分方程的解法求出其通解；分方程的解法求出其通解；xydydxydxx222 yxyxdxdy1221 化化為線性微分方程，然后用線性微分方程的為線性微分方程，然后用線性微分方程的解法求出其通解。解法求出其通解。高等數學一題多解高等數學一題多解200200例選編例選編 （產品：手表、收音機

15、、電視機等）（產品：手表、收音機、電視機等） 一位老太太有兩個女兒。大女兒嫁給一位老太太有兩個女兒。大女兒嫁給雨雨傘傘店老板，小女兒當了洗衣作坊的女主管。店老板，小女兒當了洗衣作坊的女主管。于是，老太太整天憂心忡忡，逢上雨天，她于是，老太太整天憂心忡忡，逢上雨天，她擔心洗衣作坊的衣服晾不干；逢上晴天，她擔心洗衣作坊的衣服晾不干；逢上晴天，她怕傘店的雨傘賣不出去，日子過得很憂郁。怕傘店的雨傘賣不出去，日子過得很憂郁。 后來有一位聰明的人勸她：后來有一位聰明的人勸她：老太太，你老太太，你真好福氣，下雨天，你大女兒家生意興隆；真好福氣，下雨天，你大女兒家生意興隆；大晴天，你小女兒家顧客盈門，哪一天你

16、都大晴天，你小女兒家顧客盈門，哪一天你都有好消息啊。有好消息啊。這么一說，老太太生活的色這么一說，老太太生活的色彩竟煥然一新。彩竟煥然一新。一則小一則小故事故事: :（1）如果遇到某些問題順推不行，可以考）如果遇到某些問題順推不行，可以考慮逆推。慮逆推。（2）如果遇到某些問題直接解決困難，想）如果遇到某些問題直接解決困難，想法間接法間接 解決。解決。（3）正命題研究過后，研究逆命題。）正命題研究過后，研究逆命題。（4）探討可能性發生困難時，轉而探討不）探討可能性發生困難時，轉而探討不可能性。可能性。 下面舉幾個高等數學中的例子下面舉幾個高等數學中的例子:求解微分方程：求解微分方程：)2(12y

17、xydxdy若將若將 x 視為自變量，視為自變量，y 視為未知函數，解此方視為未知函數，解此方程就比較困難。因為它既不是可分離變量方程就比較困難。因為它既不是可分離變量方程，也不是齊次方程，也不是全微分方程，程，也不是齊次方程，也不是全微分方程，也不是線性方程和伯努里方程。也不是線性方程和伯努里方程。但是，如果利用逆向思維，即反過來將但是，如果利用逆向思維，即反過來將 x 視視為未知函數為未知函數, y 視為自變量，將方程變為視為自變量，將方程變為)2(2yxydydx它就是未知函數x 的線性微分方程。很容易求出其通解。 ) 1(21222Ceyexyy若直接解決困難，若直接解決困難，想法間接

18、解決。想法間接解決。?!limnnnn例例1 1： 試求試求解法：用間接的方法，即轉化為判斷級數解法：用間接的方法，即轉化為判斷級數1!nnnn11)11 (1limlim1enuunnnnn.!1收斂故知級數nnnn級數收斂的必要條件是通項趨向于零，于是級數收斂的必要條件是通項趨向于零，于是0!limlim nnnnnnu解法解法: :利用夾逼定理利用夾逼定理!1!11!1 , ,nnnnnnnnnnnnnnn即即11! lim0, lim0, lim0.nnnnnnnnn而故而故 歐幾里得歐幾里得幾何原本幾何原本第一卷中給出第一卷中給出了五個公設，其中前四個簡單明了，（前了五個公設，其中前

19、四個簡單明了，（前三個是作圖的規定，第四個是三個是作圖的規定，第四個是“凡直角都凡直角都相等相等”），符合亞里士多德公理），符合亞里士多德公理“自明性自明性”的要求，唯獨第五公設不僅文字的要求，唯獨第五公設不僅文字啰啰嗦，而嗦，而且所肯定的事實也不明顯。且所肯定的事實也不明顯。 而且只有第而且只有第5 5公設涉及到無限公設涉及到無限, ,這是人們經驗之外的東西這是人們經驗之外的東西. . lm0180 lml歐歐高斯高斯(1799,1813)(1799,1813)羅巴切夫斯基羅巴切夫斯基 (1826,1829)(1826,1829) 鮑耶鮑耶 （18321832）l羅羅 羅巴切夫斯基把歐氏幾何

20、的命題按是否羅巴切夫斯基把歐氏幾何的命題按是否依賴于第五公設（平行公設）分為兩部分：依賴于第五公設（平行公設）分為兩部分： 不依賴于第五不依賴于第五公設得到證明的命公設得到證明的命題（絕對幾何）。題（絕對幾何）。 依賴于第五依賴于第五公設才能證明的公設才能證明的命題。命題。 “在一個平面上，過直線在一個平面上，過直線AB外一點至少可以作一條直線與外一點至少可以作一條直線與AB不相交不相交”。 1. 僅可作一條（第五公設）僅可作一條（第五公設） 歐氏幾何；歐氏幾何； 2. 可作不止一條，若能由此推出與絕對幾何定理相矛盾的可作不止一條，若能由此推出與絕對幾何定理相矛盾的命題，這就無異于證明了第五公

21、設。命題，這就無異于證明了第五公設。 可是他不但沒有發現任何矛盾，反而推導出了一連串奇妙可是他不但沒有發現任何矛盾，反而推導出了一連串奇妙的結果，構成了邏輯上既無矛盾，又與絕對幾何不相沖突，但的結果，構成了邏輯上既無矛盾，又與絕對幾何不相沖突，但又和歐氏幾何不同的新的幾何體系。又和歐氏幾何不同的新的幾何體系。l黎黎 現在人們把現在人們把“羅巴切夫斯基幾何與黎曼羅巴切夫斯基幾何與黎曼幾何統稱為幾何統稱為“非歐幾里得幾何非歐幾里得幾何”。 黎曼黎曼(1854)(1854)“19世紀最富啟世紀最富啟發性和最值得注意的成就是發性和最值得注意的成就是非歐幾里得幾何的發現非歐幾里得幾何的發現”。 非歐幾里

22、得幾何的創立是幾何學上的革命，非歐幾里得幾何的創立是幾何學上的革命，它不僅使數學家大開眼界，引起一些重要數它不僅使數學家大開眼界，引起一些重要數學分支的產生，它的重要意義還在于使數學學分支的產生，它的重要意義還在于使數學哲學的研究進入一個嶄新的歷史時期，它使哲學的研究進入一個嶄新的歷史時期，它使人們對空間的認識更深刻，更完全了。例如，人們對空間的認識更深刻，更完全了。例如，它對愛因斯坦的相對論提供了最合適的數學它對愛因斯坦的相對論提供了最合適的數學工具。因此許多人采用非歐幾何學作為宇宙工具。因此許多人采用非歐幾何學作為宇宙的幾何模型。的幾何模型。 ( (太平洋太平洋) ) 歐幾里得：歐幾里得：

23、 三角形內角和三角形內角和 = = 兩直角兩直角 , , 2r=c ， a2+b2=c2 羅巴切夫斯基：三角形內角和羅巴切夫斯基：三角形內角和 兩直角兩直角 , , 2rc ， a2+b2 兩直角兩直角 , , 2rc ，a2+b2c2 后來許多幾何理論都建立在改變和推廣歐后來許多幾何理論都建立在改變和推廣歐幾里得幾何概念的基礎之上。例如：幾里得幾何概念的基礎之上。例如：18441844年格年格拉斯曼建立的拉斯曼建立的n n維仿射空間和度量空間幾何。維仿射空間和度量空間幾何。18711871年克來因年克來因 在在16世紀之前，數學家們就成功地找到世紀之前，數學家們就成功地找到了一般的一次、二次

24、、三次、四次以及某些了一般的一次、二次、三次、四次以及某些特殊的五次及五次以上代數方程的根式解法。特殊的五次及五次以上代數方程的根式解法。如：如：aacbbxcbxax24, 022, 12 那么，一般五次及五次以上的代數方程是那么，一般五次及五次以上的代數方程是否也存在根式解法呢？否也存在根式解法呢？ 這個問題吸引著眾多的數學家，他們相這個問題吸引著眾多的數學家，他們相信這種解法一定存在，包括：卡當信這種解法一定存在，包括：卡當（Cardano）、韋達）、韋達(Viete)、笛卡兒、牛頓、笛卡兒、牛頓、萊布尼茨、拉格朗日等等，但相繼經歷了萊布尼茨、拉格朗日等等，但相繼經歷了兩百多年的努力都未

25、能找到解法。兩百多年的努力都未能找到解法。韋達韋達拉格朗日拉格朗日 經過無數次的失敗之經過無數次的失敗之后后,直到直到19世紀初，一些數世紀初，一些數學家產生了逆向思維：首學家產生了逆向思維：首先是魯非尼（先是魯非尼（Ruffini）和）和拉格朗日，接著是阿貝爾拉格朗日，接著是阿貝爾(Abel)，把問題的提法倒，把問題的提法倒了過來，去思考它的反問了過來，去思考它的反問題：一般五次及五次以上題：一般五次及五次以上的方程不存在根式求解法。的方程不存在根式求解法。阿貝爾阿貝爾(Abel) 幾何的三大難題：幾何的三大難題：1. 1. 三等分任意角三等分任意角; ;2. 2. 化圓為方化圓為方; ;3

26、. 3. 倍立方倍立方. . ( ( 只用圓規、直尺只用圓規、直尺) ) 從已有思路的反方向去思考問題。順推不從已有思路的反方向去思考問題。順推不行，考慮逆推；直接解決不行，想辦法間接行，考慮逆推；直接解決不行，想辦法間接解決解決; ;正命題研究過后，研究逆命題；探討正命題研究過后，研究逆命題；探討可能發生困難時，考慮探討不可能性。它有可能發生困難時，考慮探討不可能性。它有利于克服思維定勢的保守性，它對解放思想、利于克服思維定勢的保守性，它對解放思想、開闊思路、發現新生事物，開辟新的方向，開闊思路、發現新生事物，開辟新的方向，往往能起到積極作用。往往能起到積極作用。桂陵（今長垣縣西邊），大梁（

27、今開封）。桂陵（今長垣縣西邊），大梁（今開封）。大梁大梁（諸葛亮草船借箭、20只船）牛頓牛頓：沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現。沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現。G.波利亞：波利亞：要想成為一個好的數學家，要想成為一個好的數學家，你必須是一你必須是一個好的猜想家。個好的猜想家。牛頓牛頓波利亞波利亞 數學猜想是指依據某些已知事實和數學知數學猜想是指依據某些已知事實和數學知識對未知量及關系所作出的一種似真的推斷，識對未知量及關系所作出的一種似真的推斷，它是數學研究的一種常用的科學方法，又是數它是數學研究的一種常用的科學方法，又是數學發展的一種重要思維形式，它是科學假說在學發展的一種重要思維形式

28、，它是科學假說在數學中的具體表現。數學中的具體表現。 數學猜想作為一種數學潛形態數學猜想作為一種數學潛形態, ,它常常是數它常常是數學理論（定理）的萌芽和胚胎，它往往是數學學理論（定理）的萌芽和胚胎，它往往是數學發展到積累了大量資料，需要進行理論整理，發展到積累了大量資料，需要進行理論整理，探索其理論內部的矛盾規律這一階段上產生出探索其理論內部的矛盾規律這一階段上產生出來的，數學的創造過程與其它知識的創造過程來的，數學的創造過程與其它知識的創造過程一樣。你先得把觀察到結果加以歸納、類比，一樣。你先得把觀察到結果加以歸納、類比，通過猜想通過猜想。立方體立方體方錐方錐三棱柱三棱柱三棱錐三棱錐五棱柱

29、五棱柱五棱錐五棱錐著名數學教育家波利亞（Polya）說：“在前輩數學家中，歐拉對我的影響最大.主要原因在于，歐拉做了一些跟他才能相當的偉大數學家從沒做過的事，即他解釋了他是如何發現他的結果的.對此，我是如獲至寶.”歐拉關于多面體的猜想八面體八面體“塔頂塔頂”體體截角立方體截角立方體猜想猜想:是否面是否面(F)的數目越多的數目越多,頂點的數頂點的數(V)越多越多? 猜想猜想:是否邊是否邊(E)的數目越多的數目越多,面數面數(F)越多越多?頂點頂點(V)也越多呢也越多呢?F + V = E + 2F + V = E + 2由歸納得出由歸納得出:F + V = E + 2F + V = E + 2

30、F + V = E + 2nEE1VV1nFF (F+n-1)+(V+1)=(E+n)+2 從而從而 F+V=E+2截角立方體的推廣截角立方體的推廣: nEE1nVV1FF (F+1)+(V+n-1)=(E+n)+2 從而從而 F+V=E+2顯然有顯然有 V = E (*) 角角(頂點頂點) = 邊邊(棱棱) 將將(*)改寫為改寫為(按維數增加的順序按維數增加的順序) V - E + 1 = 1 (*) 頂點數頂點數 邊數邊數 多邊形內部面數多邊形內部面數 (0維維) (1維維) (2維維) 現將現將 F+V=E+2 改寫為改寫為(按維數增加的順序按維數增加的順序) V - E + F - 1 = 1 (*)頂點數頂點數 邊數邊數 面數面數 多面體內部立體數多面體內部立體數 (0維維) (1維維) (2維維 ) (3維維)比較比較(*)和和(*) ,它們多么類似它們多么類似. V - E + 1 = 1 (*)若：若：BxgAxfxxxx )(lim,)(lim00則：則：)(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx )(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx )0)(lim( ;)(lim)(lim)()(l