1、2.2拋物線的簡單幾何性質教學目標教學目標 知識與技能目標知識與技能目標使學生理解并掌握拋物線的幾何性質，并能從拋物線的標準方程出發，推導這些性質從拋物線的標準方程出發，推導拋物線的性質，從而培養學生分析、歸納、推理等能力過程與方法目標復習與引入過程復習與引入過程1拋物線的定義是什么？請一同學回答應為：“平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線”2拋物線的標準方程是什么？再請一同學回答應為：拋物線的標準方程是y2=2px(p0)，y2=-2px(p0)，x2=2py(p0)和x2=-2py(p0)下面我們類比橢圓、雙曲線的幾何性質，從拋物線的標準方程y2=2px(p0)出

2、發來研究它的幾何性質板書拋物線的幾何性質yxoMFdK復習復習結合拋物線結合拋物線y2=2px(p0)的標準方程和圖形的標準方程和圖形,探索探索其的幾何性質其的幾何性質:(1)范圍范圍(2)對稱性對稱性(3)頂點頂點類比探索類比探索x0,yR關于關于x軸對稱軸對稱,對稱軸對稱軸又叫拋物線的軸又叫拋物線的軸.拋物線和它的軸的交點拋物線和它的軸的交點.XY(4)離心率離心率(5)焦半徑焦半徑(6)通徑通徑始終為常數始終為常數1通過焦點且垂直對稱軸的直線，與拋物線相通過焦點且垂直對稱軸的直線，與拋物線相交于兩點，連接這兩點的線段叫做拋物線的交于兩點，連接這兩點的線段叫做拋物線的通徑。通徑。|PF|=

3、x0+p/2xOyFP通徑的長度通徑的長度：2P思考思考：通徑是拋物線的焦點弦中最短的弦嗎？利用拋物線的利用拋物線的頂點頂點、通徑的兩個、通徑的兩個端點端點可較準確畫出可較準確畫出反映拋物線基本特征的草圖。反映拋物線基本特征的草圖。特點特點1.拋物線只位于半個坐標平面內拋物線只位于半個坐標平面內,雖然它可以無雖然它可以無限延伸限延伸,但它沒有漸近線但它沒有漸近線;2.拋物線只有一條對稱軸拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心沒有對稱中心;3.拋物線只有一個頂點、一個焦點、一條準線拋物線只有一個頂點、一個焦點、一條準線;4.拋物線的離心率是確定的拋物線的離心率是確定的,為為1;5.拋物線標準方程中的

4、拋物線標準方程中的p對拋物線開口的影響對拋物線開口的影響.P越大越大,開口越開闊開口越開闊圖圖 形形方程方程焦點焦點準線準線 范圍范圍 頂點頂點 對稱軸對稱軸elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）)0 ,2(pF)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pF2px 2px 2py 2pyx0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x軸軸y軸軸1變式變式: 頂點在坐標原點頂點在坐標原點,對稱軸是坐標軸對稱軸是坐標軸,并且過點并且過點M(2, )的拋物線有幾條的拋物線有幾條,求它的標準方

5、程求它的標準方程.2 2典型例題：典型例題：例例1.已知拋物線關于已知拋物線關于x軸對稱，軸對稱，頂點在坐標頂點在坐標原點原點,并且過點并且過點M(2, ),求它的標準方程求它的標準方程.2 2當焦點在當焦點在x(y)軸上軸上,開口方向不定時開口方向不定時,設為設為y2=2mx(m 0)(x2=2my (m0),可避免討論可避免討論)0(2),22, 2(2PPxyMx程為所以，可設它的標準方點點，并且經過軸對稱，它的頂點在原解：因為拋物線關于222)22(2pPM，即在拋物線上，所以因為點xy42準方程是因此，所求拋物線的標xyOFABBA224 ,(1)4 ,yxxx代代入入方方程程得得.

6、0162xx化簡得84)(216212212121xxxxABxxxx。的長是所以，線段8AB例例2.斜率為斜率為1的直線的直線L經過拋物線經過拋物線 的焦點的焦點F,且與拋物線相交于且與拋物線相交于A,B兩點兩點,求線段求線段AB的長的長.y2 = 4x解法一解法一:由已知得拋物線的焦點由已知得拋物線的焦點為為F(1,0),所以直線所以直線AB的方程為的方程為y=x-1xyOFABBA.,),(),(2211BAddlBAyxByxA的距離分別為準線到設, 1, 121xdBFxdAFBA由拋物線的定義可知1228ABAFBFxx 所所以以例例2.斜率為斜率為1的直線的直線L經過拋物線經過拋

7、物線 的焦點的焦點F,且與拋物線相交于且與拋物線相交于A,B兩點兩點,求線段求線段AB的長的長.y2 = 4x2,1,2pp . 1:xl準線解法二解法二:由題意可知由題意可知, 變式：變式： 過拋物線過拋物線y2=2px的焦點的焦點F任作一條直線任作一條直線m，交這拋物線于交這拋物線于A、B兩點，求證：以兩點，求證：以AB為直徑的圓為直徑的圓和這拋物線的準線相切和這拋物線的準線相切證明：如圖 所以所以EH是以是以AB為直徑的為直徑的圓圓E的半徑，且的半徑，且EHl，因，因而圓而圓E和準線和準線l相切相切設設AB的中點為的中點為E，過，過A、E、B分別向準線分別向準線l引垂引垂線線AD，EH，

8、BC，垂足為，垂足為D、H、C，則則AFAD，BFBCABAFBFADBC =2EH練習練習:1.已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為x軸，軸，焦點在直線焦點在直線3x-4y-12=0上，那么拋物線通徑上，那么拋物線通徑長是長是_.2.過拋物線過拋物線 的焦點的焦點,作傾斜角為作傾斜角為的直線的直線,則被拋物線截得的弦長為則被拋物線截得的弦長為_3.垂直于垂直于x軸的直線交拋物線軸的直線交拋物線y2=4x于于A、B,且且|AB|=4 ,求直線求直線AB的方程的方程.1616 y2 = 8x0453X=3例例3.過拋物線焦點過拋物線焦點F的直線交拋物線于的直線交拋物線

9、于A,B兩點兩點,通過點通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點點D,求證求證:直線直線DB平行于拋物線的對稱軸平行于拋物線的對稱軸.xOyFABD例例3 過拋物線焦點過拋物線焦點F的直線交拋物線于的直線交拋物線于A,B兩點，通過點兩點，通過點A和拋物線頂點的和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點直線交拋物線的準線于點D，求證：直線，求證：直線DB平行于拋物線的對稱軸。平行于拋物線的對稱軸。,22pxyx物線的方程為建立直角坐標系。設拋軸，它的頂點為原點，軸為證明：以拋物線的對稱,2),2(0020 xypyOAypyA的方程為則直線的坐標為點2px拋物線的準線是.02ypyD的縱坐標為聯立可得點.222),0 ,2(200ppypxyyAFpF方程為的所以直線的坐標是因為點.02ypyB的縱坐標為聯立