1、1 f2abof1yx（第 11題圖）d45acbo60（第10題圖）虹口區 2019 學年度第一學期期終學生學習能力診斷測試高三數學試卷2019 年 12 月考生注意：1.本試卷共4 頁， 21 道試題，滿分150 分，考試時間120 分鐘 . 2.本考試分設試卷和答題紙. 作答必須涂（選擇題）或寫（非選擇題）在答題紙上，在試卷上作答一律不得分. 一、填空題（本大題滿分54 分）本大題共12 題，第 1-6 題，每空填對得4 分; 第 7-12 題，每空填對得5 分. 請直接將結果填寫在答題紙相應題號的空格內. 1. 設全集21,1 ,xuraxx若則uae_2若復數31izi（i為虛數單位

2、），則z_. 3. 設,xr則21xx的最小值為 _.4若sin2cos0,2cos1xxx則銳角x_.5. 設等差數列na的前 n 項和為274,12,8,nsaas若則na_. 6.拋物線26xy的焦點到直線3410 xy的距離為 _.7. 設6270127(21)(1),xxaa xa xa x則5_.a8. 設1( )fx為函數2( )log (41)xf x的反函數，則當1( )2( )f xfx時，x的值為 _. 9. 已知,m n是平面外的兩條不同直線. 給出三個論斷：;mn/;n.m以其中兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題（論斷 用序號表示） ：_.1

3、0. 如圖所示，兩塊斜邊長均等于2的直角三角板拼在一起，則odab_. 11.如圖，12,f f分別是雙曲線2 （第 16題圖）hefgobcda222:1xcya的左、右焦點，過2f 的直線與雙曲線c的兩條漸近線分別交于,a b 兩點，若212,0,f aab fb f b則雙曲線c的焦距12f f為_. 12. 已知函數( )fx的定義域為,0,2, ( )(2),rxf xxx當時且對任意的,xr均有(2)2 ( ).f xf x若不等式15( )2f x在,xa上恒成立，則實數a的最大值為 _. 二、選擇題 （本大題共4 題，滿分20 分）每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應

4、題號上，將所選答案的代號涂黑，選對得5 分，否則一律零分.13. 設,xr則“11x”是“24x”的（）（a）充分不必要條件（ b）必要不充分條件（c）充要條件（ d）既不充分也不必要條件14已知函數( )3sin(2)cos(2)f xxx為偶函數， 且在0,2上為增函數， 則的一個值可以是（）（a）6（b）3（c）23（d）2315已知函數( )2,( ),f xxg xx t定義函數( ),( )g( ),( )g( ),( )g( ).f xf xxf xxfxx當當若對任意的,xr都有( )(2)f xfx成立，則t的取值為（）（ a）4（b）2（c）0 （d）216正四面體abcd

5、 的體積為1，o 為其中心，正四面體 efgh 與正四面體abcd 關于點 o 對稱，則這兩個正四面體的公共部分的體積為（）（ a）13（b）12（ c）23（d）34三、解答題（本大題共5 題，滿分76 分）解答下列各題必須在答題紙的規定區域內寫出必要3 co1b1a1bc1oa（第18題圖）的步驟 . 17( 本題滿分14 分) 本題共 2 小題，每小題7 分.在abc中，18,6, cos.3aba求（1）角b；（2）bc 邊上的高 . 18( 本題滿分14 分) 本題共 3 小題，第1 小題 4 分，第 2 小題 5 分,第 3 小題 5 分.如圖，在圓柱1oo中，它的軸截面11abb

6、 a是一個邊長為2 的正方形， 點c為棱1bb的中點，點111ca b為弧的中點 . 求（1）異面直線11ocac與所成角的大小；（2）直線1cc與圓柱1oo底面所成角的大小；（3）三棱錐11coac的體積 .19 （本題滿分14 分）本題共2 小題，第1 小題 6 分，第 2 小題 8 分. 某企業接到生產3000 臺某產品的甲、乙、丙 3 種部件的訂單，每臺產品需要這3 種部件的數量分別為2，2，1（單位：件） . 已知每個工人每天可生產甲部件6 件，或乙部件3 件，或丙部件 2 件.該企業計劃安排200 名工人分成三組分別生產這3 種部件，生產乙部件的人數與生產甲部件的人數成正比例，比例

7、系數為k（k2為正整數） . （1）設生產甲部件的人數為x，分別寫出完成甲、乙、丙3 種部件生產需要的時間；（2）假設這 3 種部件的生產同時開工，試確定正整數k 的值，使完成訂單任務的時間最短，并給出時間最短時具體的人數分組方案. 20 （本題滿分16 分）本題共3 小題，第1 小題 5 分，第 2 小題 5分，第 3 小題 6分 .4 （第 20題圖）bayxf1f2po已知兩點12(3, 0),( 3, 0),ff設圓o：224xy與x軸交于,a b兩點，且動點p滿足：以線段2f p為直徑的圓與圓o相內切，如圖所示. 記動點p的軌跡為，過點2f與x軸不重合的直線l與軌跡交于,m n 兩點

8、 .(1) 求軌跡的方程；(2) 設線段 mn 的中點為q，直線oq與直線433x相交于點,r求證：2f rl；（3）記,abmabn 的面積分別為12,ss求12ss的最大值及此時直線l的方程 . 21.( 本題滿分18 分)本題共 3 小題，第1 小題 4 分，第 2 小題 6 分，第 3 小題 8 分.在數列na中，1212210 ,2mmmamnaaam且對任意的構成以為公差的等差數列 . （1）求證：456,aaa成等比數列；（2）求數列na的通項公式；（3）設2222323,2nnnnssnaaa試問是否存在極限？若存在，求出其值；若不存在，請說明理由 . 5 xyz（第18題圖）

9、aoc1ba1b1o1c虹口區 2019 學年度第一學期期終學生學習能力診斷測試高三數學參考答案和評分標準2019 年 12 月一、填空題（本大題滿分54 分）本大題共12 題，第 1-6 題，每題填對得4 分; 第 7-12 題，每題填對得5分 . 10, 1 25 3. 221 44 523()nnn 6. 1 7. 36 8 1 9.若，則 （或： 若，則） 101 11433 12.274二、選擇題（本大題共 4 題，每題5 分，滿分20 分） 13. a 14. d 15.a 16. b 三、解答題（本大題共5 題，滿分76 分）17 （本題滿分14 分）本題共2 小題，每小題7 分

10、解： （1）在abc中，由122cos,sin.33aa得 2 分由正弦定理，得226sin23sin.82baba 5 分于是由角a為鈍角，知.4b 7 分242sincsin()(sinacosa),262ab（ ）因 10 分設abc的bc邊上的高為h,則由11sin,22abcsahabc得42sin642.6hbc即abc的bc邊上的高等于42. 14 分18( 本題滿分14 分)本題共 3 小題，第1 小題 4 分，第 2 小題 5 分 ,第 3 小題 5 分. 解： （1）以點o為原點，直線1,ob oo分別為, y z軸, 建立空間直角坐標系，如圖所示. 則相關點的坐標為(0,

11、0,0),(0,1,0),ob1(0,1,2),b(0,1,1),c111(0, 1,2),(0,0,2),(1,0,2).aoc于是11(0,1,1),(1,1,0).ocac 2 分6 從而111111(0,1,1) (1,1,0)1cos,222oca coca coca c因此，異面直線11ocac與所成角的大小為.3 4 分（ 2）由于1(0,0,2)oo是圓柱1oo底面的一個法向量, 又1(1,1,1)cc, 6 分設直線1cc與圓柱1oo底面所成角的大小為,則111111(1, 1,1) (0,0, 2)3sincos,=,33 2ccooccooccoo于是，直線1cc與圓柱1

12、oo底面所成角的大小為3arcsin.3 9 分（ 3）由于三棱錐11coac的頂點11111,coa cc o到面的距離為 11 分而111 111111322121 12 1.2222oa coaaobca b cabb asssss正方形故1111111311.3322coa coa cvso c 14 分19( 本題滿分14 分) 本題共 2 小題，第1 小題 6 分，第 2 小題 8 分. 解： （1）設完成甲、乙、丙3 種部件生產需要的時間（單位：天）分別為123( ),( ),( ),txtxtx則由題意，得12323000100023000200030001500( ),( )

13、,( ),63()2 200(1)200(1)t xtxtxxxk xkxk xk x即123100020001500( ),( ),( ),200(1)t xtxtxxkxk x 4 分其中,200(1)x kxkx均為 1 到 200 的正整數，且.kn 6 分（2）完成訂單所用的時間為123( )max( ),( ),( ) ,f xt x t x t x其定義域為2001,2 .1xxx knkk且由于1210002000( ),( )t xtxxkx均為減函數，31500( )200 (1)t xk x為增函數，并注意到212( )( ).txt xk 8 分（i ）當2k時，12(

14、 )( ),t xt x此時12310001500( )max( ),( ),( )max,2003f xt xtxt xxx7 copf2f1xyab（第 20題圖）其中166,.xxxn且由13( ),( )t xt x 的單調性知，當100015002003xx時，( )f x取得最小值，解得400.9x由于134002503004445,(44)t (44),(45)t (45),(44)(45).91113ffff而故 當44x時，完成訂單任務所用的時間最短，最短時間為25011天. 11 分（ii ）當2k時，12( )( ),t xtx由于,3,knk故此時3375( )( ),

15、( )50t xt xt xx且為增函數 . 于是1311000375( )max( ),( )max( ),( ) = g( )max,.50f xt xtxt xt xxxx由1( ),( )t xt x 的單調性知，當100037550 xx時，( )g x取得最小值，解得400.11x由于134002502503752503637,(36)t (36),(37)t (37),119111311gg而此時完成訂單任務的最短時間大于25011天. 綜上所述，當2k時，完成訂單任務所用時間最短，最短時間為25011天；此時生產甲、乙、丙 3 種部件的人數分別為44，88，68 人. 14 分

16、20 （本題滿分16 分）本題共3 小題，第1 小題 5 分，第 2 小題 5 分，第 3 小題 6 分. 解： （1）連結1,pf設2pf的中點為,c則12.pfco由圓c與圓o相內切，得22,cocf于是1222()4,pfpfcocf 3 分因此，動點p的軌跡是：以12,f f為焦點， 4 為長軸長的橢圓；其方程為221.4xy 5 分證： （2）設直線l的方程為3,xmy并設1122(,),(,),m xyn xy則由223,44,xmyxy22(m4)2310,ymy得故1212222 31,.44myyy ymm從而1212283()23,4xxm yym于是22433(,).44

17、mqmm 7 分8 所以23(4,),4oqmm于是直線40.oqmxy的方程為由40,43,3mxyx解得433(,),33rm從而2333(,)(1,).333f rmm由于直線l的法向量2(1,m)/,f r故2.f rl 10 分解： （3）由（ 2）知1212222 31,.44myyy ymm故111222112,2,22sabyysabyy 12 分而120,y y故12122124223.4ssyyymmy 14 分由于12ss最大時0,m故1243433,442mmmmss當且僅當2m時，等號成立. 因此12max3,ss此時直線l的方程為230,230.xyxy或 16 分

18、21. (本題滿分18 分)本題共 3 小題，第1 小題 4 分，第 2 小題 6 分，第 3 小題 8 分. 證： （1）因為1212210 ,2mmmamnaaam且對任意的構成以為公差的等差數列. 所以，當121321,0,22,24;maaaaa時當343542,4,48,412;maaaaa時 2 分當565763,12,618,624.maaaaa時于是65543,2aaaa故456,aaa成等比數列 . 4 分解： （2）由題意，對2121,4,mmmnaam任意的有于是2121212123311()()()(1)44(1)41042(1),2mmmmmaaaaaaaam mmmm