1、圓夢教育中心排列組合專項訓練1.題1 (方法對比，二星)題面：(1)有5個插班生要分配給3所學校，每校至少分到一個，有多少種不同的分配方法？(2)有5個數學競賽名額要分配給3所學校，每校至少分到一個名額，有多少種不同的名額分配方法？解析：“名額無差別”相同元素問題(法1)每所學校各分一個名額后，還有2個名額待分配，可將名額分給2所學校、1所學校，共兩類：(種)(法2擋板法)相鄰名額間共4個空隙，插入2個擋板，共：(種)注意：“擋板法”可用于解決待分配的元素無差別，且每個位置至少分配一個元素的問題.(位置有差別，元素無差別)同類題一題面：有10個運動員名額，分給7個班，每班至少一個,有多少種分配

2、方案？ 答案： 詳解：因為10個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成9個空隙。在9個空檔中選6個位置插個隔板，可把名額分成7份，對應地分給7個班級，每一種插板方法對應一種分法共有種分法。同類題二題面：求方程X+Y+Z=10的正整數解的個數。答案：36.詳解：將10個球排成一排，球與球之間形成9個空隙，將兩個隔板插入這些空隙中（每空至多插一塊隔板），規定由隔板分成的左、中、右三部分的球數分別為x、y、z之值, 故解的個數為C92=36（個）。2.題2 (插空法，三星)題面：某展室有9個展臺，現有件展品需要展出，要求每件展品獨自占用個展臺，并且件展品所選用的展臺既不在兩端又不相鄰，則不同

3、的展出方法有_種；如果進一步要求件展品所選用的展臺之間間隔不超過兩個展位，則不同的展出方法有_種. 答案：，同類題一題面：6男4女站成一排，任何2名女生都不相鄰有多少種排法？答案：A·A種.詳解： 任何2名女生都不相鄰，則把女生插空，所以先排男生再讓女生插到男生的空中，共有A·A種不同排法同類題二題面：有6個座位連成一排，現有3人就坐，則恰有兩個空座位相鄰的不同坐法有()A36種 B48種 C72種 D96種答案：C.詳解：恰有兩個空座位相鄰，相當于兩個空位與第三個空位不相鄰，先排三個人，然后插空，從而共AA72種排法，故選C.3題3 (插空法，三星)題面：5個男生到一排1

4、2個座位上就座，兩個之間至少隔一個空位1沒有坐人的7個位子先擺好，2(法1插空)每個男生占一個位子，插入7個位子所成的8個空當中，有： =6720種排法. (法2)15個男生先排好：；2每個男生加上相鄰的一個座位，共去掉9個位置，當作5個排好的元素，共有6個空，剩下的3個元素往里插空，每個空可以插1個、2個、3個元素，共有：種，綜上：有()=6720種.同類題一題面：文藝團體下基層宣傳演出，準備的節目表中原有4個歌舞節目，如果保持這些節目的相對順序不變，擬再添兩個小品節目，則不同的排列方法有多少種？答案：30。詳解：記兩個小品節目分別為A、B。先排A節目。根據A節目前后的歌舞節目數目考慮方法數

5、，相當于把4個球分成兩堆，有種方法。這一步完成后就有5個節目了。再考慮需加入的B節目前后的節目數，同理知有種方法。故由分步計數原理知，方法共有（種）。 同類題二題面：(2013年開封模擬)2位男生和3位女生共5位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數是()A60 B48C42 D36答案：B.詳解：第一步選2女相鄰排列C·A，第二步與男女排列A，第三步男生甲插在中間，1種插法，第四步男男生插空C，故有C·A·A·C48種不同排法4.題4 (隔板法變形，三星)題面：15個相同的球，按下列要求放入4個寫上了1、2、3

6、、4編號的盒子，各有多少種不同的放法?(1)將15個球放入盒子內，使得每個盒子都不空；(2)將15個球放入盒子內，每個盒子的球數不小于盒子的編號數；(3)將15個球放入盒子內，每個盒子不必非空；(4)任取5個球，寫上1-5編號，再放入盒內，使每個盒子都至少有一個球；(5)任取10個球，寫上1-10編號，奇數編號的球放入奇數編號的盒子，偶數編號的球放入偶數編號的盒子解析：(2)先將2、3、4號盒子分別放入1、2、3個球，剩下的9個球用擋板法，=56(3)借來4個球，轉化為19個球放入盒子內，每個盒子非空，(4)不能用“擋板法”，因為元素有差別.(法1)必有一個盒子有2個球，；(法2)先選3個球，

7、分別排到4個盒子中的3個里，剩下的盒子自然放2個球.；(法3)，會重！需要除2！重復原因：1號盒子放1、5號球，先放1后放5與先放5、后放1是一樣的！(5)(法1)每個球都有2種選擇，共有種方法；(法2)奇數號的球有1、3、5、7、9，共5個，可以在1、3號兩個盒子中選一個放入，共有：種放法，同理放偶數號的球也有種方法，綜上共有種方法.同類題一題面：某車隊有7輛車，現要調出4輛按一定順序出去執行任務要求甲、乙兩車必須參加，且甲車要先于乙車開出有_種不同的調度方法(填數字)答案：120.詳解：先從除甲、乙外的5輛車任選2輛有C種選法，連同甲、乙共4輛車，排列在一起，先從4個位置中選兩個位置安排甲

8、、乙，甲在乙前共有C種，最后，安排其他兩輛車共有A種方法，故不同的調度方法為C·C·A120種同類題二題面：我國第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機起降飛行訓練中,有架艦載機準備著艦,如果甲、乙兩機必須相鄰著艦,而丙、丁兩機不能相鄰著艦,那么不同的著艦方法有（）ABCD答案：C.詳解：分三步:把甲、乙捆綁為一個元素,有種方法;與戊機形成三個“空”,把丙、丁兩機插入空中有種方法;考慮與戊機的排法有種方法.由乘法原理可知共有種不同的著艦方法.故應選C 5. 題5(相同與不同，三星)題面：某同學有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友每位朋友1本，則不同的贈送方

9、法共有( )A4種 B10種 C18種 D20種同類題一題面：(2013·北京高考)將序號分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號，那么不同的分法種數是_答案：96.詳解：按照要求要把序號分別為1,2,3,4,5的5張參觀券分成4組，然后再分配給4人，連號的情況是1和2,2和3,3和4,4和5，故其方法數是4A96.同類題二題面：3位男生和3位女生共6位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數是 （ ）A. 360 B. 288 C. 216 D. 96答案：288種.詳解：分析排列組合的問

10、題第一要遵循特殊元素優先考慮的原則，先考慮女生的問題，先從3個女生中選兩位，有種方法，然后再考慮順序，即先選后排，有種方法；這樣選出兩名女生后，再考慮男生的問題，先把三個男生任意排列，有中不同的排法，然后把兩個女生看成一個整體，和另一個女生看成兩個元素插入4個位置中。有種不同的排法，共有種不同的排法。然后再考慮把男生甲站兩端的情況排除掉。甲可能站左端，也可能是右端，有種不同的方法，然后其他兩個男生排列有種排法，最后把女生在剩余的三個位置中排列，有種不同的排法。共種不同的排法， 故總的排法為=288種不同的方法。 .題6(組合數的性質，二星)題面：5個男生3個女生，分別滿足下列條件，各有多少種方

11、法？(1)選出3人參加A活動；(2)選出5人參加B活動；(3)選出4人參加一項活動，女生甲必須參加；(4)選出4人參加一項活動，女生甲不能參加.答案：同類題一題面：從5名男醫生、4名女醫生中選3名醫生組成一個醫療小分隊，要求其中男、女醫生都有，則不同的組隊方案共有 （ ）A. 70 種 B. 80種 C. 100 種 D. 140 種答案：A.詳解：分為2男1女，和1男2女兩大類，共有=70種同類題二題面：男運動員6名，女運動員4名，其中男女隊長各1人.選派5人外出比賽.在下列情形中各有多少種選派方法？（1）男運動員3名，女運動員2名；（2）至少有1名女運動員；（3）隊長中至少有1人參加；（4

12、）既要有隊長，又要有女運動員.答案：（1）120種（2） 246種. 詳解：（1）第一步：選3名男運動員，有C種選法.第二步：選2名女運動員，有C種選法.共有C·C=120種選法. （2） 至少1名女運動員包括以下幾種情況：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分類加法計數原理可得總選法數為CC+CC+CC+CC=246種. .題7 (選和排，二星)題面：從4名男生和3名女生中選出3人，分別從事三項不同的工作，若這3人中有且只有1名女生，則選派方案共有多少種？法一：先選后排，法二：邊選邊排，同類題一題面：將4名教師分配到3所中學任教，每所中學至少1名教師，則不同的分配方案共有()

13、A12種B24種 C36種 D48種答案：C.詳解： 先分組再排列：將4名教師分成3組有C種分法，再將這三組分配到三所學校有A種分法，由分步乘法計數原理，知一共有C·A36種不同分配方案同類題二題面：甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區分站的位置，則不同的站法種數是()A258 B306 C336 D296答案：C.詳解：根據題意，每級臺階最多站2人，所以，分兩類：第一類，有2人站在同一級臺階，共有CA種不同的站法；第二類，一級臺階站1人，共有A種不同的站法根據分類加法計數原理，得共有CAA336(種)不同的站法3題一(合理分類，二星)題面：

14、若從1，2，3，9這9個整數中同時取4個不同的數，其和為偶數，則不同的取法共有()A60種 B63種 C65種 D66種同類題一題面：只用1,2,3三個數字組成一個四位數，規定這三個數必須同時使用，且同一數字不能相鄰出現，這樣的四位數有()A6個 B9個 C18個 D36個答案：C.詳解： 注意題中條件的要求，一是三個數字必須全部使用，二是相同的數字不能相鄰，選四個數字共有C3(種)選法，即1231,1232,1233，而每種選擇有A×C6(種)排法，所以共有3×618(種)情況，即這樣的四位數有18個同類題二題面：由1、2、3、4、5、6組成沒有重復數字且1、3都不與5相

15、鄰的六位偶數的個數是()A72 B96 C108 D144答案：C.詳解：分兩類：若1與3相鄰，有A·CAA72(個)，若1與3不相鄰有A·A36(個)故共有7236108個題8 題面：5個男生3個女生，分別滿足下列條件，各有多少種方法？(1)選出4人參加一項活動，女生甲必須參加；(2)選3人參加數學競賽，至少有一名男生.(法1)分類：1名、2名、3名男生：；(法2)間接法.(法3)1先取1名男生；2再在剩下的7人中取3人；？ 同類題一題面：將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學生，且甲、乙兩名學生不能分到同一個班，則不同分法的種數為 答案：C.詳解

16、： 用間接法解答：四名學生中有兩名學生分在一個班的種數是，順序有種，而甲乙被分在同一個班的有種，所以種數是同類題二題面：甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有 （ ）A. 6 B. 12 C. 30 D. 36 答案：C.詳解：可以先讓甲、乙任意選擇兩門，有種選擇方法，然后再把兩個人全不相同的情況去掉，兩個人全不相同，可以讓甲選兩門有 種選法，然后乙從剩余的兩門選，有種不同的選法，全不相同的選法是種方法，所以至少有一門不相同的選法為=30種不同的選法。題9 (組合數性質，三星)某班分成五個小組，分別有5,6,7,8,9名同學，現從該班挑選2名同學參加比

17、賽，且這兩名同學必須來自同一小組，共有多少種不同的方案？同類題一題面：將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學生，且甲、乙兩名學生不能分到同一個班，則不同分法的總數為 （ ）A. 18 B. 24 C. 30 D. 30答案：C.詳解： 將甲、乙、丙、丁四名學生分成三組，則共有種不同的分法，然后三組進行全排列共種不同的方法；然后再把甲、乙分到一個班的情況排除掉，共種不同的排法。所以總的排法為=30種不同的排法。同類題二題面：將5名實習教師分配到高一年級的3個班實習，每班至少1名，最多2名，則不同的分配方案有（A）30種（B）90種 （C）180種（D）270種答案：B.詳

18、解：將5名實習教師分配到高一年級的3個班實習，每班至少1名，最多2名，則將5名教師分成三組，一組1人，另兩組都是2人，有種方法，再將3組分到3個班，共有種不同的分配方案，選B.題10 (組合的識別，四星)題面：(1)“漸升數”是指每個數字比它左邊的數字大的正整數(如1458),則四位“漸升數”共有多少個？(2)5個男生3個女生排成一排，自左至右，男、女生分別都從高到矮排(任意兩人身高不同)，有多少種不同排法？(法1)8個位置中選5個排男生，剩下3個位置排女生，注意：男生位置選定以后，女生順序一定，只對應一種排法.(法2除序).(3)3,3,3,4,4,5,5,5,5能組多少個不同的九位數？多重排列除