1、不等式的證明 ( 教案 )a 一、知識梳理：常用的不等式的證明方法: 1、比較法比較法證明不等式的一般步驟：作差變形判斷結論；為了判斷作差出的符號，有時要把這個差變形為一個常數，或者變形為一個常數與一個或者幾個平方和的形式，也可變形為幾個因式的積的形式，以便判斷其正負。2、綜合法：利用某些已經證明過的不等式（均值不等式）和不等式的性質，推出所經證明的不等式，這個證明方法叫做綜合法，利用某些已經證明過的不等式和不等式的性質要注意它們各自成立的條件。綜合法證明不等式的邏輯關系：即從已知條件a出發，逐步推演不等式成立的必要條件，推導出所經證明的結論b。3 分析法：證明不等式時，有時可以從求證的不等式

2、出發，分析使這個不等式成立的充分條件， 把證明不等式轉化為這些充分條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些充分條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫分析法。4、反證法：正難則反先假設要證明的問題不成立，以此為出發點，結合已知的條件、應用公理，定義、定理、性質等，進行正確的推理，得到和命題的條件（或已證明的定理、性質、明顯成立的事實等）矛盾結論，以說明假設不正確，從而證明原命題成立，這種證明方法稱為反證法。5、放縮法：證明不等式時，通過把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達到證明的目的，這種方法叫放縮法。所謂的放縮技巧：即欲證a b，欲尋找一個（或多個）中間變量c，

3、使得 a c b，由“a到 c就是“放”，則 b到 c就上“縮”。二、題型探究探究一：比較法：例 1：若水杯中b 克糖水中含有a 克糖，假如再加入m克糖，糖水會變得更甜，試將這一事實用數學關系式表示出來，并加以證明。探究二：分析法和綜合法例 2：已知正數a，b，求證：+探究三：放縮法：例 3：求證： 1+例 4：證明不等式：1+（n）探究五：反證法：例 5：已知 a，b，c 都是小于1的正數，求證： （1-a ）b， （1-b ）c， （1-c ）a 中至少有一個不大于。三、方法提升（1） 、分析法是求證的不等式出發，分析這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉化為判定這些充分條件是否具備的問

4、題，即“執果索因”。（2） 、 綜合法的證明過程有時正好是分析法的逆推，所以常用分析法探索證明的途徑，然后用綜合的形式寫出證明過程，即：“由因導果”。（3） 、證明不等式的靈活多樣，但比較法，綜合法，分析法和數學歸納法仍是證明不等式的最基本的方法，要依據題設結論的結構特點、內在聯系，選擇適當的證明方法，要熟悉各種證明方法的中推理思維，并掌握相應的步驟，技巧和語言特點。四、反思感悟五、課時作業【說明】本試卷滿分100 分，考試時間90 分鐘 . 一、選擇題（每小題6 分，共 42 分）1.設 0 x1，則 a=x2,b=1+x,c=x11中最大的一個是（）a.a b.b c.c d. 不能確定答

5、案： c 解析： 因 0 x1,故 1-x20,即 1+xx11,bc,又 1+x-x2=(22x)2+210,故 ab,即最大的是c. 2.(2010 北京東城區一模，4)已知 a0,b-1,則下列不等式成立的是（）a.aba2bab.2babaa c.ba2baa d.baa2ba答案： c 解析： a0,b-1,則ba0,b-1.則 b21. 21b1.又 a 0,02baa. ba2baa.故選 c. 3.設 a b0，則下列關系式成立的是（）a.aabb2)(baabb.aabb2)(baabc.aabb=2)(baabd.aabb與2)(baab的大小不確定答案： a 解析： aa

6、bb2)(baab=2)(baba,因 ab0,故 ab1,a-b0,2)(baba1. 4.設 a,br+，且 ab-a-b1，則有（）a.a+b 2(2+1) b.a+b2+1 c.a+b2+1 d.a+b 2(2+1) 答案： a 解析： 由 ab1+a+b(2ba)21+a+b,將 a+b看作一整體即可. 5.若 0 x2,設 a=2-xsinx,b=cos2x,則下式正確的是( ) a.a b b.a=b c.a b d.ab 答案： d 解析： a-b=2-xsinx-cos2x =sin2x-xsinx+1=(sinx-2x)2+1-42x,因為 0 x2,所以 042x1621

7、.所以 a-b0. 6.設 a,b,c 為 abc 的 3 條邊，且s=a2+b2+c2,p=ab+bc+ca,則( ) a.s 2p b.ps2p c.sp d.ps2p 答案： d 解析： 2(s-p)=2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=(a-b)2+(b-c)2+(a-c)20, s p. 2p=2ab+2bc+2ca=(ab+bc)+(bc+ca)+(ca+ab)=b(a+c)+c(a+b)+a(c+b)b2+c2+a2=s, 2ps. 7.若 a,xyr+,且x+yayx恒成立，則a 的最小值是 ( ) a.22b.2c.2 d.1 答案： b 解析： 因(yxyx)2

8、=1+yxxy21+yxxy2=2, 故yxyx的最大值為2.即 amin=2. 二、填空題（每小題5 分，共 15 分）8.在 abc 中，三邊a、b、c 的對角分別為a、b、 c，若 2b=a+c，則角 b 的范圍是_. 答案： 0b3解析： cosb=acaccaacbca823322222221829222acacca. 0 b3. 9.已知 ab+bc+ca=1，則當 _時， |a+b+c|取最小值 _. 答案： a=b=c=333解析： |a+b+c|2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac3ab+3bc+3ac=3. 10.民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標準，窗

9、戶面積與地板面積的比應不小于10%，并且這個比越大，采光條件越好， 則同時增加相等的窗戶面積與地板面積，采光條件變_（填“好”或“壞” ）. 答案： 好解析： 設窗戶面積為a，地板面積為b，則 ab,且ba10%,設增加面積為m，易知bambma. 三、解答題（1113 題每小題10 分， 14 題 13 分，共 43 分）11.已知函數f(x)=x2+ax+b, 當 p、q 滿足 p+q=1 時，試證明 pf(x)+qf(y) f(px+qy) 對任意實數 x、y 都成立的充要條件是：0p1. 證明： pf(x)+qf(y)-f(px+qy) =p(x2+ax+b)+q(y2+ay+b)-(

10、px+qy)2-a(px+qy)-b =p(1-p)x2+q(1-q)y2-2pqxy =pq(x-y)2. (x-y)2 0, 欲使 pq(x-y)20 對任意 x、y 都成立，只需 pq 0p(1-p)0p(p-1)00 p1. 故 0p 1是 pf(x)+qf(y) f(px+qy) 成立的充要條件. 12.若 a、br+且 a+b=1,求證：2121ba2. 證明：2121ba2 a+b+1+22121ba4 2121ba 1 ab+2ba+41 1 ab41. ab(2ba)2=41成立 , 原不等式成立. 13.已知 a、b、x、yr+且ba11,xy. 求證 :byyaxx. 證法一：（作差比較法）)(byaxaybxbyyaxx, 又ba11且， a、br+, b a0.又 xy0,bxay. )(byaxaybx0，即byyaxx. 證法二：（分析法）x、 y、a、b r+,要證byyaxx,只需證明x(y+b) y(x+a),即證xbya,而同ba110,ba 0.又 xy0,xbya 顯然成立，故原不等式成立. 14.給出不等式cxcx221cc1(xr).經驗證：當c=1,2,3 時，對于x 取一切實數，不等式都成立，試問c 取任何正數時，不等式對任何實數x 是否都成立，若成立，則證明，若不成立，求c 的取