1、學習好資料歡迎下載線性代數課程教案授課題目（教學章節或主題）：第一章行列式 1 二階與三階行列式 2 全排列及其逆序數 3 n階行列式的定義 4 對換本授課單元教學目標或要求：1.會用對角線法則計算2 階和 3 階行列式。2.知道n階行列式的定義。本授課單元教學內容（包括基本內容、重點、難點，以及引導學生解決重點難點的方法、例題等）：基本內容：行列式的定義1.計算排列的逆序數的方法設12np pp是1,2,n這n個自然數的任一排列，并規定由小到大為標準次序。先看有多少個比1p大的數排在1p前面，記為1t；再看有多少個比2p大的數排在2p前面，記為2t；最后看有多少個比np大的數排在np前面，記

2、為nt；則此排列的逆序數為12ntttt。2.n階行列式1212111212122212()12( 1)nnnntppnpp ppnnnnaaaaaadaaaaaa其中12np pp為自然數1,2,n的一個排列，t為這個排列的逆序數，求和符號是對所有排列12()np pp求和。n階行列式d中所含2n個數叫做d的元素，位于第i行第j列的元素ija，叫做d的( , )ij元。3.對角線法則：只對2 階和 3 階行列式適用1112112212212122aada aa aaa學習好資料歡迎下載111213212223112233122331132132313233132231122133112332

3、aaadaaaa a aa a aa a aaaaa a aa a aa a a重點和難點：理解行列式的定義行列式的定義中應注意兩點：(1) 和式中的任一項是取自d中不同行、不同列的n個元素的乘積。由排列知識可知，d中這樣的乘積共有!n項。(2) 和式中的任一項都帶有符號( 1)t，t為排列12()np pp的逆序數， 即當12np pp是偶排列時，對應的項取正號；當12np pp是奇排列時，對應的項取負號。綜上所述，n階行列式d恰是d中所有不同行、不同列的n個元素的乘積的代數和，其中一半帶正號，一半帶負號。例：寫出4 階行列式中含有1123a a的項。解：11233244a a a a和11

4、233442a a a a。例：試判斷142331425665a a a a a a和3243 14512566a a a a a a是否都是6 階行列式中的項。解：142331425665a a a a a a下標的逆序數為4312650122016， 所以142331425665a a a a a a是 6 階行列式中的項。324314512566a a a a a a下標的逆序數為(341526)(234156)538， 所以324314512566a a a a a a不是 6 階行列式中的項。例：計算行列式0001002003004000d解：0 1 2 3( 1)1 2 3 424

5、d本授課單元教學手段與方法：講授與練習相結合首先通過二（三）元線性方程組的解的表達式引出二（三）階行列式的定義。然后介紹有關全排列及其逆序數的知識，引出n階行列式的定義。通過討論對換以及它與排列的奇偶性的關系，引導學生了解行列式的三種等價定義。本授課單元思考題、討論題、作業：1 p.26 1(1)(3) 2 2(5)(6) 本授課單元參考資料（含參考書、文獻等，必要時可列出）線性代數附冊學習輔導與習題選講（同濟第四版）學習好資料歡迎下載授課題目（教學章節或主題）：第一章行列式 5 行列式的性質 6 行列式按行（列）展開 7 克拉默法則本授課單元教學目標或要求：1知道n階行列式的性質。2知道代數

6、余子式的定義和性質。3會利用行列式的性質及按行（列）展開計算簡單的n階行列式。4知道克拉默法則。本授課單元教學內容（包括基本內容、重點、難點，以及引導學生解決重點難點的方法、例題等）：基本內容：1.行列式的性質(1) 行列式d與它的轉置行列式td相等。(2) 互換行列式的兩行（列），行列式變號。(3) 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一數k，等于用數k乘此行列式；或者行列式的某一行（列）的各元素有公因子k，則k可提到行列式記號之外。(4) 行列式中如果有兩行（列）元素完全相同或成比例，則此行列式為零。(5) 若行列式的某一列（行）中各元素均為兩項之和，則此行列式等于兩個行列式之和。(6)

7、 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一數然后加到另一行（列）的對應元素上去，行列式的值不變。2.行列式的按行（列）展開(1) 把n階行列式中( , )i j元ija所在的第i行和第j列劃去后所成的1n階行列式稱為( , )i j元ija的余子式，記作ijm；記( 1)ijijijam，則稱ija為( , )i j元ija的代數余子式。(2)n階行列式等于它的任一行（列） 的各元素與對應于它們的代數余子式的乘積的和。即可以按第i行展開：1122(1,2, )iiiiininda aa aa ain；或可以按第j列展開：1122(1,2, )jjjjnjnjda aa aa ajn. (3) 行

8、列式中任一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數余子式乘積之和等于零。即11220,ijijinjna aa aa aij，或11220,ijijninja aa aa aij. 3.克拉默法則含有n個未知元12,nxxx的n個線性方程的方程組11 11221121 1222221122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb當12,nb bb全為零時，稱為齊次線性方程組；否則，稱為非齊次線性方程組。學習好資料歡迎下載(1)如 果 方 程 組 的 系 數 行 列 式0d， 那 么 它 有 唯 一 解 ：(1, 2,)iidxind， 其 中(1,

9、2,)idin是把d中第i列元素用方程組的右端的自由項替代后所得到的n階行列式。(2)如果線性方程組無解或有兩個不同的解，那么它的系數行列式0d。(3)如果齊次線性方程組的系數行列式0d，那么它只有零解；如果齊次線性方程組有非零解，那么它的系數行列式必定等于零。用克拉默法則解線性方程組的兩個條件：(1) 方程個數等于未知元個數；(2) 系數行列式不等于零。克拉默法則的意義主要在于建立了線性方程組的解和已知的系數以及常數項之間的關系.它主要適用于理論推導. 4.一些常用的行列式(1) 上、下三角形行列式等于主對角線上的元素的乘積。即11121112222122112212nnnnnnnnnnaa

10、aaaaaada aaaaaa特別地，對角行列式等于對角線元素的乘積，即11221122nnnnaada aaa. 類似地，1(1)2,1212,111( 1)nn nnnnnnaada aaa. (2) 范德蒙（ vandermonde）行列式122221212111112111(,)()nnnnijn ijnnnnxxxv x xxxxxxxxxx計算行列式常用方法：(1)利用定義； (2)利用性質把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值。重點和難點：行列式的計算，要注重學會利用行列式性質及按行（列）展開等基本方法來簡化行列式的計算。例：課本p.12例 7例 9 例：課本p.21例

11、13 學習好資料歡迎下載例：課本p.25例 16 本授課單元教學手段與方法：講授與練習相結合以從行列式的定義為切入口，引導學生探討行列式的各種性質。通過大量的例題引導學生掌握如何利用行列式性質及按行（列）展開等基本方法來簡化行列式的計算。本授課單元思考題、討論題、作業：思考題問：當線性方程組的系數行列式為零時，能否用克拉默法則解方程組？為什么？此時方程組的解為何？答：當線性方程組的系數行列式為零時，不能否用克拉默法則解方程組，因為此時方程組的解為無解或有無窮多解。本授課單元思考題、討論題、作業：5 p.26 4(1)(2)(3) ，5(1)(2)，7(1)(2) (5) 6 p.26 5 (4

12、)，7 (3) (6) 7 p.28 8(1)，9 本授課單元參考資料（含參考書、文獻等，必要時可列出）線性代數附冊學習輔導與習題選講（同濟第四版）授課題目（教學章節或主題）：第二章矩陣及其運算1 矩陣2 矩陣運算3 逆矩陣4 矩陣分塊法本授課單元教學目標或要求：掌握矩陣的定義,矩陣的加減法數乘 轉置 矩陣求逆矩陣的行列式分塊矩陣等運算,了解矩陣多項式運算本授課單元教學內容（包括基本內容、重點、難點，以及引導學生解決重點難點的方法、例題等）：本章擬分3 次課完成 ,第一講 :1 矩陣 ,2 矩陣的運算 ;第二講 :3 逆矩陣 ;第三講 : 4矩陣分塊法第一講 :1 矩陣 ,2 矩陣的運算 ;

13、基本內容 :1 矩陣 : 一矩陣的定義 , 定義 1 由 mn 個數),2, 1;,2, 1(njmiaij組成的m行n列的數表mnmmnnaaaaaaaaa212222111211稱為m行n列矩陣 ,簡稱 mn 矩陣 ,為表示它是一個整體,總是加一個括弧,并用大寫黑體字母表示它 ,記作學習好資料歡迎下載mnmmnnaaaaaaaaa212222111211這 mn 個數稱為菊陣a 的元素 ,簡稱為元 ,數ija位于矩陣 a 的第i行j列,稱為矩陣 a 的(i,j)元,以數ija為(i,j)元的矩陣可簡記為)(ija或nmija )(,mn 矩陣 a 也記著nma. 元素是實數的矩陣稱為實矩陣

14、,元素是復數的矩陣稱為復矩陣行數和列數都等于n的矩陣稱為n階矩陣或n階方陣 ,n階矩陣 a 也記作na. 只有一行的矩陣)(21naaaa稱為行矩陣 ,又稱為行向量 , 行矩陣也記作),(21naaaa只有一列的矩陣nbbba21稱為列矩陣 ,又稱為列向量 . 兩個矩陣的行數相等,列數也相等 ,稱它們是同型矩陣,如果a=)(ija,b=)(ijb是同型矩陣 ,并且它們的對應元素相等,即njmibaijij,2, 1,2, 1(), 那么就稱矩陣a 與矩陣 b 相等 ,級作a=b 元素都是零的矩陣稱為零矩陣,記作 o,不同型的零矩陣是不同的. 2 矩陣的運算一 矩陣的加法定義 2 設有兩個nm矩

15、陣 a=)(ija和 b=)(ijb,那么矩陣a 與 b 的和記著a+b, 規定為mnmnmmmmnnnnbababababababababa221122222221211112121111兩個矩陣是同型矩陣時才能進行加法運算. 學習好資料歡迎下載矩陣加法滿足下列運算規律(設 a,b,c 都是nm矩陣 ): (i) a+b=b+a; (ii)(a+b)+c=a+(b+c) a=)(ija的負矩陣記為-a=)(ijaa+(-a)=o 規定矩陣的減法為a-b=a+(-b) 二 矩陣的數乘定義 3 數與矩陣 a 的乘積記作a或a,規定為mnmmnnaaaaaaaaaa212222111211矩陣數乘

16、滿足下列運算規律(設 a,b 為nm矩陣 ,為數 ): (1) )()(aa; (2) aaa)(3) baba)(重點 ,難點 :矩陣乘矩陣 :讓學生充分理解矩陣乘矩陣的定義,特別強調前面矩陣的列等于后面矩陣的行的原因 .說明矩陣乘法常態下不滿足消去率,通過練習提高學生的計算準確率. 三矩陣乘矩陣定義 4 設 a=(ija)是一個sm矩陣 ,b=(ijb)是一個ns矩陣 ,那么矩陣a 與矩陣 b 的乘積是一個nm矩陣 c=(ijc),其中), 2, 1;, 2, 1(12211njmibabababacskkjiksjisjijiij把此乘積記為c=ab 且有學習好資料歡迎下載sjjjisi

17、ibbbaaa2121),(ijskkjiksjisjijicbabababa12211例 4 求矩陣a=20121301與4311102311014b的乘積解c=ab=201213014311102311014=1199129例5求矩陣a=2142與 b=6342的乘積 ab 與 ba 解ab=21426342=1683216ba=63422142=0000ab對于兩個n階方陣 a,b, 若 ab=ba, 稱方陣 a 與 b 可交換從上面等式可以得出結論:若oa而0)(yxa也不能得出x=y 的結論矩陣的乘法雖不滿足交換律,滿足結合律和分配律(1)(ab)c=a(bc) (2)()()(ba

18、baab為數(3)a(b+c)=ab+ac (b+c)a=ba+ca 對于單位矩陣e,有nmnnmnmnmmaeaaae,即: ea=ae=a 特殊矩陣 : 1 單位矩陣 ; 學習好資料歡迎下載e=1000100012 數量矩陣e0000003 對角矩陣nnaaa00000022114 ;三角矩陣nnnnaaaaaa000022211211或nnnnaaaaaa21222111000可以得到 : )()(nnnnneaaae表明純量矩陣跟任何矩陣可交換定義矩陣的冪為kllklklkaaaaaaaaaa)( ,1121其中k為正整數例6證明nnnnncossinsincoscossinsinco

19、s證 用數學歸納法 ,1n時顯然成立 ,設n=k時成立 ,即kkkkkcossinsincoscossinsincos當1kn時,有kkkkkcossinsincoscossinsincos1cossinsincos=sinsincoscossincoscossinsincoscossinsinsincoscoskkkkkkkk=)1cos() 1sin() 1sin() 1cos(kkkk等式得證 . 四矩陣的轉置定義 5 把矩陣 a 的行換成同序數的列得到一個新矩陣,叫做 a 的轉置矩陣 ,記作ta學習好資料歡迎下載a=mnmmnnaaaaaaaaa212222111211.則tamnnn

20、mmaaaaaaaaa212221212111a 的轉置也是一種運算,滿足(1) aatt)(2) tttbaba)(3) ttaa)(4) (ab)tttab證明 (4) 設smijaa)(,b=nsijb )(,記mnijttnmijddabccab)(,)(,有skkijkjibac1而tb的第i行為),(21siiibbb,ta的第j列為tjsjaa),(1,因此skkijkskjkkiijbaabd11),2, 1;,2 ,1(mjnicdjiij有tttabab)(例7已知231102a,b=102324171求tab)(解因為ab231102102324171=101317314

21、0所以1031314170)(tab若 a 是n階方陣 ,如果滿足aat,即), 2, 1,(njiaajiij那么 a 稱為對稱矩陣 . 例設列矩陣 x=tnxxx),(21滿足1xxt,e是n階單位陣 ,txxeh2,證明h是對稱矩陣 ,且ehht證tttxxeh)2(hxxexxettt22所以 h 是對稱矩陣 . 學習好資料歡迎下載thh=2h2)2(txxe=txxe4+)(4ttxxxx=txxe4+)(4ttxxxx=txxe4+txx4=e五 方陣的行列式定義 6 由n階方陣 a的元素所構成的行列式(各元素位置不變),稱為方陣 a 的行列式 ,記作a或adet. a滿足下列運算

22、規律(a,b 為n階方陣 ,為數 ) (1) aat(2) aan(3) baab,且baab例 9 行列式a的各個元素的代數余子式ija所構成的如下的矩陣nnnnnnaaaaaaaaa212221212111稱為 a 的伴隨矩陣 ,試證eaaaaa證明 設)(ijaa,記)(ijbaa,則ijjninjijiijaaaaaaab2211故)()(eaaaaaijij類似有)()(1eaaaaaaaijijnkkjki本授課單元教學手段與方法：講授為主 ,練習為輔 ,主要讓學生充分理解矩陣運算的定義,原則 ,從而掌握矩陣運算,并通過練習提高學生運算的準確率. 本授課單元思考題、討論題、作業：p

23、53:3.4(1),(2);(3),(4) 本授課單元參考資料（含參考書、文獻等，必要時可列出）線性代數附冊學習輔導與習題選講（同濟第四版）注： 1.每單元頁面大小可自行添減；2.一個授課單元為一個教案；3. “重點”、 “難點”、 “教學手段與方法”部分要盡量具體；4.授課類型指：理論課、討論課、實驗或實習課、練習或習題課。第二講 :3 逆矩陣基本內容 :3 逆矩陣定義 7 對于n階矩陣 a,如果有一個n階矩陣 b,使ebaab則說矩陣a 是可逆的 ,并把矩陣b 稱為 a 的逆矩陣 ,簡稱逆陣 .記為1a學習好資料歡迎下載如果 a 可逆 ,則 a 的逆陣是唯一的.因為 :設 b,c 都是 a

24、 的逆陣 ,則有b=be=b(ac)=(ba)c=ec=c 定理 1 若矩陣 a 可逆 ,則0a證 a 可逆 ,即有1a,使eaa1,故11eaa所以0a. 定理 2 若0a,則矩陣 a 可逆 ,且aaa11其中a為 a 的伴隨矩陣 . 證 由例 9 可知eaaaaa所以有eaaaaaa11按照逆矩陣的定義知a 可逆 ,且有aaa11當0a時稱 a 為奇異矩陣 ,否則稱 a 為非奇異矩陣,可逆矩陣就是非奇異矩陣. 推論 若)(ebaeab或,則1ab證1eba,故0a,因而1a存在 ,有1111)()(aeaababaaebb逆陣滿足下列運算: (1) 若 a 可逆 ,則1a也可逆 ,且aa1

25、1)(. (2) 若 a 可逆 ,數0,則a可逆 ,且111aa(3) 若 a,b 為同階矩陣且可逆,則 ab 也可逆 ,且111)(abab證eaaaeaabbaabab111111)()(,由推論有 :111)(abab(4) 若 a 可逆 ,則ta也可逆 ,且ttaa)()(11學習好資料歡迎下載證eeaaaatttt)()(11,由推論有 :ttaa)()(11當0a時,定義ttaa)()(11kkaaea)(,10,k為正整數這樣 ,當0a,為整數 ,有aaaaa)(,重點 ,難點 :逆矩陣的求法 .定理 2 說明通過求伴隨矩陣的方式,讓學生掌握矩陣求逆,并告知學生下一章里還有更簡單

26、的求逆方法. 例 10 求二階矩陣dcba的逆陣 . 解bcada,acbda, 當0a時,有bcada11acbd本授課單元教學手段與方法：講授為主 ,練習為輔 ,通過逆矩陣的定義及定理2 的證明讓學生充分掌握矩陣的求逆運算,并告知學生在下一章里還可用更簡練的方法計算逆矩陣本授課單元思考題、討論題、作業：p54:11(1),(3);12(1),(2);p55:19,22 本授課單元參考資料（含參考書、文獻等，必要時可列出）線性代數附冊學習輔導與習題選講（同濟第四版）第三講 :4 矩陣分塊法基本內容 :4 矩陣分塊法. 對于行數和列數較高的矩陣a,運算時常采用分塊法,使大矩陣的運算化成小矩陣的

27、運算將矩陣a 用若干條縱線和橫線分成許多小矩陣,每一個小矩陣稱為a 的子塊 .以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣 . 例 將43矩陣343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaa可以分塊為(1) 343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa(2) 343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa(3)343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa分法 (1)可記為學習好資料歡迎下載22211211aaaaa其中2221121111aaaaa,2423141312aaaaa323121a

28、aa,343322aaa分塊矩陣的運算規則與普通矩陣的運算規則類似,滿足 : (1) 設矩陣 a 與矩陣 b 的行數相同 ,列數相同 ,采用相同的分塊法,有srsraaaaa1111,srsrbbbbb1111其中 ,ija與ijb的行數相同 ,列數相同 ,那么srsrssrrbababababa11111111(2) 設srsraaaaa1111,為數 ,那么srsraaaaa1111(3) 設 a 為lm矩陣 ,b 為nl矩陣 ,分塊成ststaaaaa1111,trtrbbbbb1111其中itiiaaa,21的列數分別等于tjjjbbb,21的行數 ,那么absrsrcccc1111其

29、中), 1;, 1(1rjsibactkkjikij重點 ,難點 : 分塊矩陣的乘法運算,對于四階且子塊含有零矩陣,單位陣 ,對角陣的高階 ,一般做四塊分且盡量分出單位陣,零矩陣 . 例13設0211140110210101,1011011100100001ba求 ab 解 把 a,b 分塊成學習好資料歡迎下載22211110211140110210101,1011012100100001bbebbeaoea則abeaoe1222111bbeb=2212111111babbaeb而21111bba=11212101+1101=1142221ba=1121+13330214所以131133421

30、0210101ab(4) 設srsraaaaa1111,則tsrtrtsttaaaaa1111(5) 設 a 為n階矩陣 ,若 a 的分塊矩陣只有在對角線上有非零子塊,其余子塊都為零矩陣,且在對角線上的子塊都是方陣,即saoooaoooaa21其中),2, 1(siai都是方陣 ,稱 a 為分塊對角矩陣. 分塊對角矩陣的行列式有下列性質: saaaa21若), 2, 1(sioai,則0a,并有112111saoooaoooaa例14設120130005a,求1a解2100120130005aaa, 3211,1213,51),5(122111aaaa學習好資料歡迎下載32011000511a

31、對矩陣進行按行分快或按列分塊: nm矩陣 a 有m行 ,稱為矩陣a的m個行向量 ,若第i行記作),(21iniitiaaa則矩陣 a 記為tmtta21nm矩陣 a 有n列 ,稱為矩陣 a 的n個列向量 ,若第j列記作mjjjjaaa21則),(21naaaa對于矩陣smijaa)(與矩陣nsijbb)(的乘積矩陣ab=c=nmijc )(,若把行分成m塊,把 b分成n塊,有abtmtt21nmijntmtmtmntttntttncbbbbbbbbbbbb21222121211121),(其中ijcjtib),(21isiiaaaskkjiksjjjbabbb121以對角陣m左乘矩陣nma時把

32、 a 按行分塊 ,有mnmma21tmtt21=tmmtt2211以對角陣n右乘矩陣nma時把 a 按列分塊 ,有na),(21naaam21=),(2211nnaaa學習好資料歡迎下載例15設oaat,證明oa證 設nmijaa)(,把 a 的列向量表示為a=),(21naaa,則aattttaaa21),(21naaa=ntntntnntttntttaaaaaaaaaaaaaaaaaa212221212111因為oaat,所以 , ),2, 1,( , 0njiaajti, 特別有), 2, 1( , 0njaajtj而jtjaa0),(222212121mjjjmjjjmjjjaaaaa

33、aaaa得),2, 1( ,021njaaamjjj即oa下面用分塊矩陣證明第一章中的克萊姆法則克萊姆法則對于n個變量 ,n個方程的線性方程組nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111如果它的系數行列式0d,則它有唯一解),2, 1)(112211njabababdddxnjnjjjj證 把方程組寫成向量方程bax這里nnijaa)(為n階矩陣 ,因oda,故1a存在 . bbaaax1表明bax1是方程組的解向量,也是唯一的解向量. 由于aaa11,所以badbax11,即nnnnnnnnnnnnnnnnnababababababa

34、bababdbbbaaaaaaaaadxxx221122221211212111212122212121112111也就是),2, 1(112211njddabababdxjnjnjjj本授課單元教學手段與方法：講授為主 ,練習為輔 ,通過對高階矩陣特別是可分出部分零矩陣或單位陣的四階矩陣的分塊讓學學習好資料歡迎下載生掌握分塊矩陣的加法運算,數乘運算 ,矩陣乘矩陣的運算,以及求逆矩陣的運算,并列舉了幾個典型例子的運算 . 本授課單元思考題、討論題、作業：p55:26;p56:29. 本授課單元參考資料（含參考書、文獻等，必要時可列出）線性代數附冊學習輔導與習題選講（同濟第四版）授課題目（教學章

35、節或主題）：第三章矩陣的初等變換與線性方程組3.1 矩陣的初等變換本授課單元教學目標或要求：熟練掌握用初等行變換把矩陣化成行階梯形和行最簡形；知道矩陣等價的概念。本授課單元教學內容（包括基本內容、重點、難點，以及引導學生解決重點難點的方法、例題等）：1.基本內容定義與記號初等行變換(,),ijiijrrrk rkra與b行等價()rab; 初等列變換(,),ijiijccck ckca與b列等價()cab; 初等變換 ,a與b等價()ab. 矩陣的行階梯形、行最簡形、標準形0.00rm nef2.重點矩陣的初等變換對矩陣施行以下三種變換稱為矩陣的初等變換：(1) 交換矩陣的兩行(列); (2)

36、 以一個非零的常數k乘矩陣的某一行(列); (3) 把矩陣的某一行(列)的k倍加到另一行 (列). 3.例題與解題方法參見 ppt 本授課單元思考題、討論題、作業：79.1(1)(3)p授課題目（教學章節或主題）：第三章矩陣的初等變換與線性方程組3.2 初等矩陣本授課單元教學目標或要求：知道初等矩陣，了解初等矩陣與初等變換的聯系，掌握用初等變換求可逆矩陣的逆矩陣的方法. 本授課單元教學內容（包括基本內容、重點、難點，以及引導學生解決重點難點的方法、例題等）：1.基本內容初等矩陣(1) 定義單位陣經一次初等變換所得矩陣稱為初等矩陣. (2) 對矩陣a作一次初等行(列)變換相當于用對應的初等矩陣左

37、(右)乘a. (3) 初等變換及其逆變換與初等矩陣及其逆陣的對應可列表如下：初等變換初等矩陣逆變換逆矩陣學習好資料歡迎下載ijrrijcc( , )e i jijrrijcc( , )e i jiirkck( ( )e i kiirkck1( ()e ikijjirkrckc( ( )e ij kijjirkrckc( ()e ijk(4) 方陣a可逆rae12()liappp p為初等矩陣ab存在可逆矩陣,p q使.bpaq(5)若(,)(,),ra be x則a可逆，且1.xa b特別地， 若( ,)(,),ra ee x則a可逆，且1.xa2.重點、難點對矩陣a作一系列初等行(列)變換，

38、相當于用可逆矩陣左(右)乘a，由此引出用初等變換求逆陣的方法；會用矩陣的初等行變換求矩陣的逆矩陣；會用矩陣的初等行變換求矩陣方程的解. 3.例題與解題方法例 1 設1112131414131211212223242423222131323334343332314142434444434241,aaaaaaaaaaaaaaaaabaaaaaaaaaaaaaaaa120001100001000010,0010010010000001pp其中a可逆，則1b等于(a) 112app(b) 112p ap(c) 112pp a(d) 121p a p分析：把矩陣a的 1,4 兩列對換 ,2,3 兩列對換

39、即得到矩陣b,根據初等矩陣的性質,有12bapp或21.bap p那么111111211212().bap pp papp a所以應選 (c). 例 2 設 4 階矩陣1100213401100213,0011002100010002bc且矩陣a滿足關系式1(),tta ecbce試將所給關系式化簡,并求出矩陣a. 解：由所給的矩陣關系得1(),ta c ecbe即(),ta cbe故1() .tacb用初等變換法求1() ,tcb由于學習好資料歡迎下載10001000100010002100010001002100() ,)3210001002103010432100010321400110

40、00100010001000010021000100210000101210001012100021230100010121tcbe故110002100() 12100121tacb其他例題參見ppt 本授課單元思考題、討論題、作業：79.3(2)4(1)p授課題目（教學章節或主題）：第三章矩陣的初等變換與線性方程組3.3 矩陣的秩本授課單元教學目標或要求：1.理解矩陣的秩的概念，知道初等變換不改變矩陣的秩的原理，掌握用初等變換求矩陣的秩的方法。知道矩陣的標準形與秩的關系。2.知道矩陣秩的基本性質。本授課單元教學內容（包括基本內容、重點、難點，以及引導學生解決重點難點的方法、例題等）：1.基本

41、內容矩陣的秩(1) 定義矩陣的k階子式，矩陣的秩。(2) ()r ara的行階梯形含r個非零行a的標準形0.00ref(3) 矩陣秩的性質0()min, ;r am n()();tr ar a 若,ab則( )( );r ar b 若,p q可逆，則()();r paqr amax(),()( ,)()();r ar br a br ar b特別地，當b為列向量b時，有()( , )()1;r ar a br a()()();r abr ar b()min( ),();r abr ar b 若0,m nn lab則( )( ).r ar bn2.重點、難點矩陣秩的概念，矩陣秩的性質，利用初等變

42、換求秩，應用矩陣的秩解決問題。學習好資料歡迎下載3.例題與解題方法例 1.設三階矩陣a為111111xaxx試求秩()r a分析 矩陣a含有參數, x因此其秩一般隨x的變化而變化， 討論其秩主要從兩點著手分析：矩陣秩的行列式定義和初等變換不改變矩陣的秩。解: 方法一直接從矩陣秩的行列式定義出發討論由于21111(2)(1)11xxxxx故當1x且2x時,|0,()3;ar a當1x時, | 0,a且1 111 11 ,()1;1 11ar a當2x時,|0,a且211121112a,這時有二階子式210.12因此()2.r a方法二利用初等變換求秩21111111111011111111110

43、1100(2)(1)xxxaxxxxxxxxxxxxxx因此當1x且2x時,( )3;r a當1x時, ()1;r a當2x時,()2.r a例 2. 設a為5 4矩陣1231212011311042025ka且a的秩為 3,求. k解: 方法一用初等變換學習好資料歡迎下載1231123121205600113011311040333202504431231123101130113001 15001 15000120001000150000kkakk可見 ,()3,r a則必有10,k即1.k方法二因為a的秩為 3,故其 4 階子式1231212001131104k解得1.k例 3. 設*a為

44、n階矩陣a的伴隨矩陣 ,證明*,(),()1, ()1,0,()1.n r anr ar anr an證明 : 已知(),r an則a可逆,| 0,a由*|aaa e知*a可逆 ,所以*().r an若()1,r an則a| 0,a由*|0,aaa e*( )(),r ar an*()()1,r anr a又()1,r an由矩陣秩的行列式定義有,矩陣a至少有一個1n階子式不為零,那么矩陣*a中至少有一個元素非零,所以*()1,r a從而有*()1.r a若()1,r an則a的任一1n階子式為零 ,故*0a,所以*()0.r a本授課單元思考題、討論題、作業：79.9(2)(3)p授課題目（

45、教學章節或主題）：第三章矩陣的初等變換與線性方程組3.4 線性方程組的解本授課單元教學目標或要求：1.理解線性方程組無解,有唯一解或有無限多個解的充分必要條件(包括非齊次線性方程組有解的充分必要條件及齊次線性方程組有非零解的充要條件). 2.熟練掌握用矩陣的初等行變換求解線性方程組的方法。3.知道矩陣方程axb有解的充要條件。本授課單元教學內容（包括基本內容、重點、難點，以及引導學生解決重點難點的方法、例題等）：1.基本內容(1) 線性方程組的解法學習好資料歡迎下載1 基本定理n元線性方程組.axb 無解的充分必要條件是()(, );r ar a b 有唯一解的充分必要條件是()(, );r

46、ar a bn 有無限多解的充分必要條件是()(, ).r ar a bn2 求解線性方程組的步驟(見教材 ) (2) 重要定理定理 1 線性方程組axb有解的充分必要條件是()( , ).r ar a b定理 2 n元齊次線性方程組0m nax有非零解的充分必要條件是().r an把定理 1 推廣到矩陣方程，得定理 3 矩陣方程axb有解的充要條件是( )( ,).r ar a b2.重點、難點根據增廣矩陣的行最簡形熟練寫出線性方程組的通解；線性方程組的基本定理。3.例題與解題方法例1 求方程組的通解123412341234124562345xxxxxxxxxxxx解：對增廣矩陣作初等行變換

47、得1111111111(, )21456032341234503234571021111133242401101133330000000000a b原方程組化為134234752334233xxxxxx取自由未知量340,xx得特解為07 4(,0,0),3 3t對應原方程的齊次方程組xxxxx令3410,01xx得基礎解系為1252(,1,0) ,( 2, 1,0,1) ,33tt故原方程的通解為學習好資料歡迎下載01122127523342133001100 xkkkk其中12,k k為任意常數例 2. 設1232123123424xxkxxkxxkxxx問方程組

48、什么時候有解？什么時候無解？有解時，求出相應的解。解 方法一方程組的系數行列式11|11(1)(4)112kakkk當|(1)(4)0akk即1,4k時，方程組有唯一解，且唯一解為(按克萊姆法則 ) 221232242,111kkkkkxxxkkk1k時，方程組為1231231234124xxxxxxxxx此時11141114(, )1111023811240005a b()2( , )3,r ar a b方程組無解。4k時，方程組為1231231234441624xxxxxxxxx114411441030( , )1411601140114112400000000a b()(, )23,r

49、ar a b故方程組有無窮多解，其同解方程組為1323304xxxx，通解為1230341 ,01xxxcx其中c為任意常數學習好資料歡迎下載本授課單元思考題、討論題、作業：80.12(2),13(3)p授課題目（教學章節或主題）：第四章向量組的線性相關性1向量組及其線性組合2向量組的線性相關性本授課單元教學目標或要求：一、了解n維向量空間的概念二、掌握線性組合的概念，掌握一向量由一個向量組線性表示的充要條件三、掌握線性相關和線性無關的概念，能夠利用定義及一些有關判定定理證明或判定一組向量的線性關系本授課單元教學內容（包括基本內容、重點、難點，以及引導學生解決重點難點的方法、例題等）：一、向量

50、組及其線性組合（定義、定義、定義3、定理 1、定理 2、定理 3）二、n維向量的表示方法三、向量空間四、向量、向量組與矩陣五、線性相關性的概念（定義4）六、線性相關性的判定(定理 4、定理 5）向量可由（不可由）1，2，n線性表示的主要結論：（1）若 = k11+ k22 + +knn（ki為實數），則說可由1，2，n線性表示命題：可由向量組1，2，n線性表示方程組 ax = 有解，其中a =（1，2，n）秩（ a）= 秩（ a，） 推論 1：可由1，2，n線性表示，且表達式是惟一的方程組 ax = 有惟一解秩（ a）= 秩（ a， ）= n1，2，n線性無關，1，2，n， 線性相關推論 2：

51、可由1，2，n線性表示，且表達式是不惟一的秩（ a）= 秩（ a，） n（2）若對于任何一組數k1， k2，kn都有k11+ k22 + + knn則說不可由1，2，n線性表示命題：不可由1，2，n線性表示方程組 ax = 無解秩（ a）秩（ a， ） ，其中 a =（1，2，n） 七、線性相關性在線性方程組中的應用重點（難點） ：. 向量、向量組與矩陣之間的聯系，線性方程組的向量表示；線性組合與線性表示的概念；. 線性相關與線性無關的概念；線性相關性在線性方程組中的應用；（重點）. 線性相關與線性無關的判定方法：定義，兩個定理（難點）本授課單元教學手段與方法：講授、練習。本授課單元思考題、討

52、論題、作業：. p108： 2、3、4、5、6、7、8、11、12、 20 授課題目（教學章節或主題）：第四章向量組的線性相關性學習好資料歡迎下載3向量組的秩本授課單元教學目標或要求：一、掌握最大無關組與向量組的秩的概念二、掌握求向量組的秩的方法三、掌握求向量組的最大無關組的方法本授課單元教學內容（包括基本內容、重點、難點，以及引導學生解決重點難點的方法、例題等）：一、最大線性無關向量組的概念（定義 5）二、矩陣與向量組秩的關系三、向量組秩的重要結論：1m 維向量組1，2，n線性無關的充分必要條件：向量組1，2，n線性無關對于任何一組不全為零的數組k1，k2，kn都有 k11+ k22+ +k

53、nn 0 對于任一個i（1i n）都不能由其余向量線性表示ax = 0 只有零解秩（ a）= n，其中 a =（1，2，n） 2m 維向量組1，2，n線性相關的充分必要條件：向量組1，2， ，n線性相關存在一組不全為零的數組k1， k2， ，kn，使得 k11+ k22 + + knn 0 至少存在一個i（1i n）使得i可由其余向量線性表示ax=0 有非零解秩（ a）n，其中 a =（1，2，n） 3線性相關向量組的幾個結論：（1）設1，2線性相關，則1，2，3必線性相關（反之不一定對）；（2）含有零向量的向量組必線性相關（反之不一定對）；（3）若向量個數向量維數，則向量組必線性相關4列向量

54、組1，2，t可由1，2，s線性表示則（1）若 t s，則1，2，t線性相關；（2）若1，2，t線性無關，則ts；重點（難點） ：最大線性無關向量組的概念：最大性、線性無關性矩陣的秩與向量組的秩的關系：矩陣的秩矩陣列向量組的秩矩陣行向量組的秩關于向量組秩的一些結論：一個定理、三個推論求向量組的秩以及最大無關組的方法：將向量組中的向量作為列向量構成一個矩陣，然后進行初等行變換本授課單元教學手段與方法：講授、練習。本授課單元思考題、討論題、作業：p109：13、14、 15、16、17 授課題目（教學章節或主題）：第四章向量組的線性相關性4線性方程組的解的結構本授課單元教學目標或要求：一、理解基礎解

55、系的概念。學習好資料歡迎下載二、掌握齊次線性方程組基礎解系的求法。三、掌握非齊次線性方程組解的求法本授課單元教學內容（包括基本內容、重點、難點，以及引導學生解決重點難點的方法、例題等）：一、齊次線性方程組解的性質（性質、性質、定理7）線性齊次方程組ax = 0（a 是 m n矩陣）解的性質：（1）設 x1，x2是 ax = 0 的兩個解，則k1x1+ k2x2也是 ax = 0 的解，其中k1，k2為兩個任意數；（2）零解 x = 0 總是 ax = 0 的解； ax = 0 有非零解秩（a） n；ax = 0 只有零解秩（ a）= n = a 的列數；若a 是 n 階矩陣，則ax = 0 有

56、非零解 | a | = 0，ax = 0 只有零解 | a |0 ；二、基礎解系及其求法（1）基礎解系定義；掌握判斷一組向量1，2，p是 ax = 0 的基礎解系的三點；（2）設秩（ a）= r，則ax = 0 的基礎解系中含有n - r 個向量 x1，x2， xn r；ax = 0 的通解（一般解）是k1x1 + k2x2 +kn rxn r其中 k1，k2， kn r是任意常數；ax = 0 的任何 n r 個線性無關的解都是ax = 0 的基礎解系三、非齊次線性方程組解的性質及求法線性非齊次方程組ax = ， （ 0）（1）ax = 的導出組ax = 0 兩者之間關系：若 ax =有惟一

57、解，則ax = 0 只有零解（惟一解） ；若 ax =有無窮多組解，則ax = 0 有非零解（無窮多組解） 若 ax = 0 只有零解（有非零解） ，不能簡單地判斷ax = 有惟一解（有無窮多組解），而需要其它條件才能判斷（2）設 x1，x2是 ax = 的解，則x1x2是導出組ax = 0 的解；（3）設秩（a） = 秩 （a ） = r， 則 ax =的通解： + k1x1+ k2x2 + + kn rxn r， 其中 x1， x2， ，xn r是導出組ax = 0 的基礎解系，是 ax = 的一個特解（4）設 x1，x2是 ax = 的兩個解，則x1 + x2， x1（ 1）肯定不是ax

58、 = 的解重點（難點） ：1 線性相關性在線性方程組中的應用；2 基礎解系的求法本授課單元教學手段與方法：講授、練習。學習好資料歡迎下載本授課單元思考題、討論題、作業：p110：22、28、 29、33、35 授課題目（教學章節或主題）： 第四章向量組的線性相關性5向量空間；第四章習題課本授課單元教學目標或要求：一、掌握向量空間（基和維數）的概念二、掌握子空間的概念三、掌握由向量組生成的向量空間本授課單元教學內容（包括基本內容、重點、難點，以及引導學生解決重點難點的方法、例題等）：一、向量空間的概念：向量的集合對加法及數乘兩種運算封閉；二、由向量組生成的向量空間三、向量在兩個基中的坐標之間的關

59、系式(坐標變換公式). 四、習題課重點（難點） ：向量空間的概念：向量的集合對加法及數乘兩種運算封閉；由向量組生成的向量空間子空間的概念向量空間的基和維數：求向量空間基和維數的方法本授課單元教學手段與方法：講授、練習本授課單元思考題、討論題、作業：p112：36、39、 40 授課題目（教學章節或主題）：第五章相似矩陣及二次型1 向量的內積、長度及正交性2 方陣的特征值與特征向量本授課單元教學目標或要求：一了解向量的內積、長度及正交性的概念二掌握方陣的特征值與特征向量的概念、性質及求法本授課單元教學內容（包括基本內容、重點、難點，以及引導學生解決重點難點的方法、例題等）：一內積的定義及性質二向

60、量的長度及性質三正交向量組的概念及求法基本概念：矩陣的特征值，特征向量，特征矩陣，特征多項式四正交矩陣與正交變換五特征值與特征向量的概念六特征值和特征向量的性質（1）設 x1，x2都是 a 的屬于特征值0的特征向量， 則 k1x1+ k2x2也是屬于0的特征向量 （其學習好資料歡迎下載中， k1， k2為任意常數，且k1x1+ k2x2 0） 若 x1，x2是 a 的屬于兩個不同特征值1，2的特征向量，則x1+x2不是 a 的特征向量（2）ninniatraaa1221112n =| a| （3）命題： n 階矩陣 a 可逆a 滿秩a 非奇異a 0 a 無零特征值（4）設是 a 的特征值， x