1、高一備課組 高一下期期末復習 授課時間 2017年6月 總 節第二章 平面向量(學案）一、向量的概念1向量：數學中，我們把既有大小，又有方向的量叫做向量數量：我們把只有大小沒有方向的量稱為數量2有向線段：帶有方向的線段叫做有向線段3向量的長度（模）：向量的大小，也就是向量的長度（或稱模），記作4零向量：長度為0的向量叫做零向量，記作0，零向量的方向是任意的單位向量：長度等于1個單位的向量，叫做單位向量5平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量若向量a、b是兩個平行向量，那么通常記作ab平行向量也叫做共線向量我們規定：零向量與任一向量平行，即對于任一向量a，都有0a6相等向量：長度相等且方

2、向相同的向量叫做相等向量若向量a、b是兩個相等向量，那么通常記作a=b例1若a為任一非零向量，b為其單位向量，下列各式：|a|b|；ab；|a|0；|b|±1；b其中正確的是（）ABCD例2如圖四邊形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，則下列關系不一定成立的是（）A|B與共線CD與共線例3如圖所示，在菱形ABCD中，BAD120°，則下列說法中錯誤的是（）A圖中所標出的向量中與相等的向量只有1個（不含本身）B圖中所標出的向量中與的模相等的向量有4個（不含本身）C的長度恰為長度的倍D與不共線二、向量的加、減法1已知非零向量a、b，在平面內任取一點A，作=a，=b，則向

3、量叫做a與b的和，記作a+b，即a+b向量的加法：求兩個向量和的運算叫做向量的加法這種求向量的方法稱為向量加法的三角形法則2對于零向量與任一向量a，我們規定：a+0=0+a=a3公式及運算定律：=0|a+b|a|+|b| a+b=b+a（a+b）+c= a+（b+c）4相反向量：我們規定，與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作aa和a互為相反向量我們規定，零向量的相反向量仍是零向量任一向量與其相反向量的和是零向量，即a（a）= （a）a=0如果a、b是互為相反的向量，那么a =b，b =a，ab=0我們定義ab = a（b），即減去一個向量等于加上這個向量的相反向量例1 向量（）

4、（）等于（）A BCD例2 ABC中，點D、E、F分別是邊AB、BC、AC的中點，則下面結論正確的是（）AB0C0D0例3 若平行四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于O，且a，b，用a、b表示向量為（）AabBabCabDab例4 已知等腰直角ABC中，C90°，M為斜邊中點，設a，b，試用向量a、b表示、解：三、數乘向量1向量的數乘：一般地，我們規定實數與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘記作a，它的長度與方向規定如下：|a|=|a|，當0時，a的方向與a的方向相同；當0時，的方向與a的方向相反；=0時，a=02運算定律：（ua）=（u）a （u）a =aua （ab）

5、 =ab （）a =（a） =（a） （ab） =ab3定理：對于向量a（a0）、b，如果有一個實數，使b =a，那么a與b共線相反，已知向量a與b共線，a0，且向量b的長度是向量a的長度的倍，即| b |=|a|，那么當a與b同方向時，有b = ua；當a與b反方向時，有b=ua則得如下定理：向量a（a0）與b共線，當且僅當有唯一一個實數，使b=a例1點C在線段AB上，且，若，則等于（）ABCD例2在ABC中，已知D為AB邊上一點，若2，則（）ABCD例3已知G是ABC內的一點，若0求證：G是ABC的重心四、平面向量基本定理1如果e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任

6、意向量a，有且只有一對實數、，使a=e1e2我們把不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底2向量a與b的夾角：已知兩個非零向量a和b作=a，=b，則（0°180°）叫做向量a與b的夾角當=0°時，a與b同向；當=180°時，a與b反向如果a與b的夾角是90°，我們說a與b垂直，記作ab3補充結論：已知向量a、b是不共線的兩個向量，且m、nR，若manb=0，則m=n=0例1已知向量e1、e2不共線，實數x、y滿足（xy）e1（2xy）e26e13e2，則xy的值等于（）A3B3C6D6例2如圖，在AOB中，a、b，設2，3，而

7、OM與BN相交于點P，試用a、b表示向量五、正交分解與坐標表示1正交分解：把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解2兩個向量和（差）的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和（差）即若a=，b=，則ab=，ab=3實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標即若a=，則a=4當且僅當x1y2x2y1=0時，向量a、b（b0）共線5定比分點坐標公式：當時，P點坐標為當點P在線段P1P2上時，點P叫線段P1P2的內分點，0；當點P在線段P1P2的延長線上時，P叫線段P1P2的外分點，1；當點P在線段P1P2的反向延長線上時，P叫線段P1P2的外分點，106從一點引出三個向量，且三

8、個向量的終點共線，則，其中+=1例1（1）設向量a、b的坐標分別是（1，2）、（3，5），求ab，ab，2a3b的坐標；（2）設向量a、b、c的坐標分別為（1，3）、（2，4）、（0，5），求3abc的坐標例2平面內給定三個向量a（3，2）、b（1，2）、c（4，1），（1）求滿足ambnc的實數m、n；（2）若（akc）（2ba），求實數k例3已知A、B、C三點的坐標分別為（1，0）、（3，1）、（1，2），并且，求證：例4若向量|a|b|1，且ab（1，0），求向量a、b的坐標六數量積（內積）1已知兩個非零向量a與b，我們把數量|a|b|叫做a與b的數量積（或內積），記作ab即ab =|a

9、|b|其中是a與b的夾角，|a|（|b|）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影我們規定，零向量與任一向量的數量積為02ab的幾何意義：數量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|的乘積3數量積的運算定律：ab = ba （a）b =（ab）=a（b） （a+ b）c=ac+ bc（a+b）² = a²+2ab+b² （ab）² = a²2ab+b² （a+b）（ab）= a²b²4兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和，即ab=則：若a=，則|a|²=，或|a|=如果表示向量a的有向

10、線段的起點和中點的坐標分別為、，那么a=，|a|=設a=，b=，則abab=05設a、b都是非零向量，a=，b=，是a與b的夾角，根據向量數量積的定義及坐標表示可得：例1若|a|4，|b|3，ab6，則a與b的夾角等于（）A150° B120° C60°D30°例2 若|a|4，|b|2，a和b的夾角為30°，則a在b方向上的投影為（）A2 B C2D4例3 已知|a|1，|b|2，a與b的夾角為60°，c2a3b，dmab，若cd，求實數m的值例4 已知a（1，2），b（1，）分別確定的取值范圍，使得：（1）a與b夾角為90

11、6;；（2）a與b夾角為鈍角；（3）a與b夾角為銳角本章整合：第二章 平面向量一、向量的概念1向量：數學中，我們把既有大小，又有方向的量叫做向量數量：我們把只有大小沒有方向的量稱為數量2有向線段：帶有方向的線段叫做有向線段3向量的長度（模）：向量的大小，也就是向量的長度（或稱模），記作4零向量：長度為0的向量叫做零向量，記作0，零向量的方向是任意的單位向量：長度等于1個單位的向量，叫做單位向量5平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量若向量a、b是兩個平行向量，那么通常記作ab平行向量也叫做共線向量我們規定：零向量與任一向量平行，即對于任一向量a，都有0a6相等向量：長度相等且方向相同的

12、向量叫做相等向量若向量a、b是兩個相等向量，那么通常記作a=b例1若a為任一非零向量，b為其單位向量，下列各式：|a|b|；ab；|a|0；|b|±1；b其中正確的是（）ABCD答案：D解析：|a|與|b|大小關系不能確定，故錯，a與其單位向量平行正確a0，|a|0，正確|b|1，故錯由定義知正確例2如圖四邊形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，則下列關系不一定成立的是（）A|B與共線CD與共線答案：C解析：當菱形ABCD與其他兩個菱形不共面時，BD與EH異面，故選C例3如圖所示，在菱形ABCD中，BAD120°，則下列說法中錯誤的是（）A圖中所標出的向量中與相等的

13、向量只有1個（不含本身）B圖中所標出的向量中與的模相等的向量有4個（不含本身）C的長度恰為長度的倍D與不共線答案：D解析：易知ABC和ACD均為正三角形對于A，向量；對于B，|；對于C，BAD是頂角為120°的等腰三角形，則|；對于D，成立，故D是錯誤的二、向量的加、減法1已知非零向量a、b，在平面內任取一點A，作=a，=b，則向量叫做a與b的和，記作a+b，即a+b向量的加法：求兩個向量和的運算叫做向量的加法這種求向量的方法稱為向量加法的三角形法則2對于零向量與任一向量a，我們規定：a+0=0+a=a3公式及運算定律：=0|a+b|a|+|b| a+b=b+a（a+b）+c= a+

14、（b+c）4相反向量：我們規定，與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作aa和a互為相反向量我們規定，零向量的相反向量仍是零向量任一向量與其相反向量的和是零向量，即a（a）= （a）a=0如果a、b是互為相反的向量，那么a =b，b =a，ab=0我們定義ab = a（b），即減去一個向量等于加上這個向量的相反向量例1 向量（）（）等于（）A BCD答案：C解析：原式0例2 ABC中，點D、E、F分別是邊AB、BC、AC的中點，則下面結論正確的是（）AB0C0D0答案：D例3 若平行四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于O，且a，b，用a、b表示向量為（）AabBabCabDab答

15、案：B解析：解法一：（2）ab解法二：ba，ab例4 已知等腰直角ABC中，C90°，M為斜邊中點，設a，b，試用向量a、b表示、解：如圖所示，ab，ab，b2b2a2b2ab，22（ab）2b2a三、數乘向量1向量的數乘：一般地，我們規定實數與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘記作a，它的長度與方向規定如下：|a|=|a|，當0時，a的方向與a的方向相同；當0時，的方向與a的方向相反；=0時，a=02運算定律：（ua）=（u）a （u）a =aua （ab） =ab （）a =（a） =（a） （ab） =ab3定理：對于向量a（a0）、b，如果有一個實數，使b =a，那

16、么a與b共線相反，已知向量a與b共線，a0，且向量b的長度是向量a的長度的倍，即| b |=|a|，那么當a與b同方向時，有b = ua；當a與b反方向時，有b=ua則得如下定理：向量a（a0）與b共線，當且僅當有唯一一個實數，使b=a例1點C在線段AB上，且，若，則等于（）ABCD答案：C解析：（），故選C例2在ABC中，已知D為AB邊上一點，若2，則（）ABCD答案：A解析：解法一：A、D、B三點共線，1，解法二：2，（），故選A例3已知G是ABC內的一點，若0求證：G是ABC的重心解：如圖，0，（）以，為鄰邊作平行四邊形BGCD，則，又在平行四邊形BGCD中，BC交GD于E，AE是ABC

17、的邊BC的中線，且|2|，G為ABC的重心四、平面向量基本定理1如果e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數、，使a=e1e2我們把不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底2向量a與b的夾角：已知兩個非零向量a和b作=a，=b，則（0°180°）叫做向量a與b的夾角當=0°時，a與b同向；當=180°時，a與b反向如果a與b的夾角是90°，我們說a與b垂直，記作ab3補充結論：已知向量a、b是不共線的兩個向量，且m、nR，若manb=0，則m=n=0例1已知向量e1、e2不共線，

18、實數x、y滿足（xy）e1（2xy）e26e13e2，則xy的值等于（）A3B3C6D6答案：C解析：由，解得，xy6，故選C例2如圖，在AOB中，a、b，設2，3，而OM與BN相交于點P，試用a、b表示向量解：（）a（ba）ab與共線，令t，則t又設（1m）ma（1m）mb，ab五、正交分解與坐標表示1正交分解：把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解2兩個向量和（差）的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和（差）即若a=，b=，則ab=，ab=3實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標即若a=，則a=4當且僅當x1y2x2y1=0時，向量a、b（b0）共線5定比分點

19、坐標公式：當時，P點坐標為當點P在線段P1P2上時，點P叫線段P1P2的內分點，0；當點P在線段P1P2的延長線上時，P叫線段P1P2的外分點，1；當點P在線段P1P2的反向延長線上時，P叫線段P1P2的外分點，106從一點引出三個向量，且三個向量的終點共線，則，其中+=1例1（1）設向量a、b的坐標分別是（1，2）、（3，5），求ab，ab，2a3b的坐標；（2）設向量a、b、c的坐標分別為（1，3）、（2，4）、（0，5），求3abc的坐標解：（1）ab（1，2）（3，5）（13，25）（2，3）；ab（1，2）（3，5）（13，25）（4，7）；2a3b2（1，2）3（3，5）（2，4）

20、（9，15）（29，415）（7，11）（2）3abc3（1，3）（2，4）（0，5）（3，9）（2，4）（0，5）（320，945）（5，8）例2平面內給定三個向量a（3，2）、b（1，2）、c（4，1），（1）求滿足ambnc的實數m、n；（2）若（akc）（2ba），求實數k解：（1）ambnc，（3，2）m（1，2）n（4，1）（m4n，2mn），解得（2）（akc）（2ba），又akc（34k，2k），2ba（5，2），2×（34k）（5）×（2k）0k例3已知A、B、C三點的坐標分別為（1，0）、（3，1）、（1，2），并且，求證：解：設E（x1，y1）、F（x

21、2，y2），依題意有：（2，2）、（2，3）、（4，1）因為，所以因為，所以因為（x11，y1），所以E因為（x23，y21），所以F又因為4××（1）0，所以例4若向量|a|b|1，且ab（1，0），求向量a、b的坐標解：設a（m，n），b（p，q），則有，解得或故a（，）、b（，）或a（，）、b（，）六數量積（內積）1已知兩個非零向量a與b，我們把數量|a|b|叫做a與b的數量積（或內積），記作ab即ab =|a|b|其中是a與b的夾角，|a|（|b|）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影我們規定，零向量與任一向量的數量積為02ab的幾何意義：數量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|的乘積3數量積的運算定律：ab =