1、基于哈爾小波的降低汽車發動機體振動的最優控制摘要：本文運用哈爾小波討論了發動機體系統振動的建模和彈跳俯仰振動的最優控制。作者重點集中在基于哈爾小波的降低發動機體系統振動計算的發展上，保證獲得理想的L2增益性能。引入了哈爾小波的性能，并利用它近似找到降低振動的規律和最優控制，只需求解代數方程而不用求解Riccati微分方程。數值結果用來說明該方法的優勢。關鍵字：哈爾小波 發動機體系統 H 控制 減振 1.引言近年來，汽車的噪聲和振動變得越來越重要22,25,31,32,37。發動機產生的振動通過動力總成裝置傳遞給底盤成為一大問題(見圖1，2)。發動機和動力總成裝置通常以隔離發動機和底盤、限制發動

2、機運動為設計標準。發動機裝置是一個有效的被動方法來隔離發動機振動傳到底盤的機構。然而，用于隔離的被動方法只在高頻率范圍內有效?？墒?，發動機產生的振動干擾主要發生在低頻率范圍8,21,25,32。這些振動是由于汽缸內燃油爆燃和發動機不同部件的旋轉產生的（如圖3）。為了衰減發動機的低頻振動，同時保證空間和數值不變，主動減振方法是必須的。 有很多控制技術，諸如比例積分導數（PID）或滯后補償、線性二次高斯（LQG）、H2、H、u-綜合前饋控制等，已經被應用于振動控制系統1，3，4，10，11，15，26，28，33，34，36，37。前饋控制的主要特征是：關于干擾源的信息是可利用的，通常通過過濾x-

3、最小平方差FX-LMS算法來實現?？墒牵诜答伩刂浦?，干擾源是假定未知的，于是存在多種不同的反饋控制方案來衰減未知煩擾，從經典方法到先進方法。近來，通過H反饋控制得到的性能結果和通過用FX-LMS算法的前饋控制器得到的結果相比較，在32，37汽車發動機體振動系統。通過比較發現，反饋控制器實現了干擾衰減，然而，相比于運用FX-LMS算法的前饋控制器，反饋控制器性能要差些。另一方面，FX-LMS算法比較復雜，包含許多參數用來穩定同步?？墒?，最優控制設計還沒有在汽車發動機體振動系統中完全研究，仍是重要和富有挑戰性的。 另一方面，小波理論相對較新，在數學研究領域中是一個新興領域2。它被廣泛應用于各種工

4、程學科，諸如信號處理、模式識別和計算圖形。近來，也有些試圖用于解決表面積分方程，改進有限微分方法，求解線性微分方程和非線性偏微分方程以及建模非線性半導體方程5-7，13，16-18，23，29.最近，正在研究用于識別控制非線性動力學系統的小波網絡的應用19。圖1 汽車發動機及機體振動系統圖2 奧迪A8的前橋，摘自24,32圖3 由發動機產生的振動傳遞給底盤 正交函數，像哈爾小波13,16，Walsh方程7,block pulse方程29，Laguerre多項式14，legendry多項式5，Chebysher方程12和傅立葉級數30，通常用來代表任意時間方程，在處理各種動力學系統中，已經獲得人

5、們相當的關注。這些技術的主要特征是將這些問題簡化為求解系統的代數方程，用微分方程描述求解問題，諸如分析線性時不變系統16,27，奇異攝動系統17，二階系統18，時變系統20,23，模型降階，優化控制16-18,20和系統辨識13,16。因此，求解識別和優化過程大大降低或簡化很多。這些可利用的正交函數可以分為3類：分段基礎函數，legendry諸如哈爾小波、Walsh方程和black pulse方程，正交多項式，諸如，Laguerre、legendry、hebysher和傅立葉級數23中的正余弦函數。 在這方面，我們第一次引入基于哈爾小波的用于有限最優控制解決汽車發動機體振動系統問題的計算求解。

6、發動機體振動結構的數學模型表現為：用于研究最優控制的作動器和傳感器被選配。此外，哈爾小波的性質、哈爾小波積分和 product operational 矩陣被給予并應用提供一個系統計算框架。汽車發動機體振動系統的最優trajectory?和有限時間最優控制可以大概通過H性能獲得，H性能通過求解線性代數方程而不是求解微分方程求得。一個最主要的優點是：求解線性代數方程替代求解非線性微分Riccati方程，來優化汽車發動機體振動系統的控制問題。另一個優點是在現實應用中基于哈爾小波的優化控制可以簡單完成。我們通過模擬結果演示這項技術的應用。 本文章的結果安排如下：第二部分引入哈爾小波的性質，第三部分陳

7、述了發動機體振動結構的數學模型，第四部分給出了發動機體系統的代數解，第五部分描述了基于哈爾小波的最優方法和最優控制。發動機體振動系統的最優控制的模擬結果在第六部分表示出來，最后討論結果。 貫穿全文的批注都是相當標準的，矩陣Ir ，Or和Or*s是一致的，以及分別用r*r,r*r,r*s表示零矩陣。符號和<>分別表示Kronecker乘積和內積.同樣，tr(A)、vec(x)分別表示矩陣A的TRACE和通過將矩陣M排成一列獲得的向量。最后，所給的符號x(t), _x(t)_2表示x(t)的L2平均數等等，_x(t)_22= _0 x(t)Tx(t)dt？、.2.哈爾小波的性質最古老、

8、最基本的小波系統命名為哈爾小波，它是一組方波，這些方波大小為±1，在0，1區間6內。換句話說，哈爾小波是定義在區間0, 1) i (t) = 1(2 j t k) 當 i 1時0(t) and 1(t)我們將i寫成i = 2 j + k對于 j 0 and 0 k < 2 j .可以輕易看出0(t)和 1(t) 緊緊支持。它們由相對應的功能，在不同尺度j時給予局部 描述。在接下來，我們引入哈爾小波的性質，它會應用于下面的部分。 2.1函數逼近 用在區間為0, 1) 的哈爾函數0(t),1(t), . . . , m1(t) 術語表示的任何平方可積函數y(t)的有限次逼近值，用y

9、(t)表述可如下給出：其中a := a0a1 · · · am1 _m(t) := 0(t)1(t) · · ·m1(t)T m = 2 j以及哈爾系數ai，它們可以確定最小化平方積分錯率記錄1. 逼近差值_y(m) := y (t) y (t)由m 決定，增加解析參數m可以使之趨近于0.矩陣Hm定義為 其中i/m ti < i + 1/m.。運用等式（2）我們可以得到 向量M的積分可由下式逼近得到： 矩陣表示在區間0, 1)，系數m表示分段常量基本功能的積分乘法矩陣。對于哈爾小波，平方矩陣Pm滿足下面的回歸方程13 由（4）定

10、義的矩陣Hm及向量r同樣可由下式表示其中m>2.例如，j=3時，矩陣H8和P8可分別表示為更多信息見13，27。2.2 The product operational matrix?乘積操作矩陣？估計兩個哈爾函數向量13,20的乘積通常是必要的?，F定義Rm(t)滿足如下回歸方程有和 更多的，我們需要如下性質來簡化The product operational matrix其中a1=a0圖4 發動機體振動系統結構圖5 由在參數j=5時哈爾小波和解析解得到的底盤振動比較3 發動機體系統的數學模型對于控制設計來說，一個發動機體系統的模型是必須的。通過37，可以擴展出一個數學模型來模擬此系統。圖

11、4表示一個圖解形式的發動機體振動系統，用于這一控制系統的作動器和傳感器選定被配置。對于一個有輕微阻尼的結構，這是一種理想的布置，來保證這一閉環系統的穩定性28。此外，該控制器可檢測單頻率信號，在某一特定頻率可用來模擬發動機干擾。 在我們的研究中，只考慮發動機和機體的彈跳俯仰振動。質量為Me、轉動慣量為Ie的發動機，通過彈簧剛度為ke阻尼為ce懸置安裝在機體上。前裝置為主動裝置，可以通過電信號控制力的輸出。主動裝置包括一個主缸，它的慣性質量上下變動，這個慣性質量由電磁力驅動，電磁力通過磁圈產生，由輸入電流控制。 質量為Mb轉動慣量為Ib的汽車車體由前后輪胎支撐，每一個部分作為一個包含彈簧剛度為k

12、b阻尼為cb的系統。這樣，一個四自由度的振動懸架模型如圖4，可以用如下等式描述： x1(t), x2(t), x3(t) and x4(t)分別表示發動機及機體的彈跳和俯仰狀態。通常x2(t)作為輸出。輸入力f(t)用來當作主動力補償振動傳遞給汽車車體（或底盤）。更多的，由內部不同部件上下運動產生的發動機干擾de(t)能被激發。 系統（14）可以由下面的狀態空間形式表示：其中，x(t) R4表示狀態，f (t) R是控制輸入。de(t) R是干擾輸入，它屬于L20,), z(t) R3是控制輸出，C1 R1*4, C2 R1*4,C3為主動標尺。狀態空間矩陣也可定義為本文中，必須滿足下列條件，

13、優化反饋控制器才能計算出：1. 閉環系統是漸近穩定的。2. 在零初始條件下，閉環系統滿足_ z(t)_2 < _ de(t)_2。對于任何非零de(t) 0,),r>0可精確標定。4 系統方程的代數解在這一部分，我們研究發動機體系統的二階微分方程的求解問題，運用哈爾小波和擴展適當的代數方程進行內部控制和外部干擾。 在區間為0，1的哈爾小波定義基礎上，我們通過考慮t = Tf來重新調節有限時間區間0, Tf )到0, 1)，用時間范圍來標準化系統如下： 在區間0, 對系統積分可得 為了避免小波的差別，我們再一次在區間0, )內對（17）積分如下 運用擴展的哈爾小波，我們可以表示方程（

14、15）的解，輸入力f ( )和發動機干擾de( )用哈爾小波表示為 其中X R4*m ,F R1*m ,De R1*m分別代表x ( ), f ( )和 de( )的系數。x(0) and x (0)的初始條件可分別由x(0) = X0 _m( ) 和x (0) = X0 _m( ),矩陣X0, X0 R4*m分別被定義為這樣，通過擴展小波，關系式（18）變為 而且，通過方程（6）中的小波積分operational矩陣Pm，我們可以這樣重新寫方程（24）為等價的，我們有為了計算矩陣X，我們在方程（26）中運用操作向量（.）。根據Kronecker 乘積的性質vec (ABC) = (CT A)

15、 vec (B),我們有求解方程（27），導入向量（X） 其中矩陣1，2R4m*m,3,4R4m*4m這樣定義 于是，運用（28）（29）和Kronecker乘積的性質，系統（15）的解可近似求解為 我們也可以清楚的找出系統的逼近解，我們只要反向通過4m*4m求解矩陣Tf (PTm C) + T2f(P2Tm K) + Im M一次即可。5 基于哈爾小波最優控制設計控制的目標是運用H性能找到逼近的最優控制f(t),這樣f(t)可當作主動力來補償傳給車身（或底盤）的振動，保證 預期的L2。接下來，我們將在零初始條件下建立系統（15）的H性能。最后，我們引入眾所周知，對于每一個de(t) L20,

16、 )來說，不等式J<0對達到干擾衰減35,38是一個充分條件。因此，我們將根據 建立條件。 根據（15），方程（31）可表示為 其中S = diag (S1, S2) and C = diag (CT1 C1, CT2 C2).用時間范圍t = Tf標準化（33）有運用方程（19）和關系式x( ) = X _m( ),，其中XR4*m代表哈爾小波基本方程擴展后的x( )的小波系數，我們有和 而且，根據18的記錄2，在vec (X) 和vec (X )中滿足下面的關系 通過運用（34）方程的限定（35）和根據擴展小波（19）-（21），我們有上面的cost方程也可以寫成其中，矩陣Mm, M

17、mf Rm*m分別定義為 記錄2 根據哈爾小波的性質和2.2部分哈爾小波乘積操作矩陣，矩陣Mm可由下面回歸方程計算 ，其中M1(t) = 1，其中ei = 01×(i1), 1, 01×(mi ) for i = 1, 2, . . . , m.利用Kronecker 乘積的性質tr(ABC) = vecT(AT) (I B) vec(C),我們可以將（39）式寫成根據vec (ABC) = (CT A) vec (B)的性質,我們發現然后，由性質(A C) (D B) = A D C B,我們得到或其中矩陣m1 R8m*8m和m1 Rm*m分別定義為m1 = Mmf S

18、+ Tf (Mm C)m2 = Tf Mm。既然cost函數（43）是一個向量（De）的函數，為了找到最壞情況的干擾來最小化J，我們要 滿足下面的必要條件方程（43）中最壞情況的干擾 將（45）帶入方程（43），我們得到 類似的，方程（46）的右邊變成一個vec(F)的函數，然后通過最小化方程（46）求vec(F)，在次優控制和次優狀態軌跡系數間的代數關系可獲得如下 于是我們有所以，如果對于矩陣不等式存在主動范圍,那么不等式（32）是可推出的。 從關系式（28）（29）（36）（47），我們在一些矩陣計算F0得到vec(X)和vec(F)的次優向量 最后，基于哈爾小波的次優軌道？和次優控制可分

19、別由方程（30）和f (t) = _Tm(t)vec (F)逼近得到。 記錄3 值得注意的是，在上面的關系式中，參數r和次優H?？刂破飨噙m應，這個結果可通過求解下面的優化問題Min r到（49）再來表示作為優化H控制器。 記錄4. 我們用哈爾小波提供一種新的計算方法來計算二階微分方程的H控制。換句話說，根據第三部分的必要條件1和2，現在的方法是18中結果的擴展。 記錄5 因為在每一個m時間區間內，向量_m( )是不變的，逼近的優化次優軌道？和次優控制可表述如下： 有常量矩陣Gi , G i R4*4m, Fi , Fi R1*4m.其中每一個時間區間i/m i < i + 1/m，對于i

20、 = 0, 1, . . . , (m 1). 記錄6 常系數矩陣是運用分段的，像常量基本函數哈爾小波或Walsh函數，不能通過像Legendre 或 Laguerre多項式的平順函數設置來實現。相比于Walsh函數，哈爾小波在計算效果上有另外的優勢，當然，哈爾小波在更多方面比其他基本函數有優勢。6 數字結果 在這部分，建議的計算方法應用于汽車發動機及機體振動系統15中，這樣，外部干擾de(t) 可假定為一個sin（.）函數。在頻率為10赫茲的低頻范圍。用作設計和模擬的系統的參數，在附錄的表1，2中給出。附錄A中的表給出了汽車發動機體振動系統的八階模型的零極位置?.可以很清楚的看到，汽車發動機

21、體振動系統不穩定，沒有最小狀態屬性。我們的目標是找到底盤的優化布置和在有限時間區間0,1)利用哈爾小波，根據H的性質找出次優輸入的力。而且，在控制的輸出z(t)中的矩陣S1, S1 R4*4,向量C1,C2，標尺C3可這樣選擇S1 = S2 = 04, C1 = 0, 1, 1, 2,C2 = 3,1, 0, 1 C3 = 1. 為了比較由哈爾小波得到的逼近解X2（t）f(t)與由附錄B中的定理1得到的解析解，我們選擇給彈跳性能和resolution參數分別賦值3.15和5： = 3.15 和 j = 5。時間曲線標示在圖5.6上?？梢郧宄吹?，發動機干擾的影響和輸出一樣衰減到底盤。換句話說，

22、f(t)補償傳遞給底盤的振動。比較基于哈爾小波的解和運用微分Riccati方程求得的連續解，二者均可表述逼近解（50）（51），優化控制f(t)和狀態？x(t),通過求解線性代數方程而不是求解非線性微分Riccati方程獲得，狀態逼近的精確性&mi=1 (x2(ti ) x2(ti )2 ti = i/m 有i = 0, 1, . . . , m 1,對于輸入力有&mi=1 ( f (ti ) f(ti )2,可以輕松的通過增加resolution參數J改進，見表4.圖6 比較由參數j=5時的哈爾小波和解析解得到的輸入力圖板1 兩個參數時的容錯值7 結論本段講述了運用哈爾小波對

23、汽車發動機體振動機構的彈跳俯仰振動的建模與控制?；诠栃〔ǖ挠糜诎l動機體系統降振的優化控制在計算上是發展著的。引入哈爾小波的性質，并運用它找出優化的解，并通過求解一次代數方程而不是Riccati微分方程來逼近。現用列出的結果來說明此方法的優勢。附錄A圖板2 汽車車體參數參數 數值圖板3 發動機參數參數 數值圖板4 8自由度模型的零極位置極？ 零？附錄B定理1（狀態返回）9 考慮動態系統假定值是（A,B1,C）穩定的.如果r>0，微分的Reccati方程為有一個主動的半定義解X(t)，這樣A-(B1 BT1 2B2 BT2 ) X(t)是穩定的。然后，控制規律u (t) = BT1 X(

24、t) x(t) := K(t) x(t)滿足_ z(t)_2 < _ w(t)_2.鳴謝 作者感謝亞歷山大·凡提供這項研究的支持，作者同時想在文章中感謝幫助他們的同事以及他們的有價值的建議。 參考資料1. Aglietti G, Stoustrup J, Rogers E, Langley R, Gabriel S (1998)LTR control methodologies for micro vibrations. In: Proceedingsof the IEEE CCA pp 6246282. Burrus CS, Gopinath RA, Guo H (1998)

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