1、初中數學專題輔導一 應用方程處理問題在進入了二十一世紀的今天，世界的高科技迅猛發展，帶動了各學科的發展，數學也是一樣，特別是計算機的應用，給數的發展助以強大的動力。在這種情況下，數學教育更加重視提高人的素質，強調了加強應用意識，發展創造能力，這是教育中帶有方向性的問題。 在中學數學里加強了問題解決的培養和訓練，由一般性問題解決向開放性問題解決發展，因此列方程解應用題被人們更加重視起來。列方程解應用題的內容很豐富，列方程解應用題不僅要求能熟練地解方程，而且要求具有從實際問題中抽象出數量關系，并用代數式和方程將這種關系表達出來的能力。這就需要有較強的分析能力和綜合能力。【考點解析】 例. 張清是運

2、輸公司的經理，他接受了這樣的運輸任務：把第一倉庫的50噸面粉和第二倉庫的70噸面粉運往甲、乙兩個面包加工廠，其中甲廠接收40噸面粉，乙廠接收80噸面粉。顯然，張清是可以安排出很多運輸方案的，考慮到廠家的利益，要使總的運費最省，如果1噸面粉的運輸費用如表一所示，那么，張清應該怎樣安排運輸任務才能使總的運費最低？表一 分析：這是一個生產實際問題，在我們的日常生活中經常遇到，首先應把這個實際問題轉化為數學問題。表二 解：假設張清安排的運輸方案如表二，那么應滿足下面的數量關系： 也就是說我們得到了有四個未知量，三個獨立方程組成的四元一次方程組，因此，可以把分別用表示出來。 如果設總運費為N，那么有 所

3、以，只要取最大值40，總運費N取最小值670，也就是說，由第一倉庫給甲廠運40噸面粉，給乙廠運10噸面粉，再由第二倉庫給乙廠運70噸面粉，即完成了給定任務，還使總運費最省，共計670元。 點評：本題是2001年北京市海淀區數學中考說明當中的一道題，是一道數學應用問題。本題充分運用了方程的思想，用消元的方法把分別用表示出來，然后由的取值范圍確定運費N的最小值。【例題分析】 例1 一件工作，由甲單獨作需要24個小時，由乙單獨做需要18個小時，現在先由甲單獨作6個小時，剩下的部分由甲、乙合作，完成這件工作需要幾小時？ 分析：若直接設元，則設完成這件工作需要x個小時，列方程解出x即可。若間接選元則可以

4、設甲、乙合作用了x個小時，則x6就是問題要求的未知量。 解法1：(直接設元)設完成這件工作共需x個小時，由已知甲先工作了6個小時，則甲、乙合作了(x6)個小時。設全部工作量為1，則甲的工作效率為，乙的工作效率為，根據題意列方程： 答：共需小時完成全部工作。 解法2：(間接設元)設甲先工作6小時后，甲、乙又合作x個小時，由題意，得： 整理得： 答：完成這件工作需小時。 小結：本題解法1和解法2表示了兩種選元方法，一般地說，當直接選元比較難解時，可以采用間接選元的方法。 例2 一個三位數，它的百位上的數比十位上的數的2倍大1，個位上的數比十位上的數的3倍小1。如果這個三位數的百位上的數字和個位上的

5、數字對調，那么得到的三位數比原來的三位數大99。求原來的三位數。 分析：這個問題如果直接選元，很難列出方程，所以適合間接選元。因為百位上的數和個位上的數都和十位上的數直接發生聯系，故可選十位上的數為元。 解：設原來的三位數的十位上的數為x，則它的百位上的數為2x1，個位上的數為3x1，這個三位數表示為： 100(2x1)10x(3x1) 把這個三位數百位上的數字和個位上的數字對調后得到： 100(3x1)10x(2x1) 根據題意，得方程： 100(3x1)10x(2x1)100(2x1)10x(3x1)99 解這個方程，得： 99x19899 答：原來這個三位數是738。 例3 一輪船從一號

6、橋逆水開往二號橋，開過2號橋20分鐘以后到達A處，發現在二號橋處失落一根圓木，船即返回追圓木，結果在一號橋追上。已知兩橋相距2公里，求水流速度。 分析：這個題需要設輔助未知數來解決。因為題目只給了開過二號橋20分鐘和兩橋間相距2公里。如果只設水流速度為每分鐘x公里是列不出方程的。這就需要設船速為輔助未知數，以建立等量關系列出方程。 解：設船速為每分鐘a公里，水流速度為每分鐘x公里，依題意列方程： 經檢驗知是原方程的解，并且符合題意。 答：水流速度為每分鐘0.05公里。 例4 已知鹽水若干升，第一次加入一定量的水后，鹽水的濃度變為3；第二次又加入同樣多的水后，鹽水的濃度變為2，求第三次加入同樣多

7、的水后鹽水的濃度。 解：本題需設輔助未知數。設原有鹽水a升，每次加入水量是b升，且設第三次加入水后，鹽水濃度為x，依題意列方程組： 由(1)得： 得ab 代入(2)得： 答：第三次再加入同樣多的水后，鹽水濃度為1.5。 小結：例3和例4都要把輔助未知數消去，簡稱消去參數。【模擬試題】 1. 一件工作甲做9天可以完成，乙做6天可以完成，現在甲先做3天，余下的工作由乙繼續完成，乙需要做幾天可以完成全部工作？ 2. 甲乙兩地相距12千米，小張從甲地到乙地，在乙地停留半小時后，又從乙地返回甲地，小王從乙地到甲地，在甲地停留40分鐘后，又從甲地返回乙地，已知兩人同時分別從甲、乙兩地出發，經過4小時后，他

8、們在返回的途中相遇，如果小張速度比小王速度每小時多走1.5千米，求兩人的速度。 3. 有某種農藥一桶，倒出8升后用水補滿，然后又倒出4升，再用水補滿，于是測得桶中農藥與水的比為18：7，求桶的容積。 4. 小船航行于內河的A、B兩個碼頭之間逆流而上需要航行6小時，已知小船在靜水中航行AB這段路程比順流而下要多用1小時，求小船順流而下航行所需時間。 5. 甲、乙二人分別從A、B兩地同時出發相向而行，甲走10米后兩人第一次相遇，然后甲繼續向前走到B處立即返回，乙繼續向前走到A處立即返回，在距離B點6米處二人第二次相遇，問A、B兩地相距多少米？ 6. 某團體從甲地到乙地，甲、乙兩地相距100公里。團

9、體中的一部分人乘車先行，余下的人步行，先坐車的人到途中某處下車步行，汽車返回接先步行的那部分人，已知步行時速8公里，汽車時速40公里。問要使大家在下午4點鐘同時到達乙地，必須在什么時候出發？ 7. 某縣農機廠金工車間共86個工人，已知每個工人平均可加工甲種部件15個，或乙種部件12個，或丙種部件9個，問應安排加工甲種部件、乙種部件和丙種部件各多少人，才能使加工后的3個甲種部件、2個乙種部件和1個丙種部件恰好配套。 8. 一支隊伍以a公里/小時的速度前進，一名通訊員要傳送命令，從排頭走到排尾，再回到排頭，此時隊伍進行的路程正好等于隊伍的長度，求通訊員的速度。【疑難解答】 A. 教師自己設計問題：

10、 1. 解答題的第6小題的問題實質是什么？ 2. 解答題的第7小題能不能用兩種方法來解？ 3. 解答題的第8小題怎樣設輔助未知數？ B. 對問題的解答： 1. 答：這個問題實質上要求的是如果按題設的行走方式，至少需要多少個小時。注意到先坐車的人和先步行后坐車的人所用的時間總量是相等的，利用這個等量關系可以列方程。 解：設先坐車的一部分人下車地點距甲地x公里，這一部分人下車地點距另一部分人的上車地點相距y公里。如圖所示：(從甲地到乙地100公里) 汽車走(xy)公里的時間與先步行后乘車的那一部分人從甲地走到上車點所用的時間相等，列出方程為： 先乘車后步行的一部分人從下車點到終點步行所用的時間等于

11、汽車從下車點返回接另一部分人到終點所用的時間，得出方程為： 解方程組 答：要使大家下午4點鐘同時到達目的地，必須在中午11點出發。 2. 答：本題若用方程組解，設安排加工甲種部件需x人，乙種部件需y人，丙種部件需z人能使加工的三種部件按要求配套。根據等量關系列方程組： 設加工后的丙種部件有x個，那么甲種部件有3x個，乙種部件有2x個。根據題意列方程： 以上兩種解法，第一種方法直接設元，第二種方法是間接設元。 3. 答：分析：本題的已知量僅有a公里/小時，未知量僅有通訊員的速度，必須設輔助未知量，設隊伍的長度為公里，通訊員的速度為x公里/小時。 根據題意得方程： 解得：試題答案 1. 設整個工作

12、量是1，乙還需x天完成。 列方程 2. 設小張速度是x千米/小時，小王速度是y千米/小時。 列方程組： 3. 設桶的容積為x升。 列方程 答：x40升。 4. 小船順流而下需航行x小時，小船在靜水中速度為a千米/小時，水流速度為b千米/小時。 列方程組 5. 設兩地相距為x米 則。 6、7、8題見疑難解答。二 用辯證思維解題數學世界豐富多彩，又充滿矛盾，滲透著辯證法。解題時不妨進行辯證思維，這樣可以激活求知的欲望，培養思維的品質，給解題帶來耳目一新的感覺。一、順向與逆向 例1. 求的值。 解析：順向與逆向是對立的，囿于順向思維有時會給解題平添難度。 原式 二、常量與變量 例2. 如圖，已知正比

13、例函數和的圖像與反比例函數的圖像在第一象限內分別交于A、B兩點，過A、B作x軸的垂線，垂足分別為C、D。設和的面積分別為和，則與的大小關系是（ ） 不確定的 解析：由可得。很顯然，若點是函數圖像上的任意一點，過P作軸于Q，則的面積是一個常量，都等于，與點P在圖像上的位置無關。所以，選B答案。三、直接與間接 例3. 有一片牧場，假設草每天都在勻速生長（草每天增長量相等），如果放牧24頭牛，則6天吃完牧草；若放牧21頭牛，則8天吃完牧草，如果每頭牛每天吃草的量是相等的。問： （1）要使牧草永遠吃不完，最多放牧幾頭牛？ （2）如果放牧16頭牛，幾天可以吃完牧草？ 解析：草生長與牛吃草是一組反向的量，

14、我們可把草生長的速度和牛吃草的速度分別看作是水流速度和船速。由，可得草減少的速度。 （1）設草的總量為S，每天生長的速度為，每頭牛每天吃草量為，則 由(1)(2)得，即草的生長量等于12頭牛每天的吃草量，所以最多放牧12頭牛，使牧草永遠吃不完。 （2）由（1）知，則 故放牧16頭牛18天可以吃完草。四、整體與局部 例4. 若，且有及，則的值是_。 解析：若按常規方法，先求出a、b的值，再求出的值，則十分繁瑣，而將化為，利用所給的兩個方程，此題就迎刃而解了。 （顯然不是方程的解） 故a與都是方程的根，但，由，得a與是此方程的兩相異實根，從而，即此題應填。五、一般與特殊 例5. 在中，于D，于F，

15、AD與CF相交于G，且，則_度。 解析：本題看起來似乎無所下手，若將“特殊”為，則D、F與B重合，這樣問題就簡單化了，可得六、正面與反面 例6. 老師在黑板上寫下這樣一道題：“已知的面積，周長，求它的內切圓半徑”。很多同學很快求出內切圓的半徑為3，惟獨小明認為該題的已知條件不合時，壓根就不存在符合條件的，你認為小明的想法正確嗎？ 解析：當正面證明命題結論比較困難時，可從反面提出與題目結論相反的假設，得出矛盾，從而肯定原來結論成立。 假設存在符合條件的，其內切圓半徑為r，則 ，這是不可能的。因此小明的想法是正確的。 綜上六例，靈活進行辯證思維，可以收到化繁為簡，化難為易，縝密思維的奇效。讓人萌生

16、“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”的感悟。三一元二次方程的整數根一元二次方程的整數根問題難度較大，是中考特別是競賽中的爬坡題型。本文舉例說明與一元二次方程整數根有關問題的解法。 例1. 已知方程的兩根都是整數，試求整數a的值。 思路分析：當a取值不同時，方程的系數就隨之不同，方程的根的情況也就發生變化。究意什么情況下，方程的兩根都是整數呢？還是從根與系數的關系入手比較好。 解：設方程的兩整數根為、，根據根與系數關系得： （1）（2）得： 所以 或 或或 所以或或或 因為，所以 只有或符合題意，代入（2）得： 例2. 已知方程有兩個不等的負整數根，則a的值是_。 思路分析：本題的條件在“整數根”

17、的基礎上更進一步，變為“負整數根”，這對系數a有了更多的限制。另外，本題的a沒有說它是整數，難度更大了。應當抓住“負整數根”做文章。 解： 所以 依題意有：、均為負整數，符合此條件的僅有。 例3. 設m為自然數，且，若方程的兩根均為整數，則m_。 思路分析：題目已給出m的范圍，再加上判別式應滿足的條件，可進一步對m加以限制，就不難求出符合條件的m值了。 解： 因為原方程的兩根均為整數，所以必為完全平方數，且必為奇數的平方。于是由得，在此范圍內的奇完全平方數只有25和49。 所以或 所以或 經檢驗，、24均符合題意。 誤區點撥：本題解法的最后一步檢驗雖一語帶過，但卻是一個必不可少的步驟。因為整系

18、數一元二次方程的判別式是完全平方數只是該方程有整數根的必要條件，但不是充分條件。也就是說，為完全平方數，并不能保證方程一定有整數根，所以說，必須進行檢驗。 四例談求一次函數解析式的常見題型一次函數及其圖像是初中代數的重要內容，也是高中解析幾何的基石，更是中考的重點考查內容。其中求一次函數解析式就是一類常見題型。現以部分中考題為例介紹幾種求一次函數解析式的常見題型。希望對同學們的學習有所幫助。一. 定義型 例1. 已知函數是一次函數，求其解析式。 解：由一次函數定義知 ，故一次函數的解析式為 注意：利用定義求一次函數解析式時，要保證。如本例中應保證二. 點斜型 例2. 已知一次函數的圖像過點（2

19、，1），求這個函數的解析式。 解：一次函數的圖像過點（2，1） ，即 故這個一次函數的解析式為 變式問法：已知一次函數，當時，y1，求這個函數的解析式。三. 兩點型 已知某個一次函數的圖像與x軸、y軸的交點坐標分別是（2，0）、（0，4），則這個函數的解析式為_。 解：設一次函數解析式為 由題意得 故這個一次函數的解析式為四. 圖像型 例4. 已知某個一次函數的圖像如圖所示，則該函數的解析式為_。 解：設一次函數解析式為 由圖可知一次函數的圖像過點（1，0）、（0，2） 有 故這個一次函數的解析式為五. 斜截型 例5. 已知直線與直線平行，且在y軸上的截距為2，則直線的解析式為_。 解析：兩條

20、直線：；：。當，時， 直線與直線平行，。 又直線在y軸上的截距為2， 故直線的解析式為六. 平移型 例6. 把直線向下平移2個單位得到的圖像解析式為_。 解析：設函數解析式為，直線向下平移2個單位得到的直線與直線平行 直線在y軸上的截距為，故圖像解析式為七. 實際應用型 例7. 某油箱中存油20升，油從管道中勻速流出，流速為0.2升/分鐘，則油箱中剩油量Q（升）與流出時間t（分鐘）的函數關系式為_。 解：由題意得，即 故所求函數的解析式為（） 注意：求實際應用型問題的函數關系式要寫出自變量的取值范圍。八. 面積型 例8. 已知直線與兩坐標軸所圍成的三角形面積等于4，則直線解析式為_。 解：易求

21、得直線與x軸交點為（，0），所以，所以，即 故直線解析式為或九. 對稱型 若直線與直線關于 （1）x軸對稱，則直線l的解析式為 （2）y軸對稱，則直線l的解析式為 （3）直線yx對稱，則直線l的解析式為 （4）直線對稱，則直線l的解析式為 （5）原點對稱，則直線l的解析式為 例9. 若直線l與直線關于y軸對稱，則直線l的解析式為_。 解：由（2）得直線l的解析式為十. 開放型 例10. 已知函數的圖像過點A（1，4），B（2，2）兩點，請寫出滿足上述條件的兩個不同的函數解析式，并簡要說明解答過程。 解：（1）若經過A、B兩點的函數圖像是直線，由兩點式易得 （2）由于A、B兩點的橫、縱坐標的積都

22、等于4，所以經過A、B兩點的函數圖像還可以是雙曲線，解析式為 （3）其它（略）十一. 幾何型 例11. 如圖，在平面直角坐標系中，A、B是x軸上的兩點，以AO、BO為直徑的半圓分別交AC、BC于E、F兩點，若C點的坐標為（0，3）。（1）求圖像過A、B、C三點的二次函數的解析式，并求其對稱軸；（2）求圖像過點E、F的一次函數的解析式。 解：（1）由直角三角形的知識易得點A（，0）、B（，0），由待定系數法可求得二次函數解析式為，對稱軸是 （2）連結OE、OF，則、。過E、F分別作x、y軸的垂線，垂足為M、N、P、G，易求得E（，）、F（，）由待定系數法可求得一次函數解析式為十二. 方程型 例1

23、2. 若方程的兩根分別為，求經過點P（，）和Q（，）的一次函數圖像的解析式 解：由根與系數的關系得， ， 點P（11，3）、Q（11，11） 設過點P、Q的一次函數的解析式為 則有 解得 故這個一次函數的解析式為十三. 綜合型 例13. 已知拋物線的頂點D在雙曲線上，直線經過點D和點C（a、b）且使y隨x的增大而減小，a、b滿足方程組，求這條直線的解析式。 解：由拋物線的頂點D（）在雙曲線上，可求得拋物線的解析式為： ，頂點D1（1，5）及 頂點D2（，15） 解方程組得， 即C1（1，4），C2（2，1） 由題意知C點就是C1（1，4），所以過C1、D1的直線是；過C1、D2的直線是 五應用

24、非負性質解題在初中代數中出現的非負數主要有三類： 1. 絕對值：任何一個實數的絕對值都是非負數，即。 2. 平方：任何一個實數的平方都是非負數，即。 3. 算術平方根：任何一個非負數的算術平方根都是一個非負數，即。 解題過程中巧用以上三個非負性質可以簡捷地處理許多問題。現舉例說明如下。 例1. 已知a、b為實數，且滿足，求ab的值。 分析：解決本題只需從已知等式中求出a、b值即可。應用中的非負性質可以立即求出b的值，從而進一步得到a的值。 解：由題意可知且 ，此時 例2. 若a、b、c滿足，求的值。 解：由非負數的性質可知，且，且 例3. 已知，求的值。 解：已知等式可化為 六一些數學思想在解題中的應用在直線，射線，線段這一部分內容中