1、7.6 由伯德圖判斷系統的穩定性由伯德圖判斷系統的穩定性一、一、 乃奎斯特圖與伯德圖的對應關系乃奎斯特圖與伯德圖的對應關系幅相曲線幅相曲線（-1，j0）點左側點左側的負實軸的負實軸對數幅頻特性對數幅頻特性L()0（即零（即零分貝線以上的區域）分貝線以上的區域）對數相頻特性對數相頻特性- -180線線 ABD-1一、一、 乃奎斯特圖與伯德圖的對應關系乃奎斯特圖與伯德圖的對應關系正穿越負穿越)()(Lc1正穿越負穿越相角方向為正 增加時，相角增大一、一、 乃奎斯特圖與伯德圖的對應關系乃奎斯特圖與伯德圖的對應關系Bode圖相頻曲線圖上，圖相頻曲線圖上， ()從從 180線以下增線以下增加到加到180

2、線以上，稱為線以上，稱為 () 對對-180線的線的正穿正穿越越(相角增加相角增加)；反之，稱為；反之，稱為負穿越（相角減少）。負穿越（相角減少）。Bode圖相頻曲線圖上，圖相頻曲線圖上， ()從從180線開始往上線開始往上稱為稱為半個正穿越半個正穿越， ()從從180線開始往下稱為線開始往下稱為半個負穿越半個負穿越。 正穿越負穿越)()(Lc表述為：表述為：如果開環系統在如果開環系統在s s平面的右半平面有平面的右半平面有p p個極點，在對數個極點，在對數幅頻特性為正幅頻特性為正的所有頻段內，的所有頻段內，相頻特性相頻特性曲線在曲線在線上的線上的正負穿越之差正負穿越之差為為p p/2/2時（

3、時（p p 為系統開環右極點為系統開環右極點數），閉環系統穩定，否則，閉環系統不穩定。數），閉環系統穩定，否則，閉環系統不穩定。如果開環系統穩定，即如果開環系統穩定，即p p0 0，則在對數，則在對數幅頻特性為正幅頻特性為正的所有頻段內，的所有頻段內，相頻特性相頻特性曲線不穿越曲線不穿越線，則閉線，則閉環系統穩定，否則，閉環系統不穩定。環系統穩定，否則，閉環系統不穩定。二、二、 對數幅相頻率特性的穩定性判據對數幅相頻率特性的穩定性判據此時需對對數頻率特性曲線作修正：此時需對對數頻率特性曲線作修正： 在對數相頻特性曲線在對數相頻特性曲線=0+處，由下向上補畫一處，由下向上補畫一條虛線，該虛線通過

4、的相位為條虛線，該虛線通過的相位為90，計算正負穿，計算正負穿越時，應將補畫的虛線看成對數相頻特性曲線的一部越時，應將補畫的虛線看成對數相頻特性曲線的一部分。分。開環傳遞函數含積分環節開環傳遞函數含積分環節二、二、 對數幅相頻率特性的穩定性判據對數幅相頻率特性的穩定性判據( )( )(1)KG s H ss Ts例5-11的伯德圖例例1 系統開環傳遞系統開環傳遞函數為函數為 試用對數穩定判據試用對數穩定判據判斷其穩定性判斷其穩定性 。 解：系統的開環傳遞函數在解：系統的開環傳遞函數在s平面右半部沒平面右半部沒有極點，即有極點，即P=0，而在，而在L()0的頻段內，相的頻段內，相頻特性頻特性 (

5、)不穿越不穿越180線，故閉環系統線，故閉環系統必然穩定。必然穩定。 例例2. 判定下列圖的穩定性判定下列圖的穩定性圖圖(a): p=0, 穿越次數之差為零，閉環穩定；穿越次數之差為零，閉環穩定；圖圖(b): p=1，為半次正穿越，閉環穩定；，為半次正穿越，閉環穩定；圖圖(c): p=2，穿越次數之差不等于，穿越次數之差不等于p/2，閉環不穩定；，閉環不穩定；圖圖(d): p=2，穿越次數之差等于，穿越次數之差等于p/2，閉環穩定。，閉環穩定。根據穩定性判據可以判別一個系統是否穩定。根據穩定性判據可以判別一個系統是否穩定。但是要使一個實際控制系統能夠穩定可靠的工作，剛但是要使一個實際控制系統能

6、夠穩定可靠的工作，剛好滿足穩定性條件是不夠的，還必須留有余地。好滿足穩定性條件是不夠的，還必須留有余地。穩定裕度可以定量地確定一個系統的穩定程度。穩定裕度可以定量地確定一個系統的穩定程度。它包括它包括相位裕度相位裕度和和幅值裕度幅值裕度。7.7 7.7 控制系統的相對穩定性控制系統的相對穩定性7.7 7.7 控制系統的相對穩定性控制系統的相對穩定性1. 相角裕度相角裕度在頻率特性上對應于幅值在頻率特性上對應于幅值A()1(即即L()=0)的角的角頻率稱為頻率稱為剪切頻率剪切頻率(截止頻率截止頻率)，以，以c表示，在剪切表示，在剪切頻率處，相頻特性距頻率處，相頻特性距180線的相位差線的相位差叫

7、做叫做相角相角裕度裕度。即。即下圖下圖(a)表示的具有正相角裕度的系統不僅穩定，而表示的具有正相角裕度的系統不僅穩定，而且還有相當的穩定儲備，它可以在且還有相當的穩定儲備，它可以在c的頻率下，允的頻率下，允許相角再增加（遲后）許相角再增加（遲后）度才達到臨界穩定狀態。度才達到臨界穩定狀態。相角裕度也叫相位穩定性儲備。相角裕度也叫相位穩定性儲備。()( 180 )180()cc 相角裕相角裕度度和增益裕和增益裕度度對于對于穩定的系統穩定的系統， (c)必在伯德圖必在伯德圖180線以上，線以上，這時稱為這時稱為正相角裕度正相角裕度，或者有正相角裕度，如圖，或者有正相角裕度，如圖(c) 所示。對于所

8、示。對于不穩定系統不穩定系統， (c)必在必在180線以下，線以下，這時稱為這時稱為負相角裕度負相角裕度，如圖，如圖(d) 所示所示;相應地，在相應地，在乃氏圖中，乃氏圖中，即為乃氏曲線與單位圓的交即為乃氏曲線與單位圓的交點點A 對負實軸的相位差值對負實軸的相位差值。對于穩定系統，。對于穩定系統， A點必點必在負實軸以下。如圖在負實軸以下。如圖(a) 所示。反之，對于不穩定系所示。反之，對于不穩定系統，統，A點必在負實軸以上，如圖點必在負實軸以上，如圖 (b) 所示。所示。 1. 相角裕度相角裕度2. 增益裕度增益裕度Kg 在相頻特性等于在相頻特性等于180的頻率的頻率g （穿越頻率穿越頻率）

9、處，開環幅頻特性處，開環幅頻特性A(g)的倒數，稱為的倒數，稱為增益裕度增益裕度，記做記做Kg 。即。即在在Bode圖上，增益裕度改以分貝圖上，增益裕度改以分貝(dB)表示表示 1()ggKA20lg()()gggKAL 相角裕相角裕度度和增益裕和增益裕度度對于對于穩定的系統穩定的系統，L(g )必在必在Bode圖圖0 dB線以下，這線以下，這時稱為時稱為正增益裕度正增益裕度，如圖，如圖 (c) 所示。對于所示。對于不穩定系統不穩定系統， L(g )必在必在0dB線以上，這時稱為線以上，這時稱為負增益裕度負增益裕度，如圖，如圖 (d) 所示。所示。以上表明，在圖以上表明，在圖 (c)中，對數幅

10、頻特性還可上移中，對數幅頻特性還可上移Kg，即開環系統的增益增加即開環系統的增益增加Kg倍，則閉環系統達到穩定倍，則閉環系統達到穩定的臨界狀態。的臨界狀態。在乃氏圖中，在乃氏圖中，乃氏曲線與負實軸的交點到原點的距乃氏曲線與負實軸的交點到原點的距離即為離即為1/Kg ，它代表在頻率，它代表在頻率g處開環頻率特性的模。處開環頻率特性的模。顯然，對于顯然，對于穩定系統，穩定系統，1/Kg1，如圖，如圖(a) 所示；所示；對對于不穩定系統有于不穩定系統有1/Kg1，如圖，如圖 (b) 所示。所示。 幾點說明：幾點說明：對于一個穩定的最小相位系統，其對于一個穩定的最小相位系統，其相角裕度應為正相角裕度應

11、為正值值，增益裕度應大于增益裕度應大于1 ；嚴格地講，應當同時給出相角裕度和增益裕度，才嚴格地講，應當同時給出相角裕度和增益裕度，才能確定系統的相對穩定性。但在粗略估計系統的暫能確定系統的相對穩定性。但在粗略估計系統的暫態響應指標時，主要對相角裕度提出要求。態響應指標時，主要對相角裕度提出要求。為使系統有滿意的穩定儲備，以及得到較滿意的暫為使系統有滿意的穩定儲備，以及得到較滿意的暫態響應，在工程實踐中，一般希望態響應，在工程實踐中，一般希望 30 606dBgK 2gK 對于最小相位系統，開環幅頻特性和相頻特性之對于最小相位系統，開環幅頻特性和相頻特性之間存在唯一的對應關系。上述相角裕度意味著

12、，間存在唯一的對應關系。上述相角裕度意味著，系統開環對數幅頻特性在剪切頻率處的斜率應大系統開環對數幅頻特性在剪切頻率處的斜率應大于于40dB/dec，且有一定寬度。在實際中常取，且有一定寬度。在實際中常取20dB/dec。在閉環穩定條件下，穩定裕度越大，反映系統穩在閉環穩定條件下，穩定裕度越大，反映系統穩定程度越高。穩定裕度也間接反映了系統動態過定程度越高。穩定裕度也間接反映了系統動態過程的平穩性，程的平穩性，裕度大意味著超調小、振蕩弱，阻裕度大意味著超調小、振蕩弱，阻尼大。尼大。 例例 單位反饋系統開環傳遞函數為單位反饋系統開環傳遞函數為 分別求取分別求取K1= 10及及K1= 100時的相角裕度和增益裕度時的相角裕度和增益裕度 。 解：相角裕度可通過對數幅頻特性用圖解法求出。解：相角裕度可通過對數幅頻特性用圖解法求出。K1= 10時時 1=1， 2=5。20lgK = 20lg2 = 6dB。畫出對數幅頻特。畫出對數幅頻特性曲線性曲線1( )(1)(5)KG ss ss1( )5 (1)(15)KG ssss由圖可知由圖可知 伯德圖幅頻特性伯德圖幅頻特性140(lglg)020lgcK140lg()20lg20lg 2cK所以所以K110時，剪切頻率和相角裕度為時，剪切頻率和相角裕度為當當K1從從10變到變到100時，幅頻