1、n13世紀的中國，在求高次方程數值解，以及解高次聯立方程上有重大世紀的中國，在求高次方程數值解，以及解高次聯立方程上有重大貢獻。貢獻。1247年，秦九昭給出了一般高次方程的數值解法。李冶創立的年，秦九昭給出了一般高次方程的數值解法。李冶創立的“天元術天元術”（1248年）和朱世杰使用的年）和朱世杰使用的“四元術四元術”（1303年）能夠求年）能夠求解一大類的高次聯立方程。解一大類的高次聯立方程。n16世紀最偉大的數學成就是發現了三次方程和四次方程的求根公式。世紀最偉大的數學成就是發現了三次方程和四次方程的求根公式。1515年，費羅用代數方法求解三次方程。年，費羅用代數方法求解三次方程。1535

2、年塔塔利亞宣布自己發年塔塔利亞宣布自己發現了形如的三次方程代數解法。現了形如的三次方程代數解法。1545年，卡爾丹在年，卡爾丹在大衍術大衍術中給出中給出了三次方程和四次方程的解法。三次方程的解法，實質是考慮恒等式，了三次方程和四次方程的解法。三次方程的解法，實質是考慮恒等式，若選取，使得，不難解出，于是得到就是所求的，后人稱之為卡爾丹若選取，使得，不難解出，于是得到就是所求的，后人稱之為卡爾丹公式。公式。n人們開始討論一般的五次方程的解法。歐拉和拉格朗日進行了嘗試，人們開始討論一般的五次方程的解法。歐拉和拉格朗日進行了嘗試，但是都以失敗告終。但是都以失敗告終。19世紀魯菲尼和阿貝爾都證明了一般

3、的五次或五世紀魯菲尼和阿貝爾都證明了一般的五次或五次以上的方程的根不可能用方程系數的根式表出次以上的方程的根不可能用方程系數的根式表出.n（二）命名（二）命名n16世紀，稱為世紀，稱為“含有未知數的等式含有未知數的等式”。n17世紀前后，譯為世紀前后，譯為“相等式相等式”。n19世紀，世紀，“equation”首次譯為首次譯為“含有未知數的等式含有未知數的等式”。n1837年確定年確定“方程方程”與與“方程式方程式”兩者意義相通。兩者意義相通。n(三）三）方程在中學數學中的地位和作用方程在中學數學中的地位和作用中學代數研究P62n（四）方程的科學價值中學代數研究 P62-P63時間：公元前時間

4、：公元前20002000年年- -公元前公元前18001800年年地點：古埃及地點：古埃及紙草書上的方程紙草書上的方程1111111144 56 97 194 338 679 77621133327xxxx422833149797x “試位法試位法”247xx如778248 37 3217x ，蘭德紙草書第蘭德紙草書第31題題 卡宏卡宏（Kahun）發現的一份大約公元前發現的一份大約公元前1950年的年的紙草書中記載了下列問題：紙草書中記載了下列問題： 將給定的將給定的100單位的面積分給兩個正方形，使二者單位的面積分給兩個正方形，使二者的邊長之比為的邊長之比為4：3.設兩個正方形的邊長分別為

5、設兩個正方形的邊長分別為x，y，且且4y=3x，由題設，由題設x2+y2=100.首先取首先取x=4，則，則y=3，此時，此時x2+y2=25，對對x，y的取值進行修正，的取值進行修正，即可得方程的解即可得方程的解x=8，y=6. “試位法試位法”對于解決屬于一元一次方程的問題，對于解決屬于一元一次方程的問題，可能得到精確的解，而對于二次以上的方程，這種方可能得到精確的解，而對于二次以上的方程，這種方法一般只能給出近似解。法一般只能給出近似解。時間：公元前時間：公元前20002000年前后年前后地點：古巴比倫地點：古巴比倫泥版書上的方程泥版書上的方程時間：公元時間：公元3 3世紀前后世紀前后地

6、點：古希臘地點：古希臘墓志銘上的方程墓志銘上的方程時間：公元時間：公元1 1世紀東漢初年世紀東漢初年-19-19世紀初清朝世紀初清朝地點：中國地點：中國九章算術九章算術方程方程 介紹了一次方程組的解法介紹了一次方程組的解法 公元公元3世紀世紀 趙爽趙爽 勾股圓方圖說勾股圓方圖說 給出了形如的二次方程的求解步驟給出了形如的二次方程的求解步驟公元公元7世紀世紀 王孝通王孝通 緝古算經緝古算經 解決了不少三次方程求解的實際問題解決了不少三次方程求解的實際問題 公元公元1113世紀世紀 在古代開平方、開立方、開帶從平方、開帶從立方等算在古代開平方、開立方、開帶從平方、開帶從立方等算法的基礎上，創立了一

7、種具有中國古代數學獨特風格的新算法的基礎上，創立了一種具有中國古代數學獨特風格的新算法，即高次方程的數值解法法，即高次方程的數值解法. 時間：公元時間：公元9 9世紀世紀-12-12世紀世紀地點：印度地點：印度2( )axbxc婆羅摩笈多婆羅摩笈多 242acbbxa摩訶毗羅摩訶毗羅 2222444a xabxbacb22(2)4axbacb婆什迦羅婆什迦羅 列舉了各種二次方程的求解，列舉了各種二次方程的求解，并認為二次方程有兩根并認為二次方程有兩根 時間：公元時間：公元820820年年地點：阿拉伯地點：阿拉伯人物：花拉子米人物：花拉子米ilm al-jabr wal-muqabala alg

8、ebra 還原與對消的科學還原與對消的科學 原意是原意是“還原還原”，根據上下文的意，根據上下文的意思，是指把負項移到方程另一端變思，是指把負項移到方程另一端變成正項，方程才能平衡成正項，方程才能平衡 意即意即“化簡化簡”或或“對消對消”，是指方，是指方程兩端可以消去相程兩端可以消去相同的項或合并同類同的項或合并同類項項 代數學代數學系統地論述了六種類型的一次和二次系統地論述了六種類型的一次和二次方程的解法。這些方程由下列三種量構成：方程的解法。這些方程由下列三種量構成：根根、平方平方、數數。根相當于現在的未知數。根相當于現在的未知數x，平方就是，平方就是x2，數是常數，數是常數項。項。1平方

9、等于根平方等于根 ax2=bx2平方等于數平方等于數 ax2c3根等于數根等于數 ax=c4平方和根等于數平方和根等于數 ax2bx=c5平方和數等于根平方和數等于根 ax2cbx6根和數等于平方根和數等于平方 bxcax2代數學代數學第四章第四章 一個平方數及其根的十倍等于三十九一個平方數及其根的十倍等于三十九 此問題即方程此問題即方程 x210 x39 “取根數目之半，在這里就是五，然后將它自乘得二十取根數目之半，在這里就是五，然后將它自乘得二十五，同三十九相加得六十四，開平方得八，再減去根數的一五，同三十九相加得六十四，開平方得八，再減去根數的一半，即五，余三。這就是根。半，即五，余三。

10、這就是根。” 對于一般方程對于一般方程 x2pxq 2101039322x222ppxq時間：時間：1616世紀世紀-19-19世紀世紀地點：歐洲地點：歐洲方程解法的重大突破方程解法的重大突破1494年，意大利數學家帕西奧利對三次方程進行過艱辛年，意大利數學家帕西奧利對三次方程進行過艱辛的探索后作出極其悲觀的結論，他認為在當時的數學，求的探索后作出極其悲觀的結論，他認為在當時的數學，求解三次方程，猶如化圓為方問題一樣，是根本不可能的。解三次方程，猶如化圓為方問題一樣，是根本不可能的。 序曲序曲人物一：人物一：費羅費羅 (Ferro, 1465-1526) 大學教授大學教授人物二：人物二：菲奧菲

11、奧 (Fior) 費羅的學生費羅的學生 人物三：人物三：馮那塔馮那塔 (Fontana, 1499-1557) “塔塔利亞塔塔利亞 ”人物四：人物四：卡當卡當 (Cardan, 1501-1576) 醫生，哲學家，數學家醫生，哲學家，數學家人物五：人物五：費拉里費拉里 (Ferrari, 1522-1565) 卡當的學生卡當的學生x3+mx=n (m,n0)x3+mx2=n (m,n0) 3( ,0)xmxn m n形如形如 的方程的方程233233223223xabnnmannmb其中歐拉（歐拉（Euler，1707-1783）范得蒙（范得蒙（Vandermonde，1735-1796）拉格

12、朗日（拉格朗日（Lagrange，1736-1813）魯菲尼（魯菲尼（Rullini，1765-1822）高斯（高斯（Gauss，1777-1855）發現：發現：對次數不超過四的方程，都能得到根的計算公式，每個對次數不超過四的方程，都能得到根的計算公式，每個 根都可用原方程的系數經過加減乘除和開方運算表出。根都可用原方程的系數經過加減乘除和開方運算表出。斷言：斷言：對于五次方程來說，也一定存在這種求根公式。對于五次方程來說，也一定存在這種求根公式。關于方程的代數解法的思考關于方程的代數解法的思考 魯菲尼（魯菲尼（Paolo Ruffini，1765-1822） “如果一個方程能用根式解出，那么

13、這一根式必定是已如果一個方程能用根式解出，那么這一根式必定是已知方程的根和單位根的有理函數。知方程的根和單位根的有理函數。” 阿貝爾（阿貝爾（Abel Niels Henrik 1802-1829） “要想在數學上取得進展，就應該閱讀要想在數學上取得進展，就應該閱讀大師的而不是他們的門徒的著作。大師的而不是他們的門徒的著作。” “如果一個方程可以根式求解，則出現在根的表達式中如果一個方程可以根式求解，則出現在根的表達式中的每個根式都可表示成方程的根和某些單位根的有理數。的每個根式都可表示成方程的根和某些單位根的有理數。” 阿比爾定理：一般高于四次的方程不可能代數地求解。阿比爾定理：一般高于四次

14、的方程不可能代數地求解。 五次方程代數解法不可能存在五次方程代數解法不可能存在 伽羅華（伽羅華（Galois，18111832） 關于五次方程的代數解法問題關于五次方程的代數解法問題 關于用根式解方程的可解性條件關于用根式解方程的可解性條件 柯西（柯西（Cauchy, 1789-1875） 傅立葉（傅立葉（Fourier，1768-1830） 泊松（泊松（Poisson，1781-1840） “你可以公開地請求雅可比（你可以公開地請求雅可比（Jacobi）或高斯，不是對于）或高斯，不是對于這些定理的真實性而是對于其重要性表示意見，將來我希望有這些定理的真實性而是對于其重要性表示意見，將來我希望

15、有人會發現這堆東西注釋出來對于他們是有益的。人會發現這堆東西注釋出來對于他們是有益的。” 劉維爾（劉維爾（Liouville，1809-1882） 若當（若當（Jordan，1838-1892） 10110nnnna xa xaxa當當n5時不可能用根號求根時不可能用根號求根 時間：現代時間：現代方程的應用方程的應用借助工具：計算機借助工具：計算機 1954年至年至1960年，中科院地球所與中央氣象臺開展了數值年，中科院地球所與中央氣象臺開展了數值天氣預報研究。從理論上圍繞簡化模式和原始多層斜壓模式的天氣預報研究。從理論上圍繞簡化模式和原始多層斜壓模式的建立與應用，建立與應用，求解渦度方程、平衡方程和原始方程的差分格式求解渦度方程、平衡方程和原始方程的差分格式，分析了各種初