1、整理課件整理課件整理課件71 概述概述72 梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程73 積分法計算梁的位移積分法計算梁的位移74 疊加法計算梁的疊加法計算梁的位移位移75 梁的剛度校核梁的剛度校核目目 錄錄整理課件7 7 概概 述述研究范圍研究范圍：等直梁在對稱彎曲時位移的計算。研究目的研究目的：對梁作剛度校核； 解超靜定梁（為變形幾何條件提供補充方程）。整理課件整理課件1.1.撓度撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移。用v表示。 與 f 同向為正，反之為負。2.2.轉角轉角：橫截面繞其中性軸轉動的角度。用 表示，順時針轉動為正，反之為負。二、撓曲線：變形后，軸線變為光滑曲線，該曲線

2、稱為撓曲線。二、撓曲線：變形后，軸線變為光滑曲線，該曲線稱為撓曲線。 其方程為：其方程為：v =f (x)三、轉角與撓曲線的關系：三、轉角與撓曲線的關系：一、度量梁變形的兩個基本位移量一、度量梁變形的兩個基本位移量 (1) ddtgfxf小變形小變形PxvC C1f整理課件 7-2 梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程zzEIxM)(1一、撓曲線近似微分方程一、撓曲線近似微分方程zzEIxMxf)()( 式（2）就是撓曲線近似微分方程。EIxMxf)()( （2）)( )1 ()(1232xffxf 小變形小變形fxM00)( xffxM00)( xf(1)整理課件)()(xMxfEI

3、 對于等截面直梁，撓曲線近似微分方程可寫成如下形式：)()(xMxfEI 1d)()(CxxMxfEI21d)d)()(CxCxxxMxEIf 1.1.微分方程的積分微分方程的積分2.2.位移邊界條件位移邊界條件PABCPD 7-3 積分法計算梁的位移積分法計算梁的位移整理課件討論： 適用于小變形情況下、線彈性材料、細長構件的平面彎曲。 可應用于求解承受各種載荷的等截面或變截面梁的位移。 積分常數由撓曲線變形的幾何相容條件（邊界條件、連續條 件）確定。 優點：使用范圍廣，直接求出較精確；缺點：計算較繁。 支點位移條件：支點位移條件： 連續條件連續條件： 光滑條件：光滑條件：0Af0Bf0Df0

4、DCCffCC右左或寫成CC右左或寫成CCff整理課件 例例1 1 求下列各等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉角。建立坐標系并寫出彎矩方程)()(LxPxM寫出微分方程并積分應用位移邊界條件求積分常數)()(xLPxMfEI 12)(21CxLPfEI213)(61CxCxLPEIf061)0(23CPLEIf021)0()0(12CPLfEIEI322161 ; 21PLCPLC解：解：PLxfx整理課件寫出彈性曲線方程并畫出曲線3233)(6)(LxLxLEIPxfEIPLLff3)(3maxEIPLL2)(2max最大撓度及最大轉角xfPL整理課件解：解：建立坐標系并寫出彎矩方程)(

5、 0)0( )()(LxaaxaxPxM寫出微分方程并積分112)(21DCxaPfEI21213)(61DxDCxCxaPEIf )( 0)0( )(LxaaxxaPfEIxfPLa 例例2 2 求下列各等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉角。整理課件應用位移邊界條件求積分常數061)0(23CPaEIf021)0(12CPaEI32221161 ; 21PaDCPaDC)()(afaf)()(aa11DC 2121DaDCaCPLaxf整理課件寫出彈性曲線方程并畫出曲線)(a 36)0( 3)(6)(32323Lx axaEIPax axaxaEIPxfaLEIPaLff36)(2max

6、EIPaa2)(2max最大撓度及最大轉角PLaxf整理課件 例例3 3 試用積分法求圖示梁的撓曲線方程和轉角方程，并求C截面撓度和A截面轉角。設梁的抗彎剛度EI為常數。 解解：1 1外力分析外力分析：求支座約束反力。研究梁ABC，受力分析如圖，列平衡方程：FRFRlFlRmFRRFBABABAy5 . 15 . 005 . 10整理課件 2內力分析內力分析：分區段列出梁的彎矩方程：)23(212211xlFMFxM)23()0(21llxlx，3變形分析變形分析：AB段：由于 積分后得：EIFxEIxMy2)(1111 111311111211112111111124)(42)(DxCxEI

7、FDxCdxxEIFxyCxEIFCdxxEIFyx整理課件BC段：由于 ，積分后得：)23()(2222xlEIFEIxMy 2223222222222222222222222)6143()2123()()223()23()(DxCxlxEIFDxCdxxlxEIFxyCxlxEIFCdxxlEIFyx邊界條件：邊界條件：當連續光滑條件：連續光滑條件：代入以上積分公式中，解得： 0002211ylxyx時，；時，212121，時，當yylxxEIFlDDEIFlCEIFlC4065123212221，整理課件故撓曲線方程和轉角方程分別為： 由此可知： EIFlxlxEIFxEIFlxEIFx

8、3)2123()(124)(22222222111EIFlxEIFlxlxEIFxEIFlxEIFy465)6143(121232232221231)(8)23()(12)0(322211向下；逆時針方向EIFllxyyEIFlxCA整理課件7-4 7-4 疊加法計算梁的疊加法計算梁的位移位移一、載荷疊加一、載荷疊加 多個載荷同時作用于結構而引起的變形等于每個載荷單獨作用于結構而引起的變形的代數和。121122()( )()()nnnPPPPPP、 、121122()()()()nnnf PPPf PfPfP、 、二、結構形式疊加（逐段剛化法）二、結構形式疊加（逐段剛化法）整理課件 例例4 4

9、 按疊加原理求A點轉角和C點撓度。解、 載荷分解如圖 由梁的簡單載荷變形表， 查簡單載荷引起的變形。EIPafPC63EIPaPA424524qCqafE IEIqaqA33qqPP=+AAABBB Caa整理課件EIPafPC63EIPaPA424524qCqafE IEIqaqA33qqPP=+AAABBB Caa 疊加qAPAA)43(122qaPEIaEIPaEIqafC624534整理課件 例例5 試用疊加法求圖示梁C截面撓度和轉角。設梁的抗彎剛度EI為常數。 （已知AB=BC=l/2） (a)(b) + 解解：將原圖分解成圖(a)和圖(b)所示情況。 查表，對于圖(a)有：)(82

10、)2()(243)2(221331順時針，向下EIlFEIlFEIlFEIlFyBB整理課件于是有：對于圖(b)有：故梁C截面撓度為：轉角為： (順時針) 說明：對于圖(a)：BC段無內力，因而BC段不變形，BC段為直線 。EIFlEIFllEIlFEIlFlyyBCBBC8,485)2(824)2(211323111)()(222023202順時針，向下EIlFEIlMEIlFEIlMyCC)(4829248533321向下EIFlEIFlEIFlyyyCCCEIFlEIFlEIFlCCC89822221整理課件 例例6 按疊加原理求C點撓度。解解：載荷無限分解如圖由梁的簡單載荷變形表， 查

11、簡單載荷引起的變形。疊加22(d)(34)48dP CP bLbfE IbLbqxxqPd2d)(d02220(34)d24q bLbbE ILdPCqCff22240.5000(34)d24240Lq bLbq LbE ILE Iq00.5L0.5LxdxbxfC整理課件 例例7 結構形式疊加（逐段剛化法) 原理說明。=+PL1L2ABCBCPL2f1f2等價等價xfxf21ffffPL1L2ABC剛化剛化AC段段PL1L2ABC剛化剛化BC段段PL1L2ABCMxf整理課件7-5 7-5 梁的剛度校核梁的剛度校核)100012501( :對土建工程( maxLfLfLf一、梁的剛度條件一、

12、梁的剛度條件 其中稱為許用轉角；f/L稱為許用撓跨比。通常依此條件進行如下三種剛度計算：、校核剛度：校核剛度：、設計截面尺寸設計截面尺寸：、設計載荷：設計載荷：(對于土建工程，強度常處于主要地位，剛度常處于從屬地位。特殊構件例外） maxLfLfmax max整理課件 例例8 圖示木梁的右端由鋼拉桿支承。已知梁的橫截面為邊長a=200mm的正方形，均布載荷集度 ，彈性模量E1=10GPa，鋼拉桿的橫截面面積A=250mm2，彈性模量E2=210GPa，試求拉桿的伸長量及梁跨中點D處沿鉛垂方向的位移。kN/m40q 解解：靜力分析靜力分析，求出支座A點的約束反力及拉桿BC所受的力。列平衡方程：k

13、N40,40012202BABABAyFKNRqFmqFRF整理課件本題既可用積分法，也可用疊加法求圖示梁D截面的撓度。積分法：積分法：拉桿BC的伸長為梁AB的彎矩方程為撓曲線的近似微分方程積分得： mm29. 2m1029. 210250102103104036932AElFEANllBxxxRxqxMA40202)(22)4020(40103124020)(224121xxaExxIExMy DCxxxyCxxy)3201220(10403)20320(10403342232，整理課件邊界條件：當 時， ；當 時，代入上式得故當 時， 。疊加法：疊加法： 說明：AB梁不變形，BC桿變形后引

14、起AB梁中點的位移，與BC不變形，AB梁變形后引起AB梁中點的位移疊加。 0 x0ym2xm1029. 23ly010145.113DC，xxxy334210145.11)3201220(10403m1xmm395. 7m10395. 73ymm395. 7384253212114221IEqAEFflyyyB整理課件PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB 例例9 下圖為一空心圓截面梁，內外徑分別為：d=40mm、D=80mm，梁的E=210GPa，工程規定C點的f/L=0.00001，B點的=0.001弧度，試校核此梁的剛度。=+=P1=1kNABDCP2BC

15、DAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAM整理課件P2BCa=+圖圖1 1圖圖2 2圖圖3 3EIaLPafBC162111EILPB16211EILaPEIMLB3323EILaPafBC32233解： 結構變換，查表求簡單載荷變形。02BEIaPfC3322PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxf整理課件P2BCa=+圖圖1 1圖圖2 2圖圖3 3PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxfEILaPEIaPEIaLPfC3316223221EILaPEILPB316221 疊加求復雜載荷下的變形48124444m10188 10)4080(6414. 3 )(64dDI整理課件m1019. 533166223221EILaPEIaPEIaLPfC)(10423. 0)320016400(18802104 . 03164221弧度EILaPEILPB 001.010423