1、會計學1C函數的積分函數的積分2 C1函數的定義:定義2.1 設f是定義在區間I上的實值函數.如果存在一個C0函數 的遞增序列sn ，使得： 1snf a.e.于I； 2 有限，則稱f為I上的一個C1函數，并且說sn生成f.C1函數的積分定義為: 第1頁/共14頁3定理2.1：C1函數與C0函數序列的關系 設: , 和 是兩個C0函數的遞增序列,滿足定義2.1中的1和2則:證：依假設，從而 即，同一個C1函數的不同的C0函數序列都可以收斂到同一極限。 注：每一個C0函數都是C1函數。如果f幾乎處處等于一個C1函數g，則f也是C1函數。同理可以得到所以有第2頁/共14頁4C1函數積分的基本性質定

2、理2.2 設f和g是區間I上的C1函數，則 1 ，且 2 對于任意常數 ， 且 3 若 于I 則 第3頁/共14頁5注意：性質2對0a這一要求是實質性的，它說明減法運算在C1函數類中未必可行。IInnIImngtfs,lim,lim但是，對每一個m，有)(lim)()()(xtxgxfxsnnma.e.于I，因此根據定理1.2，IInnImgts,lim再令m即得性質3第4頁/共14頁6 設區間0 ，1上的函數 為： 當 時，n=1,2,3, 當x=0,1,1/2,1/3,. 其中 是任意取定且滿足 。則 是C1函數，但 不是C1函數 思路：從基本概念出發主要考察3點： 1 序列趨近 2 有限

3、 3 C0與C1函數的關系 )(xfn0f)1,11(nnx例2.1)(xf第5頁/共14頁7證明：顯然對任意的正數M，存在區間 ，使得 在此 區間內有 。因此f不是幾乎處處有上界的，從而-f不是處處有下界的。但是，依定理2.1，C1函數 幾乎處處有下界，所以-f不是 C1函數。現在證明 ，為此，作C0函數則 f,而右端級數收斂，故 ，并且不難算出 Mnxf)()1,11(nn 111110,)1(11)1(1)1(1nknknnknn1110) 1(1)(nnndxxf1Cf 其它,1k1,0 x,kn,n1,1n1x0,1k,nxk1Cf k第6頁/共14頁8C1函數的積分等價性 定理2.

4、4 若 則 ，證明思路： 1 收斂、有限、序列 2 特定函數的轉換1Cgf、1),min(Cgf定理2.3 若 且 a.e.于I，則 )()(xgxfIIgf1Cg C1函數的有界性1),max(Cgf第7頁/共14頁9證： 設階梯函數序列sn生成f,tn生成g,令：則un和vn都是階梯函數，并且在I上幾乎處處有: un max(f,g), vn min(f,g) 為了證明min(f,g) C1,只須證明序列 有上界。由于 a.e.與I，故 。 而 ，故序列 亦收斂。因此).t ,s (minv),t ,s (maxunnnnnnIInfvnnnnvtsuIIIInInInIngfgfvtsu

5、),min(fvnInv Inv第8頁/共14頁10 定理2.5設 ，其中I1與I2是I的子區間，I1與I2沒有公共內點。1 若 ,且 a.e.于I,則在Ii上 ， 且2設在 I1上 ，在 I2上 ，定義I上的函數 f如下：21III1Cf 0f1Cf IIIfff121Cf 1Cf ，IIx(x), f，Ix(x), fxf時當時當 )(1211C1函數的分區域積分第9頁/共14頁11則 ，且 證明：根據定義證明。任何一個C1都可以由一個C0函數來趨近。所以C1函數的問題可以利用C0來證明。1Cf IIIfff12 。即得因此令，還有生成上故在有，的每個子區間對于因生成梯函數的遞增序列，它上

6、的非負階是則令對每一個的遞增階梯函數序列，上生成是證：設。1n,sssfsI, fssII0)ff(Is,0),x(smax)x(s, IxfIs21InInInnIInInnnnn第10頁/共14頁12 定理2.6 設 f 是有界閉區間 a,b上的有界函數，且在 a,b上幾乎處處連續，則f是 a,b 上的C1函數，并且f作為C1函數的積分就等于R積分 。 證：假定本定理所給的函數f的R可積性是已知的。 設分劃 把區間a,b 分成2n個相等的子區間。每個子區間的長度等于(b-a)/2n.分劃Pn+1的子區間可由二等分Pn的子區間而得到，令 badxxf)(,210nxxxPnnkkkkxxxx

7、fm21,)(inf1在a,b上定義階梯函數sn如下：,1,1)(,)(masmxxxmxsnkkkn則當xa,b時，有 xfxsn)(第11頁/共14頁13 因為f在xk-1,xk的子區間上的下確界不會小于f在xk-1,xk的下確界，所以sn是遞增序列。 下面證明在f連續的每個內點處有 。由于f在a,b上不連續的點組成 之集有零測度，故 在a,b上幾乎處處成立。設f在點x連續，則任給 ，存在 ，使得當 時，有不等式 成立。令則 ，即 。對于這個x點，必有某個分劃PN,使得x位于PN的某個子區間xk+1,xk 之內，而 xk+1,xk 含與區 間 之內。因此但是，對一切n有 ；對一切 又有 所以，當 時 有： 這正表明 。 xfxsn xfxsn0有關）與,(0 xxyx )()(xfyfxf ,inf)(xxyyfm mxf)( mxf xx, .xsmmxfmxsNkkN xfxsn)(Nn .limxfxsn xsxfxsnn . xsxsnNNn第12頁/共14頁14積分序列 是遞增的，且有上界 故 收斂。bans